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Corso

Matematica Finanziaria (006017)

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Università degli Studi di Bari Aldo Moro

Anno accademico: 2016/2017

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Pontificia Universidad Católica Argentina Santa María de los Buenos Aires

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Appunti di Matematica Finanziaria Prima Bozza Giovanni Villani Indice 1 I principali regimi finanziari 1 Grandezze Fondamentali della Matematica Finanziaria . . . 1.1 Operazione di Capitalizzazione . . . . . . . . . . . . 1.1 Operazione di attualizzazione . . . . . . . . . . . . . 1 Il regime semplice (RIS) . . . . . . . . . . . . . 1.2 Esempio sul RIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Tassi equivalenti nel RIS . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sconto razionale o iperbolico nel RIS . . . . . . . . . 1.2 La capitalizzazione degli interessi nel RIS . . . . . . . 1 Regime di capitalizzazione composta RIC . . . . . . . . . . 1.3 Esempi sul Regime di Interesse Composto RIC . . . . 1.3 Lo sconto composto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tassi equivalenti nel RIC . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Tasso nominale annuo convertibile m volte 1.3 Tasso istantaneo . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Capitalizzazione esponenziale . . . . . . . . . . . . . 1 Regime scindibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Esercizi di Riepilogo sulla Capitalizzazione Semplice e Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Rendite e Piani di Ammortamento 2 Rentite certe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Valore di una Rendita . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Alcune formule per il calcolo del valore di una rendita 2.1 Rendite frazionate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Esercizi di Riepilogo sulle Rendite . . . . . . . . . . . 2 Piani di Ammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 4 5 6 8 9 11 12 13 14 15 16 17 18 . 19 . . . . . . 23 23 24 25 28 28 29 5.2 Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Portafoglio ammissibili e portafogli efficienti 5.2 Esempio sulla teoria del portafoglio . . . . . 5 Esercizi sulla teoria del portafoglio . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 90 91 94 Capitolo 1 I principali regimi finanziari 1 1.1 Grandezze Fondamentali della Matematica Finanziaria Operazione di Capitalizzazione Supponiamo1 di avere due istanti: quello inziale o presente t0 0 in cui viene investito un capitale C e un istante futuro t1 1 in cui ricaviamo una somma M (montante) nota in t0 (vedi Fig.1). La differenza tra il montante M ed il capitale C si definisce interesse: I C M 0 1 (1) t Figura 1: Operazione di capitalizzazione Risulta immediato dalla formula (1) che M C I, ossia il montante la somma tra il capitale impiegato e gli interessi prodotti. Si definisce tasso di 1 Prima Bozza Appunti Matematica Finanziaria Villani Giovanni 4 1 1 il fattore di attualizzazione e quindi il r valore attuale di una somma di denaro M disponibile in futuro Denoteremo con v C Mv (1) Osservazione 1 In una operazione finanziaria si determina una relazione di equivalenza tra due somme di denaro disponibili in istanti diversi, ossia M il montante di C ma anche che C il valore attuale di M. Quindi se si capitalizza una somma C disponibile in t0 0 si ottiene M Cr in t1 1 ma se poi si attualizza M Cr disponibile in t1 1 si ottiene in t0 0 il valore attuale Crv che deve essere pari alla somma iniziale (vedi Fig.1), ossia: Crv C e quindi rv 1 Crv C 1 0 t Figura 1: Equivalenza Finanziaria Osservazione 2 In una operazione di capitalizzazione, in assenza di spese, normalmente