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Skript-Mathe 4-2017 - Skript
Mathe 4 (04-00-0047-ps)
Technische Universität Darmstadt
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Mathematik IV für Elektrotechnik
Mathematik III für Informatik
Vorlesungsskript
Prof. Dr. Stefan Ulbrich
Fachbereich Mathematik
Technische Universität Darmstadt
Sommersemester 2017
Stand: 04/
iv Inhaltsverzeichnis
- 4 Das Cholesky-Verfahren
- 4 Fehlerabschätzungen und Rundungsfehlereinfluss
- 4.4 Fehlerabschätzungen für gestörte Gleichungssysteme
- 4.4 Rundungsfehleranalyse für das Gauß-Verfahren
- 5 Nichtlineare Gleichungssysteme
- 5 Einführung
- 5 Das Newton-Verfahren
- 5.2 Herleitung des Verfahrens
- 5.2 Superlineare und quadratische lokale Konvergenz des Newton-Verfahrens
- 5.2 Globalisierung des Newton-Verfahrens.
- 6 Verfahren zur Eigenwert- und Eigenvektorberechnung
- 6 Eigenwertprobleme.
- 6.1 Grundlagen
- 6.1 Beispiele.
- 6.1 Grundkonzepte numerischer Verfahren
- 6.1 Störungstheorie für Eigenwertprobleme.
- 6 Die Vektoriteration
- 6.2 Definition und Eigenschaften der Vektoriteration
- 6.2 Die Vektoriterationen nach v. Mises und Wielandt.
- 6 Das QR-Verfahren
- 6.3 Grundlegende Eigenschaften des QR-Verfahrens.
- 6.3 Konvergenz des QR-Verfahrens
- 6.3 Shift-Techniken.
- 6.3 Berechnung einer QR-Zerlegung (Ergänzung für Interessierte).
- 6 Eigenwertprobleme.
- 7 Grundbegriffe der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie
- 7 Messreihen
- 7 Lage- und Streumaßzahlen
- 7.2 Lagemaßzahlen.
- 7.2 Streuungsmaße.
- 7.2 Zweidimensionale Messreihen.
- 7.2 Regressionsgerade
- 7 Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeit
- 7.3 Zufallsexperimente
- 7.3 Wahrscheinlichkeit.
- 7.3 Elementare Formeln der Kombinatorik
- 7 Bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit.
- 7.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit.
- 7.4 Unabhängigkeit.
- 7 Zufallsvariablen und Verteilungsfunktion.
- 7.5 Beispiele für diskrete Verteilungen
- 7.5 Beispiele für stetige Verteilungen
- 7 Erwartungswert und Varianz
- 7.6 Rechenregeln
- 7 Gesetz der großen Zahlen, zentraler Grenzwertsatz
- 7.7 Das schwache Gesetz der großen Zahlen
- 7.7 Zentraler Grenzwertsatz
- 7 Testverteilungen und Quantilapproximationen
- 7.8 Wichtige Anwendungsbeispiele
- 8 Schätzverfahren und Konfidenzintervalle
- 8 Grundlagen zu Schätzverfahren
- 8 Maximum-Likelihood-Schätzer.
- 8 Konfidenzintervalle.
- 8.3 Konstruktion von Konfidenzintervallen
- 9 Tests bei Normalverteilungsannahmen
- 9 Grundlagen.
- 9 Wichtige Test bei Normalverteilungsannahme.
- 9 Verteilungstests
- 10 Robuste Statistik
- 10 Median
- 10 M-Schätzer
- 11 Multivariate Verteilungen und Summen von Zufallsvariablen
- 11 Grundlegende Definitionen
- 11 Verteilung der Summe von Zufallsvariablen
1 Interpolation
Häufig liegen von einem funktionalen Zusammenhang y = f(x), f :[a,b] →Rnur eine begrenzte Zahl von Wertenyi=f(xi),i=0,...,n, vor, man möchte jedoch f(x)für beliebiges x∈[a,b]näherungsweise berechnen, plotten, etc.. Dies führt auf das
Interpolationsproblem: Suche eine einfache ErsatzfunktionΦ(x)mit
Φ(xi)=yi, i=0,...,n.
