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Mathématique : Fonctions au service du marketing et économique
Mathématiques
Université Paris II Panthéon-Assas
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Mathématiques et statistiques appliquées
IUT Nice Côte d’Azur, département TC-Cannes Année universitaire 2020-
Alain Olivetti
Contact : alain@univ-cotedazur
- Ce document est constitué de notes de cours. Cela ne dispense pas d’un suivi assidu du cours en amphi car certains thèmes n’y sont pas complétement développés.
- Des fautes de frappes ou autres erreurs peuvent s’y être glissées. Il est de votre responsabilité de les repérer et d’en tenir compte.
A. Fonctions au service du marketing et de l'économie
I. Relations mathématiques entre variables
L’analyse économique ne se contente pas d’observer des variables, elle cherche à déterminer les rela- tions qui peuvent exister entre celles-ci.
I. Les équations
I.1 Les bases
Définition Une équation est une relation traduisant l’égalité entre une ou plusieurs variables et (ou) des nombres.
✎ Le revenu𝑅des individus d’un pays est affecté à deux usages : la consommation𝐶
et l’épargne𝐸. On a donc𝑅 = 𝐶 + 𝐸.
✎ Les ressources d’un pays sont sa production (𝑃) et ses exportations (𝑀). Ces res-
sources sont employées sous forme de consommation (𝐶), d’investissement (𝐼), de dé- penses publiques (𝐺) et d’importations (𝑋). L’équilibre entre les ressources et les emplois de celle-ci se traduit par : 𝑃 + 𝑀 = 𝐶 + 𝐼 + 𝐺 + 𝑋
Parfois on dit que : lorsqu’on passe un élément d’un côté à l’autre du signe “ = ”, il faut changer de signe. Il s’agit en réalité d’une utilisation des deux règles précédentes.
Remarque
✎ L’équilibre entre le revenu𝑅, la consommation𝐶et l’épargne𝐸s’écrit𝑅 = 𝐶 + 𝐸.
Si on soustrait de chaque côté la consommation, on obtient :
𝑅 = 𝐶 + 𝐸 𝑅 − 𝐶 = 𝐶 + 𝐸 − 𝐶 𝑅 − 𝐶 = 𝐸
Respecter les règles de priorités : parenthèses puis multiplications/divisions puis additions/soustractions.
Remarque Il est possible de “combiner” des équations!
✎ Si on a les deux équations suivantes :
{
𝑅 1 = 𝐶 1 + 𝐸 1
𝑅 2 = 𝐶 2 + 𝐸 2
Alors l’égalité suivante est aussi vraie :𝑅 1 + 𝑅 2 = 𝐶 1 + 𝐸 1 + 𝐶 2 + 𝐸 2.
I.1 Systèmes d'équations
Définition
On appelle système d’équations un ensemble d’équations qui doivent être toutes vraies simultanément.
✎ Considérons que l’offre d’un bien𝑄𝑜vendu au prix𝑃satisfasse l’équation :
𝑄𝑜= 2 × 𝑃 + 30
Si le prix augmente, le vendeur augmente sa production. À l’inverse, si le prix est nul alors la production est minimal afin de constituer un stock. D’autre part, on considère que la demande𝑄𝑑vérifie :
𝑄𝑑= −3 × 𝑃 + 80
La demande diminue quand le prix augmente et lorsque le produit est gratuit, la demande est maximale. Si on souhaite qu’il y ait équilibre sur ce marché, il faut que𝑄𝑜= 𝑄𝑑. Cet objectif permet au vendeur de savoir quelle quantité il doit produire. Pour ça, il faut résoudre le système :
{
𝑄 = 2 × 𝑃 + 30
𝑄 = −3 × 𝑃 + 80
I.2 Usage en économie
✎ Reprenons les équations d’offre et de demande précédente :
{
𝑄𝑜= 2 × 𝑃 + 30
𝑄𝑑= −3 × 𝑃 + 80
Si on souhaite que la quantité offerte soit toujours supérieur à la demande il faut que 𝑄𝑜> 𝑄𝑑, autrement dit que :
2 × 𝑃 + 30 > −3 × 𝑃 + 80
Pour connaître les prix𝑃qui satisfont cette condition, il faut résoudre l’inéquation pré- cédente.
✎ Admettons que la consommation𝐶d’un individu soit composée d’une consomma-
tion incompressible de 1500€ et d’une consommation representant 80% de son revenu𝑅. On écrira :𝐶 = 1500 + 0, 8 × 𝑅. Se poser la question de savoir pour quel niveau de revenu l’individu ne consomme pas tout son revenu revient à chercher𝑅tel que𝐶 < 𝑅. Autrement dit, cela revient à résoudre l’inéquation :
1500 + 0, 8 × 𝑅 < 𝑅
I. Les fonctions
Définition
Une fonction est une formulation mathématique qui traduit une relation entre au moins deux variables.