M C e quindi I 0. Di conseguenza, il tasso di interesse i 0. Nel caso particolare in cui fosse nullo, avremo che i 0 e quindi v 1. del tasso possiamo notare il fattore di 1 0. attualizzazione v diminuisce fino caso limiti in cui lim v lim 1 i Quindi possiamo affermare che v 1 Il regime semplice (RIS) Consideriamo ora sia temporale, ossia la durata e sia la attraverso la quale vengono calcolati gli interessi. Nel regime 6 semplice, in poi RIS, gli interessi vengono calcolati in proporzione al capitale investito e alla durata I(t) Cit (1) dove C il capitale investito, t la durata che essere espressa in anni, semestri, mesi, ecc, mentre i il tasso periodale, ossia il tasso riferito di misura scelta per il tempo. Quindi se un investimento dura t 3 anni abbiamo bisogno che il tasso i sia un tasso annuale. Dalla formula (1), possiamo ricavare il montante finale t: M(t) C I(t) C Cit C(1 it) (1) dove r(t) (1 it) il fattore di capitalizzazione semplice. 1.2 Esempio sul RIS 1. Calcolare e il montante generato da un capitale di 10 investito per t 3 anni in capitalizzazione semplice (RIS) al tasso di interesse annuo i 0 (i sia il tasso che la durata sono espressi nella stessa di misura, ossia in anni, possiamo calcolare gli interessi: I(3) 10 0 3 1 200 e M(3) 10 0 3) 11 200 e o in maniera analoga M(3) C I(3) 10 1 200 11 200 e 2. Calcolare dopo quanti anni al tasso annuo i 0 un capitale C 1 e produce un montante di M 1 600 e in RIS. Applicando la formula (1), otteniamo che: 1 600 1 0 t) da cui si ricava che t 12 anni. Oppure in maniera alternativa, si ricava I 1 600 1 600 e quindi applicando la formula (1) abbiamo: 600 1 0 t e quindi t 12 anni. 7 Analogamente, se consideriamo la stessa durata espressa in semestri abbiamo che un anno equivale a t 2 semestri. Indicheremo il tasso semestrale con i 1 2 un semestre la di un anno). Il montante alla fine ossia dei due semestri (vedi Fig.1(b)), M(2) C(1 i 1 2) 2 C 0 1 anni (a) Capitalizzazione annuale C 0 2 2) semestri (b) Capitalizzazione semestrale Figura 1: Tassi equivalenti nel RIS i due montanti devono essere uguali abbiamo: M(1) M(2) C(1 i) C(1 i 1 2) i 2 i 1 2 2 i ossia il tasso annuale il doppio di quello semestrale e viceversa, i 1 , 2 2 ossia il tasso semestrale la di quello annuale. Possiamo affermare che le relazioni tra i tassi sono proporzionale e quindi: i i1 (1) m m m dove m 2 indica il semestre (due semestri equivalgono ad un anno) e i 1 il 2 tasso m 3 indica il quadrimestre e i 1 il tasso 3 m 4 indica il trimestre e i 1 il tasso m 6 indica il bimestre 4 e i 1 il tasso m 12 indica il mese e i 1 il tasso mensile. 6 12 Osservazione 3 Le convenzioni commerciale e civile Secondo la convenzione commerciale, esso formato da 360 giorni ed ogni mesi da 30 giorni. Quindi il tasso di interesse giornaliero ig a: i 360 Naturalmente, se fosse utilizzata la convenzione civile abbiamo che: i ig 365 ig 9 Esempi sui Tassi Equivalenti nel RIS 1. Determinare il tasso trimestrale equivalente in RIS al tasso annuo i 0 Il tasso trimestrale si denota con i 1 un trimestre un quarto 4 di un anno. Applicando la formula (1) otteniamo che: i 1 0 4 4 0 2. Determinare il tasso semestrale i 1 equivalente al tasso mensile i 1 2 12 0 nel RIS. il semestre formato da sei mesi e, come abbiamo visto, le relazioni tra i tassi sono proporzionali, abbiamo che: i 1 6i 1 0 2 12 3. Determinare il montante e prodotto da un capitale C 3 e investito nel RIS al tasso annuo i 0 per t 5 semestri. In questo esempio tasso e durata non sono espressi nella stessa di misura. Quindi se convertiamo il tasso annuo in tasso semestrale abbiamo che i 1 0 0, possiamo lasciare 2 2 la durata in semestri, ossia: 0 0 I(5) 3 M(5) 3 1 5 4387 2 2 Se invece non convertiamo il tasso ma la durata, abbiamo che 5 semestri sono t 52 2 