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Esercizi svolti sulle serie di Fourier

Esercizi sulla trasformata di Fourier con souzioni

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Complementi di matematica (MAT05+MAT/08)

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Università Telematica Internazionale UniNettuno

Anno accademico: 2014/2015

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Esercizi svolti su serie di Fourier Esercizio 1. (Onda quadra). Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ( 1 x ∈ [0, π) f (x) = 0 x ∈ [π, 2π) prolungata a una funzione 2π-periodica su R (d’ora in poi denoteremo con lo stesso simbolo f l’estensione periodica a tutto R di una funzione f definita su un intervallo limitato). Svolgimento. Si ha Z Z Z 1 2π 1 2π 1 π a0 = f (x) dx = 1 e an = f (x) cos(nx) dx = cos(nx) dx = 0 per n ≥ 1. π 0 π 0 π 0 Invece si ha bn = 1 π Z 2π f (x) sin(nx) dx = 0 1 π Z µ π sin(nx) dx = 0 da cui ( bn = 2 nπ − cos(nπ) 1 + n n se n `e dispari se n `e pari. 0 Quindi la serie di Fourier associata a f `e ∞ 1 2X 1 + sin((2n + 1)x). 2 π n=0 2n + 1 Esercizio 2. (Onda quadra II). 1. Sia A &amp;gt; 0. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ( A x ∈ [0, π) g(x) = 0 x ∈ [π, 2π) prolungata per periodicit`a (di periodo 2π) a R. 2. Sia A &amp;gt; 0. Sviluppare in serie di Fourier ( h(x) = 0 −A x ∈ [0, π) x ∈ [π, 2π) prolungata per periodicit`a (di periodo 2π) a R. 3. Sia A &amp;gt; 0. Sviluppare in serie di Fourier ( A x ∈ [0, π) j(x) = −A x ∈ [π, 2π) prolungata per periodicit`a (di periodo 2π) a R. 1 ¶ =− 1 (−1)n − 1 π n Svolgimento. Parte 1. Notiamo che che g(x) = Af (x), dove f `e l’onda quadra dell’Esercizio 1. Per la linearit`a dei coefficienti di Fourier, la serie associata a g `e Ã ! ∞ ∞ 1 2X 1 A 2A X 1 A + sin((2n + 1)x) = + sin((2n + 1)x). 2 π n=0 2n + 1 2 π n=0 2n + 1 Parte 2. Notiamo che h(x) = g(x) − A, dove g `e l’onda della parte precendente dell’esercizio. Per linearit`a, la serie di Fourier di h `e X X X Fourier(h) = Fourier(g) − Fourier(c) con c funzione costante c(x) ≡ A. Poich´e c `e un particolare polinomio trigonometrico (di ordine 0), la sua serie di Fourier coincide con c stessa: dunque tutti i coefficienti sono nulli tranne a0 = 2A ⇒ c(x) = a0 = A ∀ x ∈ R. 2 Concludiamo che la serie associata a h `e ∞ ∞ A 2A X 1 A 2A X 1 + sin((2n + 1)x) − A = − + sin((2n + 1)x). 2 π n=0 2n + 1 2 π n=0 2n + 1 Parte 3. La funzione j si ottiene sommando le funzioni g e h dei punti precedenti. Quindi la serie di Fourier associata a j `e la somma delle serie di Fourier di g e h, cio`e ∞ 4A X 1 sin((2n + 1)x). π n=0 2n + 1 Esercizio 3. Sviluppare in serie di Fourier f (x) = 2 + sin x + 3 cos(2x). Svolgimento. Notare che f `e un polinomio trigonometrico. Quindi confrontando +∞ 2 + sin x + 3 cos(2x) = ottengo Esercizio 4. a0 X + an cos(nx) + bn sin(nx) 2 n=0   4 se n = 0, an = 3 se n = 2,   0 altrimenti, ( 1 bn = 0 se n = 1, altrimenti. Sviluppare in serie di Fourier ( f (x) = 3 se x ∈ [0, π] 1 se x ∈ (π, 2π), estesa periodicamente a R. Discutere inoltre convergenza puntuale e uniforme sugli intervalli [0, 2π] e [π/4, π/3]. Scrivere la serie numerica associata alla convergenza puntuale in x = π/2. 2 Svolgimento. Si noti che f `e pari quindi bn = 0 per ogni n ∈ N. Poich´e il periodo non `e 2π ma T = 2, uso le formule µ ¶ Z Z 1 2 T 2πn an = f (x) cos x dx = x2 cos(πnx) dx. T 0 T −1 Quindi: Z 1 a0 = x2 dx = −1 2 3 e Z 1 an = 2 0 · ¸1 Z 1 sin(πnx) 4 x2 cos(πnx) dx = 2 x2 x sin(πnx) dx − πn πn 0 0 · ¸1 Z 1 4 cos(πn) 4 − cos(πnx) 4 4 cos(πnx) dx = =− x − 2 2 = (−1)n 2 2 2 n2 πn πn π n π π n 0 0 Dunque +∞ f∼ Esercizio 6. 1 X 4 + (−1)n 2 2 cos(πnx). 3 n=0 π n Determinare i coefficienti di Fourier della funzione ³x´ f (x) = cos x ∈ [0, 2π[ 2 prolungata per periodicit`a (di periodo 2π) ad R. Dedurre la somma della serie numerica ∞ X n2 . (4n2 − 1)2 n=1 Svolgimento. Poich´e la funzione `e dispari, si ha an = 0 per ogni n. Invece si ha Z Z ³x´ 1 π 2 π bn = sin(nx) dx f (x) sin(nx) dx = cos π −π π 0 2 Z ³ 1 πh ³ x´ x ´i = sin nx + + sin nx − dx π 0 2 2 = 1 π Z π · µ sin 0 (2n + 1)x 2 ¶ µ + sin (2n − 1)x 2 ¶¸ dx · µ ¶ µ ¶¸π 1 2 (2n + 1)x 2 (2n − 1)x − cos − cos π 2n + 1 2 2n − 1 2 0 · ¸ 2 2 8n 1 + = = π 2n + 1 2n − 1 π(4n2 − 1) = Quindi la serie di Fourier associata `e ∞ X 8n sin(nx). 