Wunsch:Der Fehler|f(x)−Φ(x)|sollte auf[a,b]klein sein.
Beispiele: 1. Die Funktionf(x)ist aufwändig zu berechnen (z.B(x),exp(x),ln(x),Γ(x), etc.) und es sind nur die Werteyi=f(xi),i=0,...,n, bekannt. Gesucht:Genaue ApproximationΦ(x)fürf(x), oderΦ′(x)fürf′(x).
Ein Experiment (oder eine numerische Berechnung) beschreibt einen unbekannten funk- tionalen Zusammenhangy=f(x)und liefert zu Eingangsparameternxidie Werteyi. Gesucht:Gutes ModellΦ(x)für das unbekanntef(x).
Ein digitales Audiosignal (CD, MP3-Player, DVD,... ) liefert zum Zeitpunktti,i=0,...,n, die Amplitudeyi. Gesucht:Wie sieht das zugehörige analoge Audiosignaly(t)aus?
Ein digitales Audiosignal(ti,yi),i=0,...,n, zur Abtastrate 44 kHz (CD) soll umgesam- pelt werden auf die Abtastrate 48 kHz (DAT, DVD-Video). Gesucht:( ̃tj,y( ̃tj))für die 48 kHz-Abtastzeiten ̃tj.
2D-Beispiel: Durch Datenpunkte(xi,yi,zi)soll eine glatte Fläche(x,y,z(x,y))gelegt wer- den (CAD, Computergrafik, Laserscanner, etc.).
Formale Aufgabenstellung Gegeben sei eine AnsatzfunktionΦ(x;a 0 ,...,an), x∈R, die von Parameterna 0 ,...,an∈R abhängt. In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit der folgenden
Interpolationsaufgabe: Zu gegebenen Paaren
(xi,yi), i=0,...,n mitxi,yi∈R, xi 6 =xjfüri 6 =j,
sollen die Parametera 0 ,...,anso bestimmt werden, dass dieInterpolationsbedingungen
Φ(xi;a 0 ,...,an)=yi, i=0,...,n
gelten. Die Paare(xi,yi)werden alsStützpunktebezeichnet.
3
0 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8 1
− 1
− 0. 5
0
- 5
1 L 0 , 5 L 3 , 5
Abbildung 1:L0,5undL3,5für äquidistante Stützstellen auf[0,1].
Lagrangesches Interpolationspolynom
pn(x)=
∑n
k= 0
ykLk,n(x) mit Lk,n(x)=
∏n
j= 0 j 6 =k
x−xj xk−xj
. (1)
Die Lagrange-PolynomeLk,n(x)sind gerade so gewählt, dass gilt
Lk,n(xi)=
̈
1 fallsk=i, 0 sonst.
=:δki,
wobeiδkidasKronecker-Symbolist. Abbildung1 Beispiele hierzu. Das Polynompnin (1) erfüllt die Interpolationsbedingungen (1), denn
pn(xi)=
∑n
k= 0
ykLk,n(xi)=
∑n
k= 0
ykδki=yi.
Tatsächlich ist dies die einzige Lösung der Interpolationsaufgabe:
Satz 1.1.1 gibt genau ein Polynom p(x)vom Grad≤ n, das die Interpolationsbedingungen (1)erfüllt, nämlichpn(x).
Beweis Polynom (1) hat Grad≤nund erfüllt (1). Gäbe es ein weiteres Polynom ̃pn(x) mit Grad≤n, das (1) erfüllt, so wärepn(x)− ̃pn(x)ein Polynom vom Grad≤nmitn+ 1 verschiedenen Nullstellenx 0 ,...,xn, muss also identisch 0 sein.
Bemerkung.(1) zeigt, dasspnlinear von ykabhängt.
Die Darstellung (1) von Lagrange ist für theoretische Zwecke sehr nützlich und wird auch in der Praxis oft angewendet.
