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Stat9 - Qm3
Quantitative Methoden 3 (33452)
Technische Hochschule Köln
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Technische Hochschule K ̈oln Fakult ̈at f ̈ur Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 39 14 jutta@th-koeln
Ubungen zu QM III (Wirtschaftsstatistik) ̈
Binomialverteilung
Aufgabe 9. Eine Unternehmung m ̈ochte eine Investition t ̈atigen, die mit Risiken behaftet ist. Sie l ̈asst das Investitionsvorhaben von einem Gutachterb ̈uro pr ̈ufen. Dieses stellt Folgendes fest: In jeder der ersten zehn Perioden liegt das Risiko f ̈ur einen Verlust bei 29%.
Die Verluste der einzelnen Perioden sind in den ersten zehn Perioden stochas- tisch unabh ̈angig. Wie wahrscheinlich ist es, dass es in
a) der ersten Periode zu einem Verlust kommt?
b) der ersten Periode ein Verlust, in der zweiten Periode kein Verlust und in der dritten Periode wieder ein Verlust erwirtschaftet werden?
c) genau drei der ersten zehn Perioden zu einem Verlust kommt?
d) h ̈ochstens drei der ersten zehn Perioden zu einem Verlust kommt?
Aufgabe 9. 1. Eine Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit den Parametern n und p. Der Erwartungswert von X betr ̈agt 18, die Varianz 7,2. Berechnen Sie aus den gegebenen Informationen n und p.
- Eine Maschine produziert zu 22% Ausschuss. a) Im Rahmen einer Qualit ̈atskontrolle werden n = 10 der auf dieser Maschine hergestellten St ̈ucke kontrolliert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daf ̈ur, dass - h ̈ochstens drei Produkte Ausschuss sind? - mehr als f ̈unf Produkte Ausschuss sind? - genau f ̈unf Produkte Ausschuss sind? b) Bestimmen Sie die zu erwartende Anzahl der Ausschussst ̈ucke bei Qua- lit ̈atskontrollen von Umfang 50 auf dieser Maschine.
Aufgabe 9. Ein Unternehmen mit einer Produktion von 237 St ̈uck pro Periode ̈uberpr ̈uft jedes Produktionsst ̈uck vor dem Verkauf auf Qualit ̈at. Ein Produktionsst ̈uck, das defekt
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ist, wird als Ausschuss bezeichnet. Ein St ̈uck Ausschuss wird zwar abgesetzt, ver- ursacht aber zuvor ̈Uberarbeitungskosten von 1 GE. Das Unternehmen geht erfah- rungsgem ̈aß von einer Ausschussrate von 12% aus. Die tats ̈achliche Anzahl der de- fekten Produktionsst ̈ucke einer Periode und somit die tats ̈achlichen ̈Uberarbeitungs- kosten einer Periode werden als eine binomialverteilte Zufallsvariable angenommen. Bestimmen Sie den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 und die Standardabwei- chung σ f ̈ur die tats ̈achlichen ̈Uberarbeitungskosten einer Periode.
Aufgabe 9. Eine Großh ̈andlerin kauft aus einer Lieferung von 500 Kisten Tomaten, von denen 23 Kisten ̈uberreife Ware enth ̈alt, zwanzig Kisten. Die ̈uberreifen Fr ̈uchte sind nur noch f ̈ur Tomatensuppe geeignet.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Großh ̈andlerin keine Kiste mit ̈uber- reifen Fr ̈uchten erwirbt?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Großh ̈andlerin mindestens eine Kiste mit ̈uberreifen Fr ̈uchten erwirbt?
c) Mit welcher Anzahl Kisten mit ̈uberreifen Fr ̈uchten muss die Großh ̈andlerin im Mittel rechnen?
Aufgabe 9. Schauen Sie sich im Internet das Applet ”Binomial Distribution“ von Matt Bognar, Department of Statistics and Actuarial Science University of Iowa, an. Sie gelangen zu dem Applet wie folgt:
homepage.divms.uiowa/∼ mbognar/applets/bin
a) Wie ver ̈andert sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion von B(n = 10; p = 0,5) f ̈ur zunehmendes p? Hinweis: Geben Sie f ̈ur n den Wert 10 ein und f ̈ur p = 0. 5. Denken Sie an den Dezimalpunkt!
b) Wie ver ̈andert sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion von B(n = 10; p = 0,5) f ̈ur abnehmendes p? Hinweis: Geben Sie f ̈ur n den Wert 10 ein und f ̈ur p = 0. 5. Denken Sie an den Dezimalpunkt!
E a
Ex an P Fü
d. die erwarteten ̈Uberarbeitungskosten in der n ̈achsten Periode betragen 28, GE V ar√ [X] = np(1 − p) = 28, 44 · 0 ,88 = 25, 0272 V ar[X] =
√
25 ,0272 = 5, 0027
L ̈osung zu Aufgabe 9: N = 500 Kisten M = 23 Kisten mit ̈uberreifen Fr ̈uchten n = 20 Kisten werden gekauft Bei der Auswahl der 20 Kisten handelt es sich um ein Ziehen von 20 aus 500 ohne Zur ̈ucklegen. Sei A das Ereignis, die Kiste ̈uberreife Fr ̈uchte enth ̈alt. Dann betr ̈agt vor der ersten Auswahl einer Adresse P (A) = M N = 50023. Falls die erste Kiste keine ̈uberreifen Fr ̈uchte enth ̈alt, so betr ̈agt vor der zweiten Auswahl einer Kiste P (A) = 49923 , anderenfalls betr ̈agt P (A) = 49922. D. P (A) ist vor jeder Wiederholung des Zufallsexperiments nicht gleich groß. Die Wahrschein- lichkeit P (A) w ̈are vor jeder Wiederholung gleich groß, wenn die gezogene Kiste wieder zur ̈uckgelegt werden w ̈urde und somit erneut gezogen werden k ̈onnte; d. wir also 20 aus 500 ziehen w ̈urden mit Zur ̈ucklegen. Also liegt keine exakte Binomialverteilung vor. Die Binomialverteilung kann aber dennoch zur n ̈aherungsweisen Berechnung herangezogen werden, falls der Auswahl- satz Nn h ̈ochstens 0,05 betr ̈agt.
X= Anzahl der Kisten mit ̈uberreifen Fr ̈uchten X ≈ B(n = 20; p = 0,046); da der Auswahlsatz Nn = 50020 = 0, 04 ≤ 0 ,05 betr ̈agt.
a) P (X = 0) ≈
(
20
0
)
· 0 , 0460 · 0 , 95420 = 0, 3899
d. die Wahrscheinlichkeit ist eher gering und betr ̈agt 0,3899.
b) P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) ≈ 1 − 0 ,3899 = 0, 6101 d. die Wahrscheinlichkeit ist mit dem Wert 0,6101 weder klein noch hoch. Die Großh ̈andlerin muss also mit mehr als 50% Wahrscheinlichkeit damit rechnen, mindestens eine Kiste mit ̈uberreifen Fr ̈uchten zu erwerben.
c) E[X] = n · p = 20 · 0 ,046 = 0,92 d. die Großh ̈andlerin muss damit rechnen, etwa knapp eine Kiste mit ̈uberreifen Fr ̈uchten zu erwerben.
Stat9 - Qm3
Kurs: Quantitative Methoden 3 (33452)
Universität: Technische Hochschule Köln
