- Informacje
- Czat SI
223 Elementy Cewki
Elektronika i elektrotechnika (ETP001006)
Politechnika Wroclawska
Komentarze
Inni studenci przeglądali również:
Przejrzyj tekst
####### Cewka
Cewka (zwojnica, solenoid) jest elementem obwodu elektrycznego magazynującym energię w polu magnetycznym otaczającym przewody, w których płynie prąd elektryczny. Parametrem charakteryzującym cewkę jest indukcyjność L będąca
####### stosunkiem strumienia magnetycznego skojarzonego z cewką
do natężenia prądu i płynący przez uzwojenie cewki.
L =
i
Jeżeli cewka jest elementem liniowym to stosunek strumienia
####### magnetycznego skojarzonego z cewką do natężenia prądu i
płynącego przez zwoje cewki jest stały (Rys. 2).
Jak wynika z prawa Faradaya napięcie na zaciskach cewki u(t) jest proporcjonalne do szybkości zmian strumienia
####### magnetycznego przenikającego uzwojenia cewki:
u(t) = - e(t) =
####### d
dt = N
####### d
dt gdzie:
####### - całkowity strumień magnetyczny,
N - liczba zwoi cewki,
####### - strumień magnetyczny dla jednego zwoju.
Korzystając z definicji indukcyjność obwodu L, strumień
####### magnetyczny przenikający zwoje cewki jest iloczynem
indukcyjności i natężenia prądu i(t) płynącego w cewce, otrzymujemy równanie opisujące zmiany napięcia na zaciskach cewki:
uL(t) =
d dt [L(t) i(t)] = L(t)
di(t) dt +
dL(t) dt i(t)
Jeżeli indukcyjność własna obwodu jest stała w czasie, to napięcie na zaciskach cewki oraz prąd płynący w zwojach takiej cewki są opisane równaniami:
(A) uL(t) = L
di(t)
dt
(A) iL(t) =
1
L
(t) = iL(to) +
1
L
#######
####### to
####### t
uL(t) dt
Rys. 1. Symbole cewek
I
Rys. 2. Zależność między strumieniem magnetycznym oraz prądem i cewki
Jak wynika z powyższych zależności napięcie na zaciskach cewki jest różne od zera tylko wtedy, gdy występują zmiany strumienia magnetycznego przenikającego cewkę.
Obliczanie indukcyjności
Indukcyjność cewki w kształcie walca o przekroju S i długości d, posiadającej N równolegle ułożonych zwoi, które otaczają
####### materiał o względnej przenikalności magnetycznej r, można
obliczyć ze wzoru:
####### L = o r
S d N
2
gdzie:
####### o - przenikalność magnetyczna próżni,
####### r - względna przenikalność magnetyczna materiału,
N – liczba zwoi cewki, S - pole przekroju cewki, d - długość cewki.
Przenikalność magnetyczna bezwzględna (przenikalność magnetyczna próżni) wynosi:
####### o = 4 10 -
H
####### m 1 10
-6 H m
Przenikalność magnetyczna względna materiałów zmienia się
####### w bardzo szerokich granicach (Tabela 1). Materiały o
####### przenikalności magnetycznej względnej mniejszej od
####### jedności nazywamy diamagnetykami. Materiały o
####### przenikalności niewiele większej od jedności nazywamy
####### paramagnetykami. W praktyce przenikalność materiałów
diamagnetycznych i paramagnetycznych przyjmujemy, że jest
####### stała i równa jedności. Materiały o bardzo dużej przenikalności
####### względnej nazywamy ferromagnetykami. W przypadku
ferromagnetyków ich własności magnetyczne są opisywane charakterystyką magnesowania (Rys. 4) ujmującą zależność między indukcją pola magnetycznego B w materiale a natężeniem pola magnetycznego H. Przenikalność magnetyczna względna materiałów ferromagnetycznych zmienia się wraz ze zmianą wartości indukcji pola magnetycznego w materiale, a tym samym zmienia się indukcyjność cewki. Oznacza to, że cewka z rdzeniem ferromagnetycznym nie jest elementem liniowym.
S
d
N
Rys. 3. Cewka
Tabela 1. Przenikalność magnetyczna materiałów
Materiał r
Bizmut 0, Rtęć 0, Woda 0, Miedź 0, Próżnia 1 Powietrze 1, Aluminium 1, Kobalt do 200 Nikiel do 300 Stal miękka do 5 000 Stal specjalna do 10 000
Rys. 4. Charakterystyka magnesowania materiału ferromagnetycznego
-2,
-1,
0,
1,
2,
-2,0 -1,0 0,0 1,0 2,
H [kA/m]
B [ T ]
Energia magazynowana w cewce
Elementarna ilość energii, jaka jest gromadzona w cewce jest opisana równaniem:
dW = p(t) dt =
####### d
####### dt i(t) dt = d [(t) i(t)] dt
Energia zgromadzona w cewce w przedziale czasu od to do t wynosi:
WL(to,t) =
#######
to
t p(t) dt =
#######
to
t
####### u(t)i(t) dt =
#######
to
t
####### d
dt i(t) dt =
=
#######
to
t L
di(t) dt i(t) dt
####### ponieważ d = L di(t) stąd
WL(to,t) =
#######
to
t L i(t) di = L
1
2 i(t)|
t to =
1 2 L i
2 (t) - 1 2 L i
2 (to)
Jeżeli przyjmiemy, że w chwili to = 0 przez cewkę nie płynął prąd, czyli i(to) = 0, to ilość energii zgromadzonej w cewce w chwili t wynosi:
WL(t) =
1 2 L i
2 (t)
####### Gdy indukcyjność cewki jest większa od zera L 0 , to ilość
zgromadzonej energii w cewce jest też większa od zera WL(to,t) > 0, gdy natężenie prądu płynącego przez cewkę i(t) jest różne od zera. Cewka jest elementem pasywnym.
Dobroć
Jeżeli wyróżnimy dwa rodzaje elementów magazynujących energię, to dobroć układu możemy napisać równaniem:
QE =
dWL(t) + dWC(t) dWR(t) =
1 2 L iL
2 + 1 2 C uC
2
R iR 2 T
gdzie L i C są parametrami opisującymi elementy magazynujące energię elektryczną, a R jest rezystancją elementów rozpraszających energię elektryczną.
####### Cewki sprzężone magnetycznie
Cewkami sprzężonymi nazywamy układ dwóch lub większej liczby cewek indukcyjnych rozmieszczonych w przestrzeni w taki sposób, że pola magnetyczne wytworzone przez prądy płynące w poszczególnych cewkach wzajemnie na siebie oddziałują. Pola magnetyczne pochodzące od poszczególnych cewek mogą się sumować lub odejmować w zależności od wzajemnego usytuowania cewek względem siebie oraz kierunków prądów płynących w uzwojeniach tych cewek.
Strumień magnetyczny obejmujący uzwojenia danej cewki jest sumą strumienia własnego (wywołanego prądem płynącym w rozpatrywanej cewce) oraz algebraiczną sumą strumieni pochodzących od innych cewek (wywołanych prądami płynącymi w innych cewkach):
k = kk kl
gdzie:
####### kk – jest strumieniem własnym cewki k, wywołanym prądem
płynącym w tej cewce,
####### kl – jest strumieniem wzajemnym, przenikającym cewkę k
a wywołanym przepływem prądu w cewce l.
Sprzężenie zgodne i przeciwne
Mówimy, że sprzężenie magnetyczne jest zgodne, jeżeli strumienie magnetyczne poszczególnych cewek dodają się. Gdy strumienie magnetyczne rozpatrywanych cewek odejmują się to mówimy, że cewki są sprzężone przeciwnie.
W celu prostego określania znaku sprzężenia między cewkami stosuje się oznaczenie zacisków tworzących parę tzw. zacisków jednakoimiennych (Rys. 7). Jeżeli strumienie magnetyczne dodają się to zaciski, do których wpływają prądy wywołujące te strumienie nazywamy jednakoimiennymi i oznaczamy (, , , lub w inny sposób). Inaczej mówiąc, gdy prądy poszczególnych cewek wpływają do zacisków jednakoimiennych lub wypływają z zacisków jednakoimiennych, to pole magnetyczne każdej z cewek jest sumą pól magnetycznych wywołanych przepływem prądów płynących w tych cewkach.
####### i 1
####### i 2
i 2
i 1
22 21 Rys. 6. Obwody sprzężone magnetycznie
a)
u 2
i 1
L 1
+ M
u 1 L 2
i 2
u 2
i 1
L 1
+ M
u 1 L 2
i 2
b)
u 2
i 1
L 1
- M
u 1 L 2
i 2
u 2
i 1
L 1
- M
u 1 L 2
i 2
Rys. 7. Sprzężenie a) zgodne b) przeciwne
Indukcyjność własna i wzajemna
Jeżeli rozpatrywane cewki są elementami liniowymi, to stosunek poszczególnych strumieni magnetycznych tych cewek do prądów wywołujących te strumienie jest stały.
