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Operations Research in der Logistik
Universität Siegen
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Dominik Sebastian Meiswinkel Lehrstuhl ur Wirtschaftsinformatik, Siegen Sommersemester 2016 Dieses Skript entstand in Zusammenarbeit mit Prof. Dr. Florian Jaehn, Lehrstuhl ur Sustainable Operations and Logistics, at Augsburg. Die Logistik befasst sich mit der zeitbezogenen Platzierung von (knappen) Ressourcen. Diese sehr allgemeine Beschreibung erlaubt verschiedene Betrachtungsweisen. Inhalt dieser Vorlesung ist eine uhrung in den methodischen Apparat der Logistik. Das bedeutet, dass den Teilnehmern logistische und ur diese Probleme werden. Dieses Skript wurde im Rahmen der Veranstaltung Logistik im Sommersemester 2009 von Florian Jaehn an der Siegen erstellt und hernach von Florian Jaehn Augsburg) und Dominik Siegen) u Neben den Uberlegungen der Autoren dienten dabei die folgenden ucher als Grundlage. Logistik: Rundreisen und Touren von Wolfgang Domschke und Armin Scholl (Oldenbourg), 2010. Logistik: Transport von Wolfgang Domschke (Oldenbourg), 2007. Produktion und Logistik von unther und Horst Tempelmeier (Springer), 2012. Hinweise auf Fehler und werden dankend angenommen. Das Skript dient zur des und Ubungsbetriebs und ist nicht dazu gedacht, den Besuch dieser Veranstaltungen zu ersetzen. Dieses Dokument steht unter der Lizenz Das bedeutet (vereinfacht), dass dieses Dokument unter Namensnennung des Urhebers bearbeitet und weitergegeben werden darf. Nach muss das neu entstandene Dokument unter der gleichen Lizenz weitergegeben werden. Florian Jaehn, Dominik Kress 2016. 1 Einleitung 3 1 Einleitung Unter dem Begriff wird eine Vielzahl von Aufgaben und im Bereich unternehmerischen Handelns zusammengefasst. Die ange von logistischen Aufgaben zu angrenzenden Bereichen sind dementsprechend oft Dies uhrt zu einer Vielzahl unterschiedlicher Definitionen des Begriffs Wir betrachten in Abschnitt 1 einige dieser Definitionen, um den Aufgabenbereich der Logistik ur unsere Zwecke beschreiben zu In Abschnitt 1 betrachten wir ein uhrendes Beispiel. 1 Begriffsbestimmung Eine erste Definition des kann wie folgt gegeben werden. Definition 1 (Logistik) Unter dem Begriff Logistik wird die Planung, Steuerung und Kontrolle der eingehenden, der innerbetrieblichen und der ausgehenden usse verstanden. In Definition 1 ist der Begriff zentral. Dieser ist dabei nicht zu eng legen. Die zu betrachtenden usse werden nach Planung, Steuerung und Kontrolle sowie der Position innerhalb der Lieferkette (Beschaffungslogistik, Produktionslogistik, Distributionslogistik) in jeweils drei unterschiedliche Kategorien eingeordnet. Die Planung findet im Vorfeld der eigentlichen logistischen Prozesse statt und umfasst meist strategische und taktische, zum Teil aber auch operative Entscheidungen. Die Steuerung der uhrung logistischer Prozesse beinhaltet operative Entscheidungen. Kontrollaufgaben finden in der Regel nachgelagert statt. In Tabelle 1 sind beispielhaft einige Aufgaben der Logistik genannt. Planung Tourenplanung, Lagerhaltungslogistik Steuerung und Entladeprobleme Kontrolle Mengenkontrolle z. mittels RFID Produktionslogistik Positionierung von Maschinen, Lagerhaltungslogistik Personallogistik ufung Distributionslogistik Standortplanung, Umladeprobleme Verpackungsprobleme, Tourenplanung (z. mit Zeitfenstern) Mengenkontrolle Beschaffungslogistik Tabelle 1: Einige Aufgaben der Logistik. Es ist zu beachten, dass viele Teilbereiche der Logistik (wie z. die Standortplanung) in mehrere Felder dieser Matrix passen und dass jedes Feld urlich deutlich mehr Aufgaben umfasst als die hier genannten Beispiele. 