- Informació
- Xat IA
Problemes 1 - ejercicios de mates
Matemàtiques
Universitat de Barcelona
Recomanacions per a tu
Comentaris
Altres documents relacionats
Vista prèvia del text
Matem`atica Aplicada i Bioestad´ıstica (Farm`acia). Seminari Problemes 1. C`alcul de derivades. En aquest seminari estudiarem les regles de derivaci´o i practicarem el c`alcul de derivades. Comen¸cem donant les f´ormules per les derivades d’algunes funcions b`asiques. Donada una funci´o f (x), denotem per f 0 (x) o tamb´e (f (x))0 la derivada de la funci´o f . Derivades immediates. 1. (xα )0 = α xα−1 , per a tot α ∈ R. 2. (ex )0 = ex . 3. (ln x)0 = x1 . 4. (sin x)0 = cos x. 5. (cos x)0 = − sin x. 6. (ax )0 = ax ln a, si a > 0. 7. (loga x)0 = 1 1 , ln a x si a > 0. 8. (arcsin x)0 = √ 1 . 1−x2 9. (arctan x)0 = 1 . 1+x2 Observem que amb la f´ormula 1, podem calcular la derivada dels monomis xn . Aix´ı tenim (x)0 = 1, (x2 )0 = 2x, (x3 )0 = 3x2 , etc. Ara b´e, la f´ormula ´es v`alida per a qualsevol real. Aix´ı podem calcular derivades de potencies on l’exponent ´es un enter negatiu, com per exemple 1 (x−1 )0 = −x−2 = − 2 , x i tamb´e podem calcular derivades de potencies amb exponents racionals o irracionals, com per exemple √ 1 1 ( x)0 = (x1/2 )0 = x−1/2 = √ , 2 2 x √ √ √ o tamb´e (x 2 )0 = 2 x 2−1 . Exercici 1: Calculeu les seg¨ uents derivades immediates: (a) (x−2 )0 √ (b) ( 3 x)0 1 Regles b` asiques de derivaci´ o. 1. La derivada d’una funci´o constant ´es igual a zero. 2. La derivada d’una suma ´es la suma de les derivades. 3. (cf (x))0 = cf 0 (x) per a tota constant c ∈ R. Aix´ı, tenim (2x2 )0 = 2 (x2 )0 = 2 · 2x = 4x. Tamb´e (2 + x + 3 ln x + ex )0 = (2)0 + (x)0 + 3(ln x)0 + (ex )0 = 0 + 1 + 3 · 1 3 + ex = 1 + + ex . x x Exercici 2: Calcular les derivades de les seg¨ uents funcions: (a) f (x) = 1 + x3 − 2ex + 4 cos x; √ (b) g(x) = x − sin x + 3 ln x. La derivada del producte. Si f, g s´on derivables, llavors el producte f · g ´es derivable, i la derivada es calcula amb la f´ormula (f · g)0 (x) = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g 0 (x). Amb aquesta f´ormula ja podem calcular derivades de m´es funcions, com per exemple (x2 · ex )0 = (x2 )0 · ex + x2 · (ex )0 = 2xex + x2 ex . √ √ √ √ 1 ( x · cos x)0 = ( x)0 · cos x + x · (cos x)0 = √ · cos x − x · sin x. 2 x Exercici 3: Fent servir la f´ormula de la derivada del producte, calculeu: (a) (x2 ln x)0 (b) (2ex sin x + x arctan x)0 2 La derivada del quocient. Si f, g s´on derivables, llavors el quocient (f /g) ´es derivable (en els punts on g(x) 6= 0), i la derivada es calcula amb la f´ormula 0 f (x) f 0 (x) · g(x) − f (x) · g 0 (x) = . 2 g(x) g(x) Per exemple, podem calcular la derivada de la funci´o tangent, tan x = 0 (tan x) = sin x cos x 0 sin x . cos x (sin x)0 · cos x − sin x · (cos x)0 cos2 x (cos x) · cos x − sin x · (− sin x) = cos2 x 2 2 cos x + sin x = cos2 x = En aquest punt, si fem servir la identitat cos2 x + sin2 x = 1, obtenim (tan x)0 = Ara b´e, si el que fem ´es dividir terme a terme, obtenim 2 sin x 0 (tan x) = 1 + = 1 + tan2 x. cos x Per tant (tan x)0 = 1 = 1 + tan2 x. 2 cos x Exercici 5: (a) Calculeu la derivada de la cotangent de x, definida per cot x = cos x . sin x 2 e2x (b) Calculeu la derivada de la funci´o f (x) = 2 . x −1 Exercici per casa: Calculeu totes les derivades de les llistes d’exercicis. 4 1 . cos2 x
Problemes 1 - ejercicios de mates
Assignatura: Matemàtiques
Universitat: Universitat de Barcelona
- Més de:MatemàtiquesUniversitat de Barcelona416 Documents