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HM II Formelsammlung
Höhere Mathematik 2 für Maschinenwesen und Chemie-Ingenieurwesen (MW9302)
Technische Universität München
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Text Vorschau
HM II FS
Lineare Algebra
Linearität
Eine lineare Abb. ist genau dann injektiv , wenn Kern(f) = {0}
Jede lineare Abb. ist durch eine Matrix darstellbar Dimensionsformel, f: V ³ W
dim Bild(f) = rang(f) = Spaltenraum von A
kern(f) = {0} => dim Bild(f) = V => bijekt. Darstellungsmatrizen
Identitätsfunktion:
Basistransformation Kettenregel: -
Transformationsformel:
Häufiger Fall: f = Av
wobei Methoden zur Bestimmung von D. 1.) Vektoren der Basis von V einsetzen und deren Koordinaten bezüglich der Basis von W bestimmen 2.) Transformationsformel
- Man nennt zwei Matrizen “ähnlich” falls es eine invertierbare Matrix S gibt, so dass gilt
- Darstellungsmatrizen derselben linearen Abbildung (bzgl.) unterschiedlicher Basen sind ähnlich
Eigenwerte & Eigenvektoren
- Jeder Eigenvektor spant seinen zugehörigen Eigenraum Bestimmen von Eigenwerte
- A ist singulär => nicht invertierbar
- Eigenwerte sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms Eigenvektoren - Nach Bestimmung der Eigenwerte löse
Vielfachheit
: wie oft in vorkommt
: wie viele Eigenvektoren besitzt
=> Dimension des Eigenraums zu
- Es gilt immer Satz: Die Determinante einer Matrix ist das Produkt ihrer Eigenwerte (mit Vielfachen)
Diagonalisierbarkeit
Eine Matrix ist Diagonalisierbar falls
In den Spalten von S stehen die Eigenvektoren von A
Satz: Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn für jeden Eigenwert gilt Satz: Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte und ist immer diagonalisierbar. Die Eigenvektoren sind orthogonal zueinander - A und D sind ähnliche Matrizen Satz: Ähnliche Matrizen besitzen dieselben Eigenwerte Jordannormalform
Eine Jordanmatrix besteht aus Jordankästchen Satz: Für jede Matrix A gibt es eine Jordan- Basis und eine Jordanmatrix mit
Verallgemeinerte Eigenräume
,
Jordan-Basis bestimmen
Eigenvektoren von N bestimmen falls , dann kern von bis
Dann den letzten bestimmten Eigenvektor benutzen um die anderen zu bestimmen, und
Singulärwertzerlegung Satz: A quadratisch. Dann gibt es zwei nxn orthogonale Matrizen U, V und eine Diagonalmatrix S, so dass
•
Methode: 1.) Berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren von 2.) ,
3.)
