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Mikro 05 - Übungen
Mikro- und Makroökonomie
Technische Hochschule Köln
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Einführung in die Mikroökonomik
auf der Basis von Fallstudien
Prof. Dr. Heep-Altiner
Marcel Berg
ivw Köln Institut für Versicherungswesen
Wiederholung
In der Haushaltstheorie wird die (individuelle) Nachfrage durch die Optimierung der Nutzenfunktion (als Quantifizierung der qualitativen Präferenzen der Konsumenten) unter Berücksichtigung des vorhandenes Budgets (als beschränkende Nebenbedingung) hergeleitet. Wichtige Prämissen für Präferenzen sind dabei Vollständigkeit , Reflexivität und Transitivität. Eine Nutzenfunktion liefert eine Rangreihenfolge ( Ordinalität ), die durch streng monoton steigenden Funktionen beibehalten wird. In besonderen Fälle liegt Kardinalität vor, d. h. „ doppelt so hoch ist doppelt so gut “. Eine wichtige Klasse sind Cobb‐Douglas‐Nutzenfunktionen der Form U (X, Y) = Xa ∙ Yb, die sich an den Budgetanteilen orientieren. Eine weitere wichtige Klasse sind quasilineare Nutzenfunktionen der Form U (X, Y) = Y + G (X) mit G(X) eine monoton steigende Funktion, die sich nicht an den Budgetanteilen orientieren, sondern eher am Marktpreis. In beiden Fällen handelt es sich um konvexe Präferenzen , d. h. echte Re‐ Kombinationen zweier Güterbündel werden den Ausgangssituationen vorgezogen.
Teil 1: Haushaltstheorie
Einheit 4: Nutzenmaximierung
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Nutzenmaximierung
Marc , Hannah und Alex haben jetzt ihre jeweiligen Präferenzen in einer geeigneten Nutzenfunktion quantifiziert. Das gleiche gilt für Jana , Anna und Lisa – auch wenn die Präferenzen der drei völlig anders strukturiert sind. Sie können jetzt alle ihre Entscheidungen optimieren, indem sie entweder für einen gegebenen Nutzen das Budget minimieren oder für ein gegebenes Budget den Nutzen maximieren. Mathematisch handelt es sich in beiden Fällen um eine Optimierung unter Nebenbedingungen. Ein klassischer Lösungsansatz hierfür ist der sogenannte Lagrange-Ansatz , der aber an dieser Stelle nicht weiter vertieft werden soll. Eine Budgetminimierung entspricht konzeptionell dem Ansatz einer Kostenminimierung , der im Teil zur Produktionstheorie vertieft diskutiert wird.
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Nutzenmaximierung
Entscheidungsmöglichkeiten für Alex
Geldeinheiten
Wohnquadratmeter
0
200
400
600
800
1.
1.
1.
0 1 02 Budget 03 452 € 04 05 Nutzen 100,0 0607 Nutzen 08 250,0 0
Alex könnte jetzt (wenn ihm ein Nutzen von 100 reicht) solange sein Budget reduzieren, bis keine weitere Reduzierung mehr möglich ist. Den Rest seines Geldes könnte er dann sparen.
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Nutzenmaximierung
Entscheidungsmöglichkeiten für Alex
Geldeinheiten
Wohnquadratmeter
0
200
400
600
800
1.
1.
1.
0 1 02 Budget 80003 € 04 Nutzen 176,8 05 06 Nutzen 100,0 07 Nutzen 08 250,0 0
Alex könnte aber auch seinen Nutzen solange erhöhen, bis bei seinem Budget von 800 keine weitere Erhöhung mehr möglich ist. In diesem Fall hat er sein volles Budget optimal ausgenutzt.
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Fragen bis jetzt?
In der Vorlesung:
Habe ich bis hierhin reine Verständnisfragen?
Welche Teile muss ich noch einmal intensiver erklärt bekommen?
Gibt es weiterführende Aspekte, die für alle interessant sind?
Bei der Nachbereitung
Was muss ich wiederholen, was vertiefen?
Gibt es weiterführende Aspekte, die mich persönlich sehr stark
interessieren?
Welche Mittel und Wege (z. B. die zur Verfügung stehenden
Module) sind für mich hilfreich und zielführend?