Stosunek własnego strumienia magnetycznego cewki do prądu płynącego tą cewką nazywamy indukcyjnością własną cewki:
Lk =
kk
ik
W analogiczny sposób można zdefiniować indukcyjność wzajemną cewki „k” z cewką „l” , jako stosunek strumienia wzajemnego, przenikającego cewkę „k” wywołanego przepływem prądu w cewce „l”.
Mkl =
kl
il
Indukcyjność wzajemną cewek można określić korzystając ze
wzoru Mkl = w Lk Ll , gdzie w jest współczynnikiem sprzężenia cewek (0 < w < 1).
W konsekwencji napięcie na zaciskach cewki, która jest sprzężona z innymi cewkami przyjmuje postać:
uk(t) = Lk
dik(t)
dt
Mkl
dil(t)
dt
W powyższym równaniu znak „+" dotyczy przypadku, gdy
####### sprzężenie cewek jest zgodne, znak „ ", gdy sprzężenie cewek jest
przeciwne.
Przykład. Indukcyjność wypadkowa
Należy obliczyć całkowitą indukcyjność cewek połączonych szeregowo (Rys. 8).
Rozpatrując poszczególne sprzężenia między cewkami stwierdzamy, że sprzężenie wzajemne M 12 jest dodatnie, a sprzężenia M 23 i M 13 są ujemne.
Lz = (L 1 + M 12 – M 13 ) + (L 2 + M 12 – M 23 ) + (L 3 – M 23 – M 13 ) =
= L 1 + L 2 + L 3 + 2M 12 – 2M 23 – 2M 13 = 26 mH
Na Rys. 8 przedstawiono układ równoważy dla trzech cewek sprzężonych magnetycznie.
i L 1 L 2 L 3
M 23
M 13
M 12
L 1 + M 12 – M 13
L 2 + M 12 – M 23 L 3 – M 23 – M 13
Rys. 8. Cewki sprzężone magnetycznie oraz ich układ równoważny
Wyznaczanie zacisków jednakoimiennych
W celu wyznaczenie zacisków jednakoimiennych cewek sprzężonych magnetycznie można posłużyć się układem przedstawionym na Rys. 9.
Układ składa się z dwóch obwodów elektrycznych. W obwodzie pierwszym cewka L 1 jest przyłączana do źródła napięcia stałego poprzez łącznik W. Obwód drugi składa się z cewki L 2 oraz przyrządu magnetoelektrycznego najlepiej z zerem po środku skali (np. woltomierz). W wyniku zamknięcia wyłącznika, w obwodzie cewki pierwszej popłynie prąd i 1 (t). Prąd ten wywoła w cewce
####### drugiej strumień magnetyczny .
W wyniku zmian strumienia magnetycznego wytworzonego w uzwojeniu cewki drugiej indukuje się siła elektromotoryczna e(t), która powoduje przepływ prądu i 2 (t). Kierunek prądu i 2 (t), zależy od kierunku siły elektromotorycznej wyidukowanej w cewce L 2.
Kierunek wychylenia się wskazówki przyrządu magnetoelektrycznego wskazuje kierunek przepływu prądu. Na tej podstawie można stwierdzić że, zacisk cewki L 1 przyłączony do dodatniego bieguna źródła napięcia oraz zacisk cewki L 2 wskazany przez przyrząd magnetoelektryczny są zaciskami jednakoimiennymi.
####### i 1 (t)
####### e(t)
####### L 1 L 2
####### i 2 (t)
####### a b
Rys. 9. Wyznaczanie zacisków jednakoimiennych
0
U
Sprzężenie zgodne
U
Ponieważ indukcyjność cewki wykonanej w postaci walca o długości d, polu przekroju S, posiadającej N zwoi otaczających
####### materiał o przenikalności magnetycznej wynosi:
####### L = N 2
S d
to po uwzględnieniu tego faktu we wzorze na relację między napięciami na zaciskach cewek sprzężonych magnetycznie otrzymujemy:
u 2 (t) =
N 2 N 1 u 1 (t)
Jak wynika z powyższego wzoru, napięcie na zaciskach cewki drugiej jest proporcjonalne do napięcia na zaciskach cewki pierwszej.
Współczynnik proporcjonalności napięć jest równy stosunkowi liczby zwoi cewek, który nazywamy przekładnią zwojową:
n =
N 2 N 1
Transformator, dla którego n < 1, czyli N 2 > N 1 jest
####### transformatorem podwyższającym napięcie (step-up), bo U 2 > U 1.
