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Analisi matematica 2 (85778)
Politecnico di Milano
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Analisi Matematica II (Prof. Francesca Sianesi) Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria dei sistemi Corso di studi in Ingegneria Gestionale Esercitazione 15 - 23/05/2012 Michela Eleuteri1 michela@polimi Nel seguito indichiamo con [BPS] il testo: M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa: “Analisi Matematica 2”, Zanichelli 2009. Con il simbolo 2 Hint indichiamo esercizi per i quali `e stato dato solo un suggerimen` chiaro che in sede di prova d’esame una to della soluzione e non la soluzione completa. E tale risoluzione andrebbe adeguatamente integrata con le opportune spiegazioni di tutti i passaggi. Ricordiamo infine che la sezione “Complementi” contiene alcuni esercizi che non sono stati svolti in aula ma che per tematiche sono affini a quelli dell’esercitazione e pertanto possono risultare interessanti. 1 1 Funzioni implicite Tema d’esame del 16 Settembre 2005 - Esercizio 1. Dimostrare che l’equazione y 3 = 2xy − x2 definisce implicitamente, in un intorno del punto (1, 1), una funzione y = y(x), e stabilire se il punto x0 = 1 `e di estremo locale per y(x). La funzione y(x) `e invertibile in un intorno di x0 = 1? Poniamo F (x, y) = y 3 − 2xy + x2 . Le tre ipotesi da verificare per vedere se si pu`o applicare il teorema del Dini o della funzione implicita sono: Ü F ∈ C 1 : Ok. Ü F (1, 1) = 0: Ok. Ü Fy (1, 1) 6= 0. Infatti Fy (x, y) = 3y 2 − 2x dunque Fy (1, 1) = 3 − 2 = 1 6= 0. Dunque il teorema del Dini ci assicura che l’equazione F (x, y) = 0 definisce implicitamente un’unica funzione y = y(x) definita in un intorno di x = 1. Si ha y(1) = 1 perch´e y = y(x) `e la funzione implicita, in un intorno di (1, 1), e per definizione F (1, y(1)) = 0. Per stabilire se x0 = 1 `e estremo locale per y proviamo a studiare il segno delle derivate prima e seconda in x = 1. Dalla relazione F (x, y) = 0 si ottiene [y(x)]3 − 2xy(x) + x2 = 0 1` E vietata la diffusione e la riproduzione di questo materiale o parte di esso (particolarmente a fini commerciali) senza il consenso della sottoscritta. Queste note, che riprendono in parte gli esercizi svolti durante le ore di esercitazioni frontali, costituiscono parte integrante (ma non esclusiva!) del corso di Analisi II e pertanto, ai fini dell’esame, devono essere adeguatamente integrate con il materiale indicato dal docente titolare del corso. 1 da cui inserendo le informazioni x = 1 e y(1) = 1 si ottiene y 0 (1) = 0. Andando a derivate di nuovo la precedente espressione rispetto a x si ottiene 3[y(x)]2 y 0 (x) − 2y(x) − 2xy 0 (x) + 2x = 0. Ripetiamo l’operazione: 6y(x)y 0 (x) + 3(y(x))2 y 00 (x) − 2y 0 (x) − 2y 0 (x) − 2xy 00 (x) + 2 = 0. A questo punto, andando a sostituire x = 1 si ha y(1) = 1, y 0 (1) = 0 e si pu`o ricavare il valore di y 00 (1) 3y 00 (1) − 2y 00 (1) + 2 = 0 ⇔ y 00 (1) = −2. Dunque x = 1 `e punto di massimo locale per y(x). Per vedere se y(x) `e invertibile, `e sufficiente vedere se `e strettamente monotona, e quindi basta studiare il segno di y 0 (x). Ma 2(y(x) − x) y 0 (x) = . 3[y(x)]2 − 2x Il denominatore in un intorno di (1, 1) `e positivo ma il numeratore cambia di segno, quindi in ogni intorno di (1, 1) ci sono punti in cui y 0 > 0 e punti in cui y 0 < 0. Quindi la funzione non `e strettamente monotona e pertanto non `e invertibile. 