Information
AI Chat

This is a Premium Document. Some documents on Studocu are Premium. Upgrade to Premium to unlock it.

Λεπτή Υφή - Lecture notes Αll

Λεπτή Υφή

Course

Ατομική και Μοριακή Φυσική (EEC422)

16 Documents

Students shared 16 documents in this course

University

Πανεπιστήμιο Πατρών

Academic year: 2018/2019

Uploaded by:

Anonymous Student

This document has been uploaded by a student, just like you, who decided to remain anonymous.

Πανεπιστήμιο Πατρών

Comments

Please sign in or register to post comments.

Preview text

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος Λεπτή Υφή (Fine Structure) Μέχρι τώρα έχουμε μελετήσει το χοντρικό διάγραμμα των ενεργειακών σταθμών των ατόμων. Όταν ενδιαφερόμαστε για την χοντρική απεικόνιση των ενεργειακών σταθμών, στην χαμιλτονιανή παίρνουμε μόνο τους μεγαλύτερους όρους, δηλαδή την κινητική ενέργεια, την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-πυρήνα και την άπωση ηλεκτρονίου – ηλεκτρονίου. Θα μελετήσουμε και τις ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις στο άτομο που προέρχονται από μαγνητικά φαινόμενα. Θα ασχοληθούμε αρχικά με τα φαινόμενα εκείνα που προκαλούνται από τα εσωτερικά μαγνητικά πεδία. Τα πεδία αυτά είναι υπεύθυνα για την πρόκληση «λεπτής υφής» στα ατομικά φάσματα. Θα ξεκινήσουμε από το υδρογόνο και θα προχωρήσουμε σε άτομα με πολλά ηλεκτρόνια. Στη συνέχεια θα δούμε συνοπτικά τι σημαίνει υπέρλεπτη υφή, που είναι ένα παρόμοιο – μικρότερο σε ένταση - φαινόμενο και οφείλεται στις μαγνητικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων και του πυρήνα. Τροχιακά μαγνητικά δίπολα Οι κβαντικοί αριθμοί Sommerfeld. n και l, εμφανίστηκαν στην παλιά κβαντική θεωρία των Bohr και O κύριος κβαντικός αριθμός n μπήκε στο μοντέλο του Bohr αξιωματικά ( L n ) και αφορούσε την κβάντωση της στροφορμής, ενώ ο τροχιακός κβαντικός αριθμός εισήχθη μερικά χρόνια αργότερα από τον Sommerfeld ως διόρθωση για να δικαιολογήσει τις ελλειπτικές τροχιές. Οι δύο αυτοί κβαντικοί αριθμοί επανεμφανίζονται στην θεωρητική – κβαντική αντιμετώπιση του θέματος του ατόμου του υδρογόνου και στην περίπτωση των ατόμων με πολλά ηλεκτρόνια. Δύο καθοριστικές σχέσεις που προέρχονται από την κβαντομηχανική περιγραφή των ατόμων  [L 2 Yl ,m ( ,  ) l (l  1) 2Yl ,m ( ,  ) ] είναι:  το μέγεθος L της τροχιακής στροφορμής ενός ηλεκτρονίου, το οποίο δίνεται από τη σχέση: L  l (l  1)  [FS1] όπου το l παίρνει τιμές από 0 έως (n-1).  και η συνιστώσα της στροφορμής κατά μήκος του άξονα των z είναι κβαντισμένη σε ακέραια πολλαπλάσια του  και συγκεκριμένα: Lz ml  όπου ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός [FS2] ml μπορεί να πάρει ακέραιες τιμές από – l έως + l. Οι δύο παραπάνω σχέσεις οδηγούν στο διανυσματικό μοντέλο της στροφορμής που ήδη συναντήσαμε. 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος Η τροχιακή κίνηση του ηλεκτρονίου προκαλεί μια μαγνητική ροπή. Πράγματι, θεωρούμε ένα περιφερόμενο ηλεκτρόνιο, σε κυκλική τροχιά Bohr. Η ηλεκτρονική τροχιά ισοδυναμεί με κυκλικό ρεύμα και από τον ηλεκτρομαγνητισμό ξέρουμε ότι τα κυκλικά ρεύματα ισοδυναμούν με μαγνήτες. Έτσι, το ηλεκτρόνιο ισοδυναμεί με ένα μικρό μαγνήτη με μαγνητική διπολική ροπή μ που δίνεται από τη σχέση:  i  r 2  (e / T )  r 2 , [FS3] όπου Τ η περίοδος της κίνησης. Αν αντικαταστήσουμε την περίοδο T  2 r /  , έχουμε: e e e  r 2  me r  L 2 r 2me 2me   [FS4] Η τελευταία σχέση μπορεί να γενικευτεί και για την περίπτωση ηλεκτρονίων σε μη κυκλικές τροχιές. Αν θεωρήσουμε ένα ηλεκτρόνιο με άνυσμα θέσης r σε μια μη κυκλική τροχιά, τότε η μαγνητική διπολική ροπή του είναι:   i d A [FS5] όπου i η τιμή του ρεύματος και d A η επιφάνεια που σαρώθηκε από το διάνυσμα θέσης καθώς κινήθηκε το ηλεκτρόνιο. H επιφάνεια d A σχετίζεται με το μήκος της τροχιάς du με τη σχέση: 1 d A   r du 2   [FS6] έτσι η μαγν. διπολική ροπή γίνεται: 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος e   B 2me όπου  B η μαγνητόνη του Bohr: e B   9, 27 10 24 JT  1 2me   [FS12] [FS13] Μαγνητισμός λόγω spin Στο πείραμα Stern-Gerlach μια δέσμη από άτομα επηρεάζεται διαφορετικά καθώς περνάει μέσα από ένα ανομοιογενές μαγνητικό πεδίο 2. Η δύναμη που δέχεται ένα μαγνητικό δίπολο από το μη-ομογενές πεδίο δίνεται από τη σχέση: dB [FS14] dz όπου dB / dz η βαθμίδα του πεδίου κατά τη διεύθυνση του άξονα των z. Το αρχικό πείραμα Fz   z έγινε με άτομα αργύρου στο άτομο του οποίου η κατανομή των ηλεκτρονίων είναι: [Kr] 4d10 5s1. Οι συμπληρωμένοι φλοιοί δεν έχουν στροφορμή, επειδή υπάρχουν τόσες κατειλημμένες θετικές καταστάσεις φλοιούς s ml όσες και αρνητικές. Ακόμη, τα ηλεκτρόνια στους έχουν l 0 , έτσι τελικά: L 0 . Δηλαδή η συνολική τροχιακή στροφορμή (επομένως και η μαγν. διπολική ροπή) του ατόμου είναι μηδενική και δεν περιμένουμε επηρεασμό της δέσμης των ατόμων του αργύρου. Το πείραμα όμως δείχνει πως η δέσμη των ατόμων του αργύρου διαχωρίζεται και δίνει δύο ίχνη, ένα προς τα πάνω και το άλλο προς τα κάτω. 2 Θα πρέπει το μαγνητικό πεδίο να είναι ανομοιογενές για να εκτρέψει ένα μαγνητικό δίπολο. Ένα ομογενές μαγνητικό πεδίο εξασκεί ροπή στο μαγνητικό δίπολο αλλά όχι δύναμη. Αυτό των ηλεκτροστατικών φαινομένων: Μεμονωμένα ηλεκτρικά φορτία κινούνται όταν βρεθούν μέσα σε ηλεκτρικά πεδία, αλλά ένα ηλεκτρικό δίπολο δεν δέχεται συνισταμένη δύναμη όταν βρεθεί μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο, επειδή οι δυνάμεις που εξασκούνται στο αρνητικό και στο θετικό φορτίο αλληλοαναιρούνται. Μια και δεν υπάρχουν μαγνητικά μονόπολα, όλοι οι ατομικοί μαγνήτες είναι δίπολα. Έτσι, θα πρέπει να εφαρμόσουμε μη ομογενές μαγνητικό πεδίο για να εξασκήσουμε μαγνητική δύναμη πάνω σ’ ένα άτομο. 4 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος Για την ερμηνεία αυτής της εκτροπής της δέσμης των ατόμων του αργύρου, αφού L 0 , θα πρέπει να υποθέσουμε ότι κάθε ηλεκτρόνιο έχει μια επιπλέον μαγν. διπολική ροπή. Η διπολική αυτή ροπή οφείλεται στην ιδιοπεριστροφή του ηλεκτρονίου –το spin. ¨όπως η τροχιακή στροφορμή, έτσι και το spin περιγράφεται από δύο κβαντικούς αριθμούς: s και , με το ms ms να παίρνει τιμές από - s έως + s . Η τιμή της στροφορμής λόγω της ιδιοπεριστροφής του ηλεκτρονίου δίνεται από τη σχέση: s  s ( s  1)  [FS15] και η συνιστώσα της κατά τη διεύθυνση του άξονα των z: sz ms  [FS16] Το γεγονός ότι οι αποκλίσεις της δέσμης είναι πάνω-κάτω, δίνει για τα s και ms τις τιμές: s 1/ 2 ms (1/ 2) Οι εκτροπές που παρατηρήθηκαν στο πείραμα Stern-Gerlach επιτρέπουν τον προσδιορισμό της μαγν. ροπής που οφείλεται στο spin. Η συνιστώσα της μαγν. ροπής , κατά τον άξονα των z βρίσκεται ότι είναι:  z  g s  B ms όπου ο παράγων: g ονομάζεται s [FS17] τιμή-g του ηλεκτρονίου και βρέθηκε ότι η τιμή του παράγοντα g