1 Polynominterpolation 5
0 0. 5 1 1. 5 2
− 1
− 0. 5
0
- 5
1 p 5 (x) sin(πx)
0 0. 5 1 1. 5 2
− 0. 02
0
- 02
sin(πx)−p 5 (x)
Abbildung 1:Links:sin(πx)undp 5 (x),Rechts:Fehlersin(πx)−p 5 (x)(man beachte die un- terschiedlichen Maßstäbe).
Vorteile - Der Rechenaufwand beträgt:O(n 2 )für die Koeffizientenberechnung (Nenner in (1)) und O(n)für die Auswertung vonpn(x).
- Intuitive, bequeme Darstellung.
Beispiel 1.1.2.Abbildung1 den Polynominterpolanten vonf(x)=sin(πx)auf[0,2]für n= 5 und äquidistante Stützstellenxi= 25 i,i=0,...,n.
In der Praxis, insbesondere wenn die effiziente Hinzunahme weiterer Stützstellen möglich sein soll, ist die folgendeNewtonsche Interpolationsformelangenehmer.
1.1 Newtonsche Interpolationsformel
Wir wählen als Ansatz dieNewtonsche Darstellung
pn(x)=γ 0 +γ 1 (x−x 0 )+γ 2 (x−x 0 )(x−x 1 )+···+γn(x−x 0 )(x−x 1 )···(x−xn− 1 ),
mit Parameternγ 0 ,...,γn. Einsetzen in (1) liefert nun
pn(x 0 )=γ 0 =y 0
pn(x 1 )=γ 0 +γ 1 (x 1 −x 0 )=y 1 =⇒ γ 1 =
y 1 −y 0 x 1 −x 0
pn(x 2 )=γ 0 +γ 1 (x 2 −x 0 )+γ 2 (x 2 −x 0 )(x 2 −x 1 )=y 2 =⇒ γ 2 =
y 2 −y 0 x 2 −x 0 −
y 1 −y 0 x 1 −x 0 x 2 −x 1
=
y 2 −y 1 x 2 −x 1 −
y 1 −y 0 x 1 −x 0 x 2 −x 0 .. .
Man bezeichnet f[x 0 ,...,xi] := γi als diei-tedividierte Differenz zu den Stützstellen x 0 ,...,xi, wobeif[x 0 ]=γ 0 =y 0.
6 1 Interpolation
Vorteile - Der Rechenaufwand beträgt: Berechnung der dividierten Differenzen:O(n 2 ) Auswertung vonpn(x):O(n)
- Hinzunahme einer neuen Stützstelle erfordert nur die Berechnung vonnzusätzlichen divi- dierten Differenzen. (Die Reihenfolge der Stützstellen ist egal, so dass die neue Stützstelle unten an das Schema angefügt werden kann.)
1.1 Fehlerabschätzungen
Nimmt man an, dass die Stützwerte von einer Funktionf :[a,b]→Rkommen, also
yi=f(xi), i=0,...,n,
dann ergibt sich die Frage, wie gut das Interpolationspolynompnauf[a,b]mitf übereinstimmt. Es gilt der folgende Satz:
Satz 1.1.3 f (n+ 1 )-mal stetig differenzierbar, kurz f ∈Cn+ 1 ([a,b]). Seienx 0 ,...,xn ∈ [a,b]verschiedene Punkte und seipndas eindeutige Interpolationspolynom vom Grad≤nzu den Stützwerten(xi,f(xi)),i=0,...,n. Dann existiert zu jedemx∈[a,b]einξx∈[a,b]mit
f(x)−pn(x)=
f(n+ 1 )(ξx) (n+ 1 )!
(x−x 0 )···(x−xn).
Das Restglied der Interpolation hat also zwei Faktoren: Das sogenannteKnotenpolynom
ω(x)=
∏n
i= 0
(x−xi)
und den Faktor f
(n+ 1 )(ξx) (n+ 1 )!. Durch Abschätzung beider Terme ergibt sich zum Beispiel folgende Schranke.
Korollar 1.1.4 den Voraussetzungen von Satz1.1
max x∈[a,b]
|f(x)−pn(x)|≤ max x∈[a,b]
|f(n+ 1 )(x)| (n+ 1 )!
max x∈[a,b]
|ω(x)|≤ max x∈[a,b]
|f(n+ 1 )(x)| (n+ 1 )!
