Funktion som indeholder 2 variable. Grafen for sådan en er en plan i rummet.

Man kan få en ide om udviklingen ved at sætte den ene variabel til en konstant, og dermed få en funktion af en variabel.

Niveaukurve

En kurve hvor højden over/under x/y-planen er konstant. Kurven er i 2D og viser variablernes værdi, da højden er uinteressant, da den er

givet. Angives , hvor c er konstanten

Eks:

Partielt afledt

Givet en funktion og et punkt

De partielt afledte er så hvor man indsætter den ene konstant og differentierer ift. Den ene frie variabel der er tilbage

diff. Kvotienten af

i

diff. Kvotienten af

i

Først udregnes differentialkvotienten, hvorefter man kan indsætte den specifikke værdi.

Kan også regnes generelt ved kun at differentiere efter den ene variabel, hvor den anden anses for at være konstant.

Kan også findes afledte af større orden, fx anden afledte af x ift.

Eller aflede først den ene og så den anden

For alle glatte funktioner er det ligegyldigt om det først er efter x og derefter y, eller omvendt. Er Schwartz sætning

Gradienter

Gradienten af en funktion af 2 variable er en vektor, der består af de 2 partielt afledte

Gradienten tegnes i x/y planen og er en vektor der er tegnet ud fra det specifikke punkt

I et punkt peger gradienten i retningen hvor f vokser mest og længden af gradienten er hældningen i den retning

Gradienten kan udregnes generelt ved at differentiere funktionen kun efter den ene variabel, hvormed den anden bliver konstant. Fx:

Tangentvektorer

Tangentvektoren fremkommer ved at lave en parameterfremstilling for niveaukurven og differentiere parameterfremstillingen. Fx:

Sætning:

Gradienten i

er altid ortogonal på den niveaukurve som går gennem

Retningsafledte

Den afledte i en bestemt retning, bestemt ved enhedsvektoren e

Kan også bestemmes ved at kende vinklen mellem gradienten og retningen man vil kende hældningen til

Gradienten peger i retningen hvor f vokser mest

Epsilonfunktioner af 2 variable

1)

2)

3)

Afstandsfunktionen er et eksempel på en epsilonfunktion

Differentiabilitet af funktioner af 2 variable

En funktion af 2 variable kaldes differentiabel hvis der findes a og b, således at

Hvis dette opfyldes:

Approksimeret 1. gradspolynomium / tangentplan

Sætning 19.36

Antag

A=Dm(f) er åben

1)

At de partielafledte eksisterer og er kontinuerte i A

2)

At punktet

ligger i A

3)

Så kan f opskrives som

Da sidste led går meget hurtigt mod 0, bliver det approksimerede 1. grads polynomium:

Approksimeret 2. gradspolynomium

Her er første linje det approksimerede andengradspolynomium, og anden linje er restfunktionen. Kan også skrives lidt kortere

Hessematrix

Da det andet bliver meget stort, kan det opskrives i en matrix

Da de dobbeltafledte efter forskellige variabler er ens, er det en symmetrisk matrix.

Stationært punkt

Et stationært punkt er et punkt hvor hældningen er 0.

Egentlige minimum og maksimum

For en funktion gælder der, at de har et egentligt lokalt maksimum eller minimum, hvis funktionsværdien omkring det stationære punkt hvor

hældningen er 0, er enten mindre eller større på begge sider af punktet. Dette kan tjekkes ved at finde determinanten af Hessematricen i

punktet:

•

○

•

kriteriet for funktion af 1 variabel

Hvis

er der egentligt lokalt minimum i det stationære punkt

Hvis

er der egentligt lokalt maksimum i det stationære punkt

Hvis

kan man ikke konkludere noget ud fra dette og må ty til andre metoder

Reduktion af kvadratisk form

Kan skrives på matrixform

Kaldes matricen for A, kan man skrive matrixproduktet, hvor Q er en positiv ortogonal matrix

Af dette opstår der at man kan opskrive den kvadratiske form som

Hvor de nye akser er i retning af egenvektorerne for Q.

Find de led hvor der er kvadratiske led, brug metoden ovenfor til at danne Q, og skift så eventuelle andre led fra normal basis til Q basis

Funktioner af 2 variable

31. januar 2021

13:35

Matematik 1 side 237

Funktioner af 2 variable

Matematik 1 (01005)

Danmarks Tekniske Universitet

Anbefalet til dig

Kommentarer

Studerende så også

Andre relaterede dokumenter