είναι πολύ κοντά στο 2. Η εξίσωση του Dirac δίνει ακριβώς την τιμή 2, ενώ από την κβαντική ηλεκτροδυναμική(QED) παίρνουμε 2,0023192, που συμφωνεί με την τιμή που προσδιορίζεται πειραματικά. Πριν προχωρήσουμε στην μελέτη των αλληλεπιδράσεων μεταξύ της τροχιακής στροφορμής και του spin – πράγμα που προκαλεί την λεπτή υφή στα φάσματα των ατόμων που εξηγείται με την παραδοχή πως τα ηλεκτρόνια έχουν spin – θα δούμε μερικές ακόμη περιπτώσεις που μας οδηγούν στην παραδοχή πως τα ηλεκτρόνια έχουν ιδιοστροφορμή: O περιοδικός πίνακας των στοιχείων δεν μπορεί να εξηγηθεί παρά μόνο με την παραδοχή πως τα ηλεκτρόνια έχουν σπιν. Αν αγνοήσουμε το σπιν, περιμένουμε ομαλό φαινόμενο Zeeman όταν ένα άτομο βρεθεί μέσα σε ένα μαγνητικό πεδίο. Όμως τα περισσότερα άτομα εμφανίζουν ανώμαλο φαινόμενο Zeeman που είναι ακριβώς συνέπεια του σπιν. Μπορούμε να μετρήσουμε τον γυρομαγνητικό λόγο με διάφορους τρόπους. Το 1915 ο Einstein και ο de Hass μέτρησαν τον γυρομαγνητικό λόγο του ατόμου του σιδήρου και τον βρήκαν διπλάσιο απ’ ό,τι τον περίμεναν! Απέδωσαν σε πειραματικά σφάλματα το γεγονός και απέρριψαν την τιμή αυτή. Όμως, σήμερα ξέρουμε πως ο μαγνητισμός του σιδήρου προκαλείται από το σπιν παρά από την τροχιακή στροφορμή και επομένως η τιμή του γυρομαγνητικού λόγου που μετρήθηκε πειραματικά, ήταν η σωστή! Σύζευξη σπιν-τροχιάς 5 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος ESO   S B orbital αντικαθιστώντας από την: [FS20]  z  g s  B ms , (και θεωρώντας g S 2) βρίσκουμε: ESO  g S  B mS Bz  B Bz [FS21] Αντικαθιστώντας την τιμή της συνιστώσας του μαγνητικού πεδίου βρίσκουμε: ESO 2  Z 4  0 ce 2  2 Z  5   3 En 2 n  n  8 me a0 [FS22]  me Z 2 e 4  όπου En η τιμή της ενέργειας που δίνεται από τον Bohr  En   . 8 02 h 2 n 2   me e 4 Για n=1, (και επειδή: RH  R  2 2 ), βρίσκουμε: 8 0 h ESO  2 RH 13,6eV /137 2 0,7 meV 6cm  1 Παρατηρούμε ότι η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς είναι περίπου 104 φορές ασθενέστερη από την αλληλεπίδραση που προκύπτει από την πρώτη (χοντρική) προσέγγιση του προβλήματος (δηλ. αυτή που έχουμε αν λάβουμε υπόψη μας μόνο την κινητική ενέργεια των ηλεκτρονίων, το ελκτικό δυναμικό μεταξύ του θετικού πυρήνα και των ηλεκτρονίων και την απωστική ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση μεταξύ των ηλεκτρονίων σε ένα άτομο με πολλά ηλεκτρόνια En  RH Z 2 / n 2 ). Παρατηρούμε ακόμη πως η ενεργειακή διαφορά εξαρτάται από το Ζ2, έτσι, το φαινόμενο περιμένουμε να είναι ισχυρότερο στα βαρύτερα άτομα. Ακόμη, μπορούμε να γράψουμε τη σχέση [FS22] με τη βοήθεια της n   Zc ως: n 2 ESO   E  n  n  c  n [FS23] που δείχνει ότι η ενεργειακή διαφορά λόγω της αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς είναι του ιδίου μεγέθους όπως οι σχετικιστικές διορθώσεις που περιμένουμε για το μοντέλο του Bohr. Είναι πράγματι εντυπωσιακό, δεδομένου ότι ο Dirac μας λέει πως θα πρέπει να μελετήσουμε την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς ως ένα σχετικιστικό φαινόμενο. Σύζευξη σπιν-τροχιάς πέρα από το μοντέλο του Bohr Εδώ θα υπολογίσουμε και πάλι την ενέργεια αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς αλλά δεν θα χρησιμοποιήσουμε σχέσεις που προέκυψαν από το μοντέλο του Bohr. Τα ηλεκτρόνια σε ένα άτομο δέχονται την επίδραση ενός μαγνητικού πεδίου καθώς κινούνται μέσα στο ηλεκτρικό πεδίο του πυρήνα. Αν το ηλεκτρόνιο