(b−a)n+ 1.
Achtung Bei äquidistanter Wahl der Stützpunkte, alsoxi=a+ih,h=(b−a)/n, ist nicht immer gewähr- leistet, dass gilt
nlim→∞f(x)−pn(x)= 0 für allex∈[a,b].
Beispiel(x) = 1 + 1 x 2 auf[a,b] = [−5,5]. Bei äquidistanten Stützstellen geht der Fehler|f(x)−pn(x)|fürn→∞nicht an allen Stellenx∈[a,b]gegen 0 – siehe Abbildung1.
Als Ausweg kann man xi als die sogenannten Tschebyschevschen-Abszissenwählen, für die maxx∈[a,b]|ω(x)|minimal wird:
8 1 Interpolation
− 4 − 2 0 2 4
0
- 5
1
- 5
2 p 10 (x) 1+ 1 x 2
− 4 − 2 0 2 4
− 60
− 40
− 20
0
p 20 (x) 1 1+x 2
Abbildung 1:Interpolantenp 10 bzw 20 von f(x)= 1 + 1 x 2 auf[a,b]=[−5,5]bei äquidistan- ten Stützstellen; man beachte die unterschiedlichen Maßstäbe.
− 4 − 2 0 2 4
0
2
4
6
8
1 p 10 (x) 1 1+x 2
− 4 − 2 0 2 4
0
2
4
6
8
1 p 20 (x) 1 1+x 2
Abbildung 1:Interpolantenp 10 bzw. p 20 von f(x) = 1 + 1 x 2 auf[a,b] = [−5,5]bei Tscheby- schevabszissen.
Tschebyschevabszissen Die Stützstellen
xi=
b−a 2
cos
2 i+ 1 n+ 1
π 2
+
b+a 2
, i=0,...,n. (1)
liefern den minimalen Wert fürmaxx∈[a,b]|ω(x)|, nämlich
max x∈[a,b]
|ω(x)|=
b−a 2
n+ 1 2 −n.
Beispiel Interpolanten fürf(x) = 1 + 1 x 2 mit Tschebyschevabszissen sind in Abbildung1. zu sehen.
Allgemein sollte man in der Praxis nichtnsehr groß wählen, sondern besser stückweise in kleinen Intervallen vorgehen, siehe1.
1 Polynominterpolation 9
1.2 Grundlagen
Sei∆={xi:a=x 0 <x 1 <...<xn=b}eine Zerlegung des Intervalls[a,b]. Aus historischen Gründen nennt man diexiKnoten.
Definition 1.2. EineSplinefunktion der Ordnungl zur Zerlegung∆ ist eine Funktion s : [a,b]→Rmit folgenden Eigenschaften
Es gilts∈Cl− 1 ([a,b]),sist also stetig undl− 1 -mal stetig differenzierbar.
sstimmt auf jedem Intervall[xi,xi+ 1 ]mit einem Polynomsivom Grad≤lüberein.
Die Menge dieser Splinefunktionen bezeichnen wir mitS∆,l.
Im Folgenden betrachten wir nur den Falll= 1 (lineare Splines) undl= 3 (kubische Splines). Wir wollen nun Splines zur Interpolation verwenden und betrachten folgende Aufgabenstel- lung:
Spline-Interpolation Zu einer Zerlegung∆ ={xi :a=x 0 <x 1 <...<xn=b}und Werten yi ∈ R, i = 0,...,n bestimmes∈S∆,lmit
s(xi)=yi, i=0,...,n. (1)
1.2 Interpolation mit linearen Splines
Ein linearer Splines∈S∆,1ist stetig und auf jedem Intervall[xi,xi+ 1 ]ein Polynomsivom Grad ≤ 1. Die Interpolationsbedingungen (1) erfordern dahersi(xi)=yi,si(xi+ 1 )=yi+ 1 und legen sieindeutig fest zu
s(x)=si(x)=
xi+ 1 −x xi+ 1 −xi
yi+
x−xi xi+ 1 −xi
yi+ 1 ∀x∈[xi,xi+ 1 ]. (1)
Definieren wir die „Dachfunktionen“
φi(x)=
0 fallsx<xi− 1 , x−xi− 1 xi−xi− 1 fallsx∈[xi− 1 ,xi], xi+ 1 −x xi+ 1 −xi fallsx∈[xi,xi+ 1 ], 0 fallsx>xi+ 1 ,
mit beliebigen Hilfsknotenx− 1 <aund xn+ 1 > b, dann erhalten wir fürs(x)auf[a,b]die bequeme Darstellung
s(x)=
∑n
i= 0
yiφi(x), x∈[a,b].
