- Oplysninger
- Spørg Stuwie
4. Værd at vide om lineære ligningssystemer
Advanced Engineering Mathematics 1 (01006)
Danmarks Tekniske Universitet
Anbefalet til dig
Kommentarer
Forhåndsvisning af tekst
Værd at vide om lineære ligningssystemer Lineære ligningssystemer I denne note anvendes fællesbetegnelsen 𝐿 for mængden af reelle tal ℝ og mængden af komplekse tal ℂ. I forbindelse med løsning af et lineært ligningssystem studeres et talsæt 𝒙, som består af 𝑛 reelle eller komplekse talværdier. Talsættet kaldes også en vektor, og der anvendes 2 forskellige ækvivalente notationer for denne: 𝑥1 𝑥2 (1) 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) eller 𝒙 = [ : ] 𝑥𝑛 Vektoren kaldes en søjlevektor, hvis den anden notation anvendes. Hvis alle talværdier antages at være reelle tal, så siges vektoren at være en reel vektor tilhørende talrummet ℝ𝑛 (𝒙 ∈ ℝ𝑛 ). Hvis alle talværdier kan være vilkårlige komplekse tal, så betegnes vektoren en kompleks vektor tilhørende talrummet ℂ𝑛 (𝒙 ∈ ℂ𝑛 ). Generelt skrives 𝒙 ∈ 𝐿𝑛 . En vektor 𝒐 hvor alle talværdier er nul kaldes en nulvektor. Enhver anden vektor kaldes en egentlig vektor. Hvis der er givet 2 vektorer 𝒖 ∈ 𝐿𝑛 og 𝒗 ∈ 𝐿𝑛 samt 2 tal 𝑠 ∈ 𝐿 og 𝑡 ∈ 𝐿, så kan vektorsummen 𝒖 + 𝒗, vektordifferensen 𝒖 − 𝒗 og produktet 𝑘 ∙ 𝒗 bestemmes ved: 𝑢1 𝑣1 𝑢1 + 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢 +𝑣 𝒖 + 𝒗 = [ : ] + [ : ] = [ 2 : 2] 𝑢𝑛 𝑣𝑛 𝑢𝑛 + 𝑣𝑛 𝑢1 𝑣1 𝑢1 − 𝑣1 𝑢2 𝑣2 𝑢2 − 𝑣2 𝒖−𝒗=[ : ]−[ : ]=[ ] : 𝑢𝑛 𝑣𝑛 𝑢𝑛 − 𝑣𝑛 𝑣1 𝑡 ∙ 𝑣1 𝑣2 𝑡 ∙ 𝑣2 𝑡∙𝒗 =𝑡∙[ : ]=[ : ] 𝑣𝑛 𝑡 ∙ 𝑣𝑛 Side 1 Værd at vide om lineære ligningssystemer Vektoren 𝑠 ∙ 𝒖 + 𝑡 ∙ 𝒗, hvor 𝑠 og 𝑡 er vilkårlige tal, betegnes en linearkombination af vektorerne 𝒖 og 𝒗. Man kan på en tilsvarende måde definere en linearkombination af flere vektorer. 1. Definition af et lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem bestående af 𝑚 ligninger med 𝑛 ubekendte kan skrives på formen: 𝑎11 ∙ 𝑥1 + 𝑎12 ∙ 𝑥2 + . . . +𝑎1𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏1 𝑎21 ∙ 𝑥1 + 𝑎22 ∙ 𝑥2 + . . . +𝑎2𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏2 : 𝑎𝑚1 ∙ 𝑥1 + 𝑎𝑚2 ∙ 𝑥2 + . . . +𝑎𝑚𝑛 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚 (2) Hvis alle koefficienterne på højresiden af lighedstegnene er 0, så kaldes ligningssystemet et homogent lineært ligningssystem. Hvis dette ikke gælder, så kaldes ligningssystemet et inhomogent lineært ligningssystem. Et talsæt 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 ) er en løsning (eller en partikulær løsning) til (2) netop, hvis det tilfredsstiller alle ligningerne i ligningssystemet. Mængden af samtlige talsæt, der tilfredsstiller (2), betegnes den fuldstændige løsning eller blot løsningsmængden til ligningssystemet. Hvis der ikke eksisterer noget talsæt, der tilfredsstiller (2), så siges løsningsmængden at være tom. Bemærk at dette ikke er muligt for et homogent ligningssystem, idet talsættet (0,0, . . . ,0) altid vil være en løsning. Ligningssystemet (2) kan skrives på en matrixform, hvor kun koefficienterne i ligningssystemet opskrives. Ligningssystemets Totalmatrix 𝑻 kan skrives som: 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 𝑻=[ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎1𝑛 𝑏1 𝑎2𝑛 𝑏2 ⋮ | ⋮ ] 𝑎𝑚𝑛 𝑏𝑚 ⋯ ⋱ ⋯ (3) Ligningssystemets koefficientmatrix 𝑨 og højreside 𝒃 kan skrives som: 𝑎11 𝑎21 𝑎12 𝑎22 𝑨=[ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎1𝑛 𝑎2𝑛 ⋱ ⋮ ] ⋯ 𝑎𝑚𝑛 ⋯ (4) Side 2 Værd at vide om lineære ligningssystemer Hvis det ikke er muligt, så fortsættes søjlevis indtil man i en søjle opnår et ettal i 1. række og 0-er i alle øvrige elementer. Man har nu opnået en søjle med et såkaldt ledende ettal. Hvis der fremkommer en række med udelukkende 0er, så flyttes den via en rækkeombytning nederst i matricen. 2. Man fortsætter søjlevis indtil man i en søjle med anvendelse af de 3 typer af rækkeoperationer opnår et ettal i 2. række og 0 i alle øvrige elementer. Igen skal en række med udelukkende 0-er flyttes ned i bunden af matricen. 