2 − 1) π(4n n=1 Applicando l’identit`a di Parseval otteniamo Z ∞ ³x´ 1 2π 64 X n2 cos2 dx = 2 . 2 π 0 2 π n=1 (4n − 1)2 4 Essendo Z 2π cos2 0 si ha Esercizio 7. ³x´ 2 Z 2π dx = 0 1 + cos x dx = π 2 ∞ X π2 n2 = . (4n2 − 1)2 64 n=1 Sviluppare in serie di Fourier f (x) = |x| − π per |x| ≤ π, estesa per periodicit`a a tutto R. Svolgimento. Poich´ef `e pari, bn = 0 per ogni n. Invece · ¸π Z Z 1 π 2 π 2 (x − π)2 a0 = (|x| − π) dx = (x − π) dx = = −π π −π π 0 π 2 0 Se n ≥ 1 an = 1 π Z π (|x| − π) cos(nx) dx = 2 π Z π (x − π) cos(nx) dx · ¸π Z sin(nx) 2 π sin(nx) 2 (x − π) − dx = π n π 0 n · ¸π 0 cos(nx) 2 2 − = (cos(nπ) − 1) =− 2 π n πn2 0 −π da cui ( an = 0 − πn4 2 0 se n `e pari, se n `e dispari. Dunque la serie di Fourier di f `e − +∞ +∞ k=0 k=0 π X π X 4 + a2k+1 cos((2k + 1)x) = − − cos((2k + 1)x) 2 2 π(2k + 1)2 Abbiamo che la serie di Fourier converge uniformemente a f su R perch´ef `eC 1 a tratti su R. Ma si pu`o vedere che 1. la serie converge totalmente essendo 4 4 | cos((2k + 1)x)| ≤ , π(2k + 1)2 π(2k + 1)2 e ∞ X k=0 4 &amp;lt; +∞; π(2k + 1)2 2. la serie converge uniformemente ad una funzione g, ed in particolare vi converge in media quadratica; 3. ma la serie di Fourier converge in media quadratica a f : dunque f = g, e la serie converge uniformemente a f . Esercizio 8. Sviluppare in serie di Fourier la funzione f (x) = ex , x ∈ [−π, π), estesa con periodicit`a a tutto R. 5 Esercizio 10. Sia f la funzione 2π-periodica definita da f (x) = sin(5x2 ), x ∈ [−π, π]. dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. la sua serie di Fourier converge in media quadratica in [−π, π]; 2. la sua serie di Fourier converge uniformemente in R; 3. i coefficienti bn sono tutti nulli. Svolgimento. 1. Vero: f `e continua su R ed f `e di classe C 1 a tratti su R. 2. Vero: la funzione `e infatti pari. 3. Vero: poich´e f `e a quadrato sommabile. Esercizio 11. Data ( cos x se |x| &amp;lt; π2 f (x) = 1 se π2 ≤ |x| ≤ π si consideri la sua estensione 2π-periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. la sua serie di Fourier converge puntualmente a f (x) su [−π, π]; 2. la sua serie di Fourier converge uniformemente su R; 41 3. la sua serie di Fourier converge uniformemente a f su [ 39 4 π, 4 π]; 4. si ha b3 = 2; 5. si ha a1 = π−4 2π ; 6. si ha Z 3 4π lim n→+∞ π 4 Z fn2 (x) dx = 3 4π f 2 (x) dx; π 4 Svolgimento. 1. Falso. La serie converge alla funzione 2π-periodica  π  cos x se |x| &amp;lt; 2 π g(x) = 1 se 2 &amp;lt; |x| ≤ π  1 se x = ± π2 + 2kπ. 2 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Infatti, f `e continua a tratti: continua su − π2 , π2 , continua su −π, − π2 e su π2 , π , e − π2 e punti di salto. In x = π2 si ha ¢ ¡ ¢ ¡ 1 + limx→ π2 − cos(x) f π2 + + f π2 − 1 = = 2 2 2 π 2 sono e idem in x = − π2 (f `e pari). 2. Falso. Il limite puntuale g `e discontinuo mentre i polinomi trigonometrici approssimanti sono funzioni continue, dunque non si pu`o avere convergenza puntuale. 7 41 3. Vero. Per periodicit`a, l’intervallo [ 39 e equivalente all’intervallo [− π4 , π4 ] che cade nella zona 4 π, 4 π] ` 1 dove f `e C . Dunque si ha convergenza uniforme a f . 4. Falso: f `e pari, allora bn = 0 ∀ n ∈ N. 5. Vero. Si ha a1 = 1 π Z π f (x) cos(x) dx = −π 2 π Z π f (x) cos(x) dx = 0 2 π 2 = π Z π/2 cos2 (x) dx + 0 Z π/2 0 2 π Z π cos(x) dx π/2 1 + cos(2x) 2 1 2 π dx + [sin x]π/2 = − 2 π 2 π 6. Vero perch´e si ha convergenza in media quadratica su tutto [0, 2π]. Anche senza convergenza uniforme su [ π4 , 34 π], passo al limite sotto il segno di integrale. Esercizio 12. Data ( −xπ f (x) = x2 −π ≤ x ≤ 0 0&amp;lt;x&amp;lt;π si consideri la sua estensione 2π-periodica a R. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. la sua serie di Fourier converge uniformemente a f su R 2. la sua serie di Fourier converge a 0 per x = 31π 3. il coefficiente a0 vale 65 π 2 . 1. Vero: f `e continua su R ed `e C 1 a tratti. 2. Falso: per periodicit`a si ha f (31π) = f (π) = π 2 . 3. Vero: si ha 1 a0 = π Z π 1 f (x) dx = π −π Z 0 1 (−xπ) dx + π −π Z π 0 8 · x2 x dx = − 2 2 ¸0 · ¸π π2 5 1 x3 π2 + = π2 . + = π 3 2 3 6 −π 0