κινείται με ταχύτητα  , βλέπει τον πυρήνα να κινείται γύρω του με ταχύτητα -  , όπως φαίνεται στο σχήμα: 7 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος Το μαγνητικό πεδίο που αισθάνεται το ηλεκτρόνιο υπολογίζεται από τον νόμο Biot-Savart : B όπου 0 4 i loop du r r3 [FS24] du ένα στοιχείο της τροχιάς. Αν για απλότητα θεωρήσουμε κυκλική τροχιά ακτίνας r, τότε: dq du idu dt du Ze dt Ze(   ) έτσι: B  0 Ze  Ze  3  r  0  3 r  4 r 4 r [FS25] Ένα πεδίο Coulomb δίνεται από τη σχέση:  Ze  Ze r r 2 4 0 r 4 0 r 3 [FS26] Αν συνδυάσουμε τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε: [FS27] B  0 0   Ξέρουμε όμως από τις εξισώσεις του Maxwell ότι: 0 0 1/ c 2 , έτσι η τελευταία σχέση γράφεται:  1 B  2     c 0 [FS28] Η ίδια σχέση βρίσκεται και για την περίπτωση μη κυκλικών τροχιών και στην περίπτωση πεδίων που δεν είναι πεδία Coulomb όπως αυτά των ατόμων με πολλά ηλεκτρόνια. Τώρα, η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς δίνεται από τη σχέση: ESO   S B orbital όπου  S  g S e 2me s  g S B s  [FS29] [FS30] 8 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος ESO Ze 2  1   s l 2 2  3  8 0 c me  r  [FS36] Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση αυτή για τα υδρογονοειδή άτομα, και την προηγούμενη σχέση FS35 για τα άτομα με πολλά ηλεκτρόνια, στα οποία το δυναμικό διαφέρει από το δυναμικό Coulomb  V  1/ r  λόγω της αμοιβαίας άπωσης μεταξύ των ηλεκτρονίων. Η συνολική στροφορμή Η τροχιακή στροφορμή και το σπιν συνδυάζονται και δίνουν μια συνισταμένη στροφορμή όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Η συνισταμένη αυτή στροφορμή δίνεται από τη σχέση: j l  s H συνισταμένη στροφορμή [FS37] j περιγράφεται από τους κβαντικούς αριθμούς j και m j σύμφωνα με τους κανόνες που διέπουν από κβαντική άποψη το μέγεθος της στροφορμής, δηλαδή: j  j ( j  1)  [FS38] και jz m j  [FS39] m j παίρνει τιμές από j , ( j  1),...,  j . Μπορούμε να βρούμε τις τιμές που μπορεί να πάρει το j αν εφαρμόσουμε τους κανόνες όπου ο κβαντικός αριθμός πρόσθεσης των στροφορμών στην κβαντομηχανική. Ας υποθέσουμε πως το C είναι το διάνυσμα της συνισταμένης στροφορμής των επι μέρους διανυσμάτων Α και Β. Δηλ. C=A+B [FS40] Ας θεωρήσουμε δε ότι Α&amp;gt;Β. Στην κλασσική φυσική η γωνία θ μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ 0 και 180 μοιρών. Ετσι, το C μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από A  B έως A  B . Αυτό όμως δεν συμβαίνει στην κβαντομηχανική όπου τα μήκη των διανυσμάτων είναι κβαντισμένα. Συγκεκριμένα είναι: A  A( A  1)  B  B ( B  1)  [FS41] C  C (C  1)  10 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος A, B, C κβαντικοί αριθμοί. Στην περίπτωση αυτή το C μπορεί να πάρει ακέραιες τιμές από A  B μέχρι A  B , [FS42] όπου πράγμα που σημαίνει ότι η γωνία θ μπορεί να πάρει μόνο ειδικές τιμές. Αν εφαρμόσουμε την τελευταία σχέση στην συνισταμένη στροφορμή j στην περίπτωση ενός ηλεκτρονίου με τροχιακή στροφορμή l και σπιν 1/2, βρίσκουμε: j l  1 1 ή j l  2 2 Στην περίπτωση που l =0, το j 1 2 Μερικές ακόμη περιπτώσεις εφαρμογής του κανόνα [FS42]: Υπολογισμός της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς στην περίπτωση του υδρογόνου Η τιμή της ενέργειας αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς δίνεται από τη σχέση FS35, παίρνοντας g S 2 και αναμενόμενες τιμές : ESO  1 1 dV 2c 2 