1 Seconda prova in itinere - 4 Luglio 2006 - Esercizio 1. a) Enunciare il teorema della funzione implicita (teorema del Dini). b) Sia F (x, y) = xy − 2 + sin(x − 1), verificare che in un intorno di x = 1, l’equazione F (x, y) = 0 definisce implicitamente una e una sola funzione y = y(x). Calcolare y0 = y(1) e disegnare il grafico locale di y in un intorno del punto (1, y0 ). Poniamo F (x, y) = xy − 2 + sin(x − 1). Le tre ipotesi da verificare per vedere se si pu`o applicare il teorema del Dini o della funzione implicita sono: Ü F ∈ C 1 : Ok. Ü F (1, 2) = 0: Ok. Ü Fy (1, 2) 6= 0. Infatti Fy (x, y) = x dunque Fy (1, 2) = 1 6= 0. Dunque il teorema del Dini ci assicura che l’equazione F (x, y) = 0 definisce implicitamente un’unica funzione y = y(x) definita in un intorno di x = 1. Si ha y(1) = 2 perch´e y = y(x) `e la funzione implicita, in un intorno di (1, 2), e per definizione F (1, y(1)) = 0. Per disegnare il grafico locale di y in un intorno di (1, 2), dobbiamo avere informazioni sul segno delle derivate prima e seconda in x = 1. Dalla relazione F (x, y) = 0 si ottiene xy(x) − 2 + sin(x − 1) = 0. Andiamo a derivare ambo i membri rispetto a x. Si ottiene y(x) + xy 0 (x) + cos(x − 1) = 0. 2 Ripetiamo l’operazione: 20x3 + 4y 0 (x) + 4y 0 (x) + 4xy 00 (x) + 12[y(x)]2 [y 0 (x)]2 + 4[y(x)]3 y 00 (x) = 0 A questo punto, andando a sostituire x = 0 si ha y(0) = 1, y 0 (0) = −1 e si pu`o ricavare il valore di y 00 (0) −8 + 12 + 4y 00 (0) = 0 ⇔ y 00 (0) = −1. Quindi lo sviluppo richiesto vale y(x) = 1 − x − 2 x2 + o(x2 ). 2 Estremi vincolati (vincolo esplicitabile) 2 Tema d’esame del 16 Settembre 2005 - Esercizio 2. Determinare, se esistono, il massimo e il minimo assoluto della funzione f (x, y) = 4x2 + 4y 2 − 2x − 2y + 2 nel triangolo T di vertici (0, 0), (0, 1) e (1, 0). La funzione data `e continua, il triangolo T `e un insieme chiuso e limitato, dunque dal teorema di Weierstrass sappiamo che il massimo e il minimo assoluti di f su T esistono. Analizziamo la parte interna di T . Eventuali punti candidati di massimo o minimo si troveranno tra i punti che annullano il gradiente di f . Si ha 1 1 ∇f (x, y) = (8x − 2, 8y − 2) = (0, 0) ⇔ (x, y) = , 4 4 e questo punto appartiene alla parte interna di T . La funzione data `e di classe C ∞ (R2 ) quindi non ci sono eventuali punti di non differenziabilit` a. Infine per quanto riguarda il bordo di T (che coincide con il perimetro del triangolo T ) si ha ∂T = T1 ∪ T2 ∪ T3 dove T1 = {(x, y) : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1} T2 = {(x, y) : y = 1 − x, 0 ≤ x ≤ 1} T3 = {(x, y) : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1}. Si ha fT1 (x, y) = 4x2 − 2x + 2 =: g1 (x). Dunque g10 (x) = 8x − 2 = 0 se e solo se x = 1/4. Quindi eventuali punti candidati ad essere massimo o minimo assoluto sono 1 ,0 (0, 0) (1, 0). 4 4 Inoltre si ha fT2 (x, y) = 4x2 + 4(1 − x)2 − 2x − 2(1 − x) + 2 = 8x2 − 8x + 4 =: g2 (x). Dunque g20 (x) = 16x − 8 = 0 se e solo se x = 1/2. Quindi eventuali punti candidati ad essere massimo o minimo assoluto sono 1 1 (1, 0) (0, 1). , 2 2 Infine fT3 (x, y) = 4y 2 − 2y + 2 =: g3 (y). Dunque g30 (y) = 8y − 2 = 0 se e solo se y = 1/4. Quindi eventuali punti candidati ad essere massimo o minimo assoluto sono 1 0, (0, 0) (0, 1). 