✎ On peut dire que la quantité demandée d’un bien dépend de son prix, qu’elle est
fonction de son prix. On écrira donc :
𝑄𝑑= 𝑓 (𝑃)
, ou encore𝑄𝑑(𝑃) = 𝑓 (𝑃).
✎ Si on considère un modèle plus complet, on peut écrire que la quantité demandée
d’un bien dépend de son prix mais aussi de la taille de la population𝑁. Dans ce cas :
𝑄𝑑= 𝑓 (𝑃, 𝑁)
, ou encore𝑄𝑑(𝑃, 𝑁) = 𝑓 (𝑃, 𝑁).
✎ Considérons que la quantité demandée d’un bien (𝑄𝑑) et son prix (𝑃) sont relié par
la relation : 𝑄𝑑= 𝑓 (𝑃) = −3 × 𝑃 + 80
Nous pouvons montrer que𝑓est inversible et déterminer𝑃en fonction de𝑄𝑑:
𝑄𝑑= −3 × 𝑃 + 80 ⇔ 𝑄𝑑− 80 = −3 × 𝑃 + 80 − 80 ⇔ 𝑄𝑑− 80 = −3 × 𝑃 ⇔
𝑄𝑑− 80
−
=
−3 × 𝑃
−
⇔
80
3
−
𝑄𝑑
3
= 𝑃 = 𝑓−1(𝑄𝑑)
Les fonctions𝑓et𝑓−1sont définies par :
𝑓 (𝑋) = −3𝑋 + 80 et 𝑓−1(𝑋) =
80
3
−
𝑋
3
Nous pouvons vérifier que𝑓 (𝑓−1(𝑋)) = 𝑋:
𝑓 (𝑓−1(𝑋)) = −3 × (
80
3
−
𝑋
3
) + 80 = −80 + 𝑋 + 80 = 𝑋
I.3 Fonctions croissantes, décroissantes
Définition
Considérons deux quantités reliées par une fonction. La fonction est :
croissante si lorsque une quantité augmente l’autre augmente aussi;
décroissante si lorsque une quantité augmente l’autre diminue.
La définition précédente revient à écrire que si𝐴 ≤ 𝐵alors si :
𝑓 (𝐴) ≤ 𝑓 (𝐵)la fonction𝑓est croissante;
𝑓 (𝐴) ≥ 𝑓 (𝐵)la fonction𝑓est décroissante.
Remarque
✎ Reprenons l’équation reliant l’offre et le prix d’un bien :
𝑄𝑜= 𝑔(𝑃) = 2 × 𝑃 + 30
La fonction𝑔est croissante : quand le prix augmente, l’offre augmente. En effet, si on considère deux prix𝑃 1 et𝑃 2 tel que :𝑃 1 ≤ 𝑃 2 alors :
𝑃 1 ≤ 𝑃 2 ⇔ 2𝑃 1 ≤ 2𝑃 2 ⇔ 2𝑃 1 + 30 ≤ 2𝑃 2 + 30 ⇔ 𝑄𝑜1= 𝑔(𝑃 1 ) ≤ 𝑔(𝑃 2 ) = 𝑄𝑜
II. Méthodes de résolutions d'équations, inéquations
II. Résolution algébrique
II.1 Équation
Définition
Résoudre une équation, c’est déterminer toutes les valeurs de la variable qui rendent l’égalité vraie.
✎ Résoudre𝑄𝑑= −3 × 𝑃 + 80si on souhaite que𝑄𝑑= 20:
20 = −3 × 𝑃 + 80 ⟺ 20 − 80 = −3 × 𝑃 + 80 − 80
⟺ −60 = −3 × 𝑃
⟺
−
−
=
−3 × 𝑃
−
⟺ 20 = 𝑃
La quantité demandée𝑄𝑑sera de 20 à condition de fixer un prix𝑃de 20€.
Méthode : formes usuelles d'équations à savoir résoudre
Premier degré :𝑎𝑋 + 𝑏 = 0: ⇒ propriétés de bases de calcul des équations pour isoler d’un seule côté la variable.
Produit nul :(𝑎𝑋 + 𝑏) × (𝑐𝑋 + 𝑑) = 0: ⇒ règle : “un produit est nul si et seulement si au moins un des termes est nul”.
Quotient :𝑎𝑋+𝑏𝑐𝑋+𝑑= 0: ⇒ règle : “un quotient (bien défini) est nul si et seulement si son numérateur est nul”.