Lineare Differentialgleichungen
- Lösung **Lösung bestimmen:- 1.) A ist eine Diagonalmatrix
- 2.) A Diagonalisierbar**
- bestimmen, so dass -
3.) A ist nicht diagonalisierbar
A zerlegen, so dass wobei J aus besteht
Nur wenn DN = ND gilt
Wobei Lösungsformel für Lineare DGLs
Integral wird Komponentenweise durchgeführt
Differentialrechnung
Topologische Grundbegriffe
- Menge D ist offen , falls , wenn alle Punkte aus D innere Punkte sind
- Menge D ist abgeschlossen, falls , wenn D alle Randpunkte enthält
- Abschluss von D ist
- offen, dann abgeschlossen Gradient - Erste Ableitung eines Skalarfelds - Satz: Falls stetig ist, für k = 1,...,d:
;
Sonderfälle: 1. , 2. , Höhenlinien/Niveaumengen
- Menge von Punkte, die alle auf derselben Höhe liegen:
- Falls bekannt, dann
- Hessematrix
- Zweite Ableitung eines Skalarfelds
Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen von f stetig sind, dann ist die Hesse-Matrix symmetrisch, es gilt:
Taylorentwicklung
- Die affin-lineare Näherung ist geometrisch eine Tangentenebene
- Die quadratische Näherung an f ist geometrisch einen Tangentenparaboloid Kettenregel
Lokale Extrema Satz: , symmetrisch, ist positiv (semi-)definit, wenn alle Eigenwerte größer (gleich) 0 sind. [Negativ wenn kleiner] Extremstellentest
- Kritische Punkte bestimmen:
- Definitheit von betrachten:
- Minimum falls positiv-definit
- Maximum falls negativ-definit
- Sattelpunkt falls Indefinit
oder
Jacobi-Matrix
Allgemeine erste Ableitung von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Gradienten jeder Komponente als Zeile Rechenregeln
Linearität:
Produktregel:
Kettenregel:
Newton-Verfahren -
- Löse das LGS:
- Totale Ableitung
Eine Funktion f heißt total differenzierbar, falls eine lineare Abb. gibt, so dass,
Die Abbildung heißt totale Ableitung bzw. totales Differential, Kriterium für totale Differenzierbarkeit:
f ist total differenzierbar in , falls f in x stetig partiell differenzierbar ist Differentialoperatoren
Gradient: wie bei
Laplace-Operator: (eines Skalarfelds)
Divergenz: (eines Vektorfelds)
Rotation: (eines Vektorfelds)
Beziehungen:
Implizite Funktionen
- Nach einer der Variablen umwandeln Bsp..: Satz: offen, F stetig partiell differenzierbar, mit. Falls , dann gibt es eine Funktion mit - Funktioniert auch für - Es gilt:
Extrema unter Nebenbedingung 1.) Lösen durch Einsetzverfahren I. Nebenbedingung auf eine Variable lösen, II. in einsetzen => III. Extremstellen dieser Funktion bestimmen 2.) Lagrange’sche Multiplikatorregel I. Lagrange-Funktion bilden
II. Bestimme Nullstellen des Gradienten von , das sind erste Kandidaten
III. Bestimme die Nullstellen von , das sind weitere Kandidaten, diese müssen erfüllen IV. Vergleiche Funktionswerte in den Kandidatenstellen Verallgemeinerung für mehrere N. I. Lagrange-Funktion bilden (mit usw.) II. Bestimme Nullstellen des Gradienten von , erste Kandidaten III. Bestimme die Stellen mit , weitere Kandidaten IV. Funktionswerte vergleichen Koordinatentransformation
- Transformation zwischen zwei verschiedenen Koordinaten “varianten” ist gegeben durch eine Funktion (Abbildung) Bsp.:
- 1.) Zylinderkoordinaten:
- 2.) Kugelkoordinaten:
f(0) = 0 f( » v) = » f(v) f(v+w) =f(v) +f(w)
d i m B i l d(f) +d i m K e r n(f) =d i m V
i d(v) =v
BM(id)B=I
DM(g:f)B=DM(g)CçCM(f)B
C 2 M(f)B 2 =C 2 M(i d)CçCM(f)BçBM(i d)B 2
BM(f)B=BM(i d)EçEM(f)EçEM(i d)B EM(f)E=A
M=S 21 A S
Av= » v
d e t(A 2 » I) = 0 =p( » )
(A 2 » kI)vk= 0 ,k= 1,2,...