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Nutzenmaximierung
Konvexe Präferenzen
**Gut **
**Gut **
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Bei einer glatten streng konvexen Präferenzkurve wird das Optimum (= Nutzenmaximum) dort erreicht, wo die Budgetgerade die Kurve als Tangente berührt. Ein Beispiel für solche Präferenzkurven sind Cobb‐Douglas Präferenzkurven, z. B. U (X,Y) = Y ∙ X.
In diesem Fall gilt folgende Beziehung zwischen der Grenzrate der Substitution MRS und den Preisen P für das Gut X und Q für das Gut Y MRS = ∆Y / ∆X= ‐MUX/ MUY= ‐P / Q d. h. das Tauschverhältnis zwischen Y und X ist (bis auf das Vorzeichen) gleich dem Verhältnis der Preise von X und Y, d. h. man hat ein reziprokes Verhältnis.
Höchstes Nutzenniveau
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Nutzenmaximierung
Perfekte Komplemente
Bei perfekten Komplementen ergibt sich das Nutzenmaximum als Schnitt‐ punkt der Budgetgeraden mit dem höchsten Nutzenniveau. Dies ist aber kein Tangentialpunkt, da dort die Kurve genau den Knick aufweist. Ein Beispiel für eine derartige Präferenzkurve ist die konvexe Präferenz U (X,Y) = MIN [Y, X].
**Gut **
**Gut **
0
2
4
6
8
10
0246810
Höchstes Nutzenniveau
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Nutzenmaximierung
Perfekte Substitute
Bei perfekten Substuten liegt das Maximum auf einem der beiden Rändern, je nachdem welche Preiskonstellation günstiger ist. Wenn die Preiskonstellation gleich ist, dann stimmen Budgetgerade und Indifferenzkurve überein und jeder Punkt ist ein Maximum. Ein Beispiel für perfekte Substitute ist U (X, Y) = Y + X
**Gut **
**Gut **
Höchstes Nutzenniveau
Niedrigstes Nutzenniveau
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Nutzenmaximierung
Ungüter
**Gut **
**Gut **
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
012345
Bei einem Ungut (in Kombination mit einem erwünschten Gut) liegt das Nutzenmaximum auf dem Rand für das gewünschte Gut. Da das Ungut aus Sicht des Konsumenten nicht gewünscht ist, wird das gesamte Budget für das gewünschte Gut verwendet Ein Beispiel für die Nutzenfunktion bei einem Ungut U (X, Y) = Y –X
Höchstes Nutzenniveau
Niedrigstes Nutzenniveau
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Was muss ich wiederholen, was vertiefen?
Gibt es weiterführende Aspekte, die mich persönlich sehr stark
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Welche Mittel und Wege (z. B. die zur Verfügung stehenden
Module) sind für mich hilfreich und zielführend?
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Normiert man a* = a / (a + b) und b* = b / (a + b), dann gelten bei einer
Cobb-Douglas Nutzenfunktion im Optimum folgende Beziehungen:
P ∙ X = a* ∙ Bbzw = a* ∙ B / P
Q ∙ Y = b* ∙ Bbzw = b* ∙ B / Q
Für das erste Gute wird also der Anteil a* und für das zweite Gute der
Anteil b* des Einkommens ausgegeben.
Beobachtet man daher für zwei Güter in unterschiedlichen Situationen
relativ stabile Einkommensanteile, so kann man näherungsweise mit
der entsprechenden Cobb-Douglas Präferenz arbeiten.
Ein Beispiel hierfür sind z. B. die Ausgabenanteile für das Wohnen, der
zumindest in unteren und mittleren Einkommensbereichen auf ca. 1/
des Budgets geschätzt wird.
Nutzenmaximierung
Schätzung von Nutzenfunktionen
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Welche Teile muss ich noch einmal intensiver erklärt bekommen?
Gibt es weiterführende Aspekte, die für alle interessant sind?
Bei der Nachbereitung
Was muss ich wiederholen, was vertiefen?
Gibt es weiterführende Aspekte, die mich persönlich sehr stark
interessieren?
Welche Mittel und Wege (z. B. die zur Verfügung stehenden
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