Second degré :𝑎𝑋 2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 = 0: ⇒ on calcul le discriminant Δ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐_._
siΔ < 0il n’y a pas de solution.
siΔ ≥ 0les solutions sont :𝑋 =
−𝑏 −√Δ
2𝑎
et𝑋 =
−𝑏 +√Δ
2𝑎
.
Dans ce cas :𝑎𝑋 2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 = 𝑎⎛⎜⎜ ⎝
𝑋 −
−𝑏 −√Δ
2𝑎
⎞⎟⎟
⎠
⎛⎜⎜
⎝
𝑋 −
−𝑏 +√Δ
2𝑎
⎞⎟⎟
⎠
.
Remarque Le “sommet” d’une équation du second degré est atteint en𝑋 = −𝑏/2𝑎.
Propriété
Soit𝑓une fonction et𝑋,𝑌 ∈ 𝒟𝑓, alors :
𝑋 = 𝑌 ⟹ 𝑓 (𝑋) = 𝑓 (𝑌)
Cette propriété est principalement utilisée quand la fonction𝑓est inver- sible car dans ce cas nous avons :
𝑋 = 𝑌 ⟺ 𝑓 (𝑋) = 𝑓 (𝑌)
Remarque
✎ Résoudre√𝑋 + 3 = 5:
On applique la fonction carré aux deux membres de l’égalité :
√𝑋 + 3 = 5 ⟺ (√𝑋 + 3)
2 = 5 2 ⟺ 𝑋 + 3 = 25 ⟺ 𝑋 = 22
✎ Résoudretan(𝑋) = 2:
On utilise la fonction réciproque de la fonctiontannotéetan−1ouarctan. La solution est𝑋 = tan−1(2) = arctan(2) ≃ 1, 1071487177940904.
II.1 Inéquation
Définition
Résoudre une inéquation, c’est déterminer toutes les valeurs qui rendent l’inégalité vraie.
Méthode : cas ``simple''
On résout directement l’inéquation en utilisant les propriétés de calcul des inéquations.
✎ Quels sont les prix pour lesquels l’offre soit supérieur à la demande sachant que :
{
𝑄𝑜= 2 × 𝑃 + 30
𝑄𝑑= −3 × 𝑃 + 80
Cela correspond à satisfaire l’inégalité𝑄𝑜> 𝑄𝑑, soit :
2 × 𝑃 + 30 > −3 × 𝑃 + 80 ⟺ 5 × 𝑃 > 50 ⟺ 𝑃 > 10
Propriété : règle des signes
Un produit ou un quotient (bien défini) de deux termes est positif si et seulement si les deux termes sont de mêmes signes. Cette propriété permet de dresser des tableaux de signes.
✎ Le coût de production d’un bien𝐶est relié à la quantité produite𝑃par la relation :
𝐶 = 𝑃 2 − 200 × 𝑃 + 11000. Des problèmes de trésorerie oblige l’entreprise à avoir des coût de production inférieur ou égale à 11 000€. Quelle quantité peut-elle produire? On est amené à résoudre :𝐶 = 𝑃 2 − 200 × 𝑃 + 11000 ≤ 11000:
𝑃 2 − 200 × 𝑃 + 11000 ≤ 11000 ⟺ 𝑃 2 − 200 × 𝑃 ≤ 0 ⟺ (𝑃 − 200) × 𝑃 ≤ 0
Tableau des signes
𝑃
𝑃 − 200
𝑃
(𝑃 − 200) × 𝑃
−∞ 0 200 +∞
− − 0 +
− 0 + +
+ 0 − 0 +
La production est comprise entre 0 et 200 unités.
Propriété
Soit𝑓une fonction et𝑋,𝑌 ∈ 𝒟𝑓, alors :
si𝑓est croissante alors :𝑥 ≤ 𝑦 ⟺ 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑓 (𝑦)
si𝑓est décroissante alors :𝑥 ≤ 𝑦 ⟺ 𝑓 (𝑥) ≥ 𝑓 (𝑦)
✎ Résoudre√𝑋 + 3 ≥ 5:
On applique la fonction carré qui est croissante aux deux membres de l’égalité :
√𝑋 + 3 ≥ 5 ⟺ (√𝑋 + 3)
2 ≥ 5 2 ⟺ 𝑋 + 3 ≥ 25 ⟺ 𝑋 ≥ 22
Propriété
Soit𝑓une fonction et𝑋,𝑌 ∈ 𝒟𝑓, alors :
si𝑓est strictement croissante alors :𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑓 (𝑥) < 𝑓 (𝑦)
si𝑓est strictement décroissante alors :𝑥 < 𝑦 ⟺ 𝑓 (𝑥) > 𝑓 (𝑦)
Mathématique : Fonctions au service du marketing et économique
Matière: Mathématiques
Université: Université Paris II Panthéon-Assas
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