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Mathe IVET Wi Se17 Ulbrich Klausur
Mathematik IV (für ET)
Technische Universität Darmstadt
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Klausur: Mathematik IV (ET),
Mathematik III (Inf.)
Fachbereich Mathematik WiSe 17/ Prof. Dr. Stefan Ulbrich 12.
Name ...........................................
Vorname ........................................
Matrikelnummer ................................
Studiengang ....................................
Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7
∑
Note Punktzahl 5 12 14 6 7 7 15 66 erreichte Punktzahl
Wichtige Hinweise
Die Klausurdauer beträgt 90 Minuten. Die zu bearbeitenden Aufgaben sind, sofern nicht anders im Auf- gabentext genannt, Fill-in -Aufgaben. Runden Sie in Ihren Antworten gegebenenfalls auf 5 signifikante Stellen. Für ausführliche Antworten ist entsprechend Platz auf den Aufgabenblättern vorgesehen. Sie bekommen nur dann Punkte für die ausführlich zu bearbeitenden Aufgaben, wenn ein klarer Rechen- weg erkennbar ist, welcher auch bewertet wird. Sollte der Platz nicht reichen, rechnen Sie bitte in den vorgesehenen Extra-Blättern am Ende der Klausur. Falls diese nicht ausreichen sollten, erhalten Sie bei der Aufsicht zusätzliche Blätter. Versehen Sie diese mit Namen und Matrikelnummer! Verweisen Sie bitte in jedem Fall auf die zusätzlichen Rechnungen.
Bei den Fill-in Aufgaben empfiehlt es sich, vereinzelte Zwischenschritte anzugeben, anhand derer even- tuelle Teilpunkte vergeben werden können. Sie können fast alle Teilaufgaben bearbeiten, ohne die vori- gen richtig bzw. vollständig gelöst zu haben.
Sie dürfen einen einfachen Taschenrechner und 4 eigenhandschriftlich beschriebene DIN A4 Seiten als Hilfsmittel benutzen. Der Raum darf ab Klausurbeginn erst nach Klausurende verlassen werden.
Informationen zu den Ergebnissen und der Klausureinsicht werden über Moodle bekannt gegeben, Nach- fragen sind zwecklos.
Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!
Aufgaben beginnen auf der Rückseite
1. Aufgabe (Interpolation) (3+2 Punkte)
Gegeben sei die Funktion
f :[−1,1]→R x 7→− 5 x 4 +
1
2
x 3 + x 2 +
3
2
x.
(a) Berechnen Sie zu f und den Stützstellen{−1,0,1}das Interpolationspolynom vom Grad≤ 2 auf dem Intervall[−1,1].
Lösungsweg:
p 2 ( x )=
(b) Die Funktion f sei durch einen linearen Spline s :[−1,1]→Rmit Zerlegung ∆ ={−1,0, 12 ,1} approximiert. Berechnen Sie mit Hilfe von Formeln aus dem Skript eine obere Schranke für den Interpolationsfehler.
| f ( x )− s ( x )|≤
3. Aufgabe (Anfangswertprobleme) (9+2+3 Punkte)
(a) Gegeben sei das folgende Butcher-Schema:
(BS)
1 5
1 5 1
i. Geben Sie die Verfahrensvorschrift für das durch (BS) definierte Runge-Kutta-Verfahren an.
uj + 1 =
ii. Geben Sie die Stabilitätsfunktion R :→des zu (BS) definierten Runge-Kutta-Verfahrens an.
iii. Sei ̄ y die Lösung der Differentialgleichung
y ′( t )= t 2 y ( t )−2, y ( 1 )=2.
Berechnen Sie im folgenden Kästchen einen Schritt des durch (BS) definierten Runge- Kutta-Verfahrens zur Lösung dieser Differentialgleichung. Verwenden Sie zur Berechnung die Schrittweite h = 12. Hinweis: Zur Bestimmung der Lösung wird ein Rechenweg verlangt.
(b) Ein anderes Runge-Kutta-Verfahren sei definiert durch die Stabilitätsfunktion
R :{ 3 }→ mit R ( q )= 3 + 2 q 3 − q
.
Ist das Verfahren A-stabil? Begründen Sie kurz Ihre Antwort. Hinweis: Das alleinige hinschreiben der Definition ist nicht ausreichend.
(c) Sei ein Runge-Kutta Verfahren durch die Verfahrensvorschrift
uj + 1 = uj +
h 4
( k 1 + 3 k 2 )
mit
k 1 = f
tj +
h 2
, uj +
h 2
k 2
und k 2 = f
tj +
h 2
, uj +
h 2
k 1
gegeben. Übersetzen Sie die Vorschrift für das Runge-Kutta Verfahren in folgendes Butcher-Schema bzw. vervollständigen Sie dieses:
4. Aufgabe (Dichte und Verteilungsfunktion) (3+3 Punkte)
(a) Gegeben sei eine Zufallsvariable X mit Dichte
f ( x )=
0 x< −1, 1 2 ( x + 1 ) für x ∈[−1,0], α + βx für x ∈]0,3], 0 x> 3
(1)
und Unbekannten α , β ∈R. i. Bestimmen Sie α und β , sodass es sich bei (1) um eine stetige Dichte handelt.
α = β =
ii. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert 1 nicht überschrei- tet.
P ( X ≤ 1 )=
6. Aufgabe (Tests) (2+3+2 Punkte)
Ein Bäcker verkaufte im letzten Quartal 200 Brötchen pro Tag. Er vermutet, dass die Beliebtheit der Brötchen abgenommen hat und möchte dies untersuchen. Eine Stichprobe von 20 Tagen ergab ein arith- metisches Mittel von 193 Brötchen. Es wird angenommen, dass die Anzahl an verkauften Brötchen pro Tag unabhängig identisch normalverteilt ist, mit einer Varianz von σ 20 = 25.
(a) Wie lautet die Nullhypothese H 0 und welches Testverfahren aus der Vorlesung ist dazu geeignet, diese zu überprüfen?
H 0 : Verfahren:
(b) Wie lautet die zu betrachtende Testgröße?
T ( X 1 ,..., Xn )=
Wie lautet allgemein die Bedingung zur Ablehnung der Nullhypothese mit einer Fehlerwahrschein- lichkeit von5%?
Ablehnung von H 0 falls
(c) Wird die Nullhypothese unter einer Fehlerwahrscheinlichkeit von5%abgelehnt oder nicht? Begründen Sie kurz Ihre Antwort.
H 0 wird
7. Aufgabe (Vermischtes) (6+2+2+5 Punkte)
(a) Gegeben seien
A =
1 2 − 1
2 5 0
−1 0 30
und b =
4
10
25
.
i. Bestimmen Sie die Cholesky-Zerlegung L LT von A und geben Sie L an.
L =
ii. Bestimmen Sie die Lösung x ∈R 3 des Gleichungssystems Ax = b. Benutzen Sie dafür das Ergebnis aus i.. Hinweis: Zur Bestimmung der Lösung wird ein Rechenweg verlangt, um sicherzustellen, dass die Lösung von Ihnen und nicht von Ihrem Taschenrechner stammt.
Lösungsweg:
Weiterer Platz für Nebenrechnungen (Seite 1):
Weiterer Platz für Nebenrechnungen (Seite 2):
Weiterer Platz für Nebenrechnungen (Seite 4):
Mathe IVET Wi Se17 Ulbrich Klausur
Kurs: Mathematik IV (für ET)
Universität: Technische Universität Darmstadt
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