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Orto matemàtiques de càlcul d'una variable

Física Enginyeria Electrònica. Temes de fonaments d'electromagnetisme...

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Càlcul d'Una Variable

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Universitat de Barcelona

Any acadèmic: 2019/2020

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Ortotipografía y notaciones

matemáticas

Javier Bezos

Versión 0 2016-09-01.

Introducción 1. Este documento tiene como propósito proporcionar una serie de reglas ge-

nerales sobre la composición de textos matemáticos y está destinado a científi-

cos, escritores, editores y correctores que tienen que tratar con obras o artículos

de este tipo.

Las notaciones matemáticas tienen tal variedad y riqueza que es poco menos

que imposible considerar todas las posibilidades, por lo que el contenido de

este artículo debe entenderse como esencialmente orientativo, sobre todo en

lo que se refiere a las notaciones propiamente dichas (no tanto en los detalles

tipográficos). No se entrará, al menos de momento, en notaciones muy espe-

cializadas; en cualquier caso, aquí se pretende llamar la atención sobre detalles

que a menudo pasan inadvertidos y que convendría tener en cuenta de una u

otra forma incluso si se usan otras notaciones. Tampoco se entrará en el SI de

unidades, sobre lo que ya hay excelentes referencias en Internet, 1 aunque en

ocasiones se hará alusión a él.

Las reglas expuestas en este documento se basan en tradiciones tipográficas

que retroceden en algunos casos a varios siglos. Es preciso señalar que en física

la ISO (norma 80000) y la Unión Internacional de Físicas Pura y Aplicada ha

establecido una serie de recomendaciones de nuevo cuño que se apartan, en

ocasiones de forma muy notable, de las tradicionales y que incluso pueden

inducir a confusión (por ejemplo,Mapuede ser bien el número de Mach, bien

masa por aceleración).

Símbolos

matemáticos

2. Los símbolos matemáticos no son abreviaciones, sino entidades escritas con

valor completo y autónomo. 2 No quedan por tanto sujetos a normativas de

carácter lingüístico o gramatical, sino que siguen su propia lógica del lenguaje

formal matemático para combinarse en expresiones y fórmulas según ciertas

reglas establecidas, ya sea por tradición, ya sea por convenios internacionales,

nacionales, locales o personales.

1 La edición en el momento de escribir esto es la 8, que se puede descargar gratuitamente de bipm. 2 Lo mismo cabe decir de los símbolos de unidades o de las fórmulas químicas. Con respecto a los primeros, elSIen su apartado 5 establece: «Les symboles d’unités sont des entités mathéma- tiques et pas des abréviations».

1 Blancos 3. Los espacios en las fórmulas tienen como objetivo aumentar la claridad y

legibilidad, pero por sí mismos y salvo casos excepcionales no tienen significa-

do alguno. De esta forma, sen π xsignifica lo mismo que sen π x; simplemente,

la segunda está incorrectamente escrita. En este caso, si se quisiera agrupar los

símbolos de otra forma, se podría escribir(sen π )xo, mejor aún,xsen π.

Comas 4. Cuando se especifica un símbolo tras su nombre, no se añaden comas:

Cuando se aplica un campo magnéticoH, los electrones con momento magnético β paralelo al campo disminuyen su energía en β H.

Uniformidad 5. El importante concepto de uniformidad tipográfica también se aplica a las

notaciones. Cuando tenemos varias opciones hay que seguir una de ellas y no

cambiarla sin necesidad. Por ejemplo, hay que evitar escribir en unos casos√

k/ ǫ y en otros(k/ ǫ )1/2, a menos que haya una razón para ello.

Fórmulas en línea

y fórmulas

aisladas

6. Hay que distinguir claramente entre las fórmulas compuestas en el propio

texto y las aisladas (es decir, puestas aparte y con blancos antes y después),

ya que los criterios seguidos en uno u otro caso pueden ser distintos. La dife-

rencia suele estar en el tamaño de ciertos símbolos (sumatorios, integrales), la

colocación de índices (a la derecha o debajo), el tamaño de las fracciones y cier-

tos detalles microtipográficos como la posición exacta de índices, el tamaño de

radicales, etc. Sistemas como TEX ajustan automáticamente muchos de estos

detalles, pero si se usan editores gráficos hay que hacer ajustes a mano o dejar

las fórmulas sin ajustar (y por tanto con una estética tipográfica mediocre).

Disposición de

fórmulas aisladas

7. Las fórmulas aisladas suelen ir centradas, pero en ocasiones se ven alinea-

das por la izquierda con una sangría de uno o dos cuadratines. 3 Ambas opcio-

nes son posibles y correctas. Cuando la fórmula no cierra el párrafo, la línea

que sigue debe ir siempre sin sangrar, pues la sangría marca el comienzo de

un nuevo párrafo:

Hay entonces un movimiento x=x(t), y=y(t), z=z(t) en K con el que se corresponde.

Una fórmula aislada puede ir al final de una página, pero no debería sepa-

rarse del texto que le antecede: si la fórmula quedara al comienzo de página,

habría que pasar una línea de la página anterior. Es un raro caso donde una

línea viuda es admisible y necesaria. En cualquier caso, la fórmula en sí no

puede dividirse entre dos páginas.