Quindi: 5 5 I(2) 3 M(2) 3 1 0 4387 2 2 1.2 Sconto razionale o iperbolico nel RIS Consideriamo operazione di attualizzazione, in cui disponiamo alla scadenza t di una somma M e vogliamo conoscere il suo valore attuale C in t 0. Come abbiamo visto, M essere interpretato come il montante ottenuto investendo C per una durata pari a t anni, ossia M C(1 it). siamo interessati a determinare il valore attuale C, con alcuni passaggi otteniamo che: M (1) 1 it 10 Dimostriamo il tutto con un esempio. Prendiamo in considerazione di durata complessiva pari a t. Il montante che si ottiene alla scadenza t, senza che effettui operazioni intermedie M (t) C(1 it) Consideriamo ora il caso in cui interrompiamo in un istante intermedio s precedente a t (vedi Fig.1). Il montante intermedio s M(s) C(1 is) riceve il montante M(s) e immediatamente lo reinveste per la durata residua che t s. Quindi il montante finale (t) i(t C(1 i(t C(1 it i2 s(t s)) M M , e quindi se in un istante intermedio di Possiamo notare come M capitalizzano gli interessi, il montante aumenta. Quindi convenienza ad effettuare operazioni di capitalizzazione intermedie degli interessi maturati (come vedremo in seguito, a tal proposito il regime RIS non scindibile). 0 M(t) M(s) s C t Figura 1: Capitalizzazione intermedia degli interessi 12 1 Regime di capitalizzazione composta RIC Il regime finanziario di capitalizzazione composta, in poi denotato con RIC, permette di rendere gli interessi fruttiferi di altri interessi automaticamente, al momento stesso in cui si producono. Ipotizzaziamo che un capitale C venga investito per una temporale t 1 (ad es. 1 anno) al tasso di interesse i. Il montante ottenuto M(1) C(1 i) Se alla scadenza continua alle stesse condizioni, ossia il montante M(1) viene investisto per un altro periodo, otteniamo che il montante in t 2 M(2) M(1)(1 i) C(1 i)(1 i) C(1 i)2 e cosi t n avremo che: M(n) M(n 1)(1 i) C(1 (1 i) C(1 i)n Ora possibile definire un regime che preveda che il rimborso del montante avvenga ad istanti di tempo discreti, in qualsiasi istante t 0. La legge di formazione del montante risulta pertanto: M(t) C(1 i)t (1) I(t) M(t) C C(1 i)t C i)t (1) da cui si ricava che: Nel caso particolare in cui t 1, prodotto alla fine del periodo I(1) C(1 i 1) iC. Indichiamo con r(t) (1 i)t il fattore di capitalizzazione composto e quindi: M(t) Cr(t) Per verificare che in tale regime gli interessi producono altri interessi, proviamo ad effettuare una capitalizzazione intermedia degli interessi in un istante s precedente a t. Il montante che otteniamo s M(s) C(1 i)s 13 in quanto il tasso espresso in anni. In particolare abbiamo 4 anni e, se facciamo 0 12 7, che equivalgono a 7 mesi. Se moltiplicamo 0 365 285 giorni. Quindi in conclusione t 4 anni sono 4 anni, 7 mesi e 285 giorni. Determinare il tasso di interesse annuo in base al quale un capitale raddoppia se investito in RIC per t 30 mesi. dobbiamo determinare il tasso annuo, conveniente convertire 30 i 30 mesi in anni, e quindi t 12 2 anni. Il montante il doppio del capitale e quindi M 2C. Applicando la (1), otteniamo che: 2C C(1 i)2 (1 i)2 2 (1 i) e quindi i 0. 1.3 Lo sconto composto Anche in questo caso, analizziamo simmetrica in cui un soggetto dispone di un ammontare M alla scadenza t e vuole realizzare il suo valore attuale C iniziale t 0. Ovviamente M essere considerato come il montante di C e quindi dalla (1) con brevi passaggi otteniamo: Indichiamo con v(t) composto. M M(1 t (1 i) (1) 1 (1 il fattore di attualizzazione t (1 i) Esempio sullo sconto composto. Determinare il valore in t 0 di un capitale M 12 euro disponibile tra 3 anni al tasso annuo i 0 in RIC Tale esercizio essere letto come la determinazione di un capitale C da investire per 3 anni e che produce un montante M 12 euro al