3. Man fortsætter denne procedure indtil man har reduceret alle søjler i matricen, idet eventuelle rækker med udelukkende 0-er flyttes ned i bunden af matricen. Når alle søjler er reduceret, så er ligningssystemet fuldstændigt reduceret, og den tilhørende matrix kaldes totalmatricens trappeform Trap(𝑻). Matricens trappeform er entydig bestemt. Det kan tænkes, at man med anvendelser af rækkeoperationer i en anden rækkefølge end den GaussJordan-eliminationen foreskriver hurtigere kan reducere ligningssystemet, så løsningsmængden kan bestemmes. Endvidere vil man nogle gange kunne se, at der ingen løsninger er til ligningssystemet, inden dette er fuldstændigt reduceret. Det er da naturligvis unødvendigt at fortsætte med at reducere ligningssystemet. 3. Løsningsmængden til et lineært ligningssystem 3 Rangen af en matrix Til enhver matrix 𝑨 knytter der sig et ikke-negativt helt tal 𝜌(𝑨) betegnet rangen af matricen. Dette tal ændres ikke, når der laves rækkeoperationer på matricen. Matricen 𝑨 har således samme rang som matricens trappeform Trap(𝑨). 𝜌(𝑨) defineres som antallet af ledende ettaller i Trap(𝑨). Alternativt kan 𝜌(𝑨) defineres som antallet af ikke rene nulrækker i Trap(𝑨). Rangen af en matrix 𝑨 vil altid højst være lig med antallet af rækker og højst være lig med antallet af søjler i matricen. Side 4 Værd at vide om lineære ligningssystemer 3 De 3 løsningstilfælde Ud fra rangen af koefficientmatricen 𝜌(𝑨) og rangen af totalmatricen 𝜌(𝑻) samt antallet af ubekendte i ligningssystemet 𝑛 er der 3 mulige løsningstilfælde: 1. 𝜌(𝑻) > 𝜌(𝑨): der er ingen løsninger til ligningssystemet 2. 𝜌(𝑻) = 𝜌(𝑨) = 𝑛: der er netop én løsning til ligningssystemet 3. 𝜌(𝑻) = 𝜌(𝑨) = 𝑘 < 𝑛: der er uendelig mange løsninger til ligningssystemet, idet løsningsmængden kan opskrives med 𝑛 − 𝑘 frie parametre I løsningstilfælde 1 vil én af ligningerne svarende til matricens trappeform Trap(𝑻) være en inkonsistent ligning (0 = 1). I løsningstilfælde 2 kan man direkte af matricens trappeform Trap(𝑻) aflæse løsningen til ligningssystemet 𝒙 = 𝒙0 . I løsningstilfælde 3 kan løsningsmængden opskrives af matricens trappeform Trap(𝑻) ved, at de 𝑛 − 𝑘 ubekendte, hvor der ikke er et ledende ettal, omdøbes til parameternavnene 𝑡1 , 𝑡2 , . . . , 𝑡𝑛−𝑘 . Herefter kan hver af de 𝑘 ubekendte, hvor der er et ledende ettal, isoleres i de reducerede ligninger, svarende til matricens trappeform. Løsningsmængden kan herefter opskrives på en standard parameterform som en partikulær løsning plus en vilkårlig linearkombination af 𝑛 − 𝑘 vektorer: 𝒙 = 𝒙0 + 𝑡1 𝒗1 + 𝑡2 𝒗2 + ⋯ + 𝑡𝑛−𝑘 𝒗𝑛−𝑘 (7) Hvis der er tale om et homogent ligningssystem, så kan den partikulære løsning vælges som nulvektoren 𝒐. Løsningsmængden kan da beskrives som en vilkårlig linearkombination af 𝑛 − 𝑘 vektorer. 3 Løsningsstrukturen Homogent lineært ligningssystem: For ethvert homogent lineært ligningssystem vil løsningsmængden enten bestå af én løsning nemlig nulløsningen 𝐿𝐻𝑂𝑀 = {𝒙 = 𝒐} eller bestå af uendelig mange løsninger, som kan skrives som en vilkårlig linearkombination af et antal vektorer 𝐿𝐻𝑂𝑀 = {𝒙 = 𝑡1 𝒗1 + 𝑡2 𝒗2 + ⋯ + 𝑡𝑛−𝑘 𝒗𝑛−𝑘 }. I konsekvens af dette vil summen af 2 løsninger også være en løsning til samme homogene ligningssystem, og en vilkårlig konstant gange med en løsning vil ligeledes være en løsning til samme homogene ligningssystem: Side 5 Værd at vide om lineære ligningssystemer 3. Der er uendelig mange løsninger med én fri parameter til ligningssystemet svarende til, at planerne har en fælles linje (planerne er roteret om en akse). Denne linje har parameterfremstillingen: 𝒙 = 𝒙0 + 𝑡 ∙ 𝒗, 𝑡𝜖ℝ 4. Der er uendelig mange løsninger med 2 frie parametre til ligningssystemet svarende til, at planerne har en fælles plan (planerne ligger oven i hinanden). Denne plan har parameterfremstillingen: 𝒙 = 𝒙0 + 𝑡1 ∙ 𝒗1 + 𝑡2 ∙ 𝒗2 , (𝑡1 , 𝑡2 )𝜖ℝ2 Side 7
4. Værd at vide om lineære ligningssystemer
Kursus: Advanced Engineering Mathematics 1 (01006)
Universitet: Danmarks Tekniske Universitet
- Opdag mere fra:
