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6 Scomposizione varianza
Statistica
Università di Pisa
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Esercizi svolti in classe
Prof. Caterina Giusti
2 marzo 2017
Esercizio 1
Una popolazione di unità statistiche è suddivisa in due gruppi. Relativamente ad un certo carattere continuoYè noto che:
μ 1 = 600(media diYnel gruppo 1)
μ 2 = 2000(media diYnel gruppo 2)
μ= 1000(media diYin tutta la popolazione)
n 1 = 30(numero di unità della popolazione nel gruppo 1)
A quanto risulta parin 2 (numero di unità della popolazione nel gruppo 2)?
Sapendo cheσ 1 = 600(s.q. diY nel gruppo 1) eσ 2 = 1500(s.q. diY nel gruppo
- , a quanto ammontaσ(s.q. diYin tutta la popolazione)?
Esercizio 1 - soluzione
- A quanto risulta parin 2 (numero di unità della popolazione nel gruppo 2)? Utilizzando la proprietà dell’associatività della media:
μ=
n 1 ·μ 1 +n 2 ·μ 2 n
=
n 1 ·μ 1 +n 2 ·μ 2 n 1 +n 2
Sostituendo i dati disponibili si ottiene l’espressione precedente conn 2 come unica incognita 1000 =
30 ·600 +n 2 · 2000 30 +n 2 da cui dopo pochi passaggi si ottiene
n 2 =
12000
1000
= 12.
- Sapendo cheσ 1 = 600(s.q. diY nel gruppo 1) eσ 2 = 1500(s.q. diY nel gruppo
- , a quanto ammontaσ(s.q. diYin tutta la popolazione)?
In questo caso pre rispondere alla domanda dobbiamo ricorrere alla scomposizione della varianza in varianza esterna (o varianza tra i gruppi) e varianza interna (o varianza dentro i gruppi - si veda il materiale suη 2 Y|X). In questo caso possiamo infatti pensare che il carattere continuoY è stato misurato su tutta la popolazione, ma che tale popolazione può essere suddivisa in due gruppi secondo la modalità di un carattere qualitativoX(di cui però l’esercizio non ci dà altre informazioni). La scomposizione della varianza dice che:
σ 2 =σ 2 est+σ 2 int=σMedie 2 (Y|X)+M edia(σ 2 Y|X)
=
(μ 1 −μ) 2 n 1 + (μ 2 −μ) 2 n 2 n 1 +n 2
+
σ 21 ·n 1 +σ 22 ·n 2 n 1 +n 2
Allora
σ 2 est=
(μ 1 −μ) 2 n 1 + (μ 2 −μ) 2 n 2 n 1 +n 2
=
(600−1000) 2 30 + (2000−1000) 212
42
=
16800000
42
= 400000
σ 2 int=
σ 12 ·n 1 +σ 22 ·n 2 n 1 +n 2
=
36000 ·30 + 2250000· 12
42
=
37800000
42
= 900000
Allora σ 2 =σ 2 est+σ 2 int= 400000 + 900000 = 1300000
da cui σ=
√
1300000 = 1140. 175
Esercizio 2 - soluzione
- A quanto risulta pariη 2?
La scomposizione della varianza diYpuò essere scritta anche in termini di devianza diY, ovvero:
Dev=Devest+Devint={(μ 1 −μ) 2 n 1 + (μ 2 −μ) 2 n 2 }+{σ 12 ·n 1 +σ 22 ·n 2 }
In questo casoeta 2 è dato dal rapporto tra Devianza esterna e Devianza totale diY:
η 2 = Devest Dev
Che possiamo anche scrivere come
η 2 = Devest Dev
=
Dev−Devint Dev
Tale scrittura risulta più conveniente in quanto disponiamo già di Dev e possiamo rica- vareDevintdalle altre informazioni disponibili (mentre non disponiamo delle informazioni necessarie per il calcolo diretto diDevest). Notiamo tuttavia che, come scritto sopra
Devint=σ 12 ·n 1 +σ 22 ·n 2
mentre noi disponiamo dei due s.q dentro i gruppi e non delle due varianze. Tuttavia notiamo che possiamo scrivere:
Devint=σ 21 ·n 1 +σ 22 ·n 2 =
Dev 1 n 1
·n 1 +
Dev 2 n 2
·n 2 =Dev 1 +Dev 2.
Ovvero,Devintè data dalla somma delle due Devianze. Con i dati dell’esercizio si ottiene Devint=Dev 1 +Dev 2 = 7000 + 10000 = 17000. Allora: η 2 =
Dev−Devint Dev
=
25000 − 17000
25000
=
8000
25000
= 0. 32.
6 Scomposizione varianza
Corso: Statistica
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