4 Analisi finale: confrontiamo i valori assunti dalla funzione f nei punti candidati che abbiamo trovato dall’analisi precedente. Si ha 1 1 3 1 1 f , = f , =1 2 2 2 4 4 1 7 1 , 0 = f 0, = f 4 4 4 f (0, 0) = 2 f (1, 0) = f (0, 1) = 4 Quindi 3 min f = ; T 2 max f = 4 T i punti di massimo sono (1, 0) e (0, 1); il punto di minimo `e 3 3 1 1 4, 4 . Complementi Tema d’esame del 6 Settembre 2007 - Esercizio 3. Enunciare il teorema delle funzioni implicite. Verificare che in un intorno del punto (1, 1) il luogo di zeri della funzione f (x, y) = x sin x − y sin y coincide con la bisettrice del primo quadrante. Assodato che per f valgano le ipotesi del teorema del Dini (cosa che l’esercizio non chiede di fare), basta dimostrare che (almeno localmente) y 0 (1) = 1 e y 00 (1) = 0. Dalla relazione f (x, y) = 0 si ottiene x sin x − y(x) sin y(x) = 0 da cui, derivando entrambi i membri rispetto a x sin x + x cos x − y 0 (x) sin y(x) − y(x)y 0 (x) cos y(x) = 0 5 Per vedere se y(x) `e invertibile, `e sufficiente vedere se `e strettamente monotona, e quindi basta studiare il segno di y 0 (x). Ma 6(y(x) − x) y 0 (x) = . 9[y(x)]2 − 6x Il denominatore in un intorno di (1, 1) `e positivo ma il numeratore cambia di segno, quindi in ogni intorno di (1, 1) ci sono punti in cui y 0 > 0 e punti in cui y 0 < 0. Quindi la funzione non `e strettamente monotona e pertanto non `e invertibile. 3 Tema d’esame del 11 Settembre 2006 - Esercizio 3. Calcolare il massimo e il minimo assoluti della funzione f (x, y) = 2x2 + y 2 + x2 y + 2 sul dominio D = {(x, y) ∈ R2 : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2}. La funzione data `e continua, l’insieme D (che `e un rettangolo) `e un insieme chiuso e limitato, dunque dal teorema di Weierstrass sappiamo che il massimo e il minimo assoluti di f su D esistono. Analizziamo la parte interna di D. Eventuali punti candidati di massimo o minimo si troveranno tra i punti che annullano il gradiente di f . Si ha ∇f (x, y) = (4x+2xy, 2y+x2 ) = (0, 0) ⇔ (x, y) = (0, 0) ∨ (x, y) = (2, −2) ∨ (x, y) = (−2, −2). Dei tre, l’origine `e l’unico punto che appartiene alla parte interna di D; gli altri stanno fuori da D. La funzione data `e di classe C ∞ (R2 ) quindi non ci sono eventuali punti di non differenziabilit` a. Infine per quanto riguarda il bordo di D (che coincide con il perimetro del rettangolo D) si ha ∂D = D1 ∪ D2 ∪ D3 ∪ D4 dove D1 = {(x, y) : x = 1, −2 ≤ y ≤ 2} D2 = {(x, y) : y = 2, −1 ≤ x ≤ 1} D3 = {(x, y) : x = −1, −2 ≤ y ≤ 2} D4 = {(x, y) : y = −2 − 1 ≤ x ≤ 1}. Si ha fD1 (x, y) = fD3 (x, y) = 2 + y 2 + y + 2 =: g(y). Dunque g(y) = 2y + 1 = 0 se e solo se y = −1/2. Quindi eventuali punti candidati ad essere massimo o minimo assoluto sono (1, −2) (−1, −2) (1, −1/2) (−1, −1/2) Inoltre si ha fD2 (x, y) = 4x2 + 6 = h(x) 7 (1, 2) (−1, 2). la cui derivata si annulla per x = 0. Quindi eventuali punti candidati ad essere massimo o minimo assoluto sono (−1, 2) (0, 2) (1, 2). Infine fD4 (x, y) = 6. Quindi tutti i punti del tipo (x, −2) con −1 ≤ x ≤ 1 sono tutti eventuali punti candidati ad essere massimo o minimo assoluto. Analisi finale: confrontiamo i valori assunti dalla funzione f nei punti candidati che abbiamo trovato dall’analisi precedente. Si ha f (1, −2) = f (−1, −2) = 6 f (1, 2) = f (−1, 2) = 10 f (x, −2) = 6. f (0, 0) = 2 f (1, −1/2) = f (−1, −1/2) = 15/4 f (0, 2) = 6 Quindi max f = 10 min f = 2; T T i punti di massimo sono (±1, 2); il punto di minimo `e (0, 0). 