Numeración de

fórmulas aisladas

8. Todas las fórmulas aisladas deben numerarse, o al menos la mayoría. A su

vez, todas las fórmulas numeradas deben disponerse aisladas. Algunos ma-

nuales recomiendan numerar sólo aquellas que tienen remisiones desde el tex-

to, pero con ello se priva a otras obras o a los profesores a referirse a fórmulas

concretas cuando haga falta. El número se suele encerrar entre paréntesis y

va alineado a la izquierda o a la derecha sin ninguna sangría; aunque lo más

3 Un cuadratín (en inglés,em space) es un espacio cuyo ancho es el del tamaño de la letra; así, si la letra es de 11 pt. un cuadratín es un espacio de 11 pt.

Llamadas a nota 12. Las llamadas a nota, ya sean con asteriscos o con números voladitos, pue-

den causar confusión cuando están pegadas a las fórmulas. Para solucionar

el problema se han propuesto varias soluciones, de las cuales tal vez la más

aceptada sea la de hacer la llamada antes de la fórmula:

Es evidente que la relación es 1 P=−fxx=−fyy=−fzz.

Cursiva y redonda 13. Los símbolos de una sola letra se escriben con cursiva y no se espacian

de otros símbolos de una letra. En cambio, los símbolos de varias letras se

escriben con letra redonda y siempre se espacian de los símbolos que le ro-

dean, excepto los delimitadores. Así,lnxequivale a tres símbolos multiplica-

dos (l·n·x), mientras que lnxequivale a dos símbolos: el logaritmo neperiano

dex. Las letras griegas no se combinan y por tanto no es raro verlas compues-

tas de redondo, aunque la tendencia actual es que las minúsculas griegas sean

en cursiva; en las mayúsculas griegas, por el contrario, no se usa la cursiva.

De igual modo, tampoco se combinan letras negritas, por lo que los vectores

suelen ser letras verticales y no cursivas.

En algunas áreas, la redonda tiene usos específicos, incluso si es un símbolo

de una letra; por ejemplo, los partículas subatómicas y los elementos (mppara

la masa del protón) y, en ocasiones, los parámetros en probabilidad y estadís-

tica, por uniformidad (E{x}para la esperanza, Var{x}para la varianza, etc.

(aunque conviene tener presente que la norma ISO 3534-1 las escribe con una

letra y de cursiva:E,V).

La cursiva matemática no tiene función de énfasis, por lo que se conserva

incluso si el texto está en cursiva. Tampoco la redonda debe pasarse a cursiva.

Estilos de letras 14. El estilo de las letras en matemáticas es significativo y se usan distintas

variantes, además de la cursiva y la redonda, para crear diferentes símbolos

basados en una misma letra:

Caligráficas (mayúsculas): ABCDEF GHIJ KLMN OPQRST U VWX YZ Góticas (normalmente mayúsculas): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz Negritas (verticales y cursivas): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz Huecas (mayúsculas): ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ Paloseco (y variantes): 4 ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ 4 Se llama letrapalosecoa la letra sin remates, es decir, sin los pequeños adornos en los extremos de los trazos.

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ abcdefghijklmnopqrstuvwxyz

Estas variantes pueden aparecer de forma ocasional para dar varios signifi-

cados distintos a una letra (por ejemplo, E para el campo eléctrico,Epara el

campo eléctrico externo yEpara la energía), o bien pueden indicar de forma

sistemática que se trata de un cierto tipo de entidad matemática (negritas para

los vectores, huecas para los conjuntos en sistemas de números, caligráficas

para categorías, góticas para cuerpos, paloseco para tensores, etc.).

Nombres de

símbolos

15. Pocos símbolos matemáticos tienen nombre. Normalmente se leen con el

significado que se le da en un cierto contexto, pero en general un mismo sig-

nificado puede corresponder a varios símbolos (·,×,∗para la multiplicación),

mientras que un símbolo puede tener multitud de significados (∼puede indi-

car similitud, proporcionalidad, equivalencia, diferencia absoluta, negación y

mucho más).

Usos específicos

de letras

16. Por lo general, las letrasx,yyzrepresentan variables o incógnitas;f,g,h,

funciones;i,j,k,l,m,n, parámetros enteros, ya,b,c,d, constantes.

Cifras 17. Las cifras en las fórmulas, ya sean arábigas o romanas, se escriben siempre

de redondo.

12 x 3 + 3 x 2 − 5 x+ 9 = 86 σ I=− σ II

Hay que evitar el empleo de los números elzevirianos ( 0123456789 ), ya que

en matemáticas pueden reducir la legibilidad.

Números mixtos 18. Aunque en textos generales puede ser admisible, en matemáticas hay que

evitar los llamados en ocasionesnúmeros mixtos, como por ejemplo 7 12 para 7,5,

334 para 3,75, etc.

Números

complejos

19. Pueden darse por sus dos coordenadas comoa+ibo(a,b), o con el módulo

y el argumento comorei θ ,rcis θ or/ θ. Tantoicomoei θ y cis θ son números

complejos por sí mismos, mientras que(a,b)yr/ θ sólo pueden aparecer con

los dos valores:i= (0, 1), cis α cis β =cis( α + β ),ei π =1/ π. Otra notación

con módulo y argumento esr θ.

