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Deber Unidad 3 - 111111
Física
Escuela Politécnica Nacional
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FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS
ASIGNATURA DE MATEMÁTICA
NIVELACIÓN
Nombre y/o Integrantes: Lechon Perachimba Jeremy Paralelo: BF- 001
Fecha: 6/9/
DEBER UNIDAD 3
Ejercicios por tema:
Ángulos y sus medidas: Teoremas Básicos.
Grado sexagesimal, radianes, conversiones:
Convierte los siguientes ángulos a grados.
1. 40° 10’ 15”
40° + 10 ’ (
1°
60’
) + 15’’ (
1’
60’’
) (
1°
60’
) = 40° + 0 .17° + 0 .00417° = 40 .17417°
2. 61° 42’ 21”
60° + 42 ’ (
1°
60’
) + 21’’ (
1’
60’’
) (
1°
60’
) = 60° + 0 .7° + 0 .00583° = 60 .70583°
Transforma a radianes los siguientes ángulos:
3. 210°
210° (
𝜋
180°
) =
7
6
𝜋 𝑟𝑎𝑑
4. 300°
300° (
𝜋
180°
) =
5
3
𝜋 𝑟𝑎𝑑
Clasificación de los ángulos según la abertura y según la posición relativa:
Identifique el ángulo según su abertura, argumente su respuesta
5.
El primero es un ángulo recto porque tiene 90°, el segundo un ángulo llano ya que
tiene 180°y el tercero un ángulo obtuso porque mide mas de 90° pero menos de
180°
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NIVELACIÓN
6.
El primero es un ángulo completo ya que gira sus 360°, el segundo y el tercero
son agudos ya que son menores a 90°
- Calcula los ángulos faltantes de la figura
Sabemos que 50° + 𝑎 = 180 y que el ángulo b=50° y que son opuestos por el
vértice. Entonces 𝑎 = 180° − 50° = 130° y como el ángulo a y c son opuestos por
el vértice son iguales, c =130°
- Calcula el valor de Y en la siguiente figura:
Deducimos que 100° + 𝑋 = 180° por lo que 𝑥 = 80°. Finalmente decimos que (𝑌 +
30°) + 80° = 180° , despejamos Y y nos queda 𝑌 = 70°
Triángulos: definición y clasificación.
Triángulos según sus lados:
- Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 8 veces el otro. ¿Cuánto
vale cada ángulo?
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𝑥 = 41 + 14 = 55
Triángulo según sus ángulos:
- Encuentra los ángulos interiores de los siguientes triángulos:
Del primer triángulo tenemos que 𝛼 + 𝜃 + 24° = 180°, del segundo que
𝛾
2
+ 7° +
𝛾 + 𝛽 = 180°. Además, podemos observar que 62° + 𝜃 = 180° y 𝛽 + 112 = 180°
Encontramos 𝜃 𝑦 𝛽, para sustituirlos en las otras ecuaciones.
62° + 𝜃 = 180°
𝜃 = 118°
𝛽 + 112 = 180°
𝛽 = 68°
Del primer triángulo: 118° + 24° + 𝛼 = 180 , 𝛼 = 38°
Del segundo triángulo:
𝛾 + (
𝛾
2
+ 7°) + 68° = 180°
𝛾
2
+ 7° =
70°
2
+ 7° = 42°
2 𝛾+𝛾
2
= 105°
3 𝛾 = 210°
𝛾 = 70°
- Determina el valor de los ángulos interiores del triángulo ABC
Observamos que 110° + 𝑥 + 𝑦 = 180° y obtenemos 𝑥 + 𝑦 = 70°. Del triángulo
general tenemos que:
(
2 𝑥 − 5
)
+
(
4 𝑥 + 15
)
+ 𝑦 = 180°
Remplazamos 𝑦 = 70° − 𝑥 en la ecuación para tener todo en términos de 𝑥
2 𝑥 − 5° + 4 𝑥 + 15° + 70° − 𝑥 = 180°
5 𝑥 + 80° = 180°
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𝑥 = 20
Finalmente obtenemos los ángulos:
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐴: 2 𝑥 − 5 = 2
(
20
)
− 5 = 35
𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐵: 110° + 𝑥 + 𝑦 = 180° → 110° + 20° + 𝑦 = 180° → 𝑦 = 50°
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐶: 4 𝑥 + 15 = 4 ( 20 ) + 15 = 95°
- Calcula el valor de los ángulos exteriores del siguiente triángulo:
Como sabemos la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°, por lo
tanto:
𝑥 − 5° + 𝑥 + 145° = 360° → 2 𝑥 + 140° = 360° → 𝑥 = 110°
𝑥 − 5° = 110° − 5° = 105°
Los ángulos exteriores para este triángulo serian 110°, 105° y 145°.