3 Tema d’esame del 17 Luglio 2007 - Esercizio 3. Trovare gli estremi della funzione f (x, y) = (x2 y + y)e−x 2y nel quadrato Q = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}. La funzione data `e continua, l’insieme Q (che `e un quadrato) `e un insieme chiuso e limitato, dunque dal teorema di Weierstrass sappiamo che il massimo e il minimo assoluti di f su Q esistono. Analizziamo la parte interna di Q. Eventuali punti candidati di massimo o minimo si troveranno tra i punti che annullano il gradiente di f . Si ha 2 2 ∇f (x, y) = (e−x y 2xy[1 − x2 y − y], e−x y (x2 + 1)[1 − x2 y]) che non si annulla mai. Quindi non esistono punti stazionari interni a Q. La funzione data `e di classe C ∞ (R2 ) quindi non ci sono eventuali punti di non differenziabilit` a. Infine per quanto riguarda il bordo di Q (che coincide con il perimetro del quadrato Q) si ha ∂Q = Q1 ∪ Q2 ∪ Q3 ∪ Q4 dove Q1 = {(x, y) : x = 1, 0 ≤ y ≤ 1} Q2 = {(x, y) : y = 1, 0 ≤ x ≤ 1} Q3 = {(x, y) : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1} Q4 = {(x, y) : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1}. 8 3 Tema d’esame del 4 Luglio 2008 - Esercizio 3. a) Cosa significa che la funzione x = x(y) `e definita implicitamente dall’equazione f (x, y) = 0 in un intorno del punto (x0 , y0 )? b) In quali punti l’equazione x2 +y 2 −2xy = 0 definisce implicitamente una funzione x = x(y)? c) In quali punti la f soddisfa le ipotesi del Teorema del Dini? Vedi soluzione sul file corrispondente. 3 Tema d’esame del 16 Luglio 2008 - Esercizio 3. Si consideri la curva Γ di equazione y 2 − 2x + x4 − 3 = 0. a) Verificare che il punto P = (1, 2) appartiene a Γ e che in un intorno di tale punto Γ `e esplicitabile come y = f (x). b) Scrivere l’equazione della retta tangente a Γ in P . c) Scrivere l’equazione della parabola che approssima Γ in P . Vedi soluzione sul file corrispondente. 3 Tema d’esame del 5 Febbraio 2009 - Esercizio 3. Verificare che l’equazione 2x2 + y 2 − e2xy = 0 definisce, nell’intorno di x = 0, una funzione y = f (x) tale che f (0) = 1. Calcolare f 0 (0) e f 00 (0). Vedi soluzione sul file corrispondente. 3 Tema d’esame del 11 Settembre 2009 - Esercizio 3. 2 Stabilire per quale valore di y0 l’equazione ex y + y − x = 0 definisce implicitamente, in un intorno di (0, y0 ), una funzione y = y(x) tale che y(0) = y0 . Disegnare un grafico di tale funzione in un intorno del punto (0, y0 ) per il valore di y0 trovato. Vedi soluzione sul file corrispondente. 10 3 Tema d’esame del 21 Luglio 2010 - Esercizio 3. (a) Verificare che la curva piana γ di equazione x3 − x2 + y − y 2 ln(1 + x) = 0 passa per l’origine. (b) Verificare se, nell’intorno dell’origine, γ `e il grafico di una funzione y = f (x) derivabile. (c) Scrivere l’equazione della retta tangente a γ nell’origine. Vedi soluzione sul file corrispondente. 3 Tema d’esame del 3 Luglio 2009 - Esercizio 3. Sia data la funzione f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 − x3 − 4y 3 . a) Trovare i punti stazionari di f e determinarne la natura. b) Trovare gli estremi assoluti di f nel triangolo di vertici (0, 0), (−1, 0), (−1, 1). Vedi soluzione sul file corrispondente. 3 Tema d’esame del 02 Settembre 2010 - Esercizio 3. Data la funzione f (x, y) = x2 − 2xy + y 2 + 2x3 − y 3 , trovare i massimi ed i minimi di f per (x, y) interno o sul bordo del triangolo di vertici (0, 0), (0, 1), (1, 1). Vedi soluzione sul file corrispondente. 11
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