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grupo y homomorfismo

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Álgebra I para Ingeniería

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Universidad de Santiago de Chile

Año académico: 2021/2022

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CapítuCapítulo lo 77

Homomorfismos de gruposHomomorfismos de grupos

Hasta el momento hemos visto algunas nociones básicHasta el momento hemos visto algunas nociones básicas de grupos y varios ejemplos. Para relacionaras de grupos y varios ejemplos. Para relacionar

diferentes grupos, necesitamos la noción de homomordiferentes grupos, necesitamos la noción de homomorfismo, una aplicación entre grupos que preserva sufismo, una aplicación entre grupos que preserva su

estestruct ructura ura. Despué puéssdedeestestudi udiararhom homomo omorfis rfismos mos,,vam vamososaadefidefinir nirlos lossub subgru grupos posnor normal malesesyygrugrupos poscococien ciente.

Todo esto es análogo al material del capítulo 4 esto es análogo al material del capítulo 4.

77 .1 Defin Definición ición y y primer primeros os ejempl ejemplos os

7. Definición.7. Definición. UnUn homomorfismo homomorfismo entre grupos entre gruposG G y y H H es una aplicación es una aplicación φ φ:: G G →→H H tal que para cuales- tal que para cuales-

quieraquiera g g

,,g g

∈∈G G se cumple se cumple

φφ((g g

g g

))==φφ((g g

))φφ((g g

).).

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para todo grupo Para todo grupo

G G

la aplicación identidad la aplicación identidad

id id :: G G

→→ G G

es un homomorfismo. es un homomorfismo.

▲▲

7.17.1.3... T Todo odohomom homomorfismorfismoodedeanilloanillossφφ:: A A →→B B e essununhom homomo omorfis rfismo modedegru grupos posadi aditivtivosos(es(estotohachacee

parte de la definición). Además, todo homomorfismo departe de la definición). Además, todo homomorfismo de anillos anillos φ φ:: A A →→B B se restringe a un homomorfismo se restringe a un homomorfismo

de grupos multiplicativosde grupos multiplicativos φ φ

××

:: A A

××

→→B B

××

.. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo.

La reducción módulo La reducción módulo n n es un homomorfismo de grupos aditivos es un homomorfismo de grupos aditivos

ZZ→→ZZ//n n ZZ..

Además, tenemos un homomorfismo de grupos multiplicaAdemás, tenemos un homomorfismo de grupos multiplicativos (poco interesante)tivos (poco interesante)

{{±±1}1}→→((ZZ//n n ZZ))

××

,, ++ 11 →→[1],[1], −− 11 →→[[n n −−1].1].

SiSi n n ||m m , entonces tenemos un homomorfismo de grupos aditivo, entonces tenemos un homomorfismo de grupos aditivoss

ZZ//m m ZZ→→ZZ//n n ZZ, , [[a a ]]

m m

→→[[a a ]]

n n

y un homomorfismo de grupos multiplicativos y un homomorfismo de grupos multiplicativos

((ZZ//m m ZZ))

××

→→((ZZ//n n ZZ))

××

, , [[a a ]] m m

→→[[a a ]] n n

.. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para ver más homomorfismos familiares, podemos revPara ver más homomorfismos familiares, podemos revisisar algunas propiedades conocidasar algunas propiedades conocidas

del análisis real y complejo análisis real y complejo.

1) 1) El signo de un número racional (resp. El signo de un número racional (resp. real) no nuloreal) no nulo es un homomorfismo de grupos multiplic es un homomorfismo de grupos multiplicativosativos

××

→→{{±±1}1} (resp. (resp

××

→→{{±±1}1}),), x x →→sgnsgnx x : :==

{{

++ 1,1,

sisi

x x

>> 0,0,

−−1,1, sisi x x <<0.

© ©2018–2019 Alexey Beshenov. Para la última versión d2018–2019 Alexey Beshenov. Para la última versión de este texto, véasee este texto, véase cadadr/san-salvador/algebra/ cadadr/san-salvador/algebra/

77... DDeefifinniicciióón n y y pprriimmeerroos s eejjeemmpplloos s CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppooss

2) 2) El valor absoluto de un número racional (respEl valor absoluto de un número racional (resp. real. real, c, complejo) no nulo es un homomomplejo) no nulo es un homomorfismoorfismo

××

→→QQ

>> 00

,, (resp. (resp

××

→→RR

>> 00

,,CC

××

→→RR

>> 00

),), x x →→||x x ||..

De hecho, para cualesquieraDe hecho, para cualesquiera x x e e y y se tiene se tiene||xxy y ||==||x x ||··|| y y ||..

3) 3) Con Consider sideremos el emos el grupo aditivgrupo aditivoo RR y el grupo multiplicativo de los números reales po y el grupo multiplicativo de los números reales positivossitivos RR

.. LaLa

función exponencial es un homomorfismofunción exponencial es un homomorfismo

exp:exp: R R→→RR

>> 00

,, x x →→e e

x x

..

De hecho, para cualesquieraDe hecho, para cualesquiera x x ,, y y ∈∈RRtenemostenemos e e

x x ++ y y

==e e

x x

e e

y y

..

4) 4) De manera similar, la e De manera similar, la exponencial compleja es un hoxponencial compleja es un homomorfismomomorfismo

exp:exp: C C→→CC

××

,, z z →→e e

z z

..

Para cualesquieraPara cualesquiera z z ,,w w ∈∈CCtenemostenemos e e

z z ++w w

==e e

z z

e e

w w

..

5) 5) El logaritmo El logaritmo es un homes un homomorfismoomorfismo

log:log:

R R

>> 00

→→RR ,, x x

→→ log log x x ..

Para cualesquieraPara cualesquiera x x ,, y y >> 00 se cumple se cumple log( log(xxy y ))==log(log(x x ))++log(log( y y ))..

6) 6) Para cualquier Para cualquier número real número real positivopositivo α α>> 00 la aplicación la aplicación

>> 00

→→RR

>> 00

,, x x

→→ x x

αα

es un homomorfismo: se tienees un homomorfismo: se tiene ( (xxy y ))

αα

==x x

αα

y y

αα

.. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El determinante de matrices invertibles de El determinante de matrices invertibles de n n ××n n es un homomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos

det: GLdet: GL n n

(( A A ))

→→ A A

××

—de hecho,—de hecho, det( det(ab ab ))==detdeta a ··detdetb b .. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Sean Sean A A un dominio de factorización única y un dominio de factorización única y K K ==FracFrac A A . Para un primo. Para un primo p p ∈ ∈ A A la valuación la valuación

p p -ádica es un homomorfismo de grupos-ádica es un homomorfismo de grupos

v v

p p

: : K K

××

→→ZZ ,,

a a

b b

→→v v

p p

󰀨󰀨

a a

b b

󰀩󰀩

::

==v v

p p

((a a ))−−v v

p p

((b b ).).

Si en lugar deSi en lugar de

queremos trabajar con un grupo multiplicativo, podequeremos trabajar con un grupo multiplicativo, podemos definir elmos definir el

valor absoluto valor absoluto

p p

-ádico-ádico

dede x x ∈∈QQ

××

como sigue:como sigue:

||x x || p p

: :

==ρρ

v v p p

((x x ))

para algúnpara algún

0

<<ρρ<< 11

. Entonces, para cualesquiera. Entonces, para cualesquiera

x x ,, y y

∈∈QQ

××

se cumplese cumple

||xxy y ||

p p

= = ||x x ||

p p

··|| y y ||

p p

..

De esta manera se obtiene un homomorfismo de grupos De esta manera se obtiene un homomorfismo de grupos multiplicativosmultiplicativos

||··||

p p

: : K K

××

→→RR

>> 00

,,

x x →→||x x ||

p p

..

(Para(Para x x == 00 se define se define|| 00 ||

p p

: :== 00 , lo que concuerda con la definición, lo que concuerda con la definición v v

p p

(0)(0)::==∞∞.).) ▲▲

77... SSiiggnno o dde e ppeerrmmuuttaacciioonnees s CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppooss

77 .2 Sig Signo no de de per permut mutaci acione oness

Cuando alguno me muestra un signo, si ignoro loCuando alguno me muestra un signo, si ignoro lo

que significa no me puede enseñar nada; pero si loque significa no me puede enseñar nada; pero si lo

sé, ¿qué es lo que aprendo por el signo?sé, ¿qué es lo que aprendo por el signo?