Orden de los

factores

20. Los factores por lo general siguen este orden: coeficientes numéricos, cons-

tantes como π oi, coeficientes simbólicos, incógnitas, función exponencial

(ef(x)) y otras funciones. Así:

2 π nxexsenx y no π nsenx x 2 ex

En ocasiones puede ser conveniente cambiar el orden por alguna razón; por

ejemplo, 2 π nipara indicar una periodicidad. También se pueden agrupar los

factores de forma que se muestre su lógica, en cuyo caso se separan con un

signo explícito de multiplicar:aei α · 2 π cos α.

Tamaño de los

delimitadores

24. Los delimitadores deben ser normalmente del mismo tamaño que la letra,

aunque también se dan a menudo los siguientes casos:

a) Si en el contenido de los delimitadores hay símbolos grandes como inte-

grales, sumatorios, fracciones, etc., deben ajustarse a ese tamaño:

(x+ 1 )

(

x x− 1

)

y no (x+ 1 )(x−x 1 ) ni

(

x+ 1

)(

x x− 1

)

Con operadores grandes, los delimitadores no deben abarcar los posibles

límites, sino que deben ser algo menores. Lo mismo se puede decir de

exponentes y subíndices en general:

(∞

∑

n= 1

1 )

y no

(∞

∑

n= 1

1 )

(x− 1 )(y 2 + 3 )(z+ 2 ) y no (x− 1 )

(

y 2 + 3

)

(z+ 2 )

b) Si fuera necesario combinar delimitadores iguales, se debe ir incremen-

tando ligeramente su tamaño según sean más exteriores

((

()

))

.

∣∣

|a| − |b|

∣∣

(

x−q(x)

)

c) Ciertos símbolos deben adaptarse al tamaño de los delimitadores que los

circundan.

(

x∈A(n)

∣∣

x∈B(x)

)

y no

(

x∈A(n)|x∈B(x)

)

(

x+q(x)

)/(

x−q(x)

)

y no

(

x+q(x)

)

/

(

x−q(x)

)

Intervalos 25. Hay dos notaciones para los intervalos: una en la que un intervalo abierto

se marca con corchetes hacia el exterior de los límites y otra que prefiere los

paréntesis:]a,b[y(a,b). En ambos sistemas un intervalo cerrado se indica con

corchetes en su posición habitual:[a,b]. Los intervalos semiabiertos son:[a,b[

o[a,b)y]a,b]o(a,b]:

[a,b] = [a,∞[∩]−∞,b] o bien [a,b] = [a,∞)∩(−∞,b]

La elección entre un sistema y otro suele ser por preferencias personales. Una

notación alternativa es la de William Feller, similar a otra de Peano:a,bes un

intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha.

Operadores 26. Se llaman operadores binarios a los signos como+,×,∧,∪que indican

una operación entre dos magnitudes (véase el cuadro 4 en la página 12); se

escriben de redondo y con un espacio fino antes y después, salvo con la barra

de división:a+b,a−b,a·b, peroa/b. Tampoco hay espacios cuando van en

índices:xa+b. Se llaman operadores unarios los signos comod,∆o∇y las abre-

viaciones como sen, lím o sgn que indican una operación sobre la magnitud

que le sigue; normalmente, se espacian antes y después si se trata de abrevia-

ciones, y sólo antes si se trata de signos. Un caso especial es el signo menos (−)

que puede funcionar como binario y unario, según el contexto; su espaciado

varía según se trate de uno u otro; lo mismo vale para otros símbolos como los

mostrados en el cuadro 1:

Cuadro 1 Símbolos que pueden funcionar como unarios

< > ≤ ≥ ∼ ≈ + − ± ∓ ∗

y=−x− 1 pero y=− 1 −x acos α −ibsen α pero − 2 isen α ∫ V

e−i k · r ∇ 2 ψ ( r )d 3 r x R y y no xRy (dondeRes una relación algebraica) y dx−x dy y no ydx−xdy dx dy=r dr d θ y no dxdy=rdrd θ ... el nivel es>5 mm en la zona estudiada...

Otro caso especial es el factorial, cuyo símbolo va tras la cantidad a la que se

aplica; se deja un espacio fino si le sigue una letra, un número o un delimitador

de abrir:

n!(n+ 1 )! y no n!(n+ 1 )! a!b! y no a!b!

Abreviaciones 27. Ciertas funciones y operadores (principalmente unarios) carecen de símbo-

los propios y en su lugar se emplean abreviaciones. Se forman de modo similar

a las abreviaturas normales pero sin puntos ni espacios; en algunos casos las

letras de la abreviación son convencionales o están tomadas de otra lengua,

pero cuando vienen del español no hay razón para suprimir los acentos (salvo

si la formación es siglar). Entre ellas tenemos (se marca con asterisco la forma

tradicional española):

sen (nunca sin), cos, tan o tg, sec, cosec, cot o ctg, arcsen, arccos, arctan

o arctg*, etc. (aunque ha sido tradición separar arc de la función trigono-

métrica, actualmente se tiende a unirla).

lg, log, exp.

mcm (mínimo común múltiplo), mcd (máximo común divisor).

senh o sh, cosh o ch, tanh o tgh o th*, arsenh, etc. (al igual que con arc,

la tradición ha sigo escribir arg y un espacio para las funciones inversas,

pero actualmente se prefiere ar, sin la g ni el espacio).

máx, mín, ínf (ínfimo), sup (supremo), lím, lím inf, lím sup, etc.

si (seno integral), sn o sen am* (seno amplitud), etc.

Es posible encontrar multitud de variaciones, como Sh y Ch en lugar de sh y

ch. Los mismos criterios se suelen seguir para abreviar palabras que no son ni

funciones ni operadores (vmax ́ y novmax. ́ nivmax).

Hay que señalar que antiguamente sí se añadía punto abreviativo (por ejem-

plo, m.c., sin espacios), pero tal práctica ha caído en desuso, ya que más que

ayudar puede inducir a confusión.

Operadores de

multiplicación

28. Debe preferirse el punto centrado·al aspa×en la multiplicación para

evitar confusiones con lax, aunque en aritmética elemental sigue siendo fre-

cuente; el aspa debe reservarse para dimensiones (como en «matriz de 3×2»),

Cuadro 2 Operadores «grandes»

∑

⋃ ∨ ⊕

∏

⋂

∧ ⊗

∐

⊔ ⊙ ⊎

Símbolos con

diferentes

espaciados

33. Algunos símbolos tienen un espaciado que depende del significado. Los

casos más importantes son:

a|b(«divide a») pero {x|x> 5 }(una notación para «tal que») f:A→B(función) pero {x:x> 5 }(otra notación para «tal que») 1,2 (decimales) pero (1, 2)(separador)

Acentos 34. Las adiciones de acentos a otro símbolo se harán al símbolo central, dado

que es imposible que los afecte de otra forma.

z ̄ 0 z ̄ 1 y no z 0 z 1

Nótese que en la mayoría de los acentos es imposible cubrir el símbolo cen-

tral y los subíndices (x ̇ 1 ), por lo que además se introduciría una incoheren-

cia en la notación. Sólo en casos excepcionales se aplican al simbolo central

y los índices, comox 2 para la media de cuadrados. Un acento puede afectar

a un bloque de símbolos, comoAB̂, pero suele haber límites en la extensión

que puede adoptar el acento; en tal caso, se puede seguir alternativas como

(ABCDEF)̂.

En las letras con ascendentes (b, d, f, h, k, l, t,al igual que mayúsculas como

Ly letras griegas como φ o ψ ) los acentos deben alinearse con relación al asta

vertical:dˆy nodˆ, ψ ˆy no ψ ˆ. En las letrasiyjse suprime el punto con los

acentos:ˆıyˆ  , aunque si el acento es un punto se deja: ̇i.

Índices 35. Al igual que los acentos, deben ir adjuntos directamente al símbolo al que

afectan. Su posición con relación al símbolo es una cuestión de notación mate-

mática, pero he aquí algunos casos frecuentes:

a) Con integrales, siempre a la derecha del símbolo, aunque también es po-

sible que vayan sobre y bajo la integral:

∫x 2 0 o bien

∫x 2

b) En sumatorios, encima y debajo si es en una fórmula aislada y a la iz-

quierda si es en el texto:

∞

∑

n= 0

pero en línea ∑∞n= 0

El cuadro 2 muestra otros símbolos con idéntica disposición a los suma-

rios.

c) En límites, debajo, aunque en el texto también puede ir a la izquierda.

lx ́ım→ 01 x pero en línea también l ́ımx→ 0 1/x

En tensores, el orden de los índices es fundamental, por lo que en este caso se

colocarán de forma que se vea claramente cómo se relacionan; para ello, no es

raro que se añadan puntos en los huecos:Rijkl n··m·. Si se quiere poner de relieve

un orden en los índices, hay que usar delimitadores:

v 2 max ́ o bien (vm ́ax) 2 pero no vmax ́ 2

Posición de los

índices

36. Al colocar los índices, hay que procurar ajustarse a la forma y al tamaño

del símbolo al que van unidos:

f 02 +Γ 2 +∆ 2 mejor que f 20 +Γ 2 +∆ 2 (xa)b y no (xa)b

Cuando hay superíndices en los denominadores, puede hacer falta bajarlos

ligeramente para que el símbolo principal no se desplace demasiado hacia aba-

jo, lo que descuadraría la fórmula:

1

x 2 + 1 x 2 − 1 y no 1 xx

2 + 1

x 2 − 1

Idéntica regla se aplica a los radicales:

√

x 2 y no

√

x 2.

Función de los

índices

37. Por lo general, los superíndices funcionan como exponentes de una poten-

cia y por tanto son en sí mismos expresiones matemáticas. Salvo en notaciones

especializadas, como en análisis tensorial, apenas se añaden a los superíndices

otros símbolos que la prima o el asterisco; si se combinan con un exponente,

estos símbolos van al principio y no es necesario separarlos con delimitadores:

a′ 2 y no(a′) 2 nia 2 ′.

Los subíndices rara vez contienen expresiones, sino que tan sólo matizan

el significado del símbolo principal. Por ello, se pueden yuxtaponer sin que

haya una multiplicación implícita o se forme un número de varias cifras: δ ij,

ψ 23 = ψ 32. El contexto dirá si puede ser necesario añadir comas para evitar

confusiones, como en δ i−1,i. Los subíndices también pueder consistir en texto,

como E fuera del conductor.

Tamaño de los

índices

38. Por lo general, el tamaño de los índices es el 70 % con relación a la letra del

texto; a su vez, en los índices de índices suele ser el 50 %. En algunas editoriales

se prefieren algo más pequeños (60 % y 40 %).

División de

fórmulas

39. Cuando una fórmula es demasiado larga puede ser necesario dividirla.

Para ello, conviene tener en cuenta las siguientes reglas:

a) Se debe dividir preferentemente por relaciones (a veces llamadasverbos)

como=o<en lugar de por operadores (a veces llamadosconjunciones)

como+o∩(véanse los cuadros 3 y 4). Nunca debe dividirse entre un

operador unario y la expresión a la que afecta.

b) Debe evitarse la división dentro de un par de delimitadores a menos que

sea realmente necesario.

c) Las fórmulas en línea se dividen después del símbolo (relación u ope-

rador binario), mientras que las aisladas se dividen antes del símbolo, a

menos que ese símbolo caiga dentro de un par de delimitatores, en cuyo

caso se también divide después. (En caso de que caiga entre delimitado-

res, también es muy frecuente dividir antes.)

marginada por la derecha (en ambos casos dejando uno o dos cuadratines):

C[ 4 π 2 ( ν 2 − ν 2 )cos( 2 πν t− α )− 2 πνγ sen( 2 πν t− α )] =C[ 4 π 2 ( ν 2 − ν 2 )cos α − 2 πνγ sen α ]cos 2 πν t +C[ 4 π 2 ( ν 2 − ν 2 )cos α − 2 πνγ sen α ]sen 2 πν t =F 0 cos 2 πν t.

Esto último también se aplica a fórmulas que se pueden dividir en justamente

dos líneas. Nótese que la ausencia de puntuación al final de cada línea permite

saber que se continúa, por lo que no es necesario repetir el símbolo antes y

después de la división; sin embargo, y a pesar de que puede llegar a resultar

confuso, hay algunos autores que prefieren repetirlo, como en:

C[ 4 π 2 ( ν 2 − ν 2 )cos( 2 πν t− α )− 2 πνγ sen( 2 πν t− α )] = =C[ 4 π 2 ( ν 2 − ν 2 )cos α − 2 πνγ sen α ]cos 2 πν t+ +C[ 4 π 2 ( ν 2 − ν 2 )cos α − 2 πνγ sen α ]sen 2 πν t= =F 0 cos 2 πν t.

División de

fracciones largas

40. Para dividir una fracción larga, se divide el numerador o el denominador,

según haga falta, o se reorganiza la fórmula teniendo en cuenta que(ab)/c=

a(b/c). El resultado ha de ser equivalente a la expresión original, es decir, ha

de tener el mismo sentido que si se escribe en una sola línea. Así, de no caber

lo siguiente:

y=( 4 x

3 + 5 x 2 −x+ 3 )( 3 x 3 + 7 x 2 − 2 x+ 2 ) x 2 − 1 ,

se puede dividir de estas dos formas:

y= ( 4 x 3 + 5 x 2 −x+ 3 )

·( 3 x

3 + 7 x 2 − 2 x+ 2 ) x 2 − 1

, o bien y=

( 4 x 3 + 5 x 2 −x+ 3 ) ·( 3 x 3 + 7 x 2 − 2 x+ 2 ) x 2 − 1 ,

pero no:

y=( 4 x

3 + 5 x 2 −x+ 3 ) x 2 − 1 ·( 3 x

3 + 7 x 2 − 2 x+ 2 ) x 2 − 1

,

puesto que, en general,(ab)/c 6 = (a/c)(b/c).

Matrices 41. La diversidad del contenido de las matrices es tal que no se puede dar re-

glas exhaustivas para su formato. En las matrices más o menos regulares se

centran los datos excepto los signos menos, que no se consideran en la alinea-

ción: 



−1/

√

2 0 1/

√

2 0 1 0

1/

√

2 0 −1/

√

2 



En general, debe buscarse alinear por el elemento más significativo de los com-

ponentes de las matrices:

(−sen φ sen 2 φ

sen 2 φ −sen φ

)

Además de los paréntesis, se usan como delimitadores para las matrices[ ]y

‖ ‖. Los delimitadores| |están reservados para los determinantes.

Ciertos tipos de matrices pueden escribirse con una notación más compacta.

En particular:

diag{a 1 ,a 2 ,... ,an} en lugar de







a 1 0... 0 0 a 2... 0 .. .

..

.

... ..

.

0 0... an







(a 1 a 2... an)t en lugar de







a 1 a 2 .. . an







Sistemas 42. Los sistemas de ecuaciones se alinean por las incógnitas y los operadores,

dejando un blanco cuando no se incluye un cierto término:

10 w+ 3 x+ 3 y =1, 6 w− 17 x − 5 z=2, 11 w − 4 y+ 2 z=8.

Letra ele 43. En la escritura mecanográfica de matemáticas se ha usado unaℓcaligráfica

para que se distinguiera con claridad de la cifra 1. En un sistema de compo-

sición de fórmulas actual, tal precaución no sólo es innecesaria sino incon-

veniente, ya que este signo se puede confundir con la letrae, sobre todo en

índices (a menos que haya alguna razón por la que se quiera distinguirℓde

l). Cuando se trata del símbolo del litro, que por ser con redonda se pueden

confundir más fácilmente con el 1, elSIadmite y recomienda la L mayúscula.

LetraOy cifra 0 44. Los tres símbolos que más se prestan a confusión sonOmayúscula,omi-

núscula y la cifra 0. Mientras que las letras pueden aludir a un origen geomé-

trico o a órdenes de infinitésimos, la cifra suele estar relacionada con valores

iniciales y con el valor básico de entre varios de una magnitud. Así, la veloci-

dad inicial esv 0 y novo.

