- Information
- AI Chat
Bài 3 - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
Giải tích I (MI1110)
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Related Studylists
đsttPreview text
####### BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED 1
####### BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED 1
####### ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN
####### TÍNH (ĐỀ SỐ 01)
*Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam – website:
vted
Video bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại vted
Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
Mã đề thi
####### 001
Họ, tên thí sinh:..................................................................... Trường: ...........................................
Combo Toán cao cấp dành cho Sinh viên khối ngành kinh tế
Đăng kí khoá học tại đây: goo/FQ5oca
1. Biểu diễn tuyến tính
- Cho hệ m véctơ n chiều X 1
, X 2
,..., X m
. Véctơ X ∈!
n được biểu diễn tuyến tính qua m véctơ
X 1
, X 2
,..., X m
nếu tồn tại m số thực α 1
, α 2
,..., α m
sao cho X = α 1
X 1
- α 2
X 2
+...+ α m
X m
####### .
- Đẳng thức trên tương đương với: α 1
, α 2
,..., α m
là nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n
phương trình và m ẩn α 1
, α 2
,..., α m
có ma trận hệ số mở rộng A = X 1
####### X
2
####### ... X
m
( X ) trong đó các
véctơ X 1
, X 2
,..., X m
, X được viết dưới dạng cột:
Ví dụ 1: Hãy biểu diễn véctơ X =(7,11,−6) qua các véctơ X 1
=(1,3,−2), X 2
=(3, 4,−1), X 3
####### =(5,5,1).
Giải. Giả sử X = α 1
X 1
- α 2
X 2
- α 3
X 3
khi đó α 1
, α 2
, α 3
là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số
mở rộng
####### A =
####### 1 3 5 7
####### 3 4 5 11
####### − 2 −1 1 − 6
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
− 3 d 1 + d 2 2 d 1
- d 2 ⎯ →⎯⎯⎯
####### 1 3 5 7
####### 0 − 5 − 10 − 10
####### 0 5 11 8
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
d 2 + d 3 ⎯ →⎯⎯
####### 1 3 5 7
####### 0 − 5 − 10 − 10
####### 0 0 − 1 − 2
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
####### .
Vậy
α 1
3 α 2
5 α 3
####### = 7
− 5 α 2
− 10 α 3
####### =− 10
α 3
####### =− 2
####### ⎧
####### ⎨
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎩
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⇔
α 1
####### =− 1
α 2
####### = 6
α 3
####### =− 2
####### ⎧
####### ⎨
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎩
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
. Vậy X =− X 1
- 6 X 2
− 2 X 3
####### .
Ví dụ 2: Tìm m để véctơ X =(3,−1,11, m ) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X 1
=(2,1,3,8), X 2
=(1,3,0,5), X 3
####### =(−1, 2, 2, 2).
Giải. Giả sử X = α 1
X 1
- α 2
X 2
- α 3
X 3
khi đó α 1
, α 2
, α 3
là nghiệm của hệ phương trình có ma trận hệ số
mở rộng A =
####### 2 1 − 1 3
####### 1 3 2 − 1
####### 3 0 2 11
8 5 2 m
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### .
Khử ẩn ma trận hệ số mở rộng:
####### 2 BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED
####### 2 BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED
####### A =
####### 2 1 − 1 3
####### 1 3 2 − 1
####### 3 0 2 11
8 5 2 m
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
doichod 1& d 2 ⎯ →⎯⎯⎯⎯
####### 1 3 2 − 1
####### 2 1 − 1 3
####### 3 0 2 11
8 5 2 m
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
− 2 d 1 + d 2 − 3 d 1 + d 3 − 8 d 1 + d 4 ⎯ →⎯⎯⎯
####### 1 3 2 − 1
####### 0 − 5 − 5 5
####### 0 − 9 − 4 14
0 − 19 − 14 m + 8
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
−
1
5
d 2
⎯ →⎯⎯
####### 1 3 2 − 1
####### 0 1 1 − 1
####### 0 − 9 − 4 14
0 − 19 − 14 m + 8
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
9 d 2
d 3 19 d 2
d 4 ⎯ →⎯⎯⎯
####### 1 3 2 − 1
####### 0 1 1 − 1
####### 0 0 5 5
0 0 5 m − 11
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
− d 3
- d 4 ⎯ →⎯⎯
####### 1 3 2 − 1
####### 0 1 1 − 1
####### 0 0 5 5
0 0 0 m − 16
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### .
Vậy điều kiện là hệ có nghiệm ⇔ m − 16 = 0 ⇔ m =16.
2. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của một hệ véctơ
- Cho m véctơ n chiều X 1
, X 2
,..., X m
. Xét đẳng thức: α 1
X 1
- α 2
X 2
+...+ α m
X m
= O n
(*). Đẳng
thức này tương đương với hệ tuyến tính tổng quát gồm n phương trình và m ẩn α 1
, α 2
,..., α m
có
ma trận hệ số là A = X 1
####### X
2
####### X
m
( ), trong đó các véctơ
X 1
, X 2
,..., X m
viết dưới dạng cột.
- Hệ gồm m véctơ n chiều X 1
, X 2
,..., X m
được gọi là độc lập tuyến tính nếu (*) chỉ xảy ra khi
α 1
= α 2
=...= α m
=0, tức hệ tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số A có nghiệm tầm thường
duy nhất, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng tam giác.
- Hệ gồm m véctơ n chiều X 1
, X 2
,..., X m
được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số thực
α 1
, α 2
,..., α m
không đồng thời bằng 0 sao cho đẳng thức (*) xảy ra, tức hệ tuyến tính thuần nhất
có ma trận hệ số A có vô số nghiệm, tức quá trình biến đổi ma trận hệ số A kết thúc dưới dạng
hình thang.
Ví dụ 1: Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X 1
=(2,1,−1), X 2
=(1,5,−2), X 3
####### =(3,−7, 2).
Giải. Xét hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số:
A =
2 1 3
1 5 − 7
− 1 − 2 2
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟
doichod 1& d 3 ⎯ →⎯⎯⎯⎯
− 1 − 2 2
1 5 − 7
2 1 3
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟
d 1 + d 2 2 d 1 + d 3 ⎯ →⎯⎯
− 1 − 2 2
0 3 − 5
0 − 3 7
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟
d 2 + d 3 ⎯ →⎯⎯
− 1 − 2 2
0 3 − 5
0 0 2
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎟
.
Quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác nên hệ véctơ độc lập tuyến tính.
Ví dụ 2: Tìm m để hệ véctơ X 1
=(−1,3, 2), X 2
=(2, 4,−3), X 3
=(5,5, m ) độc lập tuyến tính.
Giải. Có A =
####### − 1 2 5
####### 3 4 5
2 − 3 m
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
3 d 1 + d 2 2 d 1
- d 3 ⎯ →⎯⎯
####### − 1 2 5
####### 0 10 20
0 1 m + 10
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
−
1
10
d 2 + d 3
⎯ →⎯⎯⎯
####### − 1 2 5
####### 0 10 20
0 0 m + 8
####### ⎛
####### ⎝
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎜
####### ⎞
####### ⎠
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟
####### ⎟⎟
####### .
Vậy hệ véctơ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi m + 8 ≠ 0 ⇔ m ≠−8.
####### 4 BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED
####### 4 BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED
Câu 6. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X =(3,−5,−10,15) qua các véctơ
X 1
=(3,−2, 4,5), X 2
=(1,1,7,−3), X 3
####### =(0, 2,3,−4).
Câu 7. Hãy biểu diễn tuyến tính véctơ X =(1,−2,0,7) qua các véctơ
X 1
=(1,3, 4,5), X 2
=(2, 2,−1,3), X 3
=(3,5,1,−2), X 4
####### =(−4,7, 2, 4).
Câu 8. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ véctơ X 1
=(2,1,−1), X 2
=(1,5,−2), X 3
####### =(3,−7, 2).
Câu 9. Tìm m để hệ véctơ X 1
=(−1,3, 2), X 2
=(2, 4,−3), X 3
=(5,5, m ) độc lập tuyến tính.
Câu 10. Xét sự phụ thuộc tuyến tính của các hệ véctơ sau:
a)
####### X
1
####### =(2,1,−1)
####### X
2
####### =(1,5,−2)
####### X
3
####### =(3,−7, 2)
####### ⎧
####### ⎨
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎩
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
. b)
####### X
1
####### =(1,1,−1,−1)
####### X
2
####### =(2,6,3, 2)
####### X
3
####### =(5,9,0,−1)
####### ⎧
####### ⎨
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎩
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### .
c)
####### X
1
####### =(1,−2,1,−1)
####### X
2
####### =(3,3,5,−2)
####### X
3
####### =(0,−9,−2,1)
####### ⎧
####### ⎨
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎩
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### .
d)
####### X
1
####### =(−1,3, 2)
####### X
2
####### =(2, 4,−3)
####### X
3
=(5,5, m )
####### ⎧
####### ⎨
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎩
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### .
e)
####### X
1
####### =(4,3,−1, 2)
####### X
2
####### =(2,−2, 4,5)
####### X
3
####### =(−2,9,−13,−13)
####### ⎧
####### ⎨
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎩
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### ⎪
####### .