a l g( » ) » p( » )
g e o( » ) »
»
g e o( » )fa l g( » )
S 21 A S=D=d i a g( » 1 ,.. , » n)
Avk= » kvk
g e o( » k) =a l g( » k) A=AT
B 21 A B=J
N=A 2 » Ir=a l g( » ) k e r n N¢k e r n N 2 ¢.. .¢k e r n Nr=k e r n Nr+
g e o( » k)ba l g( » k) N 2 g e o( » k) =a l g( » k)
b 2 =N b 3 b 1 =N b 2 B= (b 1 b 2 b 3 )
A=U S VT
Avk= Ã kuk
» k vk Aæ=ATA Ã k= » kV= (v 1 v 2 v 3 )
uk=
1
à k
Avk
x(t) =eAtc
x(t) =eAtx 0 =d i a g(e » 1 ,... ,e » k)x 0
A=S D S 21
x(t) =SeDtS 21 x 0
x(t) =SeJtS 21 x 0 A=S J S 21 J=D+N
eD+N=eDeN
eAt=SeDteNtS 21
eNt=I+N t+
1
2
N t 2 +... + 0
x(t) =eAtx 0 + +
t
0
eA(t 2 s)b(s)d s
D=
·
D
"D¢D
D=D* "D
D Dc
'f(x) = (" 1 f(x)" 2 f(x) ..."df(x))T "kf "f "v
(a) =ï'f(a),vð='f(a)¦v| |v| |= 1
f(x) =b¦x=ïb,xð'f(x) =b* =d× 1 f(x) =x¦A x'f(x) = 2A x
Nc= {xD#f(x) =c} Nc= { ³ (t)#t =} ³ (t) f( ³ (t)) =c
(f: ³ ) 2 (t) ='f( ³ (t))ç ³ 2 (t) = 0
" 1 " 2 f(x) =" 2 " 1 f(x)
f(x+h) =f(x) +'f(x)çh+
1 2
h¦Hf(x)h+ Ã ('h' 2 )
(f: ³ ) 2 (t) ='f( ³ (t))ç ³ 2 (t)
A* =d xd
'f( ̄x) = 0 Hf( ̄x)
(i)D(f+g) =D f+D g (i i)D( » f) = » D f
D(f(x)¦g(x))=f(x)¦çD g(x) +g(x)¦D f(x)
D(f:g)(x) =D f(g(x))çDg(x)
xk+1=xk 2 D f(xk)
21
f(xk) D f(xk)xk=f(xk) xk+1=xk2 xk
Lx:=d³ =d f(x+h) =f(x) +Lxh+ Ã ('h') Lx
Lx=d f(x)
x*D
' 'f(x)
f(x) =" 21 f(x) +" 22 f(x) +ï+" 2 df(x)
divv(x) =" 1 v 1 (x) +" 2 v 2 (x) +ï+"dvd(x)
divv(x) =' ;v
rot v(x) =' ×v
div( rot v) = 0 rot ('f) = 0 div('f) =f
F(x,f(x)) = 0 F:D³ =,D¢ = 2
(x 0 ,y 0 )*D F(x 0 ,y 0 )= 0 "yF(x 0 ,y 0 )b 0 f(x) F(x,f(x)) = 0 F(x,y)=C
"xF(x,f(x))ç1 +"yF(x,f(x))f 2 (x) = 0
y=h(x) h(x) f(x,y) f(x,h(x))
L(x, » ) =f(x) + » g(x)
L(x, » )
'g(x)
g(x)
» 1 , » 2
L(x, » ) x*A rang D g(x) <m
× (r, Ç ) = (rçcos Ç ,rçsin Ç ) = (x,y) detD × (r, Ç ) =rçcos 2 Ç +rçsin 2 × =r
x=rçcos × y=rçsin × z=z detD × (r, Ç ,z) =r
x=rçcos Ç çsin » r= x 2 +y 2 +z 2
y=rçsin Ç çsin » z=rçcos » detD × (r, Ç , » )= 2 r 2 sin »
HM II FS
Integralrechnung
Kurven
Eine Kurve ist geschlossen, wenn
Tangentenvektor/ Geshwindigkeitsvektor:
Geschwindigkeit von zur Zeit
Ein Punkt heißt singulär, wenn
Eine Kurve , die keine singulären Punkten besitzt, heißt regulär
heißt Doppelpunkt, wenn es
gibt, so dass Bogenlängenfunktion
- Länge bzw. Bogenlänge einer Kurve
Umparametrisierung
Es gilt: Parametrisierung nach der Bogenlänge
so umparametrisieren, dass eine neue
Kurve überall Geschw. 1 hat, I. Bestimme die Bogenlängenfunktion von
II. Bestimme die Umkehrfunktion von
III. Setze Kurvenintegrale Skalares Kurvenintegral
Vektorielles Kurvenintegral
“Arbeit verrichtet im Vektorfeld” Rechenregeln
Linearität
Additivität:
Parametrisierung unabhängig:
Stammfunktion/ Potential
- Eine offene zusammenhängende Menge heißt Gebiet
Satz:
Falls v Vektorfeld aus Gebiet - Ein Vektorfeld ist ein Gradientenfeld, falls ein stetig diff’bares Skalarfeld V gibt, so dass - heißt Stammfunktion bzw. Potential - Nicht jedes Vektorfeld ist ein Gradientenfeld
Berechnung einer Stammfunktion geg: ges: mit
I. Integriere nach
II. nach ableiten und mit gleichsetzen Gleichung für , in der kein mehr vorkommen darf (ansonsten ist v kein Gradientenfeld) III. Integriere den Ausdruck für nach
IV. Leite nach ab und setze mit gleich Gleichung für , in der kein und mehr vorkommt (ansonsten ist v kein Gradientenfeld) V. Integriere D nach
Gradientenfeld
- Das Kurvenintegral eines Gradientenfelds ist wegunabhängig (Satz)
- Kurvenintegral eines Gradientenfelds über eine geschlossene Kurve ist immer 0 => Vektorfeld heißt zirkulationsfrei Satz: ist ein Gradientenfeld
ist wegunabhängig
ist zirkulationsfrei/ konservativ
- Ein stetig diff’bares Vektorfeld, dessen Jacobi-Matrix symmetrisch ist heißt wirbelfrei,
Bereichsintegrale im
Integral über Normalbereich
Integration geht auch über eine Vereinigung von Normalbereiche. In Bereiche geteilt und addiert
Eine Menge aus Normalbereichen, die sich jeweils nur im Rand schneiden und das Innere davon zusammenhängend ist heißt regulärer Bereich/ Menge Rechenregeln - Linearität - Monoton:
- Mittelwertsatz:
Berechnung von Bereichsintegralen I. Zerlege B in Normalbereiche II. Berechne Integral auf jedem Normalbereich III. Addiere
Satz von Green im
- Rand is positiv parametrisiert
- Rand kann in mehreren Kurven geteilt werden und deren Integral addiert Satz von Gauß im
Flussintegral
- Normalenvektor an einer Kurve
wie viel über der Kurve fließt
- n(t) wird normiert - Divergenz = Quellenstärke => was hinein fließt, fließt wieder raus Transformationsformel im und
Bereichsintegrale im
Wie im aber die Integrationsgrenzen von hängt von sowohl als auch ab Flächen & Flächenmessung
Bei Flächen darf der Kreuzprodukt nicht 0 sein
u ist die Parametrisierung der Fläche Satz von Gauß im
wobei n der äußere Normalenvektor ist Satz von Stokes im
Differentialgleichungen Seperierbare DGL
- Lösung durch Trennung der Variablen
- Die Integrationskonstante erhält man ggf. aus einer Anfangsbedingung (AWP) Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
I. Bestimme allgemeine Lösung der separierbaren homogenen DGL II. Bestimme durch Variation der Konstanten eine partikuläre Lösung durch einsetzen in die inhomogene DGL, man erhält c(t)
III. Gib die allgemeine Lösung mit
(erhält
man durch Variation) Lineare DGL mit konst. Koeffizienten
- Allgemeine Form:
Homogen
- Eine Basis von Lösungsmenge heißt
Fundamentalsystem
Lösungsweg:
I. Charakteristisches Polynom bilden und
bestimmen
II. Gib n linear unab. Lösungen für
- n verschiedene
- kommt mehrmals vor ...