Otros símbolos

similares

45. A continuación se da una lista de otros símbolos que se confunden a me-

nudo:

La notación de Dirac es〈 α | β 〉y no< α | β >ni< α / β >. Lo mismo se aplica para la media:〈x〉y no<x> La×de multiplicar no debe reemplazarse conxni x: por ejemplo, la notación 5× en óptica no debe ser 5x. Para expresarmucho mayor o menor quehay que emplear los signos propios≫y≪ y no duplicar>y<(es decir>>y<<) La pulsación (o frecuencia angular) es omega ω y no uve doblew. La pertenencia a conjuntos tiene su propio símbolo∈que no es épsilon ǫ (o ε ). La letra nu ν y la uvevson muy similares y hay que buscar una combinación de fuentes que permitan diferenciarlas. El símbolo de proporcionalidad∝no es la letra alpha α. El conjunto vacío es∅y no 6 0, ni la letra phi φ , ni la letra escandinava Ø.

En matrices pueden indicar la omisión de filas y columnas:

A=







a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n .. .

..

. ...

..

.

am 1 am 2... amn







o bien A=







a 11 a 12... a 1 n a 21 a 22... a 2 n ....................... am 1 am 2... amn







En vertical (o con una línea de puntos como la anterior), también pueden

continuar una serie de relaciones:

a 0 n=1, 2 a(n 1 )cos( φ 0 n− φ (n 1 )) =0, .. . 2 a(nr)cos( φ 0 n− φ (nr)) =F(r)(a(r− 1 ), φ (r− 1 ),.. .).

Vectores 48. Como norma general, los vectores se componen con letra negrita y vertical:

a = 3 b + 13 c. En lo manuscrito se suelen usar flechas sobre las letras (~a); existe

tendencia a imitar esta notación en lo impreso, pero debe evitarse de igual

modo que se evita el subrayadoque en lo manuscrito equivale a lacursiva

en lo impreso. Cuando además de vectores se usan díadas, es frecuente que

los primeros vayan en minúscula y los segundos en mayúscula:Bij= i · B · j.

Tampoco es infrecuente la negrita cursiva para los vectores (así lo recomiendan

las normasDINeISO, por ejemplo), pero con ello se disminuye el contraste

y por tanto la legibilidad (no se deben formar símbolos de varias letras con

negritas).

Operaciones

vectoriales

49. El producto escalar se indica siempre con un punto centrado: a · b ; el punto

puede estar en negrita, pero no debe reemplazarse por un topo como•porque

se da demasiado énfasis al operador y se desequilibra visualmente la fórmula.

El producto vectorial puede indicarse de estas dos formas: a × b o a ∧ b , pero

en la actualidad se considera preferible la segunda forma con∧para evitar

confusiones de×con lax. El producto diádico no tiene ningún signo, sino

que simplemente se yuxtaponen los vectores ( ij , aunque también se emplea

i ⊗ j ). 7

Operadores

diferenciales

vectoriales

50. Hay dos escuelas claramente diferenciadas para la representación de los

tres operadores diferenciales vectoriales básicos: los que optan por una abre-

viación del nombre del operador (grad para el gradiente, div para la diver-

gencia y rot para el rotacional) y los que prefieren operaciones con el símbolo

nabla(∇,∇·y∇∧). La elección entre una y otra es sobre todo cuestión de pre-

ferencias personales. En todo caso, no hay necesidad ni razón para poner en

negrita la abreviación, puesto que no es un vector.

grad φ o bien ∇ φ rot E = 0 o bien ∇ ∧ E = 0 o incluso ∇ × E = 0

Para el laplaciano se usa bien∆, bien∇ 2 , aunque la primera se puede con-

fundir con un incremento. El gradiente también tiene la alternativad/d r.

7 Hay también casos especiales. Por ejemplo, en algunos textos a ∧ b da una díada y a × b un seudovector.

Díadas frente a

matrices

51. Es preciso distinguir claramente las operaciones entre díadas, que se pue-

den operar con vectores, y matrices, que no operan con vectores. En matrices

sólo existe un producto, 8 por lo que se adopta la regla general de la multipli-

cación implícita si no hay un símbolo expreso. (La confusión suele aparecer

porque a veces se usan negritas para las matrices y porque se identifica un

vector con la matriz formada con sus componentes.) Así:

Con díadas: a · B · c pero con matrices: aBc ̃

Para las matrices se prefiere la letra paloseco (con o sin negrita), pero no es

raro que las díadas también aparezcan con paloseco.

Dimensiones

geométricas

52. Las dimensiones de un objeto se indican con una serie de valores separa-

dos con×. La unidad de medida se coloca sólo una vez al final para destacar

que es un conjunto de varias longitudes sin un producto de unidades para

formar un volumen:

3,5× 5 ×10 cm y no 3,5 cm×5 cm×10 cm

Si se tratara de un producto y no de una serie de valores sería más adecuado

lo siguiente (véase la sección 28):

V= (3,5· 5 · 10 )cm 3 o bien V=3,5 cm·5 cm·10 cm

Para las relaciones entre dimensiones (y en general) se puede usar los dos

puntos (2 : 3 : 4 : 6), pero obsérvese que el signo :: es superfluo:

a x=

b y=

c x o a:b:c=x:y:z, pero no a:b:c::x:y:z

Los diámetros se especifican con∅y los ángulos con∡como en∅d=4,5 cm

y∡ABC= 37 ◦.