1 Einleitung 4 Definition 1 ist tendenziell zu eng gefasst. So wird der Bereich der sich mit der Wiederverwertung und Entsorgung von Materialien als Teilbereich der Logistik aufgefasst. ist die auf Waren zu restriktiv, da sowohl die Informationslogistik als auch die Dienstleistungslogistik als Teilbereiche der Logistik gesehen werden Eine deutlich weitere Auffassung von Logistik erlaubt Definition 1. Definition 1 (Logistik) Die Logistik die uckung der zeitlichen und Differenzen zwischen Nachfrage und Angebot. Definition 1 eher zu eng gefasst ist, ist Definition 1 sehr allgemein gehalten. Die Produktionsplanung oder Finanzwirtschaft ohne Weiteres unter Definition 1 subsumiert werden. Wir betrachten deshalb als eine weitere Definition des die das Wesen der Logistik ur unsere Zwecke am besten beschreibt. Definition 1 (Logistik) Die Logistik befasst sich mit der Planung, Steuerung und Kontrolle von und innerbetrieblichen und ussen auf strategischer, taktischer und operativer Ebene unter zeitlichen, und materiellen Ressourcen. Es gestaltet sich also schwierig, den Begriff Logistik und kurz zu definieren. Das liegt nicht nur an der Vielzahl von Aufgabenstellungen, die der Logistik zugeordnet werden, sondern auch an den angen zu angrenzenden Gebieten. Um das in dieser Veranstaltung vermittelte des Begriffs zu findet im Folgenden eine Abgrenzung zu Bereichen statt. Beschaffung: Die Aufgabe der Beschaffung ist es, ur die Produktion uter und Dienstleistungen bereit zu stellen. Das beinhaltet die Beschaffungslogistik, umfasst aber auch andere Aufgaben, die nicht oder nur zum Teil der Logistik zuzuordnen sind. Dazu insbesondere die Aufgaben des Einkaufs, wie zum Beispiel die Lieferantenauswahl oder Preisverhandlungen. Produktion: Produktion und Logistik sind zwar untrennbar miteinander verbunden, lassen sich aber dennoch klar unterscheiden. Die Produktion befasst sich mit der Herstellung von utern unter Einsatz von Ausgangsstoffen, Energie und Arbeitskraft. und nachgelagerte Prozesse, zum Beispiel die Bereitstellung der Ausgangsstoffe, Energie und Arbeitskraft, sowie die Lagerhaltung sind der Logistik zuzuordnen. Absatz: Die Aufgaben des Absatzes sind in gewisser Hinsicht eine Spiegelung der Aufgaben der Beschaffung. Die Beschaffungslogistik ist Teil der Beschaffung und analog ist die Distributionslogistik ein Teilbereich des Absatzes. Viele weitere Aufgaben des Absatzes lassen sich nicht der Logistik zuordnen. So ergeben sich im Vertrieb meist Fragestellungen, die dem Marketing zuzuordnen sind. 1 Einleitung 6 Abbildung 1: Schienennetz DB (rot: ICE, blau: grau: Nahverkehr) Die entstehenden des Verkehrsnetzes bezeichnen wir als Graphen. Mit ihrer Hilfe kann das gesamte bzw. abgebildet werden, aber auch nur Teile davon (z. nur Autobahnen oder das siehe Abbildung 1). Die Kanten gewichtet werden der Strecke, Fahrtdauer der Strecke) und eine bestimmte Richtung enthalten Auf den Graphen ussen Sie als die urzesten von Hamburg nach Siegen finden, um sich ur eine entscheiden zu Im Verlauf der Vorlesung werden Sie hierzu geeignete Vorgehensweisen kennenlernen. 