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Kurs

Einführung in die Vektor- und Tensorrechnung (260034)

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Universität

Universität Wien

Akademisches Jahr: 2020/2021

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Universität Wien

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Text Vorschau

Einführung in die

Vektor-

und Tensorrechnung I

####### nach der Vorlesung von

####### Prof. Paul Wagner

####### lnstirut ftir

####### Experimentalphysik

####### Universität Wien

Inhaltsverzeichnrs

Einfühu]ls

Der efil1e Vektorraum

2 Summe

von Vek'

2 Produkt eines Vektors mit einem Skala

EUKLIDscher Vektorraum

3 Skalars Produkuweier Vektoren...

Realisierungen

Volumen und Winkel

4 Eimchub: Dererminanten

4 Volum€n und Winkel ........ ..

5 Vektorbasen ünd VektorkompoEent€n 11

6 Ko- und kontraa?riante VektorbaseD lz

7 Tfänsformationsv$halten 2l

8 Tensoren 25

9 Tensoralsebra 27

10 Pseudotensoren 33

11 /ektolie|le Produkt zT

12 Tensorfelder, Fluß und ZirkülatioD 4a

Wegitrtegal ........

r2. Oberflä.henintesra ..._....... 42

Volumsintegra ......

13 Vektoranalysis 43

5 5 5 7 7 8

Einführung

Skalare: M*se, Temperatur,

Dichte,...

Vektoren: Ge€chwindigkeit,

Beschleunigune,

(raft,

...

Pseudovektoren: Drehimpük ü. ä. mit Schraubenregel

Tensodelle Größen

sind vom Bezugssystem unabhängig, es kann 6ich dabei um Ska.

la, Vektoren oder Tensoren höherer Ordnung handeln.

Ein Naiurgesetz st€llt eine Beziehung zwischen

tensoriellen Größen her und ist somit

ebealalls vom Bezugssyst"m unabhangig, z. B.: ?i

= nö Da

rensorielle Größen vom

B€zugssystem unabhängig sind, ist illl Tlansformationsverhätten entscheidend.

Bemerkung

Unter

dem Symbol

y't

soll im loleenden Text sieis die positive Wurzel verstanden

IT AP 1T E L 1. EINFÜHRUTYG

KAPITEL 2. DER AFFINE VEI{TORRATJM

Kapitel

3

EUKLIDscher

Vektorraum

3 Skalares Produkt

zweier Vektoren

Abbildung 3: Skalares Produkt

ä.b

= oA. oB,

oB,oF=oa,oa

d,.D-ata

).triat=t).;i+ta

(3 1)

o=u,0DeueDlg? o=u

EIrKLIDscher vekiorraum

{4 Ä

.. .lRechenreseln 2, 2 und 3 erkläri}

3 Realisierungen

Vektoren der AEschauuns (serader Strich

mit Pfeilspitze)

Tiipel rceller Zallen

= (at

a,,

a3)

= (h, b,, b3)

ä +

= (at

bLa +

b2,q + 6)

o-- (.\d1,.\a',.\d3)

= (0,0,0)

(-{)

= (-or,

-oz, -as)

ä ö

= (drö +

a,ö! +

dBü3)

Kapitel 4

Volumen und Winkel

4 Einschub: Determinanten

Eine Matix ist ein rechteckiges Zahlenschema.

Eeispiel 1 ( x

3-Matrix)

3 \

####### I

####### z z rr

####### s

####### I

-6l

Im folgenden sind nur

quadratische Matrizen vor Interesse.

Beispier 2 ( x

2-Matrix)

a"'t.'r1.=1" iJ="a-0"

vs ,/

Merk6atz 4.

(Regel von sanusr)

Diese Regel, um die DetermiDant€ zu berechnen, läßi sich nur bei 3 x 3-Matizer

I a,, a," a,. \a'. a,"

,-. | ---'-,--X.'X ,./--

u2t,,/urr;I%>['2r-\q22 = drrd?zd3J +

at2o23a

oßox d32-

)/ßu z/o3, ,,,4$<s3r<,32,

or3o?2o3r

4tro23s

at2az\a

l immer 1,2,3.

r1r

/ \

l€s immer 1,2,3.

/1\

/ \

Ftu die DeterminaDten

größerer Matnzen siehe Merksatz 4 auf der nächsren Seite.

Merksatz 4.

Man kann die Regel von Sarrus aüch mit Hitfe der Pemutationen des Zahtenrripels

(1,2,3) formuliereü.

rl:2

{2. ilel I

1z.l

(3 /

(3,2J

rr,f2r

_?J'.....24.--

Ausgegs ungeFde gerade ung€rade

sefade

üngerade

üipct Permu|ation Pehuialion Pe Permuration Pelnurarion

Llndizes immer 1,2,3.

2: gerade Permutatjon der l

l immer 1,2,3.

2-Indizes: üngerade Permutation der l

Merksatz 4.

Berechnung der Determinante einer n x n Mairix :

/"'''"

''"\

d2r a2? o2n I

d"r

I l=L,,"",".."",

Ia,"o,/,.."

, , ".n

Lo.

d, ,, /

1nd

Qnt o12 aT

-;:

s".;".

a*,,ej,.c".

rc. (1,r,...,ß) Kn (r,,, . ,n)

4 Volumen und Winkel

DeffDition 4.

Volumen eines Parallelotops? aufgespannt von

är,.. ., ä".

y(e)

vloer(ai.

dJll

Beispiel 3

KAPI'TDL 4. VOLUMEN UND WINKEL

VekioreD o- und 6' eingeschlossenen Winkel tegt man folsender-

a! ot o! a at \

Io,a\o,a,a,a3|

a\ a3 02 a3qJ

Der Ausdruck det(ä;

)

nimmt für drei Vektoren ä, i, c- bzw. d-r, är, ä folsende

Gestalt an:

d d

Definition 4.