me2 r dr s l [FS43] Αλλά: 1 dV *  1 dV   nlm  r dr  r dr  2  nlm r sin  drd d  [FS44] 11 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος ESO  2Z 2 n  E [ j ( j  1)  l (l  1)  s ( s  1)] n 2n 2  1 l  l    l  1  2 [FS51]  1/137 η σταθερά λεπτής υφής και En  RH Z 2 / n 2 . Για l 0 , η τελευταία σχέση δίνει: όπου ESO 0 1 1 και l  για l 1 σημαίνει ότι η αλληλεπίδραση 2 2 σπιν–τροχιάς προκαλεί διαχωρισμό των καταστάσεων με διαφορετικό j αλλά το ίδιο l . Έτσι, περιμένουμε οι ηλεκτρονικές καταστάσεις με l 1 να διαχωριστούν και να δώσουν ένα Το γεγονός ότι το j παίρνει τιμές l ζευγάρι σταθμών. Εντούτοις, η λεπτή υφή του υδρογόνου είναι πιο πολύπλόκη για δύο λόγους: - Οι στάθμες με την ίδια τιμή του n αλλά διαφορετική τιμή του l είναι εκφυλισμένες και - η αλληλεπίδραση σπιν –τροχιάς είναι μικρή. Η πρώτη από τις αιτίες που αναφέρθηκαν είναι γενική ιδιότητα όλων των συστημάτων με ένα ηλεκτρόνιο, και η δεύτερη είναι απόρροια του γεγονότος ότι η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς αυξάνεται με το Ζ2. Στα άτομα με μεγάλο ατομικό αριθμό η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς είναι η κύρια σχετικιστική διόρθωση και μπορούμε να αγνοήσουμε άλλα φαινόμενα. Η λεπτή υφή για n 2 , στο άτομο του υδρογόνου, φαίνεται στο σχήμα: Η πλήρως σχετικιστική θεωρία Dirac προβλέπει ότι οι καταστάσεις με την ίδια τιμή του j j 1/ 2 αίρεται τελικά από την με το φαινόμενο που καλείται μετάθεση Lamb. Η είναι εκφυλισμένες. Ο εκφυλισμός των δύο καταστάσεων με κβαντο-ηλεκτρο-δυναμική(QED) πολυπλοκότητα της λεπτής υφής του υδρογόνου λόγω άλλων σχετικιστικών και κβαντοηλεκτρο-δυναμικών φαινομένων μας δείχνει ότι το υδρογόνο δεν είναι το καταλληλότερο παράδειγμα για την κατανόηση των φαινομένων που σχετίζονται με την αλληλεπίδραση σπιντροχιάς. Φαινόμενα αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς στα άτομα με πολλά ηλεκτρόνια. Η Χαμιλτονιανή ενός ατόμου με Ν ηλεκτρόνια λαμβάνοντας υπόψη την αλληλεπίδραση σπιντροχιάς μπορεί να γραφεί με τη μορφή: 13 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος  H  H  H  H 0 1 2 [FS52] όπου: 2 2 N  H     i2  Ze  V ( r )   0 central i  2m 4 0 ri i 1   N e2 i j 4 0 ri  r j   H  1 N  V central [FS53] (ri ) [FS54] i 1 N    ( r )l s i H  i i 2 [FS55] i 1  είναι η χαμιλτωνιανή κεντρικού πεδίου, η H  είναι ο όρος της H 0 1  αντιπροσωπεύει την ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης και η H Όπως έχουμε δει η εναπομένουσας 2 αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς, αθροισμένη για όλα τα ηλεκτρόνια του ατόμου (FS35). Σε προηγούμενο μάθημα (στα φάσματα των αλκαλίων) αγνοήσαμε τους δύο όρους  H 2 και εστιάσαμε την προσοχή μας στο  . Η μελέτη έδειξε πως κάθε ηλεκτρόνιο H 0 καταλαμβάνει μια κατάσταση που καθορίζεται από τους 4 κβαντικούς αριθμούς . Η ενέργεια των καταστάσεων αυτών εξαρτάται κυρίως από τους οποίο αγνοήσαμε την  και H 1 ( n, l , ml , ms ) (n, l ) . Ο λόγος για τον  είναι ότι οι μη ακτινικές δυνάμεις που οφείλονται στην άπωση H 1 ηλεκτρονίου-ηλεκτρονίου είναι μικρότερες από τις ακτινικές, και ο λόγος που αγνοήσαμε την  ήταν ότι τα φαινόμενα αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς είναι πολύ ασθενή σε σχέση με τα H 2 άλλα που περιγράφονται από τους δύο πρώτους όρους. Θα μελετήσουμε στη συνέχεια τι συμβαίνει όταν υπάρχουν και όλοι οι όροι. Υπάρχουν οι