2 Grundlagen der Graphentheorie 7 2 Grundlagen der Graphentheorie Viele logistische Planungsprobleme lassen sich als graphentheoretische Probleme formulieren und behandeln. Wir uns deshalb in diesem Kapitel mit den grundlegenden Definitionen der Graphentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, in Kapitel 2, der von Graphen in Kapitel 2 und mit einigen Eigenschaften von Graphen in Abschnitt 2. 2 Grundlegende Definitionen der Graphentheorie Wir definieren was wir unter einem Graphen verstehen. Definition 2 (Graph) Ein Graph G ist ein Paar G (V, E) bestehend aus einer nicht leeren V und einer E V V . ur eine Kante e E, e (a, b), a und b Endpunkte von e. Wir sagen e verbindet a und b. Zwei durch eine Kante verbundene Knoten Nachbarn. Die wichtigsten Eigenschaften von Graphen definieren wir in den Definitionen Definition 2 (Gerichteter und ungerichteter Graph) Ein gerichteter Graph ucksichtigt bei den Kanten die Reihenfolge der Endpunkte, d. (a, b) (b, a), dies bei einem ungerichteten Graphen nicht der Fall ist, (a, b) (b, a). Bei einer gerichteten Kante (a, b) nennt man den Knoten a von b und den Knoten b Nachfolger von a Definition 2 (Multigraph, Schlinge und schlichter Graph) 1. In einem Multigraphen . . . . . . sind im ungerichteten Fall mindestens zwei Knoten durch mehr als eine Kante verbunden. . . . haben im gerichteten Fall mindestens zwei Kanten denselben und Nachfolger. 2. Eine Kante mit identischen Endpunkten Schlinge. 3. Ein Graph ohne Schlingen, der kein Multigraph ist, schlichter Graph. Definition 2 andiger Graph) Unter einem Graphen verstehen wir . . . . . . im ungerichteten Fall einen schlichten Graphen, bei dem zwischen zwei beliebigen, unterschiedlichen Knoten immer eine Kante existiert: Bezeichnung Kn , wobei n 1 Wir umschreiben die Richtung dieser Kante (a, b) mit: (a, b) uhrt bzw. geht a und uhrt bzw. geht zu b 2 Grundlagen der Graphentheorie 9 Dann die Matrix x11 x12 x21 x22 .. .. . . xn1 xn2 x1n x2n . . . .. . xnn Adjazenzmatrix von G. Beispiel 2 Die in Abbildung 2 gezeigten Graphen v1 e1 v2 e5 e2 e6 v2 e3 e1 v1 e4 v4 e2 e3 e4 e7 v3 e5 v3 v4 Abbildung 2: Graphen zu Beispiel 2. haben die Adjazenzmatrizen 0 1 2 0 2 1 0 2 0 1 1 0 und 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 Bemerkung 2: Definition 2 sind die der Adjazenzmatrix eines schlichten Graphen stets Nullen oder Einsen. Bei einem gewichteten, schlichten Graphen werden statt der Einsen die jeweiligen Kantengewichte in der Adjazenzmatrix notiert. Es ist dann aus dem Kontext heraus zu entscheiden, ob ein Eintrag xij der Adjazenzmatrix die Anzahl der Kanten von i nach j oder das Gewicht der (einen) Kante von i nach j beschreibt. wir auch Kantengewichte mit Wert Null zulassen, so ussen wir in der Adjazenzmatrix u geeignete zwischen den keine und Kantengewicht hat den Wert unterscheiden. Besitzt ein Graph weniger Kanten als Knoten, kann seine als Inzidenzmatrix uber der als Adjazentmatrix vorteilhaft sein, da in ersterem Fall weniger in der Matrix notwendig sind, um den Graphen zu beschreiben. 