Satz 1.2.2 einer Zerlegung∆={xi:a=x 0 <x 1 <...<xn=b}von[a,b]und Wertenyi, i=0,...,n, existiert genau ein interpolierender linearer Spline.
1 Spline-Interpolation 11
Ferner gilt folgende Fehlerabschätzung.
Satz 1.2.3 ∈C 2 ([a,b]). Dann gilt für jede Zerlegung∆={xi;a=x 0 <x 1 <...<xn=b} von[a,b]und den zugehörigen interpolierenden linearen Splines∈S∆,1vonf
max x∈[a,b]
|f(x)−s(x)|≤
1
8
max x∈[a,b]
|f′′(x)|h 2 ma x mit hma x:= max i=0,...,n− 1
xi+ 1 −xi.
Beweis jedem Intervall[xi,xi+ 1 ]istsein interpolierendes Polynom vom Grad≤ 1. Daher gilt nach Satz1.
|f(x)−s(x)|=
|f′′(ξx)| 2!
(xi+ 1 −x)(x−xi)≤
|f′′(ξx)| 2!
h 2 ma x 4
∀x∈[xi,xi+ 1 ]
mit einem (vonxabhängigen)ξx∈[xi,xi+ 1 ]. Daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
1.2 Interpolation mit kubischen Splines
Kubische Splines sind zweimal stetig differenzierbar aus kubischen Polynomen zusammenge- setzt. Wir werden sehen, dass die Interpolation mit kubischen Splines es gestattet, gegebene Punkte durch eine Funktion minimaler Krümmung zu interpolieren.
Berechnung kubischer Spline-Interpolanten
Ists∈S∆,3ein kubischer Spline, dann ists′′offensichtlich stetig und stückweise linear, also s′′∈S∆,1. Es bietet sich daher an,sidurch Integration vons′′i zu bestimmen. SeienMi=s′′i(xi), die sogenanntenMomente. Dann gilt nach (1)
s′′i(x)=
xi+ 1 −x xi+ 1 −xi
Mi+
x−xi xi+ 1 −xi
Mi+ 1.
Zweifache Integration ergibt dann den Ansatz
si(x)=
1
6
(xi+ 1 −x) 3 xi+ 1 −xi
Mi+
(x−xi) 3 xi+ 1 −xi
Mi+ 1
+ci(x−xi)+di
mit Konstantenci,di∈R. Wir berechnenciunddiaus den Bedingungen
si(xi)=yi, si(xi+ 1 )=yi+ 1.
Mithi=xi+ 1 −xiliefert dies
di=yi−
h 2 i 6
Mi, ci=
yi+ 1 −yi hi
−
hi 6
(Mi+ 1 −Mi).
Die fehlenden WerteMilassen sich durch die ersten Ableitungen
s′i(x)=
1
2
−
(xi+ 1 −x) 2 xi+ 1 −xi
Mi+
(x−xi) 2 xi+ 1 −xi
Mi+ 1
+ci
und den Gleichungens′i(xi)=s′i− 1 (xi)berechnen. Dies ergibt schließlich folgende Gleichungen für die MomenteMi:
hi− 1 6
Mi− 1 +
hi− 1 +hi 3
Mi+
hi 6
Mi+ 1 =
yi+ 1 −yi hi
−
yi−yi− 1 hi− 1
, i=1,...,n−1. (1)
Dies sindn− 1 Gleichungen fürn+ 1 Unbekannte. Der Spline-Interpolant wird eindeutig durch zwei zusätzlich Randbedingungen:
12 1 Interpolation
Satz 1.2.5 sei eine beliebige Funktionf ∈C 2 ([a,b])und eine Unterteilung∆von[a,b] mityi=f(xi). Dann gilt für den kubischen Spline-Interpolantens∈S∆,3mit Randbedingungen a) oder b) ∫b
a
f′′(x) 2 dx=
∫b
a
s′′(x) 2 dx+
∫b
a
(f′′(x)−s′′(x)) 2 dx≥
∫b
a
s′′(x) 2 dx.