εξής δύο οριακές περιπτώσεις: - όταν  &amp;gt;&amp;gt; H  H 1 2 (σύζευξη LS). Αυτό συμβαίνει στα άτομα με μικρό και μεσαίο ατομικό αριθμό. - όταν  &amp;gt;&amp;gt; H  (σύζευξη jj). Αυτό συμβαίνει σε ορισμένα άτομα με μεγάλο Ζ. H 2 1 σύζευξη LS (σύζευξη Russel-Saunders) Στην περίπτωση αυτή η εναπομένουσα ηλεκτροστατική αλληλεπίδραση ισχυρότερη από την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς  είναι H 1 πολύ  . Έτσι, λαβαίνουμε αρχικά υπόψη την H 2 14 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος Είναι βολικό να εισάγουμε έναν συμβολισμό για να δεικτοδοτούμε –να διακρίνουμε- τα ενεργειακά επίπεδα που προκύπτουν από την αλληλεπίδραση L S . Συγκεκριμένα κάθε ενεργειακό επίπεδο χαρακτηρίζεται από τρεις κβαντικούς αριθμούς J , L και S και παριστάνεται με τη μορφή: 2 S 1 LJ Το 2 S  1 και το J εμφανίζονται ως αριθμοί, ενώ το L παριστάνεται με γράμμα, με βάση τον παρακάτω κανόνα: S P D F όταν L = 0 όταν L = 1 όταν L = 2 όταν L = 3, κλπ. Για παράδειγμα, ο ατομικός ενεργειακός όρος: 2 P1/ 2 είναι το ενεργειακό επίπεδο με κβ. αριθμούς: S 1/ 2, L 1 και J 1/ 2 ενώ ο ατομικός ενεργειακός όρος: 3 D3 έχει S 1, L 2 και J 3 . (2 S  1) ονομάζεται πολλαπλότητα, και δείχνει τον βαθμό εκφυλισμού του ενεργειακού επιπέδου λόγω του σπιν, δηλαδή, ο αριθμός των διαθέσιμων καταστάσεων M S . Αν S =0, η πολλαπλότητα είναι 1 και ο ατομικός ενεργειακός όρος ονομάζεται απλός (singlet). Όταν S =1/2, η πολλαπλότητα είναι 2 και ο ατομικός ενεργειακός όρος ονομάζεται διπλός (doublet), και όταν S =1, η πολλαπλότητα είναι 3 και ο ατομικός ενεργειακός όρος ονομάζεται τριπλός (triplet), κοκ. Ο παράγων Το σχήμα δίνει τα κύρια σημεία όσων μελετήσαμε για την περίπτωση του μαγνησίου. Οι λεπτομέρειες των ενεργειακών επιπέδων δεν μας αφορούν για την ώρα. Αυτό το οποίο θα πρέπει να καταλάβουμε είναι ο γενικός τρόπος που οι ενεργειακές καταστάσεις διαχωρίζονται καθώς ενεργοποιούνται οι νέες αλληλεπιδράσεις, και η ορολογία που χρησιμοποιούμε για να καθορίσουμε τις ενεργειακές αυτές καταστάσεις. 16 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος Κανόνες επιλογής ηλεκτρικού διπόλου στο όριο της σύζευξης LS Στα άτομα με πολλά ηλεκτρόνια που έχουν επίσης αλληλεπίδραση LS, ένα μεμονωμένο ηλεκτρόνιο μπορεί να κάνει ένα άλμα από έναν ατομικό φλοιό σε έναν άλλο. Οι κανόνες που ισχύουν γι αυτή τη μετάβαση είναι οι ίδιοι με αυτούς που είδαμε στην περίπτωση των μεταβάσεων ηλεκτρικού διπόλου. Εντούτοις, θα πρέπει να δούμε τι συμβαίνει με τη J , L και στροφορμή όλου του ατόμου, όπως καθορίζεται από τους κβαντικούς αριθμούς S. Οι κανόνες επιλογής είναι οι εξής: - Η parity πρέπει να αλλάζει. l 1 για το ηλεκτρόνιο που μεταβαίνει μεταξύ δύο φλοιών. L 0, 1 αλλά η μετάβαση L 0  0 απαγορεύεται. - J 0, 1 , αλλά η μετάβαση J 0  0 απαγορεύεται. S 0 Ο πρώτος κανόνας προκύπτει από την περιττή parity του τελεστή του διπόλου. Ο δεύτερος εισάγει τον κανόνα που ισχύει για την περίπτωση του μεμονωμένου ηλεκτρονίου για το ιδιαίτερο ηλεκτρόνιο που κάνει τη μετάβαση, ο τρίτος γενικεύει για ολόκληρο το άτομο. ___________ Οι μεταβάσεις για τις οποίες ισχύει: L l και το l L 0 είναι προφανώς απαγορευτικές, στα άτομα με ένα ηλεκτρόνιο, επειδή πρέπει να αλλάζει. Εντούτοις, στα άτομα με περισσότερα του ενός ηλεκτρόνια σθένους είναι δυνατό να συμβούν μεταβάσεις που ικανοποιούν τον δεύτερο κανόνα αλλά έχουν την