2 Grundlagen der Graphentheorie 10 Definition 2 (Inzidenzmatrix) Gegeben sei ein Graph G (V, E) mit n Knoten und m Kanten. Sei ( 1 falls Knoten i mit Kante k verbunden xik , i 1, . . . , n k 1, . . . , m 0 sonst bzw. falls G gerichtet falls Kante k von Knoten i uhrt xik falls Kante k zu Knoten i uhrt , 0 sonst i 1, . . . , n k 1, . . . , m. Dann die Matrix x11 x12 x21 x22 .. .. . . xn1 xn2 x1m x2m .. ... . xnm Inzidenzmatrix von G. Beispiel 2 Die Graphen aus Beispiel 2 haben die Inzidenzmatrizen 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 und 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 Eigenschaften von Graphen Wir definieren an dieser Stelle einige weitere Bezeichnungen ur Eigenschaften von Graphen, die wir im Folgenden werden. Definition 2 (Knotengrad) Unter dem Grad eines Knotens v V verstehen wir . . . . . . in einem ungerichteten Graphen G (V, E) die Anzahl der mit v verbundenen Kanten, d(v). . . . in einem gerichteten Graphen den Wert d(v) (v) (v), wobei (v) die Anzahl der von v ausgehenden und (v) die Anzahl der in v eingehenden Kanten bezeichnet. Die Differenz zwischen ausgehenden und eingehenden Kanten eines Knotens wird durch (v) (v) (v) bezeichnet. 3 urzeste Wege in Graphen 12 3 Ku Wege in Graphen Wie bereits in den Kapiteln 1 und 2 angesprochen, wird bei der Modellierung logistischer Fragestellungen auf Graphen uckgegriffen. Dies ist nicht verwunderlich, wenn man sich vor Augen uhrt, dass und usse in Netzwerken (z. oder Computernetzwerken) stattfinden, deren grundlegende Struktur in der Regel der eines Graphen entspricht. ussen wir in den entsprechenden Graphen urzeste Wege und deren zwischen Knoten bestimmen. Betrachten wir beispielhaft das Verhalten von Kunden, die sich entscheiden, in welcher Niederlassung eines Unternehmens sie ihre Nachfrage befriedigen. Wir hier z. vereinfachend annehmen, dass Entfernung das einzige Entscheidungskriterium der Kunden ist, jeder Kunde also die ihm am gelegene Niederlassung (man spricht in der Literatur von Um diese Regel in das Modell zu ren, ussen wir folgendes Optimierungsproblem ur jeden Kunden und jede Niederlassung Optimierungsproblem 1 Problem): Gegeben sei ein schlichter, gerichteter, gewichteter Graph G (V, E), in dem ein Knoten v1 V als Startknoten und ein Knoten vk V als Endknoten markiert ist. Weiter gebe es mindestens einen Weg von v1 nach vk . Finde unter allen Wegen von v1 nach vk einen Weg, der die geringste hat. Definition 3 urzester Weg und Distanz) urzesten Weg von v1 nach Wir bezeichnen einen Weg, der Optimierungsproblem 1 als vk und seine als Distanz zwischen v1 und vk . Verwandte Fragestellungen suchen nicht einen urzesten Weg von einem bestimmten Knoten zu einem anderen ausgezeichneten Knoten, sondern betrachten allgemeinere Problemstellungen:3 Bestimme urzeste Wege von einem bestimmten Knoten zu allen anderen Knoten des Graphen. Bestimme urzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren des Graphen. Es ist leicht zu sehen, dass sich mit einem ur Optimierungsproblem 1 jeweils die beiden anderen Fragestellungen lassen (und umgekehrt). Wir uns daher in Abschnitt 3 mit diesem