Câu 11. Tìm m để véctơ X =(−3,−2,1, m ) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X 1
=(2,1, m ,−1), X 2
=(1,3,−1, 2), X 3
####### =(2,−1,−3,−1).
Câu 12. Chứng minh rằng với mọi m hệ v éctơ X 1
=(2,3, 4,−1), X 2
=(−1, 2,−2,1), X 3
=(3, m , 4, 2) độc
lập tuyến tính.
Câu 13. Chứng minh rằng với mọi m véctơ X =(− m , 2, m ) luôn biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X 1
=(1,3, m ), X 2
=(−2,−1,1), X 3
####### =(4, 2,−3).
Câu 14. Chứng minh X 1
=(1,1,1), X 2
=(1,1, 2), X 3
=(1, 2,3) độc lập tuyến tính và hãy biểu diễn véctơ
X =(6,9,14) qua các véctơ X 1
, X 2
, X 3
####### .
Câu 15. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ X 1
####### , X
2
####### ,..., X
m
{ } phụ thuộc tuyến tính và véctơ
X m
không biểu
diễn tuyến tính qua các véctơ X 1
, X 2
,..., X m − 1
thì hệ véctơ X 1
####### , X
2
####### ,..., X
m − 1
{ } phụ thuộc tuyến tính.
Câu 16. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ X 1
####### , X
2
####### ,..., X
m
{ }⊂!
n độc lập tuyến tính và tồn tại véctơ
####### X ∈!
n không biểu diễn tuyến tính qua hệ véctơ X 1
####### , X
2
####### ,..., X
m
{ } thì
m ≤ n −1.
Câu 17. Tìm m để hệ véctơ X 1
=(−1,3, 2,1), X 2
=(2, 4,−3,−1), X 3
=(1, 2,3, 4), X 4
=(5,5,5, m ) độc lập
tuyến tính.
Câu 18. Chứng minh rằng nếu hệ véctơ X 1
####### , X
2
####### ,..., X
m
{ }⊂!
n độc lập tuyến tính và khi thêm vào véctơ
####### X ∈!
n ta được hệ véctơ X 1
####### , X
2
####### ,..., X
m
{ , X } phụ thuộc tuyến tính thì véctơ
X được biểu diễn tuyến
tính một cách duy nhất qua các véctơ X 1
, X 2
,..., X m
####### .
Câu 19. Tìm m để véctơ X =(1, 2,3, m ) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X 1
=(−1, 2,−3,5), X 2
=(2,1, 4,6), X 3
####### =(−3, 2,5,7).
Câu 20. Tìm m để véctơ X =(1, 2,3, 4, m ) biểu diễn tuyến tính qua các véctơ
X 1
=(−1, 2,−3,5,1), X 2
=(2,1, 4,6,3), X 3
=(−3, 2,5,7,−1), X 4
####### =(−2,3,−1, 4,5).
Combo Toán cao cấp dành cho Sinh viên khối ngành kinh tế
####### BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED 5
####### BIÊN SOẠN: THẦY Đ ẶNG THÀNH NAM – PRO S1 – ĐẠ I S Ố TUYẾN TÍNH – DUY NHẤT TẠI VTED 5
Đăng kí khoá học tại đây: goo/FQ5oca
Hiện tại Vted xây dựng 2 khoá học Toán cao cấp 1 và Toán cao cấp 2 dành
cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế của tất cả
các trường:
1 Khoá: PRO S1 - MÔN TOÁN CAO CẤP 1 - ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
2 Khoá: PRO S2 - MÔN TOÁN CAO CẤP 2 - GIẢI TÍCH
Khoá học cung cấp đầy đủ kiến thức và phương pháp
giải bài tập các dạng toán đi kèm mỗi bài học. Hệ thống
bài tập rèn luyện dạng Tự luận có lời giải chi tiết tại
website sẽ giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc
chắn kiến thức. Mục tiêu của khoá học giúp học viên
đạt điểm A thi cuối kì các học phần Toán cao cấp 1 và
Toán cao cấp 2 trong các trường kinh tế.
Sinh viên các trường ĐH sau đây có thể học được combo này:
ĐH Kinh Tế Quốc Dân
ĐH Ngoại Thương
ĐH Thương Mại
Học viện Tài Chính
Học viện ngân hàng
ĐH Kinh tế ĐH Quốc Gia Hà Nội
và các trường đại học, ngành kinh tế của các trường ĐH khác trên khắp cả
nước...
Combo Toán cao cấp dành cho Sinh viên khối ngành kinh tế
Đăng kí khoá học tại đây: goo/FQ5oca
Bài 3 - ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH
Course: Giải tích I (MI1110)
University: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