Den zwischer den

ma8en {est:

;.i

cos(4d, J

--:.E-

/@t

h"l

Beispiel 4

Setzt man in die Gleichung des Volumens aus Deliniiion 4. mit

p = 1 ei4, so eält

Auf diese Weise deffnie man die LänBe eines Vektors.

Deffnition 4.

läl

:= t4t

3Überh;

im 2-dinensionalcn RäM: PTall€toAtum; im 3-dihensionat€n Fäu6:

paauel,

l I{APITEL 4. VOLUMEN UND WINKEL

Kapitel 5

Vektorbasen und

Vektorkomponenten

vektoren 4,...,

ä" sind linear abhänsie, wenn es (4r,...,d")

(0,...,0) eibt,

sodaß arär + +

a";'"

= 0

eilt.

Andernfalls heißen

die Vektoren

a-r,...

dn lineor

Beispiel

6 (Drei Vektoren in einer Dbene)

Abbildune 5: Drei Vekloren in €iner Ebene

a1ü +

d2az + adt t

azdz

dz=d

D. die VekioreD

sitrd linear abhängig.

Beispiel 7

(Drei vektoren im Raum)

Abbildune 5: Drei Vektoreu im Raum

dr, a-r, ög sind linear

unabh:ingig, da

alle Kombinatiotren

von a-1 und ä2 in

der von

d1 und d2 aufsespannteD Ebeoe liesen.

kann nicht als Kombination

von al

und dz dargestellt

werden.

Definition

i' it

=, gi

c;l.

Metrikkoeffizient

tr,

.v,, :tt"

(tt)

tr szt

tz.

!i31 932

ca\

kr)...

Matrix

der Metdkkoefizicnten

Das Skalap kann

somit auf folsende Art

geschrieben werden:

= "iF

= aitl

slj.

LäDge

eines Vekiors:

ldl

= ld?

ls,i"'a

Winkel zwischen zwei Vekloren:

co4ta,6)

Länge €ines Basisvektors:

lqi

=Vh

h=/9ü

Volümen d€s Parallelotops aufgespannt

von dea Basisvektoren:

vr"r

i/ll"tO-,.r;l

Definition

det(s;1)

=:e

Dd Volümen

des Parallelotops, aufgespannt von den Basisvektoren, ergibt sich

Die

physikalisch€ Komponente

ist die taisächliche

Länge einer Komponente.

,,,lIrÄ=,,',

BNisvektoE

d-'... physikalische Komponenie (koniravaiant.)

======;---"==-

ldei(erj )l

14 KAPITEL 5, VEKTORBASEN UND VEI{TORKOMPONENT'N

Beispiel e ( zY{eidimensional)

Wtu nehmen folgende Basisvektoren als gegeben an:

lirl

= 2,

lirl

= 3, ti|,

= ßDo

'ir=a

'iz=s

it. i,

ldrlle-,lG(60")

= 2. 3.

= 3

e./

Wir nehmen weiiers zwei Vektoren o- und i'au:

(d,)= (4;2)

(6,) = (-1;2)

a=4ir+2i,

d i=siraiu= 4 |.l)-3.4 9.:-tt+g.2 .-16+24-c

t,96=

l(i

otbt

-o'?bz - -4+4=

tr fätsch, da d;e verw tormel nur tür

orthonormierte Basen

eilt.)

G-i)

= (arvlE;) = (drls-,D = (8;6)

(ö-,) - (örvlt;l) = (0,1e-,

(_2;6)

Deffnition 5 (Odhorcrmierte Basis)

Die Bdisvektorcn einer o*honormierten Basis (Ca Koordinatensystem)

haben alle die L?inBe Eins und steheD

paa seDkrecht adeinander.

16 KAPITEL S, YüK"ORB"{SEN

UND Y',K?ORI{O,,IPONEN?Er\r

O honormierte Basis

o o

ija-

diia'&
2.( 1)+2.(,1)+1.

Physikalische KoDponeDienl

SchiefwinkeligeBalis

OrthonormierieBasis

ta't t

= ro:,/i: rtt rc 1212 I

= 1o,,

lb-it. t0:-!,./t aJ3,

i-')

t t: 1\

,t,i)

Kapitel 6

I{ovariante und

kontravariante Vektorbasen

und Komponenten

Geseben sei eine kovariani,e Veklorbasis ,-i.

Wir

wollen diese koväiante in eine

kontravarianie Vektorbasis überführen:

Dabei wird folgender Zusammenhang festgelegi:

i' ij

= 6'j

G"omrrf ische verdns"Lung der D"nni, ior:

9-" ,/ d"

k:.':::

v-" r-'

Y! o-3 senk auf;, und d-'

9 92=u )

Man führt folgende Bezeichnungen einl

s,,,= ci. d;..

l,ovarian':

r'ld ,ij<Iopm"i"it.

g't =

i' ir

.. .. .... koni,ravariänre Merrikko^fllzient"n

sr,

9-.

. = Or... gemischte Metrikkoeffizienten

Zusammenhars zwischen ko ünd kontravarianten Vektorbasenl

Es besteht ein linea Zusammetrhang-

= A|1g-t+ A12iz +

A13iz

: A21,!'r + A22i +

A23i

= A s'r

A3r i
A33 o'

= Ati

s-j I

c'k

trn

= ,t;:

n't

9,k

= Aij6k

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