Problem, ehe wir uns in den Abschnitten 3 und 3 mit den allgemeineren Fragestellungen betrachten wir in Abschnitt 3 ein Anwendungsbeispiel. Wir uns bei unserer Betrachtung auf gerichtete Graphen. urzeste Wege lassen sich aber urlich auch in ungerichteten Graphen bestimmen. Man u sich dazu z. leicht, wie ein ungerichteter Graph 3 Beachten Sie, dass wir in der Regel daran interessiert sind, einen urzesten Weg zwischen zwei Knoten zu finden. Offensichtlich gibt es Graphen, in denen zwischen zwei Knoten mehrere Wege existieren, welche die ange eines urzesten Weges zwischen ebendiesen Knoten haben. In diesen ugen wir uns damit, einen dieser Wege zu finden. 3 urzeste Wege in Graphen 13 in einen gerichteten Graphen transformiert werden kann: Jede ungerichtete Kante wird durch zwei gerichtete Kanten ersetzt, die in entgegengesetzter Richtung laufen, und jeweils das Gewicht der ungerichteten Kante haben. 3 urzeste Wege zwischen zwei Knoten: andige Enumeration Wir starten unsere Betrachtung mit der Untersuchung von Graphen mit einer speziellen Struktur in einem Beispiel. Beispiel 3 Gegeben sei der in Abbildung 3 dargestellte (schlichte, gerichtete und gewichtete) Graph, ur den ein urzester Weg von v1 nach vk gefunden werden soll. 3 3 5 4 3 3 4 8 4 3 7 v1 vk 2 4 6 6 2 Abbildung 3: Graph zu Beispiel 3. Aufgabe 3 In Beispiel 3 gibt es genau 16 unterschiedliche Wege von v1 nach vk . Geben Sie diese Wege an und bestimmen Sie jeweils deren Welches ist ein urzester (oder der urzeste) Weg? Wie Sie in Aufgabe 3 erkannt haben, wir einen urzesten Weg zischen zwei Knoten bestimmen, indem wir alle Wege ermitteln und den urzesten Dieses wird Enumeration genannt. Bei einem ublichen PC, der in einer Sekunde in etwa 0,1 Milliarde Wege sowie deren bestimmen kann, ist das also kein Problem. Oder doch? Betrachten wir eine allgemeinere Version des Graphen aus Abbildung 3 mit n Knoten, wie er in Abbildung 4 dargestellt ist. Der Graph aus Abbildung 3 ist offensichtlich ein Spezialfall des Graphen aus Abbildung 4. Er hat vier Schichten und 10 Knoten. Mit dem oben PC (0,1 Milliarde Wege und deren in einer Sekunde), wir in weniger als einer Sekunde u urzesten Weg alle Wege enumerieren und so einen bestimmen. Aufgabe 3 Angenommen, wir betrachten einen Graphen mit 100 Knoten (49 Schichten). Wie hoch Sie die Rechenzeit des PCs ein? 3 urzeste Wege in Graphen 15 abgebrochen werden. Er ist benannt nach seinem Edsger W. Dijkstra Der (Abschnitt 3) bestimmt urzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren eines Graphen. Er geht uck auf Robert Floyd und Stephen Warshall und wird deshalb auch als bezeichnet. 3 urzeste Wege von einem zu allen Knoten: Dijkstra Algorithmus Algorithmen zur Bestimmung urzester Wege basieren auf einer grundlegenden Beobachtung, die wir in Satz 3 formulieren und beweisen. Satz 3 Sei (v1 , . . . , vi , . . . , vk ) ein urzester Weg von v1 V nach vk V in einem Graphen G (V, E) und vi V ein beliebiger Knoten auf diesem Weg. Dann ist (v1 , . . . , vi ) ein urzester Weg von v1 nach vi und (vi , . . . , vk ) ist ein urzester Weg von vi nach vk . Beweis: Sei (v1 , . . . , vi , . . . , vk ) ein urzester Weg von v1 nach vk . Angenommen (v1 , . . . , vi ) sei nicht der urzeste Weg von v1 nach vi . Dann