ίδια τιμή του L. Ο τέταρτος κανόνας προκύπτει από το γεγονός ότι η συνολική στροφορμή θα πρέπει να διατηρείται στη μετάβαση, ώστε να μπορούμε να γράψουμε: J initial J final J photon [FS61] Το φωτόνιο μεταφέρει μια μονάδα στροφορμής, έτσι, αν εφαρμόσουμε τους κανόνες που είδαμε για την συνολική στροφορμή παίρνουμε: J  1, 0, 1 . Εντούτοις ο κανόνας J 0 δεν μπορεί να εφαρμοστεί για τις μεταβάσεις J 0  0 , επειδή δεν ικανοποιείται η τελευταία σχέση. Τελικά, ο πέμπτος κανόνας είναι συνέπεια του γεγονότος ότι το φωτόνιο δεν αλληλεπιδρά με το spin. ___________ 17 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος Οι γραμμές D του Νατρίου: Το νάτριο έχει 11 ηλεκτρόνια, με ένα ηλεκτρόνιο σθένους στον φλοιό 3s, και συμπληρωμένους τους φλοιούς: 1s, 2s και 2p. Έτσι, μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί σύστημα ενός ηλεκτρονίου. Μια άμεση συνέπεια είναι πως οι διαφορετικές l -καταστάσεις που προέρχονται από την ίδια τιμή n δεν είναι εκφυλισμένες όπως είναι στο υδρογόνο (βλέπε και Ενεργά δυναμικά, Θωράκιση, και αλκαλικά μέταλλα).Οι δύο φωτεινές γραμμές του νατρίου αντιστοιχούν σε μεταβάσεις από την στάθμη 3p στην 3s. Είναι γνωστό πως οι γραμμές αυτές είναι ουσιαστικά μια διπλή γραμμή (doublet) όπως φαίνεται στο δεξιό μέρος του παραπάνω σχήματος. Η διπλή αυτή γραμμή οφείλεται στην αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς. Η κατώτερη στάθμη είναι η 2 S1/ 2 με μηδενικό ενεργειακό διαχωρισμό λόγω αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς. Η διεγερμένη κατάσταση είναι διαχωρισμένη σε δύο επίπεδα που προκύπτουν από τις διαφορετικές τιμές του J για L 1 και S 1/ 2 , 2 δηλ. P3 / 2 και 2 P1/ 2 . Οι δύο μεταβάσεις είναι:  2 S1/ 2 2 P3 / 2 2 P1/ 2  2 S1/ 2 Η ενεργειακή διαφορά των 17cm-1 προέρχεται από τον διαχωρισμό λόγω αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς των δύο J -καταστάσεων του ατομικού ενεργειακού όρου 2 P. Κανόνες του Hund Είδαμε πως υπάρχουν πολλοί ατομικοί ενεργειακοί όροι στο ενεργειακό διάγραμμα του ατόμου με πολλά ηλεκτρόνια. Από αυτές, μία έχει την ελάχιστη ενέργεια και είναι η θεμελιώδης κατάσταση. Όλες οι άλλες είναι διεγερμένες καταστάσεις. Κάθε άτομο έχει μια μοναδική θεμελιώδη κατάσταση, που καθορίζεται από την ελαχιστοποίηση της ενέργειας των ηλεκτρονίων σθένους των, συμπεριλαμβανομένων των αλληλεπιδράσεων σπιν-τροχιάς και εναπομένουσας ηλεκτροστατικής αλληλεπίδρασης. Οι κανόνες του Hund μας επιτρέπουν να καθορίσουμε πιο επίπεδο είναι η θεμελιώδης κατάσταση χωρίς να κάνουμε εκτενείς υπολογισμούς. Οι κανόνες αυτοί είναι οι εξής: - Μεγιστοποιούμε τον κβ. αριθμό M S  ms και θέτουμε S  M S (το συνολικό σπιν της θεμελιώδους κατάστασης έχει τη μέγιστη δυνατή τιμή – σε συμφωνία με την απαγορευτική αρχή του Pauli). Θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο κανόνας αυτός μας λέει ότι τα ηλεκτρόνια προσπαθούν να ευθυγραμμιστούν με τα σπιν τους παράλληλα (αυτό γίνεται με την αλληλεπίδραση ανταλλαγής και είναι η βασική αρχή του σιδηρομαγνητισμού). - Μεγιστοποιούμε τον κβ. αριθμό - Θέτουμε: J L S M L  ml και θέτουμε L  M L . αν ο φλοιός είναι λιγότερο από το μισό γεμάτος, ή J  L  S αν ο φλοιός είναι γεμάτος περισσότερο από το μισό. Ας σημειωθεί δε ότι οι κανόνες αυτοί δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να βρει κανείς τη διάταξη των διεγερμένων καταστάσεων. 19