Beweis zum Beispiel [ 5 ], [ 4 ].
Fehlerabschätzung für kubische Spline-Interpolation
Unter Verwendung der Tatsache, dass die MomenteMˆi=f′′(xi)das Gleichungssystem (1) aufO(h 3 ma x)mithma x=max 0 ≤i<nhierfüllen und die Norm der Inversen der Koeffizientenmatrix in (1) von der OrdnungO( 1 /hmin)ist mithmin=min 0 ≤i<nhi, kann man folgendes Resultat zeigen.
Satz 1.2.6 ∈C 4 ([a,b])mit f′′(a) =f′′(b) = 0. Dann gilt für jede Unterteilung∆, yi= f(xi)und dem kubischen Spline-Interpolantens∈S∆,3zu Randbedingungen a)
|f(x)−s(x)|≤
hma x hmin
sup ξ∈[a,b]
|f( 4 )(ξ)|h 4 ma x,
|f(k)(x)−s(k)(x)|≤
2 hma x hmin
sup ξ∈[a,b]
|f( 4 )(ξ)|h 4 ma x−k, k=1,2.
Beweis zum Beispiel [ 4 ].
Für Hermite-Randbedingungen lässt sich der Satz verschärfen:
Satz 1.2.7 ∈C 4 ([a,b]). Dann gilt für jede Unterteilung∆,yi=f(xi)und dem kubischen Spline-Interpolantens∈S∆,3zu Randbedingungen b)
|f(x)−s(x)|≤
5
384
sup ξ∈[a,b]
|f( 4 )(ξ)|h 4 ma x,
|f(k)(x)−s(k)(x)|≤
2 hma x hmin
sup ξ∈[a,b]
|f( 4 )(ξ)|h 4 ma x−k, k=1,2.
Beweis zum Beispiel [ 2 , 4 , 6 ].
14 1 Interpolation
2 Numerische Integration
In diesem Kapitel stellen wir einige wichtige Verfahren zur näherungsweisen Berechnung be-
stimmter Integrale
∫b a f(x)dxvor.
Integrationsaufgabe Zu gegebenem integrierbaremf :[a,b]→Rberechne
I(f)=
∫b
a
f(x)dx.
Schon für relativ einfache Funktionen lässt sich die Stammfunktion nicht analytisch angeben,
etwasinxxunde−x
2 . Man ist dann auf numerische Integrationsverfahren angewiesen. Wichtige numerische Integrationsverfahren beruhen darauf,f mit Hilfe einiger Stützpunkte (xi,f(xi)),xi∈[a,b]durch ein Polynompnzu interpolieren und dann dieses zu integrieren. Diese Vorgehensweise liefert die Integralapproximation
In(x)=
∫b
a
pn(x)dx
und wird alsinterpolatorische Quadraturbezeichnet.
2 Newton-Cotes-Quadratur
2.1 Geschlossene Newton-Cotes-Quadratur
Wir wählen fürn∈Ndie äquidistanten Stützstellen
xi=a+ih, i=0,...,n, mit h=
b−a n
.
Dann lautet das Interpolationspolynompnin Lagrange-Darstellung
pn(x)=
∑n
i= 0
f(xi)Li,n(x), Li,n(x)=
∏n
j= 0 j 6 =i
x−xj xi−xj
.
Wir erhalten nun die numerische Quadraturformel
In(f)=
∫b
a
pn(x)dx=
∑n
i= 0
f(xi)
∫b
a
Li,n(x)dx.
Mit der Substitutionx=a+shunds∈[0,n]ergibt sich die
15
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