Freie Universität Berlin

Sei Gn = (Vn,En) für n ≥ 2 ein ungerichteter Graph mit Vn = {0, 1}n bei dem je zwei Knoten u und v mit einer Kante verbunden sind, wenn sich u und v an mindestens einer der letzten beiden Stellen unterscheiden. (i) Zeichnen Sie G2. (ii) Zeigen Sie, dass ein allgemeiner Graph Gn für n ≥ 2 zusammenhängend ist

Zeigen Sie, dass ein allgemeiner Graph Gn für n ≥ 2 zusammenhängend ist.

Alle Wahrscheinlichkeiten sollen als vollständig gekürzte Brüche angegeben werden. (a) Ein fairer Würfel w1 mit den Werten 1, . . . , 6 und ein fairer Würfel w2 mit den Werten 1, . . . , 5 werden gleichzeitig geworfen. (i) Geben Sie den passenden Wahrscheinlichkeitsraum an. (ii) Betrachten Sie die folgenden Ereignisse: A1 w1 zeigt einen Wert größer oder gleich 4 A2 w1 zeigt einen Wert größer oder gleich 3 B Die Summe der beiden Augen ist gerade Sind A1 und B unabhängig? Sind A2 und B unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort. (iii) Geben Sie Pr(B | A1) und Pr(A2 | B) an. Hier sind A1, A2 und B die Eregnisse aus (ii). Eine Begründung ist nicht notwendig. (b) Eine Losbude auf dem Rummel wirbt mit Ein Gewinn in jedem vierten Los. Ein Los kostet 1,50 Euro und der Gewinn ist immer 5 Euro wert. Wie hoch ist der erwartete Reingewinn für die spielende Person, wenn 6 Lose gekauft werden? Begründen Sie Ihre Antwo

Anh, Bob, Can, Denise und Eva sitzen abends zusammen, unterhalten sich und teilen sich Süßigkeiten. (a) Von einem vorherigen Abend finden sich noch genau 5 verschiedene Gummibärchen. Wie viele Möglichkeiten gibt es diese auf die Personen zu verteilen, wenn jeder genau ein Gummibärchen bekommt? (b) Es sind 20 (nicht unterscheidbare) Kekse übrig. Wie viele Möglichkeiten gibt es diese zu verteilen, wenn alle mindestens einen Keks haben wollen? (c) Es sind noch 8 verschiedene Pralinen übrig. Wie viele Möglichkeiten gibt es diese auf Bob und Eva zu verteilen, wenn Bob 3 Pralinen und Eva die restlichen Pralinen haben möchte? Die Reihenfolge, in der Bob und Eva die Pralinen bekommen, ist hierbei nicht relevant. (d) Es sind noch 2 Schokoküsse aus Vollmilch übrig und je 5 Schokoküsse aus dunkler und aus heller Schokolade. Alle Anwesenden nehmen sich genau einen Schokokuss und danach sind keine Vollmilchschokoküsse mehr übrig. Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es

Sei f : A → B eine Funktion und seien A1, A2 Teilmengen von A. Zeigen Sie, dass f (A1 ∪ A2) = f (A1) ∪ f (A2) gilt.

Geben Sie den Syntaxbaum zum folgenden Term an. Geben Sie dann den Term ohne überflüssige Klammern an. Eine Begründung ist in dieser Aufgabe nicht notwendig. (x1 ∧ ¬(x2)) ∨ ((x2 ∧ x3) ∧ (x1 ∨ x2))