San Agustín,San Agustín, “El Maestro” “El Maestro”, Capítulo X, Capítulo X

7. Definición.7. Definición. Para una permutación Para una permutación σ σ∈∈S S

n n

cuando para algunos cuando para algunos 1 1≤≤i i << j j ≤≤n n se tiene se tiene σ σ((i i ))>>σσ(( j j )), , sese

dice que hay unadice que hay una inversión inversión. El número. El número

sgnsgnσσ::==((−−1)1)

##de inversionesde inversiones

se llama else llama el signo signo de de σ σ. Se dice que. Se dice que σ σ es es par par si si sgn sgnσσ==++ 11 e e impar impar si si sgn sgnσσ==−− 11 ..

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para Para S S

tenemos tenemos

ppeerrmmuutatacciióón n iinnvveerrssiioonnees s ssiiggnnoo

􀀨􀀨

1 1 2 2 33

􀀩􀀩

no no hay hay ++ 11 (par) (par)

􀀨􀀨

1 1 2 2 33

2 2 1 1 33

􀀩􀀩

22

>> 11

−− 11

(impar) (impar)

􀀨􀀨

1 1 2 2 33

1 1 3 3 22

􀀩􀀩

33 >> 22 −− 11 (impar) (impar)

􀀨􀀨

1 1 2 2 33

3 3 2 2 11

􀀩􀀩

33 >> 22 ,, 33 >> 11 ,, 22 >> 11 −− 11 (impar) (impar)

􀀨􀀨

1 1 2 2 33

2 2 3 3 11

􀀩􀀩

22 >> 11 ,, 33 >> 11 ++ 11 (par) (par)

􀀨􀀨

1 1 2 2 33

3 3 1 1 22

􀀩􀀩

33

11 ,, 33

>> 22

11 (par) (par)

▲▲

Recordemos algunas observaciones del capítulo anterRecordemos algunas observaciones del capítulo anterior.

1) 1) ToToda da permutaciónpermutación σ σ

∈∈ S S n n

es un producto de ciclos disjuntos. es un producto de ciclos disjuntos.

2) Todo2) Todo k k -ciclo es una composición de-ciclo es una composición de k k −− 11 transposiciones: transposiciones:

((i i

i i

······ i i

k k

))==((i i

i i

))((i i

i i

))((i i

i i

))······((i i

k k −− 11

i i

k k

).).

En particular, toda permutaciónEn particular, toda permutación σ σ∈∈

S S

n n

es un producto de transposiciones. es un producto de transposiciones.

3) 3) ToToda da transposicióntransposición

( (a a b b ))

puede ser escrita puede ser escrita como una composición decomo una composición de

2

··|| b b

−− a a

||−− 11

transposiciones de la transposiciones de la

formaforma ( (i i i i ++1)1)..

En particular, todo elemento deEn particular, todo elemento de

S S

n n

puede ser expresado como un producto de transposic puede ser expresado como un producto de transposicionesiones

(1 2(1 2), (2 3), (2 3), (3 4), (3 4), ), .... ., ., ((n n −− 11 n n ).).

7. Observación.7. Observación. Transposiciones cambian la paridad: si Transposiciones cambian la paridad: si τ τ es una transposición y es una transposición y σ σ∈∈S S

n n

es cualquier per- es cualquier per-

mutación, entoncesmutación, entonces

sgn(sgn(τστσ))

==−− sgnsgnσσ..

CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppoos s 77... SSiiggnno o dde e ppeerrmmuuttaacciioonneess

Demostración. Demostración. EsEstátácla claroroququeecucuanandodoσσesesdedelalafoformrmaa((i i i i ++1)1),,elelsisigngnoocacambmbiaiaalalopopueueststo,o,totodadatrtranans-s-

posiciónposición((a b a b ))esesuna unacocompo mposicsiciónióndede 22 ·|·|b b −−a a |−|− 11 tratransp nsposi osicio ciones nesdedeestestaafoforma rma.últúltimoimonúm número eroesessiesiemprmpree

impar. ■■

7. Corolario.7. Corolario. La paridad de una permutacióLa paridad de una permutaciónn σ σ es precisamente la paridad de la longitud de algun es precisamente la paridad de la longitud de alguna des-a des-

composición en transposiciones: sicomposición en transposiciones: si σ σ==ττ

······ττ

k k

para algunas transposiciones para algunas transposiciones τ τ

i i

, entonces , entonces

sgnsgnσσ==((−−1)1)

k k

..

7. Corolario.7. Corolario. Para dos diferentes descomposiciones en transposic Para dos diferentes descomposiciones en transposicionesiones

σσ==ττ

······ττ

k k

= =ττ

′′

······ττ

′′

ℓℓ

los númeroslos números k k y y ℓ ℓ necesariamente tienen la misma paridad: necesariamente tienen la misma paridad: k k ≡≡ℓℓ (m(mod 2)od 2) ́ ́ ..

7. Corolario.7. Corolario. El signo de El signo de k k -ciclo viene dado por -ciclo viene dado por

sgn(sgn(i i

i i

······i i

k k

))==((−−1)1)

k k

..

Demostración. Demostración. Se sigue de la descomposición en Se sigue de la descomposición en k k −− 11 transposición: transposición:

((i i

i i

······i i

k k

))==((i i

i i

)) ((i i

i i

))······((i i

k k −− 11

i i

k k

).). ■■

7.2.77.. Corolario. Para dos permutaciones Para dos permutaciones σ σ,,ττ∈∈S S

n n

se tiene se tiene

sgn(sgn(στστ))==sgnsgnσσ··sgnsgnττ..

En otras En otras palabras, el palabras, el signo es signo es un homomorsmo un homomorsmo de gruposde grupos S S

n n

→→{{±±1}1}..

Demostración. Demostración. Está claro de la interpretación del signo en Está claro de la interpretación del signo en 7 7.. ■■

El signo de permutaciones sale en varios contextos El signo de permutaciones sale en varios contextos importantes, como por ejemplo la fórmula del deter-importantes, como por ejemplo la fórmula del deter-

minanteminante

detdet







x x

1111

······ x x

11 n n

..

x x

n n 11

······ x x

nn nn







󲈑󲈑

σσ∈∈S S n n

sgnsgnσσ··x x

1,1,σσ(1)(1)

······x x

n n ,,σσ((n n ))

..

Aquí la suma tieneAquí la suma tiene n n !! términos y términos y está indexadestá indexada a por todas las por todas las permupermutacion taciones de es de n n índices. Por ejemplo, si índices. Por ejemplo, si

n n == 22 , se recupera la fórmula, se recupera la fórmula

detdet

􀀨􀀨

x x

1111

x x

1212

x x 2121

x x 2222

􀀩􀀩

==x x 1111

x x 2222

−−x x 1212

x x 2121

..

Dejo al lector escribir la fórmula correspondiente Dejo al lector escribir la fórmula correspondiente parapara

n n == 33

..

Otra aparición curiosa del signo es la siguiente. POtra aparición curiosa del signo es la siguiente. Para un primoara un primo p p consideremos el grupo de los restos no consideremos el grupo de los restos no

nulos módulonulos módulo p p ::

××

p p

= ={1,2,...,{1,2,...,p p −−1}.1}.

Ahora para cualquierAhora para cualquier a a ∈∈FF

××

p p

la multiplicación por la multiplicación por a a es una biyección es una biyección

μμ

a a

::

F F

××

p p

→ →FF

××

p p

,, x x

→→ ax ax ..

De hecho, dado queDe hecho, dado que a a es invertible, se ve que es invertible, se ve que

((μμ

a a

))

−− 11

==μμ

a a

−− 11 ..

Entonces,Entonces, μ μ

a a

permuta de alguna manera los elementos de permuta de alguna manera los elementos deFF

××

p p

, y sería interesante investigar qué signo tiene, y sería interesante investigar qué signo tiene

esta permutación permutación.

Ya que estamos hablando de homomorfismos de grupos, Ya que estamos hablando de homomorfismos de grupos, notamos que esta es una aplicación biyectiva, peronotamos que esta es una aplicación biyectiva, pero

no es no es un homomor- un homomor-

fismo.

CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppoos s 77... PPrrooppiieeddaaddees s bbáássiiccaass

EstEstaaobs observa ervació ciónnper perten tenececeeaaZoZololotaritariov ov

,,yyvar variaiassprprueuebabassdedelalarerecipciprorocicidadaddcuacuadrdrátáticicaasesebasbasananenenelellala..

(De hecho, la (De hecho, la interpinterpretació retación se n se genera generaliza alliza al símbolo de Jacobi símbolo de Jacobi

: para: para n n compues compuesto hay to hay que analizar laque analizar la

multiplicación pormultiplicación por a a ∈∈((ZZ//n n ZZ))

××

sobresobre ( (ZZ//n n ZZ))

××

.).)

77 .3 Pro Propieda piedades des bási básicas cas

7.37.3.1.ónón. LaLacom compos posició iciónn dededosdoshom homomor omorsmsmosos

φφ:: G G

→→ H H

y y

ψψ:: H H

→ → K K

eses tam tambiénun biénun homhomomor omorsmsmoo

ψψ◦◦φφ:: G G →→K K .. □□

7. Observación.7. Observación. SesSes φ φ:: G G →→H H un homomorsmo de grupos. Entonces, un homomorsmo de grupos. Entonces,

1)1) φφ preserva la identidad: preserva la identidad: φ φ

(1(

G G

))

== 11 H H

; ;

2) 2) φφ preserva los elementos inversos: preserva los elementos inversos: φ φ((g g

−−

))==φφ((g g ))

−−

para todopara todo g g ∈ ∈G G ; ;

3) 3) par para to a tododo n n ∈∈ZZ y y g g ∈ ∈G G se cumple se cumple φ φ((g g

n n

))==φφ((g g ))

n n

..

4) 4) sisi g g

n n

== 11

G G

, entonces , entonces φ φ((g g ))

n n

== 11

H H

; en ; en particular, todo particular, todo homomorsmo preserva homomorsmo preserva los elelos elementos de mentos de orden nito nito.

Demostración. Demostración. Tenemos Tenemos

φφ(1( G G

))==φφ(1( G G

·· 11

G G

))==φφ(1( G G

))··φφ(1( G G

),),

y la cancelación en y la cancelación en H H nos permite concluir que nos permite concluir que φ φ(1(

G G

))== 11

H H

. Para los inversos, basta notar que. Para los inversos, basta notar que

φφ((g g

−− 11

))··φφ((g g ))==φφ((g g

−− 11

g g ))==φφ(1(

G G

))== 11

H H

..

La parte 3) se demuestra por inducción (siLa parte 3) se demuestra por inducción (si n n << 00 , hay que ocupar la parte 2)). En fin, 4) es una con, hay que ocupar la parte 2)). En fin, 4) es una consecuenciasecuencia

de 1) y 3).de 1) y 3). ■■

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El determinante cumple El determinante cumple det(1) det(1)== 11 y y det( det(a a

−− 11

))==(det(deta a ))

−− 11

para toda matriz invertiblepara toda matriz invertible a a .. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El signo cumple El signo cumple sgn(id) sgn(id)==++ 11 y y sgn( sgn(σσ

−− 11

))==sgnsgnσσ para toda permutación para toda permutación σ σ∈∈S S

n n

.. ▲▲

7. Definición.7. Definición. Se dice que un homomorfismo de grupos Se dice que un homomorfismo de grupos φ φ:: G G → →H H es un es un isomorfismo isomorfismo si existe un ho- si existe un ho-

momorfismomomorfismo φ φ

−− 11

:: H H → →G G tal que tal que φ φ

−− 11

◦◦φφ==idid

G G

y y φ φ◦◦φφ

−− 11

==idid

H H

..

7. Observación.7. Observación. Un homomorsmo Un homomorsmo φ φ

:: G G

→→ H H

es un isomorsmo si y solamente si es biyectivo. es un isomorsmo si y solamente si es biyectivo.

Demostración. Demostración. Para Para h h

,,h h

∈∈H H tenemos tenemos

φφ

−− 11

((h h

h h

))==φφ

−− 11

󰀨󰀨

φφ((φφ

−− 11

((h h

))))··φφ((φφ

−− 11

((h h

))))

󰀩󰀩

==φφ

−− 11

󰀨󰀨

φφ

((

φφ

−− 11

((h h

))··φφ

−− 11

((h h

))

󐀩󐀩

󰀩󰀩

==φφ

−− 11

((h h

))··φφ

−− 11

((h h

),),

donde la primera igualdad viene dedonde la primera igualdad viene de φ φ◦◦φφ

−− 11

==idid H H

, la segunda igualdad se cumple porque, la segunda igualdad se cumple porque φ φ es un homomor- es un homomor-

fismo, y la tercera igualdad viene defismo, y la tercera igualdad viene de φ φ

−− 11

◦◦φφ==idid

G G

.. ■■

7. Proposición.7. Proposición. Todo grupo cíclico nito de orden Todo grupo cíclico nito de orden n n es isomorfo a es isomorfo a ZZ//n n ZZ. Todo grupo cíclico innito es. Todo grupo cíclico innito es

isomorfo aisomorfo aZZ..

YYegoregorIváno Ivánovich vichZolZolotarotarioviov(1847(1847–1878),matemáti –1878),matemáticocoruso,deruso,de SanSanPetePetersburg rsburgo resultados tadosimpor importante tantes,s,peroperomuri murióó

joven atropellado por un tren atropellado por un tren.

Para recordar la reciprocidad cuadrática y los símbPara recordar la reciprocidad cuadrática y los símbolos de Legendre y Jacobi, véanse mis apuntesolos de Legendre y Jacobi, véanse mis apuntes

cadadr/san-salvador/2018-cp-tne/reciproccadadr/san-salvador/2018-cp-tne/reciprocidad-cuadratica.pdfidad-cuadratica

77... PPrrooppiieeddaaddees s bbáássiiccaas s CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppooss

Demostración. Demostración. SiSiG G es un grupo cíclico finito de orden es un grupo cíclico finito de orden n n , entonces, entonces

G G ==〈〈g g 〉〉=={1,{1,g g ,,g g

,... ,,... ,g g

n n −− 11

}.}.

para algúnpara algún g g ∈ ∈G G . Definamos la aplicación. Definamos la aplicación

φφ:: G G →→ZZ//n n ZZ,, g g

k k

→→[[k k ]]

n n

..

EstEstaaapl aplicaicació ciónnest estáábie bienndefi definid nida:a:

g g

k k

==g g

ℓℓ

sisiyysosolalamementnteesisi

k k ≡≡ℓℓ (m(m ́ ́odod n n ))

.éiénndedemumuesestra tra

queque φ φ es una biyección. Este es un homomorfismo, ya que es una biyección. Este es un homomorfismo, ya que

φφ ((g g

k k

·· g g

ℓℓ

))

==φφ ((g g

k k ++ℓℓ

))

== [[k k

++ℓℓ

]]

n n

== [[k k ]] n n

++ [[

ℓℓ

]]

n n

==φφ ((g g

k k

))

++φφ ((g g

ℓℓ

).).

Ahora siAhora si

G G ==〈〈g g 〉〉=={{g g

n n

||n n ∈∈ZZ}}

es un grupo cíclico infinito, entonces la aplicaciónes un grupo cíclico infinito, entonces la aplicación

φφ :: G G

→→ZZ ,, g g

n n

→→ n n

es visiblemente un isomorfismo visiblemente un isomorfismo. ■■

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para el grupo de las raíces Para el grupo de las raíces n n -ésimas de la unidad tenemos un isomorfismo-ésimas de la unidad tenemos un isomorfismo

μμ

n n

((CC))→→ZZ//n n ZZ,, ζζ

k k

n n

→→[[k k ]]

n n

.. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo.

Un grupo puede ser isomorfo a un subgrupo propio grupo puede ser isomorfo a un subgrupo propio. O Obviamente, es imposible para gruposbviamente, es imposible para grupos

finitos, pero para grupos infinitos, por ejemplo, tenfinitos, pero para grupos infinitos, por ejemplo, tenemos un isomorfismoemos un isomorfismo

ZZ→→ 22 ZZ::=={2{2n n ||n n ∈∈ZZ},}, n n →→ 22 n n .. ▲▲

Note que el isomorfismo construido enNote que el isomorfismo construido en 7 7 no es canónico: para construirlo, hemos no es canónico: para construirlo, hemos escogido escogido un gene- un gene-

radorrador g g ∈ ∈G G . erente ntessgen genera erador doresesnos nosdar darían íandifdifere erente ntessiso isomor morfism fismos grupos posesp especíecífico ficossZZ//n n ZZ,,μμ

n n

((CC)),,

ZZ vienen con un generador canónico en ciert vienen con un generador canónico en cierto sentidoo sentido:: [1] [1]

n n

,, ζ ζ

n n

: :==e e

22 ππi i //n n

, y , y ++ 11 respectivamente. respectivamente.

7. Definición.7. Definición. Un isomorfismo entre un grupo Un isomorfismo entre un grupoG G y sí mismo se llama un y sí mismo se llama un automorfismo automorfismo de deG G ..

7. Observación.7. Observación. Los automorsmos de Los automorsmos de G G forman un forman un grupo respecgrupo respecto a to a la composición la composición. Este se. Este se denota por denota por

Aut( Aut(G G ))..

Demostración. Demostración. Siempre existe el automorfismo identidad Siempre existe el automorfismo identidad idid:: G G →→G G y es el elemento neutro de y es el elemento neutro de Aut( Aut(G G )).. SiSi

φφ:: G G →→G G y y ψψ:: G G →→G G sonsondos dosaut automo omorfis rfismos mos,,ent entonc oncesessusucocompomposicsicióniónψψ◦◦φφ:: G G →→G G esestam tambié biénnununautoautomor mor--

fismo. Todo automorfismofismo. Todo automorfismoφφ

:: G G

→→ G G

posee una aplicación inversa posee una aplicación inversaφφ

−− 11

:: G G

→→ G G

, y como hemos visto arriba, es, y como hemos visto arriba, es

automáticamente un automorfismoáticamente un automorfismo. ■■

El estudio de automorfismos de un objeto es un tema El estudio de automorfismos de un objeto es un tema fundamental en matemáticas. Aquí vamos a ver unfundamental en matemáticas. Aquí vamos a ver un

ejemplo sencillo de automorfismos de grupos cíclicosejemplo sencillo de automorfismos de grupos cíclicos..

7. Ejemplo.7. Ejemplo.

Consideremos el grupo cíclico Consideremos el grupo cíclicoZZ//n n ZZ. Notamos que todo automorfismo. Notamos que todo automorfismo

φφ:: Z Z//n n ZZ→→ZZ//n n ZZ

estestáádefi definid nidoopor porlalaima imagen genφφ([1])([1]),,pupuesestotoququee[1][1]esesunungen genera erador dor. Paraaque queφφseaseasobre sobreyecti yectivo, vo,φφ([1])([1])tambiéntambién

debe ser un generador, y en este casodebe ser un generador, y en este caso φ φ es automáticamente inyectivo. Podemos concluir que es automáticamente inyectivo. Podemos concluir que los automor- los automor-

fismos defismos deZZ//n n ZZson precisamenteson precisamente

μμ

a a

: : [[x x ]]→→[[ax ax ],],

dondedonde mcd( mcd(a a ,,n n ))== 11 ; es decir,; es decir, [ [a a ]]∈∈((ZZ//n n ZZ))

××

. Además,. Además,

μμ a a

◦◦μμ

b b

==μμ

ab ab

,,

lo que nos da un isomorfismolo que nos da un isomorfismo

((

ZZ //n n

ZZ ))

××

∼∼==

−−→→ Aut( Aut(

ZZ //n n

ZZ ), ), [[a a ]]

→→ μμ a a

.. ▲▲

77... PPrrooppiieeddaaddees s bbáássiiccaas s CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppooss

es otro grupo no abeliano dees otro grupo no abeliano de 8 8 elementos que no es isomorfo a elementos que no es isomorfo a Q Q

. Por ejemplo, podemos notar que en. Por ejemplo, podemos notar que en Q Q

se tienese tiene

((±±I I ))

==((±± J J ))

==((±±K K ))

==−−1,1,

asasííququee±±

I I ,,

±± J J ,,

±± K K

ten tendrán dránorden orden

44

.á emás,s,−−

11

eseselelúnúnicicooelelememenentotodedeorordedenn

22

.

D D

tienen ordenes distintos:tienen ordenes distintos: r r

y todas las y todas las cuatro reflexionescuatro reflexiones f f ,,r f r f ,,r r

f f ,,r r

f f tienen orden tienen orden 2 2, mientras que, mientras que r r y y r r

tienen ordentienen orden 4 4.. ▲▲

DesDesdedelos losiniinicio ciossdedelalateoteoríaríadedegrugrupos poslos losmat matemá emáticticososestestaba abannintintereeresad sadososenendesdescricribirbirtodtodososlos losgru grupos pos

finitos salvo isomorfismo. Sin embargo, la estructurafinitos salvo isomorfismo. Sin embargo, la estructura de grupo es muy básica, así que este problema es a de grupo es muy básica, así que este problema es algolgo

simsimilailarraacomcompilpilararununatlatlasasdedebotbotáni ánicacacon contod todasaslaslasplaplanta ntassdel delmun mundo. do.... Sorpre prende ndente ntemen mente,te,lalaresrespue puesta sta,,

aunque sea enorme, existe y se conoce como laaunque sea enorme, existe y se conoce como la clasificación de los grupos simples clasificación de los grupos simples

finitosfinitos. Esta fue. Esta fue

terminada en los años 2000. El mismo enunciado es mterminada en los años 2000. El mismo enunciado es muy complicado y sus pruebas están contenidas enuy complicado y sus pruebas están contenidas en

centenas de artículos publicados a partir de los añcentenas de artículos publicados a partir de los años 50 del siglo pasado. Entonces, aunque la clasificos 50 del siglo pasado. Entonces, aunque la clasificaciónación

de grupos finitos es un logro muy importante, es un de grupos finitos es un logro muy importante, es un área bastante peculiar.área bastante peculiar.

7. Observación.7. Observación. SeaSea φ φ:: G G →→H H un homomorsmo de grupos. Denamos la un homomorsmo de grupos. Denamos la imagen imagen de de φ φ por por

imimφφ::== f f ( (G G ))::=={{φφ((g g ))||g g ∈ ∈G G }}

y el y el núcleo núcleo por por

kerkerφφ::=={{g g ∈ ∈G G ||φφ((g g ))== 11

H H

}.}.

Entonces, Entonces,

im imφφ

es un subgrupo de es un subgrupo de

H H

y y

ker kerφφ

es un subgrupo de es un subgrupo de

G G

.. □□

7. Observación.7. Observación. Un homomorsmo Un homomorsmo

φ φ:: G G

→ → H H

es inyectivo si y solamente si su núcleo es trivia es inyectivo si y solamente si su núcleo es trivial; es decir,l; es decir,

kerkerφφ=={1{

G G

}}.. □□

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El núcleo del homomorfismo El núcleo del homomorfismo sgn: sgn: S S

n n

→→ { {±±}} consiste en todas las permutaciones pares consiste en todas las permutaciones pares

σσ∈∈S S

n n

. Este se denota por. Este se denota por

A A

n n

: :=={{σσ∈∈S S

n n

||sgnsgnσσ==++1}1}

y recibe el y recibe el nombre delnombre del grupo alternante grupo alternante. Siendo un núcleo, este es un subgrupo de. Siendo un núcleo, este es un subgrupo de S S

n n

..

Por ejemplo,Por ejemplo,

A A

=={id},{id},

A A

== {id, (1 2 3), (1 3 2)}.{id, (1 2 3), (1 3 2)}.

EnEn S S

las permutaciones son de la forma las permutaciones son de la forma

iidd, , ((•• ••), ), ((• • • • ••), ), ((•• ••)) ((•• ••), ), ((• • • •• • • •).).

Luego, los elementos deLuego, los elementos de A A

son las permutaciones son las permutaciones id id,, ( (• • • • ••)) y y ( (•• ••))((•• ••))::

id,id,

((1 1 2 2 33)), , ((1 1 2 2 44)), , ((1 1 3 3 22)), , ((1 1 3 3 44)), , ((1 1 4 4 22)), , ((1 1 4 4 33)), , ((2 2 3 3 44)), , ((2 2 4 4 33)),,

(1 (1 2)(2)(3 3 4)4), , (1 (1 3)(3)(2 2 4)4), , (1 (1 4)(2 4)(2 3)3).. ▲▲

7.37. .22 Ejemplo.. ElElnúc núcleo leodel delhom homom omorfi orfismo smodet: GLdet: GL

n n

(( A A ))→→ A A

××

recrecibe ibeelelnom nombre bredel delgrugrupopolinelinealalespespecia eciall

y se denota por y se denota por

SLSL

n n

(( A A ))::=={{a a ∈∈GLGL

n n

(( A A ))||detdeta a ==1}.1}.

Ya hemos visto un caso particular que es el grupoYa hemos visto un caso particular que es el grupo SL SL

((ZZ)).. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Tenemos Tenemos

ker(ker(RR

××

sgnsgn

−−−−→→{{±±1})1})==RR

>> 00

.. ▲▲

Véase la definición de grupo simple en §Véase la definición de grupo simple en §7 7 .9..

CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppoos s 77... CCllaassees s llaatteerraalleess

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Por definición, el grupo de las Por definición, el grupo de las n n -ésimas raíces de la unidad-ésimas raíces de la unidad μ μ

n n

((CC)) es el núcleo del homo- es el núcleo del homo-

morfismomorfismo z z →→z z

n n

sobresobreCC

××

::

μμ

n n

((CC))::==ker(ker(CC

××

(( −−

))

n n

−−−→−−−→CC

××

).). ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para la exponente compleja Para la exponente compleja

exp:exp: C C→→CC

××

,, z z →→e e

z z

se tienese tiene

ker(ker(CC

expexp

−−−−→→CC

××

))== 22 ππi i ZZ=={2{2ππiin n ||n n ∈∈ZZ}}⊂⊂CC..

Por esto en el caso complejo, el logaritmo Por esto en el caso complejo, el logaritmo es más ses más sutil: la exponencial toma el mismo valor enutil: la exponencial toma el mismo valor en z z ++ 22 ππiin n para para

todotodo n n ∈∈ZZ, lo que impide definir una función inversa, lo que impide definir una función inversa log: log: C C

××

→→CC.. ▲▲

Dado que la imagen de un homomorfismoDado que la imagen de un homomorfismo φ φ:: G G → →H H es un subgrupo de es un subgrupo de H H , si, si φ φ es inyectivo, este puede es inyectivo, este puede

ser visto como un isomorfismo entreser visto como un isomorfismo entreG G e e im imG G . En esta situación es común identificar. En esta situación es común identificarG G con con im imG G ..

7.37. .26. Ejemplo Ejemplo.. TToda odapermu permutación taciónσσ∈∈S S

n n

pupuededeeseserrexextetendndididaaaaununaapepermrmututacacióiónndede{1,...,{1,...,n n ,,n n ++1}1}ponien-ponien-

dodo

σσ((n n ++1)1)::==n n ++1.

Esto define un homomorfismo inyectivoEsto define un homomorfismo inyectivo

S S

n n

↣↣S S

n n ++ 11

..

De este modoDe este modo

S S

n n

se identifica con un subgrupo de se identifica con un subgrupo de

S S

n n ++ 11

. En este sentido, tenemos una cadena de subgrupos. En este sentido, tenemos una cadena de subgrupos

S S

⊂⊂S S

⊂···⊂···

y podemos considerar su unión y podemos considerar su unión

S S

∞∞

: :==

󲈪󲈪

n n ≥≥ 11

S S

n n

..

Este grupo permuta los elementos deEste grupo permuta los elementos de {1,2,3,...} {1,2,3,...}, pero para cada, pero para cada σ σ∈∈S S

∞∞

tenemos tenemos σ σ((i i ))==i i para todo para todo i i , excepto, excepto

un número finito número finito. ▲▲

El último ejemplo es algo parecido al grupoEl último ejemplo es algo parecido al grupo μ μ

∞∞

((CC))

::

∪∪

n n ≥≥ 11

μμ n n

((CC))..

7.37 .27.. Ejemplo Ejemplo.. A A unamatrizinver unamatrizinvertibtiblelea a ∈∈GLGL

n n

(( A A ))podempodemososasociasociararunaunamatriz matrizinveinvertible rtible

􀀨􀀨

a a 00

0 0 11

􀀩􀀩

∈∈GLGL

n n ++ 11

(( A A ))

poniendoponiendo 1 1 en la entrada en la entrada ( (n n ++1,1,n n ++1)1). En este sentido se obtiene una cadena de subgrupo. En este sentido se obtiene una cadena de subgruposs

GLGL

(( A A ))

⊂⊂

GLGL

(( A A ))

⊂⊂

GLGL

(( A A ))

⊂⊂

GLGL

(( A A ))

⊂···⊂···

Luego, se obtiene un grupoLuego, se obtiene un grupo

GLGL

∞∞

(( A A ))::==

󲈪󲈪

n n ≥≥ 11

GLGL

n n

(( A A ).).

Este consiste en matrices infinitas, pero cada una dEste consiste en matrices infinitas, pero cada una de ellas afecta solamente la parte finita dee ellas afecta solamente la parte finita de A A ×× A A ×× A A ×···×··· y y

deja el resto intacto el resto intacto. ▲▲

77 .4 Cla Clases ses lat latera erales les

7. Notación.7. Notación. Para un subconjunto Para un subconjunto S S ⊂⊂G G y un elemento fijo y un elemento fijo g g ∈ ∈G G escribamos escribamos

ggS S

: :==

{{ggs s

|| s s

∈∈ S S },}, SSg g

: :==

{{ssg g

| | s s

∈∈ S S }.}.

En particular, para dos elementos fijosEn particular, para dos elementos fijos g g

,,g g

∈∈G G se tiene se tiene

g g

Sg Sg

==g g

((SSg g

))==((g g

S S ))g g

=={{g g

ssg g

||s s ∈∈S S }.}.

CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppoos s 77... CCllaassees s llaatteerraalleess

7. Observación.7. Observación. La aplicación entre conjuntos La aplicación entre conjuntos

i i :: G G

→→ G G ,,

g g

 →→ g g

−−

induce una biyección canónicainduce una biyección canónica

G G //H H → →H H \G G ,,

ggH H  →→HHg g

−− 11

..

Demostración. Demostración.

La aplicación está bien definida sobre las clases La aplicación está bien definida sobre las clases dede equivalencia: equivalencia: g g

H H = =g g 22

H H quiere decir que quiere decir que

g g

==g g

h h para algún para algún h h ∈∈H H . Luego,. Luego, g g

−− 11

==h h

−− 11

g g

−− 11

, así que , así que H Hg g

−− 11

==HHg g

−− 11

. Entonces,. Entonces, la aplicaciónla aplicación g g  →→g g

−− 11

envíaenvía

la clase lateral izquierdala clase lateral izquierda g gH H a la clase lateral derecha a la clase lateral derecha H Hg g

−− 11

..

Está claro queEstá claro que i i es una biyección, puesto que es una biyección, puesto que i i ◦◦i i = =idid.. ■■

AunqueAunque g gH H y y H Hg g tienen la misma cardinalidad, en general tienen la misma cardinalidad, en general g gH H ̸ ̸==HHg g si el grupo si el grupoG G no es abeliano. no es abeliano.

7.4.77.. Ejemplo. En el grupo simétrico En el grupo simétrico

S S

n n

consideremos las permutaciones que dejan el número consideremos las permutaciones que dejan el número

n n

fijo. Estas fijo. Estas

forman un subgrupo que es isomorfo aforman un subgrupo que es isomorfo a S S

n n −− 11

::

H H

: :

=={{σσ∈∈S S n n

||σσ((n n ))==n n }}

∼∼

==S S

n n −− 11

..

Dos permutacionesDos permutaciones σ σ y y τ τ pertenecen a la misma clase lateral pertenecen a la misma clase lateral izquierda izquierda si si σ σ

−− 11

ττ∈∈H H ; es ; es decir decir, si, si σ σ((n n ))==ττ((n n ))..

Entonces, tenemosEntonces, tenemos n n diferentes clases laterales izquierdas diferentes clases laterales izquierdas S S

n n

//H H

L L

i i

: :=={{σσ∈∈S S

n n

||σσ((n n ))==i i }, }, 11≤≤i i ≤ ≤n n ..

Por otro lado,Por otro lado, σ σ y y τ τ pertenecen a la misma clase lateral pertenecen a la misma clase lateral derecha derecha si si τσ τσ

−− 11

∈∈H H ; es decir, si; es decir, si σ σ

−− 11

((n n ))==ττ

−− 11

((n n ))..

Hay Hay n n diferentes clases laterales derechas diferentes clases laterales derechas H H \S S

n n

R R

i i

: :=={{σσ∈∈S S

n n

||σσ((i i ))==n n }, }, 11≤≤i i ≤ ≤n n ..

Ahora siAhora si L L

i i

= =R R

i i

para algún para algún i i , tenemos, tenemos

σσ((n n ))

== i i

⇐⇐⇒⇒ σ σ((i i ))

== n n ,,

entoncesentonces i i = =n n .. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Consideremos el grupo aditivo Consideremos el grupo aditivoCCe identifiquemose identifiquemosRRcon el subgrupo de los números com-con el subgrupo de los números com-

plejosplejos z z tales que tales que Im Imz z == 00. De la misma manera, consideremos el grupo multipl. De la misma manera, consideremos el grupo multiplicativoicativoCC

××

y sus subgrupos y sus subgrupos

::

=={{z z ∈∈CC

××

||||z z ||==1}1}

(el grupo del círculo) y (el grupo del círculo) y

>> 00

=={{z z ∈∈CC

××

||ImImz z ==0,Re0,Rez z >>0}.0}.

Los dibujos de abajo representan las clases lateralLos dibujos de abajo representan las clases lateraleses

CC//RR=={{z z ++RR||z z ∈∈CC},},

××

//SS

=={{z z SS

||z z ∈∈CC

××

},},

××

//RR

>> 00

=={{z z RR

>> 00

||z z ∈∈CC

××

}}

en el plano complejo el plano complejo.

77... CCllaassees s llaatteerraallees s CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppooss

ReRe

ImIm

CC//RR

ReRe

ImIm

××

//SS

ReRe

ImIm

××

//RR

>> 00

▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. SeaSea A A un anillo conmutativo. Consideremos el grupo un anillo conmutativo. Consideremos el grupo GL GL

n n

(( A A )) y y su subgrupo su subgrupo SL SL

n n

(( A A )) : :=={{a a ∈ ∈

GLGL

n n

(( A A ))||detdeta a ==1}1}. Para. Para a a ,,b b ∈∈GLGL

n n

(( A A )) tenemos tenemos

a a SL SL n n

(( A A ))==b b SL SL n n

(( A A )) ⇐⇐⇒⇒ a a

−−

b b ∈∈SLSL n n

(( A A )) ⇐⇐⇒⇒ det( det(a a

−−

b b ))==det(det(a a ))

−−

··det(det(b b ))== 11

⇐⇐⇒⇒ detdeta a ==detdetb b ..

De la misma manera,De la misma manera,

SLSL

n n

(( A A ))a a ==SLSL n n

(( A A ))b b ⇐⇐⇒⇒ ab ab

−−

∈∈SLSL

n n

(( A A )) ⇐⇐⇒⇒ det( det(aab b

−−

))==det(det(a a ))··det(det(b b ))

−−

== 11

⇐⇐⇒⇒ detdeta a ==detdetb b ..

Entonces, las clases laterales izquierdas y derechaEntonces, las clases laterales izquierdas y derechas coinciden:s coinciden:

a a SL SL

n n

(( A A ))==SLSL

n n

(( A A ))a a para para todo todo a a ∈∈GLGL

n n

(( A A ),),

y corresponden a las matrices de y corresponden a las matrices de determinante fijo:determinante fijo:

M M

c c

= ={{a a ∈∈GLGL

n n

(( A A ))||detdeta a ==c c }} para para algún algún c c ∈∈ A A

××

.. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para el grupo simétrico Para el grupo simétrico

G G

== S S n n

y el grupo alternante y el grupo alternante

H H

= = A A n n

tenemos tenemos

σσ A A

n n

== ττ A A

n n

⇐⇐⇒⇒ σ σ

−− 11

ττ

∈∈ A A

n n

⇐⇐⇒⇒ sgn( sgn(σσ

−− 11

ττ))

== 11

⇐⇐⇒⇒ sgnsgnσσ

== sgnsgnττ,,

y de la y de la misma manera,misma manera,

A A

n n

σσ== A A n n

ττ ⇐⇐⇒⇒ σ σ ττ

−− 11

∈∈ A A n n

⇐⇐⇒⇒ sgn( sgn(

σσ ττ

−− 11

))

== 11

⇐⇐⇒⇒ sgnsgn

σσ== sgnsgn

ττ ..

Entonces,Entonces, σ σ A A

n n

= = A A

n n

σσ, y hay solamente dos clases laterales: una formada, y hay solamente dos clases laterales: una formada por las permutaciones pares y la por las permutaciones pares y la

otra por las permutaciones impares:otra por las permutaciones impares:

A A

n n

=={{σσ∈∈S S

n n

||sgnsgnσσ==++11}}, , ((1 1 22)) A A

n n

== A A

n n

(1 2)(1 2)=={{σσ∈∈S S

n n

||sgnsgnσσ==−−1}.1}.

Notamos que esto demuestra queNotamos que esto demuestra que|| A A

n n

||==n n !/2!/2.. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El mismo razonamiento demEl mismo razonamiento demuestra que para el grupouestra que para el grupoRR

××

y el subgrupo y el subgrupoRR

>> 00

hay dos clases hay dos clases

laterales:laterales:

>> 00

=={{x x ∈∈RR

××

||x x >>0},0}, −− 11 ··RR

>> 00

==RR

<< 00

=={{x x ∈∈RR

××

||x x <<0}.0}. ▲▲

77... TTeeoorreemma a dde e LLaaggrraanngge e CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppooss

Ahora siAhora si H H ⊂ ⊂ A A

es un subgrupo de orden es un subgrupo de orden 4 4, sus elementos necesariamente tienen orden, sus elementos necesariamente tienen orden 2 2 o o 4 4. En. En A A

no hay no hay

elementos de ordenelementos de orden 4 4, y la única opción que nos queda es de considerar , y la única opción que nos queda es de considerar todos los tres elementos de ordentodos los tres elementos de orden 2

junto con la permutación identidad:junto con la permutación identidad:

V V =={id{id,(1 2) ,(1 2) (3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4) (2 3)}(2 3)}..

Se ve que este es un subgrupo. El grupoSe ve que este es un subgrupo. El grupo V V se conoce como el se conoce como el grupo de cuatro grupo de cuatro ( (VierergruppeVierergruppe en alemán) o en alemán) o

elel grupo de Klein grupo de Klein. Este grupo es abeliano.. Este grupo es abeliano.

◦◦ iid d ((1 1 22) () (3 3 44) ) ((1 1 33) () (2 2 44) ) ((1 1 44) () (2 2 33))

iid d iid d ((1 1 22)) ((3 3 44) ) ((1 1 33)) ((2 2 44) ) ((1 1 44)) ((2 2 33))

((1 1 22) () (3 3 44) ) ((1 1 22) () (3 3 44) ) iid d ((1 1 44) () (2 2 33) ) ((1 1 33) () (2 2 44))

((1 1 33) () (2 2 44) ) ((1 1 33) () (2 2 44) ) ((1 1 44) () (2 2 33) ) iid d ((1 1 22) () (3 3 44))

((1 1 44) () (2 2 33) ) ((1 1 44) () (2 2 33) ) ((1 1 33) () (2 2 44) ) ((1 1 22) () (3 3 44) ) iidd

DeDehehecho cho,,esesfáfácicillveveririficaficarrququeetotodogrupdogrupoodedeorordedenn 44 escíclico(yentoncesesisomorfoaescíclico(yentoncesesisomorfoaZZ/4/4ZZ),),ooiso isomor morfofo

aa V V ; haga el ejercicio; haga el ejercicio 7 7 .1..

En fin, siEn fin, si

H H

⊂ ⊂ A A

es un subgrupo de orden es un subgrupo de orden

6

, sus elementos necesariamente tienen orden, sus elementos necesariamente tienen orden

2

o o

3

; es decir,; es decir,

sonson 3 3-ciclos o permutaciones de la forma-ciclos o permutaciones de la forma ( (•• ••))((•• ••)). Junto con cada. Junto con cada 3 3-ciclo-ciclo H H debe contener su inverso. Las debe contener su inverso. Las

posibles opciones sonposibles opciones son

{id,({id,(a a b b c c ),),((a a c c b b ),(1 2)(3 4),(1 3)),(1 2)(3 4),(1 3) (2 4),(1 4)(2 3)}(2 4),(1 4)(2 3)}

y y

{id,({id,(a a b b c c ),),((a a c c b b ),), ((i i j j k k ),), ((i i k k j j ),), ((p p q q )) ((r r s s )}.)}.

Podemos descartar el primer caso: conjugandoPodemos descartar el primer caso: conjugando ((a a b b c c )) por una de las permutaciones por una de las permutaciones ( (• • ••))((• • ••)) se obtiene se obtiene

otrootro 3 3-ciclo-ciclo ( (a a

′′

b b

′′

c c

′′

̸̸==)) ((a a b b c c ),), ((a a c c b b )). De la misma manera, en el segundo caso, conjugand. De la misma manera, en el segundo caso, conjugandoo ( (p p q q ))((r r s s )) por un por un

33 -ciclo se obtiene-ciclo se obtiene ( (p p

′′

q q

′′

)) ((r r

′′

s s

′′

̸̸==)) ((p p q q ))((r r s s ))..

Podemos concluir que enPodemos concluir que en A A

no hay subgrupos de orden no hay subgrupos de orden 6 6. Este ejemplo en particular demuestra que si. Este ejemplo en particular demuestra que si

d d

|||| G G

||, entonces, entonces

G G

no necesariamente tiene subgrupos de orden no necesariamente tiene subgrupos de orden

d d

..

▲▲

Terminemos esta sección por el siguiente resultado Terminemos esta sección por el siguiente resultado importante.

7. Proposición.7. Proposición. SeaSea k k un cuerpo. Entonces, todo subgrupo nito de su gru un cuerpo. Entonces, todo subgrupo nito de su grupo de unidadespo de unidades k k

××

es cíclico cíclico.

Para demostrarlo, necesitamos el siguiente lema demostrarlo, necesitamos el siguiente lema.

7. Lema.7. Lema. SeaSeaG G un grupo de orden nito un grupo de orden nito n n . Supongamos que para todo. Supongamos que para todo d d ||n n se cumple se cumple

(7)(7) #{#{x x ∈∈G G ||x x

d d

==1}1}≤≤d d ..

Entonces EntoncesG G es cíclico. es cíclico.

Demostración. Demostración. SiSi G G tiene un elemento tiene un elemento g g de orden de orden d d , entonces este genera el subgrupo, entonces este genera el subgrupo〈〈g g 〉〉que es cíclico deque es cíclico de

ordenorden d d . Todo elemento. Todo elemento h h

∈ ∈

G G tal que tal que h h

d d

11 pertenece a este subgrupo gracias a la hipótesis pertenece a este subgrupo gracias a la hipótesis ( (7)7), y si, y si h h

tiene ordentiene orden d d , entonces es otro generador de, entonces es otro generador de〈〈g g 〉〉. En total este subgrupo tiene. En total este subgrupo tiene φ φ((d d )) generadores. Entonces, generadores. Entonces,

el número de elementos de ordenel número de elementos de orden d d es igual a es igual a 0 0 o o φ φ((d d )). De hecho, el primer caso no es posible: la fórmul. De hecho, el primer caso no es posible: la fórmulaa

󲈑󲈑

d d ||n n

φφ((d d ))==n n

demuestra que si para algúndemuestra que si para algún

d d

|| n n

el grupo el grupo

G G

no tiene elementos de orden no tiene elementos de orden

d d

, entonces, entonces

|| G G

||<< n n

. En particular,. En particular,

G G debe tener un elemento de orden debe tener un elemento de orden n n y por lo tanto es cíclico. y por lo tanto es cíclico.

■■

CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppoos s 77... TTeeoorreemma a dde e LLaaggrraannggee

Demostración de Demostración de 7 7.. So Sobre breununcuecuerpo rpo,,lalaecuaecuació ciónnpol polino inomia miallx x

d d

−− 11 == 00 tietienenecocomomomáx máximo imod d soluciones, soluciones,

y por lo tanto y por lo tanto podemos aplicar el lema anterior aplicar el lema anterior. ■■

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para Para k k ==RRlos únicos elementos de orden finito enlos únicos elementos de orden finito enRR

××

sonson±± 11 .. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para Para k k == C C los elementos de orden finito en los elementos de orden finito en CC

××

forman el subgrupo de las raíces de laforman el subgrupo de las raíces de la

unidadunidadμμ

∞∞

((CC)). resultultadadoodede7.5.117

××

sonsoncícl cíclico icos Sinemb embarg argo,o,

el grupo infinitoel grupo infinito

μ μ

∞∞

((CC))

no es cíclico y de hecho no es finitamente generado no es cíclico y de hecho no es finitamente generado..

▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. SiSi k k = =FF

q q

es un cuerpo finito entonces es un cuerpo finito entonces 7 7 implica que el grupo implica que el grupo F F

××

q q

==FF

q q

\ \ {0{0}} es cíclico es cíclico

de ordende orden q q −− 11. Note que la demostración de. Note que la demostración de 7 7 no es constructiva: un conteo implica que no es constructiva: un conteo implica que F F

××

p p

k k

posee un posee un

generador, pero no dice cuál elemento particular esgenerador, pero no dice cuál elemento particular es. En este sentido, aunque se puede escribir. En este sentido, aunque se puede escribir

××

q q

∼∼

ZZ/(/(q q −−1)1)ZZ,,

el grupo aditivoel grupo aditivo

ZZ /(/(q q −−1)1)

tiene un generador distinguidotiene un generador distinguido [1] [1], mientras que para, mientras que para

××

q q

no está claro cuál gene- no está claro cuál gene-

rador hay que escoger (y hay rador hay que escoger (y hay φ φ((q q −−1)1) posibilidades). El isomorfismo de arriba dependería posibilidades). El isomorfismo de arriba dependería de esta elección. de esta elección.

Para dar un ejemplo particular, el grupoPara dar un ejemplo particular, el grupoFF

××

es cíclico de orden es cíclico de orden 3 3 y puede ser escrito como y puede ser escrito como

××

== {1,{1,a a ,,a a

}}

dondedonde a a es un generador y es un generador y a a

sería el otro generador. Luego la tabla de adición sería el otro generador. Luego la tabla de adición enenFF

viene dada por viene dada por

++ 0 0 11 a a a a

0 0 0 0 11 a a a a

1 1 1 1 00 a a

a a

a a a a a a

0 0 11

a a

a a 1 1 00

Note que este grupo es isomorfo al grupoNote que este grupo es isomorfo al grupo V V .. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. Para el cuerpo Para el cuerpoFF

==ZZ/5/5ZZ, el grupo, el grupo

××

=={[1],[2],[3],[4]}{[1],[2],[3],[4]}

es cíclico. Sus generadores sones cíclico. Sus generadores son [2] [2] y y [3] [3]: tenemos: tenemos

22

≡≡4 4 (m(mood d 55)), , 22 ́ ́

≡≡3 3 (m(mood d 55)), , 22 ́ ́

≡≡1 1 (m(mod 5)od 5) ́ ́

y y

33

≡≡

4 4 (m(m

́ ́

ood d 55)), , 33

≡≡

2 2 (m(m

́ ́

ood d 55)), , 33

≡≡

1 1 (m(m

́ ́

od 5).od 5).

▲▲

7.5.177. E. Ejemplo. El Elani anillollococ cocien ientetek k : :==FF

[[x x ]/(]/(x x

++x x ++1)1)esesununcucuererpopodede 88 eleelemen mentos tos,,dad dadooque queelelpol polino inomio mio

x x

++x x ++ 11 es irreducible en es irreducible enFF

[[x x ]]. Entonces,. Entonces, k k

××

es un grupo cíclico dees un grupo cíclico de 7 7 elementos. Este tiene elementos. Este tiene 6 6 generadores; generadores;

es decir, como generador se puede tomar cualquier pes decir, como generador se puede tomar cualquier polinomio entreolinomio entre

x x ,,x x ++1,1, x x

,,x x

++1,1, x x

++x x ,,x x

++x x ++1.

Por ejemplo, tenemosPor ejemplo, tenemos

k k

××

=={1,{1, x x ,,x x

,,x x

==x x ++1,1, x x

==x x

++x x ,,x x

==x x

++x x ++1,1, x x

==x x

++1}.1}. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El anillo cociente El anillo cociente k k : :==FF

[[x x ]/(]/(x x

++1)1) es un es un cuerpo de cuerpo de 9 9 elementos, dado que el polinomio elementos, dado que el polinomio

x x

++ 11 esesirrirredu educib cibleleenenFF

[[x x ]]., ces,k k

××

esesunungrgrupupoocíccíclilicocodede 88 elemeelementos, ntos,y y φφ(8)(8)== 44 sonsonsus susgen genera erador dores.

Dejo al lector verificar cuáles elementos entreDejo al lector verificar cuáles elementos entre

x x ,,x x ++1,1, x x ++2, 22, 2x x , 2, 2x x ++1, 21, 2x x ++ 22

generan ageneran a k k

××

.. ▲▲

CCaappííttuullo o 77.. HHoommoommoorrfifissmmoos s dde e ggrruuppoos s 77... GGrruuppoos s ccoocciieennttee

7.67.6.. EjemploEjemplo.. De Denue nuestra strades descricripci pciónóndedeloslossub subgru grupos posdel delgru grupopoalte alterna rnante nte A A

en en7.5.107únielúnicoco

subgrupo normal (salvosubgrupo normal (salvo 1 1 y el mismo y el mismo A A

) es) es

V V =={id{id,(1 2) ,(1 2) (3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4) (2 3)}(2 3)}.. ▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El subgrupo de El subgrupo de S S

n n

H H : :

== {{σσ

∈∈ S S

n n

|| σσ((n n ))

== n n }}

∼∼

== S S

n n −− 11

considerado enconsiderado en 7 7 no es normal para no es normal para

n n

≥≥ 33

, puesto que, puesto que σ σ

H H

= = H H

σσ solo para solo para σ σ==

idid

..

▲▲

7. Observación.7. Observación. Para todo grupo Para todo grupoG G su centro su centro Z Z ((G G )) es un subgrupo normal. es un subgrupo normal.

Demostración. Demostración. Tenemos Tenemos

Z Z ((G G ))::=={{x x ∈∈G G ||xxg g = =ggx x para todo para todo g g ∈ ∈G G }}=={{x x ∈∈G G ||x x ==ggxxg g

−− 11

para todopara todo g g ∈ ∈G G },},

y en particular, para todo y en particular, para todo g g ∈ ∈G G tenemos tenemos

ggZ Z ((G G ))g g

−− 11

==Z Z ((G G ).). ■■

7. Observación.7. Observación. Para todo homomorsmo Para todo homomorsmo φ φ:: G G →→H H el núcleo el núcleo ker kerφφ es un subgrupo normal de es un subgrupo normal deG G ..

Demostración. Demostración.

Para todo Para todo

g g

∈ ∈

G G

y y

k k

∈∈

kerkerφφ

tenemos tenemos

φφ((ggkkg g

−− 11

))==φφ((g g ))··φφ((k k ))··φφ((g g ))

−− 11

==φφ((g g ))··φφ((g g ))

−− 11

==1,1,

así queasí que g g ··(ker(kerφφ))··g g

−− 11

⊆⊆kerkerφφ.. ■■

7. Ejemplo.7. Ejemplo. A A

n n

es un subgrupo normal de es un subgrupo normal de S S

n n

, siendo el núcleo del homomorfismo, siendo el núcleo del homomorfismo sgn: sgn: S S

n n

→→{{±±1}1}.. ▲▲

7.67. .11 Ejemplo.. SLSL

n n

((R R ))esunsubgruponormaldeesunsubgruponormaldeGLGL

n n

((R R )),,siesiendoel ndoelnúc núcleo leodelhomom delhomomorfiorfismo smodet: GLdet: GL

n n

((R R ))→→R R

××

..

▲▲

7. Ejemplo.7. Ejemplo. El signo de un número real es un homomorfismoEl signo de un número real es un homomorfismo sgn: sgn: R R

××

→→{{±±1}1}. Consideremos el homo-. Consideremos el homo-

morfismomorfismo

GLGL

n n

((RR))

detdet

−−−−→→RR

××

sgnsgn

−−−−→→{{±±1}.1}.

Su núcleo es el subgrupo normalSu núcleo es el subgrupo normal

GLGL

n n

((RR))

::=={{ A A ∈∈GLGL

n n

((RR))||detdet A A >>0}.0}. ▲▲

7. Comentario.7. Comentario. A diferencia del núcleo A diferencia del núcleo ker kerφφ⊂⊂G G , la imagen, la imagen im imφφ⊂⊂H H de un homomorfismo de un homomorfismo φ φ:: G G →→H H

en general no es un subgrupo normal. De hecho, sien general no es un subgrupo normal. De hecho, si

K K

⊂⊂ H H

no es un subgrupo normal, entonces la inclusión no es un subgrupo normal, entonces la inclusión

i i :: K K ↣↣H H tiene tieneK K cocomo mosusuimimagagenen.,s,totododosssusubgbgrurupoposssosonnnonormrmale ales,s,asasííququeesisiφφ:: A A →→

B

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grupo y homomorfismo

Asignatura: Álgebra I para Ingeniería

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Universidad: Universidad de Santiago de Chile

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

CapítuCapítulo lo 77

Homomorﬁsmos de gruposHomomorﬁsmos de grupos

Hasta el momento hemos visto algunas nociones básicas de grupos y varios ejemplos. Para relacionarHasta el momento hemos visto algunas nociones básicas de grupos y varios ejemplos. Para relacionar

diferentes grupos, necesitamos la noción de homomorﬁsmo, una aplicación entre grupos que preserva sudiferentes grupos, necesitamos la noción de homomorﬁsmo, una aplicación entre grupos que preserva su

estestructructuraura.. DesDespuépuéss dede estestudiudiarar homhomomoomorﬁsrﬁsmosmos,, vamvamosos aa deﬁdeﬁnirnir loslos subsubgrugrupospos nornormalmaleses yy grugrupospos cococienciente.te.

Todo esto es análogo al material del capítulo 4.Todo esto es análogo al material del capítulo 4.

77.1 .1 DeﬁnDeﬁnición ición y y primerprimeros os ejemplejemplosos

7.1.1. Deﬁnición.7.1.1. Deﬁnición.  UnUnhomomorﬁsmohomomorﬁsmoentre gruposentre grupos GGyyHHes una aplicaciónes una aplicaciónφφ::GG →→ HHtal que para cuales-tal que para cuales-

quieraquieragg11,, gg

22 ∈∈ GGse cumplese cumple

φφ((gg

11gg

22)) == φφ((gg

11))φφ((gg

22).).

7.1.2. Ejemplo.7.1.2. Ejemplo. Para todo grupoPara todo grupo GG

la aplicación identidadla aplicación identidadidid ::GG→→ GG

es un homomorﬁsmo.es un homomorﬁsmo.  ▲▲

7.17.1.3..3. EjemploEjemplo.. T Todoodo homomhomomorﬁsmorﬁsmoo dede anilloanilloss φφ::AA→→ BBeess unun homhomomoomorﬁsrﬁsmomo dede grugruposposadiaditivtivosos (es(estoto hachacee

parte de la deﬁnición). Además, todo homomorﬁsmo de anillosparte de la deﬁnición). Además, todo homomorﬁsmo de anillosφφ ::AA→→ BBse restringe a un homomorﬁsmose restringe a un homomorﬁsmo

de grupos multiplicativosde grupos multiplicativosφφ×× ::AA

×× →→ BB××..  ▲▲

7.1.4. Ejemplo.7.1.4. Ejemplo. La reducción móduloLa reducción módulonnes un homomorﬁsmo de grupos aditivoses un homomorﬁsmo de grupos aditivos

ZZ →→ ZZ//nn

ZZ..

Además, tenemos un homomorﬁsmo de grupos multiplicativos (poco interesante)Además, tenemos un homomorﬁsmo de grupos multiplicativos (poco interesante)

{{±±1}1} →→ ((ZZ//nn

ZZ))××,,  ++11 →→ [1],[1],  −− 11 →→ [[nn−− 1].1].

SiSinn|| mm, entonces tenemos un homomorﬁsmo de grupos aditivos, entonces tenemos un homomorﬁsmo de grupos aditivos

ZZ//mm

ZZ →→ ZZ//nn

ZZ, , [[aa]]mm →→ [[aa]]nn

y un homomorﬁsmo de grupos multiplicativosy un homomorﬁsmo de grupos multiplicativos

((ZZ//mm

ZZ))×× →→ ((ZZ//nn

ZZ))××, , [[aa]]mm →→ [[aa]]nn..  ▲▲

7.1.5. Ejemplo.7.1.5. Ejemplo.  Para ver más homomorﬁsmos familiares, podemos revisar algunas propiedades conocidasPara ver más homomorﬁsmos familiares, podemos revisar algunas propiedades conocidas

del análisis real y complejo.del análisis real y complejo.

1) 1) El signo de un número racional (resp. El signo de un número racional (resp. real) no nulo es un homomorﬁsmo dreal) no nulo es un homomorﬁsmo de grupos multiplicativose grupos multiplicativos

QQ×× →→ {{±±1}1}(resp.(resp. RR×× →→ {{±±1}1}),),  xx→→ sgnsgn xx

::== {{++1,1,  sisixx>> 0,0,

−−1,1,  sisixx<< 0.0.

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2018–2019 Alexey Beshenov. Para la última versión de este texto, véase2018–2019 Alexey Beshenov. Para la última versión de este texto, véase http://cadadr.org/san-salvador/algebra/

 http://cadadr.org/san-salvador/algebra/