Norma ISO 80000 53. Esta norma se refiere a la escritura de signos matemáticos en ciencias fí-

sicas y tecnología, o otras ciencias aplicadas. No se aplica, en principio, a la

escritura de fórmulas en textos teóricos matemáticos, económicos... Hay que

señalar que el seguimiento de esta norma, que a veces se aparta notablemente

de la tradición, es parcial y algunos puntos rara vez se ven aplicados, debido

entre otros factores a que la física encuentra continuamente nuevas aplicacio-

nes a conceptos matemáticos que ya tienen una notación establecida.

A continuación se resumen los principios fundamentales:

a) Los números, arábigos o romanos, se escriben con letra vertical.

b) La cursiva se reserva a las entidades que pueden tener diferentes valores

(variables o constantes arbitarias). Eso incluye las constantes físicas, cu-

yo valor se determina experimentalmente y por tanto puede variar con

mejores mediciones:ees la carga del electrón, ̄hes la constante de Plank,

etc. Esta norma se aplica también a las mayúsculas griegas: Ω para el

ángulo sólido. Las variables físicas se representan con una única letra y,

en su caso, subíndices y superíndices, por lo que es incorrecto EP oEP

para la energía potencial (que debe serUoEp); los parámetros adimen-

sionales son una excepción:Maes el número de Mach,Rees el número

de Reynolds, etc.

8 Como operación «ordinaria». Hay otros productos como el exterior.

Cuadro 5 Fuente Symbol ́ 0 ́ 1 ́ 2 ́ 3 ́ 4 ́ 5 ́ 6 ́ 7 ́00x 01234567 ̋0x ́01x 8 9 10 11 12 13 14 15 ́02x 1617181920212223 ̋1x ́03x 24 25 26 27 28 29 30 31 ́04x 32! 33 ∀ 34 # 35 ∃ 36 % 37 & 38 ∋ 39 ̋2x ́05x ( 40 ) 41 ∗ 42 + 43 , 44 − 45. 46 / 47 ́06x 048149250351452553654755 ̋3x ́07x 8 56 9 57 : 58 ; 59 < 60 = 61 > 62? 63 ́10x ≅ 64 Α 65 Β 66 Χ 67 ∆ 68 Ε 69 Φ 70 Γ 71 ̋4x ́11x Η 72 Ι 73 θ 74 Κ 75 Λ 76 Μ 77 Ν 78 Ο 79 ́12x Π 80 Θ 81 Ρ 82 Σ 83 Τ 84 Υ 85 ς 86 Ω 87 ̋5x ́13x Ξ 88 Ψ 89 Ζ 90 [ 91 ∴ 92 ] 93 ⊥ 94 _ 95 ́14x  96 α 97 β 98 χ 99 δ 100 ε 101 φ 102 γ 103 ̋6x ́15x η 104 ι 105 φ 106 κ 107 λ 108 μ 109 ν 110 ο 111 ́16x π 112 θ 113 ρ 114 σ 115 τ 116 υ 117 π 118 ω 119 ̋7x ́17x ξ 120 ψ 121 ζ 122 { 123 | 124 } 125 ∼ 126 127 ́20x 128129130131132133134135 ̋8x ́21x 136 137 138 139 140 141 142 143 ́22x 144145146147148149150151 ̋9x ́23x 152 153 154 155 156 157 158 159 ́24x 160 Υ 161 ′ 162 ≤ 163 ⁄ 164 ∞ 165 ƒ 166 ♣ 167 ̋Ax ́25x ♦ 168 ♥ 169 ♠ 170 ↔ 171 ← 172 ↑ 173 → 174 ↓ 175 ́26x ° 176 ± 177 ′′ 178 ≥ 179 × 180 ∝ 181 ∂ 182 • 183 ̋Bx ́27x ÷ 184 ≠ 185 ≡ 186 ≈ 187 ... 188  189  190 ↵ 191 ́30x א 192 ℑ 193 ℜ 194 ℘ 195 ⊗ 196 ⊕ 197 ∅ 198 ∩ 199 ̋Cx ́31x ∪ 200 ⊃ 201 ⊇ 202 ⊄ 203 ⊂ 204 ⊆ 205 ∈ 206 ∉ 207 ́32x ∠ 208 ∇ 209  210  211  212 ∏ 213 √ 214 ⋅ 215 ̋Dx ́33x ¬ 216 ∧ 217 ∨ 218 ⇔ 219 ⇐ 220 ⇑ 221 ⇒ 222 ⇓ 223 ́34x ◊ 224 〈 225  226  227  228 ∑ 229  230  231 ̋Ex ́35x  232  233  234  235  236  237  238  239 ́36x 240 〉 241 ∫ 242 ⌠ 243  244 ⌡ 245  246  247 ̋Fx ́37x  248  249  250  251  252  253  254 255 ̋ 8 ̋ 9 ̋A ̋B ̋C ̋D ̋E ̋F

los símbolos matemáticos para ella incluidos en el sistema). El cuadro 5 muen-

tra la fuente Symbol; es imposible dar aquí la lista de los miles de símbolos

disponibles en TEX, pero el lector interesado puede acudir a

ftp:cam.ctan/tex-archive/info/symbols/comprehensive.zip

También Unicode puede ser una fuente de información:

unicode/charts/symbols.html

Agradecimientos 56. Alejandro Castelli, David Yllanes. Especial agradecimiento a Juan Luis Va-

rona, que encontró algunos errores de bulto en la versión 0, ya corregidos.