- ist komplex in Polarkoordinaten und und als Lösungen nehmen
Inhomogen Lösungsweg: I. Bestimmung der Lösungsmenge (s) II. Bestimmung einer partikulären Lösung durch Variation der Konstanten
- erhält man durch lösen und integrieren des Gleichungssystems:
(n = 2)
III.
³ (a) = ³ (b)
³ ·(t) = ³ 2 (t) =
( ³ 12 (t), ..., ³ 2 d (t))
³ t:' ³ ·(t)' ³ (t) ³ ·(t) = 0 ³
³ (t 1 ) t 2 bt 1 ³ (t 2 )= ³ (t 1 )
s(t) = +
t
a
³ 2 ( Ç ) d Ç
Spur( ³ ) = Spur( ̃ ³ )
³
³ ̃ ' ³ · ̃(t)'
s(t) ³ (t) s 21 s ³ ̃= ³ :s 21
F=
+
b
a
f( ³ (t))' ³ ·(t)'d t=: + ³
f(s)d s
+ ³
v;d s:= +
b
a
v( ³ (t)); ³ ·(t)d t
+ ³
vçd s= + ³ 1
vçd s+ + ³ 2
vçd s
+ ³
1
vçd s= + ³ 2
vçd s
+ ³
vçd s=V( ³ (b)) 2 V( ³ (a))
v='V V
v:= 3 ³ = 3 V:= 3 ³ = 'V=v
v 1 x 1 ³V(x) = ... +C(x 2 ,x 3 )
V x 2 v 2
³ " 2 C
x 1
" 2 C x 2 ³C(x 2 ,x 3 )= ... +D(x 3 );V(x) = ... +D(x 3 ) V x 3 v 3
³ D 2 (x 3 )
x 1 x 2
x 3 ³D(x 3 )= ... +E ³V(x) = ... +E
v
õ + ³
vçd s
õv
rot v(x) = 0 v Gradientenfeld õv wirbelfrei = 2
+B
f(x)d x= +
b
a+
h(x 1 )
g(x 1 )
f(x 1 ,x 2 )d x 2 d x 1
f(x)fg(x) "x*Bó +B
f(x)d xf +B
g(x)d x
= 2
."B
vçd s= +B
"v 2 "x 1
(x) 2
"v 1 "x 2
(x)d x
= 2
."B
vçd n= +B
d i v(x)d x
+
b
a
v( ³ (t))çn(t)d t=: + ³
vçd n
= 2 = 3
+B
f(x)d x= +D
f(x(y))|detD x(y)|d y
= 3
= 2
x 3 x 1 x 2
Fläche (M) = +D
" 1 x(u)× " 2 x(u) d u
= 3
+B
divv(x)d x= +"B
vçd n
= 3
+M
r o t vçd n= +"M
vçd s
x·=f(t)çg(x)
x·+a(t) b(t)
x=
s(t) b(t)
xh(t) =ce 2 +a(t)dt
xp(t) =c(t)e 2 +a(t)dt
xa(t) =xp(t) +ce 2 +a(t)dt
xp(t) = +
e+a(t)dts(t)dte 2 +a(t)dt
anx(n)+ï+a 2 ··x+a 1 x·+a 0 x=s(t)
Lh
p( » ) = 0³ » Lh » ³x(t) =e » kt
»
³e » t,te » t,t 2 e » t
» ³x(t)
R e(x(t)) I m(x(t))
xh(t) =c 1 x 1 (t) +ï+cnxn(t)
Lh
xp(t) =c 1 (t)x 1 (t) +c 2 (t)x 2 (t) c 1 (t),c 2 (t)
c· 1 x 1 + c· 2 x 2 = 0 c· 1 x· 1 + c· 2 x· 2 =s(t)/a 2 L=xp+Lh
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