existiert ein Weg mit urzerer von v1 nach vi . Dieser bildet in Verbindung mit (vi , . . . , vk ) einen Kantenzug von v1 nach vk der urzer ist als (v1 , . . . , vi , . . . , vk ). Falls dieser Kantenzug auch ein Weg ist, d. alle Kanten unterschiedlich sind, ist die Annahme widerlegt. Im anderen Fall, in dem eine oder mehrere Kanten doppelt vorkommen, der Kantenzug einen Kreis (beginnend und endend beim Anfangsknoten der doppelt vorhandenen Kante). Wird dieses Kreis entfernt und dieser Schritt ur jede doppelt vorkommende Kante wiederholt, so entsteht ein Weg, der urzer ist als (v1 , . . . , vi , . . . , vk ). Dies ist aber laut Voraussetzung nicht d. (v1 , . . . , vi ) muss ein urzester Weg von v1 nach vi sein. Analog ur (vi , . . . , vk ). Das Verfahren von Dijkstra nutzt Satz 3 und berechnet sukzessive urzeste Wege von einem Knoten zu allen anderen. Dabei wird die Knotenmenge des Graphen in jedem Schritt in drei disjunkte Mengen aufgeteilt: A: Menge der Knoten, zu denen ein urzester Weg bereits bekannt ist. B: Menge der Knoten, die nicht in A enthalten sind und durch eine Kante mit einem Knoten aus der Menge A verbunden sind. C: Alle Knoten aus V , die nicht in A oder B sind. Algorithmus 1: Name: Typ: Exaktes Verfahren Laufzeit: O(n2 ) Eingabe: Schlichter, gerichteter, nicht negativ gewichteter Graph, mit Startknoten v1 . Ausgabe: Distanz d(vi ) von v1 zu Knoten vi , i 1, . . . , p(vi ) von vi (i 1, . . . , n) auf einem urzesten Weg von v1 nach vi . 3 urzeste Wege in Graphen 16 1. Initialisierung: Setze A B V (v1 , vi ) C V (A B). Setze d(v1 ) 0, d(vi ) c(v1 , vi ) B und d(vi ) C. Setze p(vi ) v1 B. 2. Stoppkriterium: Wenn A V oder B dann Stopp. Sonst gehe zu Schritt 3. 3. Iteration: Bestimme va argmin d(vi ) und setze A A und B vi ur alle vi B mit (va , vi ) E: Wenn d(va ) c(va , vi ) d(vi ), setze d(vi ) d(va ) c(va , vi ) und p(vi ) va . ur alle vi C mit (va , vi ) E: Setze d(vi ) d(va ) c(va , vi ), p(vi ) va , B B und C Gehe zu Schritt 2. Aufgabe 3 Wenden Sie den auf den Graphen aus Abbildung 3 an. Der Algorithmus von Dijkstra hat eine Laufzeit von O(n2 ). Gehen wir (leicht vereinfacht) davon aus, dass unser bereits Computer 0,1 Milliarde Operationen pro Sekunde schafft und der Algorithmus genau n2 Operationen so erhalten wir ur den Graphen aus Abbildung 4 die in Tabelle 3 angegebenen Rechenzeiten. Aufgabe 3 Vergleichen Sie die Rechenzeiten des (Tabelle 3) mit denen aus unserem Enumerationsverfahren aus Abschnitt 3 (Tabelle 2). 3 urzeste Wege zwischen allen Knotenpaaren: Ein weiterer Algorithmus, der zur des Problems herangezogen werden kann, ist der Hier werden urzeste Wege und deren zwischen allen Knotenpaaren des Graphen bestimmt. Wie bereits der nutzt auch der das Prinzip aus Satz 3 aus. Distanzen sowie die auf urzesten Wegen werden unter Verwendung von Matrizen (Distanzmatrix D und P ) gespeichert. Die beinhaltet nach Beendigung des Algorithmus den von Knoten vj auf dem urzesten Weg von vi nach vj in Element pij . 