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Esercizi svolti su serie di Fourier

Esercizio 1.(Onda quadra). Determinare i coefficienti di Fourier della funzione

f(x) = (1x∈[0, π)

0x∈[π, 2π)

prolungata a una funzione 2π-periodica su R(d’ora in poi denoteremo con lo stesso simbolo fl’estensione

periodica a tutto Rdi una funzione fdefinita su un intervallo limitato).

Svolgimento. Si ha

a0=1

πZ2π

f(x) dx= 1 e an=1

πZ2π

f(x) cos(nx) dx=1

πZπ

cos(nx) dx= 0 per n≥1.

Invece si ha

bn=1

πZ2π

f(x) sin(nx) dx=1

πZπ

sin(nx) dx=µ−cos(nπ)

n+1

n¶=−1

(−1)n−1

da cui

bn=(2

nπ se n`e dispari

0 se n`e pari.

Quindi la serie di Fourier associata a f`e

2+2

∞

n=0

2n+ 1 sin((2n+ 1)x).

Esercizio 2.(Onda quadra II).

1. Sia A > 0. Determinare i coefficienti di Fourier della funzione

g(x) = (A x ∈[0, π)

0x∈[π, 2π)

prolungata per periodicit`a (di periodo 2π) a R.

2. Sia A > 0. Sviluppare in serie di Fourier

h(x) = (0x∈[0, π)

−A x ∈[π, 2π)

prolungata per periodicit`a (di periodo 2π) a R.

3. Sia A > 0. Sviluppare in serie di Fourier

j(x) = (A x ∈[0, π)

−A x ∈[π, 2π)

prolungata per periodicit`a (di periodo 2π) a R.