Contacto 57. Para errores, comentarios y sugerencias, puede ponerse en contacto con-

migo a través de:

texnia/contact.php

La última versión de este documento está disponible en:

texnia/typo.html

Bibliografía 58. Las descripciones de este documento se han basado en el estudio directo

de obras de mátemáticas y de física de 1891 en adelante, principalmente in-

glesas y españolas, y en situaciones que se han presentado en la práctica de

la composición de textos matemáticos. Además, son referencias importantes

sobre notaciones y tipografía matemáticas:

Cajori, Florian,A history of mathematical notations, New York, Dover, 1993.

(Reimpresión de la edición de 1928-1929.)

The Chicago Manual of Style, Chicago, University of Chicago Press, 14th ed.,

1993, cap. 13, «Mathematics in type». (Esta edición es en general más útil para

matemáticas que la 15)

Knuth, Donald E.,The TEXbook, Reading, Addison-Wesley, 1986.

Lexique des règles typographyques, s. l., Imprimerie National, 2002, «mathéma-

tiques et de la physique (composition des)», p. 107-116.

Mittelbach, Frank,Goossens, Michel,The LATEX Companion, 2nd ed., Reading,

Addison-Wesley, 2004, cap. 8, «Higher mathematics».

Morato, Juan José,Guía práctica del compositor tipográfico, Madrid, Hernan-

do, 2., 1908 (1., 1900, 3., 1933), sec. «Composición de álgebra»,

págs. 52-63. (La sección está tomada deNotions de Typographie, de M. Desor-

mes.)

Satz- und Korrecturanweisungen, 5. neu bearb. Aufl., Mannheim, Dudenver-

lag, 1986, sec. 2, «Der Formelsatz» y cap. 6, «Die Sondernzeichen» (Duden

Taschenbücher, 5).

Swanson, Ellen,Mathematics into Type, Providente, American Mathematical

Society, 1999.

Wolfe, Hugh C., «Símbolos, unidades y nomenclatura», enLerner, Rita G.,

Trigg, George L. (dirs.),Enciclopedia de Física, Madrid, Alianza, 1987, t. 2,

p. 1423-1451.

Licencia 59. Este documento se puede distribuir e imprimir libre y gratuitamente tanto

en formato electrónico como impreso, pero su contenido está bajocopyrightdel

autor y no se puede copiar, ni reproducir en otras obras sin autorización previa

del autor, salvo en caso de cita tal y como prevé la legislación española.

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Orto matemàtiques de càlcul d'una variable

Assignatura: Càlcul d'Una Variable

51 Documents

Els estudiants han compartit 51 documents en aquest curs

Universitat: Universitat de Barcelona

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Ortotipografía y notaciones

matemáticas

Javier Bezos

Versión 0.17 2016-09-01.

Introducción 1. Este documento tiene como propósito proporcionar una serie de reglas ge-

nerales sobre la composición de textos matemáticos y está destinado a cientíﬁ-

cos, escritores, editores y correctores que tienen que tratar con obras o artículos

de este tipo.

Las notaciones matemáticas tienen tal variedad y riqueza que es poco menos

que imposible considerar todas las posibilidades, por lo que el contenido de

este artículo debe entenderse como esencialmente orientativo, sobre todo en

lo que se reﬁere a las notaciones propiamente dichas (no tanto en los detalles

tipográﬁcos). No se entrará, al menos de momento, en notaciones muy espe-

cializadas; en cualquier caso, aquí se pretende llamar la atención sobre detalles

que a menudo pasan inadvertidos y que convendría tener en cuenta de una u

otra forma incluso si se usan otras notaciones. Tampoco se entrará en el SI de

unidades, sobre lo que ya hay excelentes referencias en Internet,1aunque en

ocasiones se hará alusión a él.

Las reglas expuestas en este documento se basan en tradiciones tipográﬁcas

que retroceden en algunos casos a varios siglos. Es preciso señalar que en física

la ISO (norma 80000) y la Unión Internacional de Físicas Pura y Aplicada ha

establecido una serie de recomendaciones de nuevo cuño que se apartan, en

ocasiones de forma muy notable, de las tradicionales y que incluso pueden

inducir a confusión (por ejemplo, Ma puede ser bien el número de Mach, bien

masa por aceleración).

Símbolos

matemáticos

2. Los símbolos matemáticos no son abreviaciones, sino entidades escritas con

valor completo y autónomo.2No quedan por tanto sujetos a normativas de

carácter lingüístico o gramatical, sino que siguen su propia lógica del lenguaje

formal matemático para combinarse en expresiones y fórmulas según ciertas

reglas establecidas, ya sea por tradición, ya sea por convenios internacionales,

nacionales, locales o personales.

1La edición en el momento de escribir esto es la 8.a, que se puede descargar gratuitamente de

http://www.bipm.org.

2Lo mismo cabe decir de los símbolos de unidades o de las fórmulas químicas. Con respecto a

los primeros, el SI en su apartado 5.1 establece: «Les symboles d’unités sont des entités mathéma-

tiques et pas des abréviations».