Was this document helpful?

Premium

This is a Premium Document. Some documents on Studocu are Premium. Upgrade to Premium to unlock it.

Λεπτή Υφή - Lecture notes Αll

Course: Ατομική και Μοριακή Φυσική (EEC422)

16 Documents

Students shared 16 documents in this course

University: Πανεπιστήμιο Πατρών

Was this document helpful?

This is a preview

Do you want full access? Go Premium and unlock all 23 pages

Access to all documents
Get Unlimited Downloads
Improve your grades

Upload

Share your documents to unlock

Already Premium?

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΤΟΜΙΚΗΣ (FineStructureA) Ακαδ. Ετος: 2006-2007 Ε. Βιτωράτος

Λεπτή Υφή (Fine Structure)

Μέχρι τώρα έχουμε μελετήσει το χοντρικό διάγραμμα των ενεργειακών σταθμών των

ατόμων. Όταν ενδιαφερόμαστε για την χοντρική απεικόνιση των ενεργειακών σταθμών, στην

χαμιλτονιανή παίρνουμε μόνο τους μεγαλύτερους όρους, δηλαδή την κινητική ενέργεια,

την αλληλεπίδραση ηλεκτρονίου-πυρήνα και την άπωση ηλεκτρονίου – ηλεκτρονίου.

Θα μελετήσουμε και τις ασθενέστερες αλληλεπιδράσεις στο άτομο που προέρχονται

από μαγνητικά φαινόμενα. Θα ασχοληθούμε αρχικά με τα φαινόμενα εκείνα που προκαλούνται

από τα εσωτερικά μαγνητικά πεδία. Τα πεδία αυτά είναι υπεύθυνα για την πρόκληση

«λεπτής υφής» στα ατομικά φάσματα. Θα ξεκινήσουμε από το υδρογόνο και θα

προχωρήσουμε σε άτομα με πολλά ηλεκτρόνια. Στη συνέχεια θα δούμε συνοπτικά τι σημαίνει

υπέρλεπτη υφή, που είναι ένα παρόμοιο – μικρότερο σε ένταση - φαινόμενο και οφείλεται στις

μαγνητικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ηλεκτρονίων και του πυρήνα.

Τροχιακά μαγνητικά δίπολα

Οι κβαντικοί αριθμοί n και l, εμφανίστηκαν στην παλιά κβαντική θεωρία των Bohr και

Sommerfeld.

O κύριος κβαντικός αριθμός n μπήκε στο μοντέλο του Bohr αξιωματικά (

L n 

) και

αφορούσε την κβάντωση της στροφορμής, ενώ ο τροχιακός κβαντικός αριθμός εισήχθη

μερικά χρόνια αργότερα από τον Sommerfeld ως διόρθωση για να δικαιολογήσει τις

ελλειπτικές τροχιές. Οι δύο αυτοί κβαντικοί αριθμοί επανεμφανίζονται στην θεωρητική –

κβαντική αντιμετώπιση του θέματος του ατόμου του υδρογόνου και στην περίπτωση των

ατόμων με πολλά ηλεκτρόνια.

Δύο καθοριστικές σχέσεις που προέρχονται από την κβαντομηχανική περιγραφή των ατόμων

[



, ,

( , ) ( 1) ( , )

l m l m

L Y l l Y

   

  

] είναι:

το μέγεθος L της τροχιακής στροφορμής ενός ηλεκτρονίου, το οποίο δίνεται από τη

σχέση:

( 1)L l l  

[FS1]

όπου το l

παίρνει τιμές από 0 έως (n-1).

και η συνιστώσα της στροφορμής κατά μήκος του άξονα των z είναι κβαντισμένη σε

ακέραια πολλαπλάσια του



και συγκεκριμένα:

z l

L m 

[FS2]

όπου ο μαγνητικός κβαντικός αριθμός

μπορεί να πάρει ακέραιες τιμές από – l έως + l.

Οι δύο παραπάνω σχέσεις οδηγούν στο διανυσματικό μοντέλο της στροφορμής που ήδη

συναντήσαμε.