tasso annuo i 0 in RIC. Applicando la (1) otteniamo che: C 12 7890 15 1.3 Tassi equivalenti nel RIC Come visto per il RIS, determiniamo i tassi equivalenti nel RIC partendo da un esempio. Consideriamo un capitale C che viene investito per t 1 anno in RIS al tasso di interesse i. Il montante prodotto alla scandenza pari a: M(1) C(1 i) Analogamente, se consideriamo la stessa durata espressa in semestri abbiamo che un anno equivale a t 2 semestri. Il montante alla fine ossia dei due semestri, M(2) C(1 i 1 )2 2 i due montanti devono essere uguali abbiamo che la relazione tra il tasso di interesse annuo i e quello semestrale i 1 : 2 M(1) M(2) C(1 i) C(1 i 1 )2 i (1 i 1 )2 1 2 e quindi similmente: 2 1 i 1 (1 i) 2 1 2 Anche in questo caso, indicando con m1 la frazione per il semestre, bimestre, mensile, (come visto nel RIS), e indicando con i il tasso di interesse annuo. Possiamo generalizzare che i tassi equivalenti nel RIC sono: 1 i 1 (1 i) m m i (1 i 1 )m 1 m (1) Esempi sui Tassi equivalenti nel RIC Calcolare il tasso mensile equivalente al tasso annuale i 0 nel RIC. Applicando la (2) otteniamo che: 1 i 1 (1) 12 1 0 12 Calcolare il tasso annuo equivalente al tasso trimestrale i 1 0 nel 4 RIC. Applicando la (2) otteniamo che: i (1)4 1 0 16 Esempi sul Tasso annuo convertibile m volte 1. Determinare il tasso annuo equivalente al tasso annuo convertibile semestralmente del Il tasso annuo convertibile semestralmente, ossia pagabile m 2 volte si denota con j(2) 0. Applicando la formula (1) si ottiene facilmente il tasso semestrale composto: j(2) i1 0 2 2 Partendo dal tasso semestrale possiamo ottenere il tasso annuo equivalente nel RIC: i (1)2 1 0 2. Calcolare il tasso annuo convertile bimestralmente j(6) equivalente al tasso semestrale i 1 0. 2 Prima di tutto occorre determinare il tasso bimestrale equivalente e quallo semestrale e quindi: 1 i 1 (1) 3 1 0 6 Conoscendo il tasso bimestrale i 1 possiamo ricavare il tasso annuo 6 convertibile bimestralmente j(6) utilizzando la formula (1): j(6) 6i 1 6 0 0 6 1.3 Tasso istantaneo Si definisce tasso istantaneo o tasso annuo convertibile infinite volte e si denota con il seguente limite: lim j(m) ln(1 i) (1) Al tendere di m le rate diventano un flusso uniforme e continuo di capitale durante tutto In particolare, svolgendo il limite definito nella (1) e ponendo h m1 , otteniamo che: lim j(m) lim (1 1 1 m (1 i)h 1 ln(1 i) h lim ax 1 ln(a) un limite notevole. x Quindi possiamo affermare che il tasso istantaneo di interesse ln(1 i) ed costante nel tempo, non dipende dalla durata t. Osservazione 4 Si osservi che lim 18 1.3 Capitalizzazione esponenziale Dalla formula (1), ossia ln(1 i) otteniamo che i 1, ossia la relazione tra tasso annuo nel RIC e il tasso istantaneo di interesse. Dalle formule sulla capitalizzazione composta, ossia: M(t) C(1 i)t possiamo sostituire (1 i) . Quindi il montante nella capitalizzazione composta diventa: M(t) C(1 i)t (1) mentre il valore attuale diventa: C M(1 (1) Esempi sulla Capitalizzazione esponenziale 1. Determinare il montante di un capitale C 3 e dopo 4 anni sapendo che il tasso istantaneo 0 per i primi due anni (da t0 0 a t1 2), 0 per i successivi 8 mesi ( da t1 2 e t2 e 0 fino alla fine (da t2 a t3 4.) Occorre capitalizzare prima di tutto il capitale C per i primi due anni: M(2) 3 3 664 Successivamente il montante M(2) disponibile in t2 viene reivestito per 8 mesi che sono anni (il tasso riferito 4 049 Infine il montante disponibile il t2 viene reinvestito fino alla fine, ossia per un anno e quattro mesi, che sono anni con un 0: M(4) 4752 Oppure direttamente abbiamo: M(4) 3 4752 Ancora, in alternativa, si poteva convertire il tasso istantaneo in tasso annuale i 1, per cui i1 e0 i2 e0 19 i3 e0 0

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