3 urzeste Wege in Graphen 18 a b c d a 0 12 6 0 7 7 c 4 0 5 d 11 5 2 0 Diese Matrix entspricht der Matrix D in der Initialisierung des In Schritt 2 des Algorithmus durchlaufen wir drei ineinander verschachtelte Schleifen, innerhalb derer wir die in Tabelle 4 angegebenen Vergleiche und uhren: Transitknoten a a a a a a b b b b b b c c c c c c d d d d d d Startknoten b b c c d d a a c c d d a a b b d d a a b b c c Zielknoten c d b d b c c d a d a c b d a d a b b c a c a b d(vs , vt ) 5 5 4 4 11 11 12 12 5 5 6 6 7 7 2 2 3 3 1 1 d(vt , vz ) 6 12 12 6 7 3 5 3 5 7 1 3 1 3 0 2 5 2 5 0 d(vs , vz ) 7 7 5 5 2 6 4 2 11 2 12 5 3 10 5 4 6 5 7 3 Anderung Distanz dbd 3 dcd 2 dca 3 dcd 1 dda 10 dab 4 dda 5 ddb 0 dab dac 0 dbc 5 Anderung pbd a pcd a pca b pcd a pda b pab c pda b pdb c pab c pac d pbc d Tabelle 4: Schritt 2 des ur Beispiel 3. Damit erhalten wir folgende Distanzmatrix D und P : 0 0 a c d a 0 5 3 b b d P 0 1 b c c . 5 0 2 0 b c d d Um nun einen urzesten Weg z. von a nach b zu bestimmen, betrachten wir diese beiden Matrizen. Aus Matrix D entnehmen wir unmittelbar, dass der gesuchte Weg die 3 urzeste Wege in Graphen 19 dab hat. Einen Weg selbst bestimmen wir rekursiv aus der von Knoten b in einem urzesten Weg von a nach b ist der Knoten pab c. Da pab a, ist der Weg noch nicht generiert. Wir wissen bisher nur, dass er die Form (a, . . . , c, b) hat. Da sich urzeste Wege aus urzesten Wegen (Satz 3), betrachten wir nun das Element pac d, so dass wir die Form (a, . . . , d, c, b) des urzesten Weges kennen. Aus pad a wird ersichtlich, dass wir einen urzesten Weg, (a, d, c, b), bereits gefunden haben. Wir betrachten in einer Bemerkung die Frage, wie der mit Kanten negativen Gewichts umgeht. Derartige Kanten sind zum Beispiel dann sinnvoll, wenn nicht urzeste sondern Wege in einem Graphen bestimmt werden sollen (dies wird z. bei der Planung von Projekten Dazu werden im Ausgangsgraphen alle Kanten mit multipliziert, um einen urzesten Weg zu bestimmen. Bemerkung 3: 1. Der Eingabegraph des darf im Gegensatz zum durchaus negativ gewichtete Kanten besitzen. Der Graph darf aber keine Kreise negativer haben. Diese sonst beliebig durchlaufen werden, so dass zwischen bestimmten Knoten ein urzester Weg nicht existieren urde. 2. Kreise negativer mit mehr als zwei Kanten erkennt man mit Hilfe einer kleinen Abwandlung des In Schritt 2 (Iteration) werden alle Knotentripel (also auch vs vt , vt vz und vs vz ) betrachtet. Nach uhrung des abgewandelten betrachtet man die Diagonalen der Matrizen D und P . Entspricht ein Eintrag auf der Diagonalen von P nicht dem Knoten (d. ist der von vi auf dem Weg von vi nach vi nicht vi ), so ist der entsprechende Eintrag in D kleiner Null, und es liegt ein Kreis negativer vor. 3. Kreise negativer mit genau zwei Kanten (d. mit genau zwei Knoten) werden auch vom abgewandelten unter nicht entdeckt. Deren Existenz kann aber durch Addition der beiden Kantengewichte leicht ermittelt werden. 3 Ein Anwendungsbeispiel: Routenplanung Ein typisches Anwendungsbeispiel ur Probleme ist die in Kapitel 1 Routenplanung. Hier sind einige Besonderheiten uglich der Modellierung zu beachten: Bemerkung 3: 1. Der Eingabegraph ur die Routenplanung ist oft nicht (wie z. bei einem auf dem Festland und auf Inseln). Wenn kann der Zusammenhang eines Graphen mit den Algorithmen u uft werden. Gegebenenfalls dann Kanten werden, die den Zusammenhang des Graphen herstellen.
Operations Research in der Logistik
Kurs: Logistik (1054301013)
Universität: Universität Siegen