Transformator, dla którego n > 1, czyli N 1 > N 2 jest
####### transformatorem obniżającym napięcie (step-down), bo U 2 < U 1.
Układ złożony z dwóch cewek sprzężonych magnetycznie opisany tylko przekładnią zwojową nazywamy transformatorem idealnym.
W transformatorze idealnym nie występują elementy rozpraszające energię, czyli ilość energii doprowadzonej do transformatora jest równa ilości energii odprowadzanej z transformatora.
Korzystając z bilansu mocy dla transformatora idealnego możemy napisać:
####### p 1 (t) – p 2 (t) = u 1 (t) i 1 (t) u 2 (t) i 2 (t) = 0
Ponieważ u 2 (t) =
N 2 N 1 u 1 (t), to po prostych przekształceniach otrzymujemy:
i 2 (t) =
N 1 N 2 i 1 (t)
Transformatory w obwodach elektrycznych są przeznaczone głównie do zmiany wartości napięć. Transformatory służą także do dopasowanie odbiornika do źródła siły elektromotorycznej oraz do galwanicznego rozdzielenia obwodów elektrycznych.
Rys. 11. Transformator
Ilość energii zmagazynowanej w transformatorze chwili t jest równa ilości energii zmagazynowanej w polu magnetycznym otaczającym cewki uzwojenia pierwotnego i wtórnego oraz w polu magnetycznym związanym z oboma cewkami.
W przypadku sprzężenia zgodnego cewek, w polu magnetycznym cewki pierwszej ilość energii zmagazynowanej od chwili to do chwili t wynosi:
W 1 (to,t) =
#######
to
t p 1 (t) dt =
#######
to
t u 1 (t) i 1 (t) dt =
#######
to
t [L 1
di 1 (t) dt + M
di 2 (t)
####### dt ] i 1 (t) dt =
to
t L 1 i 1 di 1 +
#######
to
t M i 2 di 1 =
=
1 2 L 1 i 1
####### 2 (t) + M i 2 (t) i 1 (t) 1
2 L 1 i 1
####### 2 (to) M i 2 (to) i 1 (to)
Jeżeli w chwili to wartości prądu w uzwojeniu pierwotnym była równa zeru, to ilość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym pierwszej cewki i energii przekazywanej poprzez sprzężenie magnetyczne do drugiej cewki wynosi:
W 1 (t) =
1 2 L 1 i 1
2 (t) + M i 2 (t) i 1 (t)
Postępując w analogiczny sposób można wyznaczyć ilość energii zgromadzonej w polu magnetycznym cewki uzwojenia wtórnego transformatora i energii przekazywanej z uzwojenia pierwotnego do wtórnego:
W 2 (t) =
1 2 L 2 i 2
2 (t) + M i 1 (t) i 2 (t)
Całkowita energia zgromadzona w polu magnetycznym cewek sprzężonych zgodnie wynosi:
W(t) =
1 2 L 1 i 1
2 (t) + 1 2 L 2 i 2
2 (t) + M i 1 (t) i 2 (t)
Ponieważ ilość energii przekazywanej w chwili t z obwodu pierwszego do obwodu drugiego wynosi:
W 12 (t) = M i 2 (t) i 1 (t)
to wartość chwilowa mocy sprzężenia magnetycznego uzwojeń transformatora jest opisana równaniem:
p 12 (t) = M i 2 (t)
di 1 (t) dt
Powyższe równanie opisuje szybkość przekazywania energii przez transformator do odbiornika.
Przekładnik jest to transformator jednofazowy przeznaczony do zasilania przyrządów pomiarowych, przekaźników i innych aparatów niskiego napięcia. Przekładniki dzielimy na przekładniki prądowe i napięciowe.
Transformator straty
Dane: Sn – moc znamionowa transformatora [kVA] io% - prąd stanu jałowego [%] Uz% - napięcie zwarcia transformatora [%]
S – moc pozorna odbiornika
Straty jałowe czynne, czyli straty w żelazie transformatora ΔPo = ΔPFe
Starty obciążeniowe czynne, czyli straty w miedzi transformatora ΔPpn = ΔPCu
Stary jałowe bierne ΔQo =
io% 100 Sn
Starty obciążeniowe bierne ΔQzwn =
Uz% 100 Sn
Starty całkowite czynne ΔPTr = ΔPo + ΔPpn (
S Sn)
2
Straty całkowite bierne ΔQTr = ΔQo + ΔQzwn (
S Sn)
2
223 Elementy Cewki
Kurs: Elektronika i elektrotechnika (ETP001006)
Uniwersytet: Politechnika Wroclawska
- Odkryj więcej od:
