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Gráficos bipartitos
Un grafo bipartito es un grafo cuyos vértices se pueden separar en dos conjuntos X e Y de tal manera que cada borde del gráfico tiene un punto final en cada conjunto.
Ejemplos
Otra forma de decir esto es que un gráfico es bipartito si tiene 2 colores: esto significa que a cada vértice se le puede asignar uno de dos colores (por ejemplo, rojo o azul) de tal manera que cada borde del gráfico tiene uno. punto final de cada color.
C1 ¿Cuáles de estos son grafos bipartitos?
Aquí es necesario aclarar algunos pequeños detalles. Primero, un gráfico que contiene solo un vértice califica como bipartito: no es necesario que aparezcan ambos colores. De manera equivalente, un conjunto, X o Y, puede estar vacío. Además, cualquier gráfico que no tenga bordes es bipartito. Esto se puede ver más fácilmente si reformulamos la definición de un gráfico bipartito para decir que ninguna arista tiene ambos extremos en el mismo conjunto, X o Y. En términos de coloración, ninguna arista tiene dos extremos del mismo color. Claramente, un gráfico sin bordes satisface esta condición sin importar cómo se coloreen los vértices.
C2 ¿Para qué valores de n un gráfico de ciclo Cn es bipartito?
C3 Suponga que G es un grafo bipartito y H es un subgrafo de G. Explique cómo sabe que H también es bipartito.
Gráficos bipartitos completos
Hay gráficos bipartitos especiales que tienen la propiedad de que cada vértice en X es adyacente a cada vértice en Y. Estos se denominan gráficos bipartitos completos y se denotan con el símbolo Km;n, donde m y n son los números de vértices en X e Y..
Ejemplos
C4 ¿Cuántas aristas tiene Km;n? ¿Cuáles son los grados de los vértices?
C5 Colorea los vértices de este gráfico bipartito usando rojo y azul para que cada borde tenga un extremo de cada color y compara tres cosas: la suma de los grados de todos los vértices rojos, la suma de los grados de todos los vértices azules, y el número de aristas en el gráfico. Explique por qué todos estos valores son iguales.
C6 Reformular el resultado del problema anterior en términos de los dos conjuntos X e Y en la definición de un grafo bipartito.
C7 Muestre que un grafo de 4 regulares que tiene 15 vértices no puede ser bipartito.
C8 Encuentre un gráfico bipartito que tenga la secuencia de grados .(4; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 2)
C9 Muestre que no hay un gráfico bipartito que tenga la secuencia de grado .(6; 6; 6; 4; 4; 4; 4; 4;
4; 4; 4; 4; 4)
Ciclos en un gráfico bipartito
C13 Muestre que si un gráfico contiene al menos un ciclo impar, entonces el gráfico no es bipartito.
La declaración anterior proporciona una manera fácil de probar que un gráfico dado no es bipartito:
Solo encuentra cualquier ciclo impar en el gráfico. Para demostrar que un grafo es bipartito, la forma más sencilla suele ser colorear los vértices de forma adecuada utilizando dos colores. Sin embargo, es interesante que
lo contrario del enunciado del problema C13 también es cierto: si un gráfico no es bipartito, entonces contiene al menos un ciclo impar. O equivalentemente, podemos decirlo de esta manera:
Teorema del ciclo para grafos bipartitos
Un grafo es bipartito si y solo si no contiene ciclos impares.
Ya sabemos que si un grafo es bipartito entonces no contiene ciclos impares. Esto es lógicamente equivalente al enunciado del problema
C13. La parte más difícil es mostrar que si un gráfico no contiene ciclos impares, entonces es bipartito.
Para explicar por qué esto es cierto, será útil introducir otro concepto, el de un camino cerrado impar. Recuerda que un camino cerrado comienza y termina en el mismo vértice. Un camino cerrado impar es un camino cerrado de longitud impar, lo que significa que contiene un número impar de aristas.
C14 Sean A, B, ... , J ser 10 vértices distintos de un grafo tal que ABCDEFCGBHCIJA
es un camino Este es un camino cerrado de longitud 13. Encuentra dos caminos cerrados impares más cortos. ¿Alguno de estos es un ciclo?
C15 Sea V1V2 .. un camino cerrado impar en un grafo G. Muestre que V1V2 ... VnV1 es un ciclo o G contiene un camino cerrado impar más corto. (Sugerencia. Separe dos casos: Cualquiera V1, V2, ..., Vn son vértices distintos o contienen alguna repetición.)
C16 Demostrar que si un gráfico contiene un camino cerrado impar, entonces contiene un ciclo impar. (Insinuación:
Considere un camino cerrado impar más corto.)
C17 Muestre que si cada componente de un gráfico es bipartito, entonces el gráfico completo es bipartito.
Prueba del teorema del ciclo
Sea G una gráfica que no contiene ciclos impares. En los siguientes problemas probaremos que G es bipartito. En vista del problema C17, será suficiente mostrar que cada componente de G es bipartito.
Comenzando en cualquier vértice A en cualquier componente de G, asigne el color rojo a A y proceda a colorear los vértices a lo largo de caminos simples desde A, alternando entre rojo y azul. De esa manera, cada vértice en el componente finalmente se alcanza y se colorea.
C18 Pruébelo para este gráfico.
En el procedimiento descrito anteriormente, el color asignado a un vértice V depende de la longitud del camino seguido de A a V. Un vértice alcanzado por un camino de longitud impar se colorea de azul, mientras que un vértice alcanzado por un camino de longitud par se colorea de rojo. El siguiente problema muestra que solo hay una posibilidad para colorear un vértice alcanzado desde A.
C19 Sean A y V vértices en un gráfico que no contiene ciclos impares y suponga que hay dos caminos de A a V , uno de longitud impar y otro de longitud par. Demostraremos que esta situación es imposible derivando una contradicción.
(a) Demuestre que la gráfica contiene un camino cerrado impar.
(b) Encuentre la contradicción.
C20 Completa la demostración de que G es bipartito. Muestre que con los vértices de algún componente coloreado como se describe arriba, ningún borde tiene el mismo color asignado a sus dos extremos.
Write a truth table for the logical aSTATEMENTS IN PROBLEMS 1-
Gráficos bipartitos - grafos bi
Asignatura: Matemáticas
Universidad: Politécnico Grancolombiano
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