Rectas y puntos en un triángulo:
- Un triángulo tiene vértices 𝐴(− 1 , 2 ); 𝐵( 2 , 2 ); 𝐶( 5 , 5 ). ¿Cuáles son las coordenadas
del baricentro?
Graficamos y trazamos sus medianas:
𝐺
𝑥
=
𝑥 1
+𝑥 2
+𝑥 3
3
=
− 1 + 2 + 5
3
= 2 𝐺
𝑦
=
𝑦 1 +
𝑦 2
+𝑦 3
3
=
2 + 2 + 5
3
= 3 → 𝐺( 2 , 3 )
- Un triángulo rectángulo tiene vértices𝐴(− 2 , 2 ); 𝐵(− 2 , − 3 ); 𝐶( 1 , − 3 ). ¿Cuáles son
las coordenadas del ortocentro?
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NIVELACIÓN
sin 𝜃 =
3
6
=
1
2
cos 𝜃 =
√ 45
6
tan 𝜃 =
3
√ 45
∙
√ 45
√ 45
=
3 √ 45
45
csc 𝜃 =
6
3
= 2 sec 𝜃 =
6
√ 45
∙
√ 45
√ 45
=
6 √ 45
45
cot 𝜃 =
√ 45
3
19.
sin 𝜃 =
4
√
32
∙
√
32
√
32
=
4
√
32
32
cos 𝜃 =
4
√
32
∙
√
32
√
32
=
4
√
32
32
tan 𝜃 =
4
4
= 1
csc 𝜃 =
√
32
4
sec 𝜃 =
√
32
4
cot 𝜃 =
4
4
= 1
20.
sin 𝜃 =
𝑎
√𝑎
2
+ 𝑏
2
∙
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
√𝑎
2
+ 𝑏
2
=
𝑎
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
𝑎
2
+ 𝑏
2
cos 𝜃 =
𝑏
√𝑎
2
+ 𝑏
2
=
𝑏
√
𝑎
2
+ 𝑏
2
𝑎
2
+ 𝑏
2
tan 𝜃 =
𝑎
𝑏
csc 𝜃 =
√𝑎
2
+ 𝑏
2
𝑎
sec 𝜃 =
√𝑎
2
+ 𝑏
2
𝑏
cot 𝜃 =
𝑏
𝑎
Teorema de Pitágoras, teorema de la altura, teorema del cateto:
- Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2 m/s y pasa por debajo de un
puente peatonal. Determina a los 12 s, la distancia entre el automóvil y el punto
ubicado exactamente arriba del paso de este, si la altura del puente es de 6 m.
Primero encontramos la hipotenusa haciendo
uso del teorema de Pitágoras:
𝑐
2
= 4
2
- 4
2
→ 𝑐 =
√ 4
2
- 4
2
= √ 32
Primero encontramos la hipotenusa haciendo
uso del teorema de Pitágoras:
𝑐
2
= 𝑎
2
- 𝑏
2
→ 𝑐 =
√ 𝑎
2
- 𝑏
2
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NIVELACIÓN
La altura del puente es de 6 m y a los 12 s el automóvil recorre 12(2) = 30 m,
entonces:
𝑑
2
= 6
2
+ 30
2
𝑑 = √ 936
𝑑 = 30. 5 𝑚
- Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina,
que está en el portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento.
Observa el dibujo e indica cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina
haciendo los cálculos que correspondan. ¿A qué distancia está Cristina del
quiosco?
Calculamos la distancia del Quiosco a la Farmacia 2, y luego aplicamos el teorema
del cateto para encontrar la distancia de Cristina a la Farmacia 2
𝑛 = 𝑐 − 𝑚 → 𝑛 = 21. 25 − 18. 05 = 3. 2
𝑎
2
= 𝑐 ∙ 𝑛
𝑎 = √( 21. 25 )( 3. 2 ) = 8. 25
Aplicamos teorema el de Pitágoras y encontramos la distancia de Cristina a la
Farmacia 1
𝑏 = √( 21. 25 )
2
−
(
8. 25
)
2
→ 𝑏 = 19. 58
Podemos ver que la Farmacia 2 está más cerca a Cristina ( 8. 25 < 19. 58 ).
Finalmente calculamos la distancia de Cristina al Quiosco.
ℎ
2
= 𝑚 ∙ 𝑛 → ℎ =
√(
18. 05
)(
3. 2
)
= 7. 6
- Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los
días van a un polideportivo que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa
la figura y responde:
a) ¿A qué distancia está la casa de Víctor del polideportivo?
b) ¿Qué distancia separa ambas casas?
c) ¿Qué área tiene el triángulo formado entre la casa de Antonio y Víctor con
respecto al polideportivo?
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NIVELACIÓN
- Calcular las razones trigonométricas de 1920 º sin utilizar tablas.
Dividimos 1920 para 360 y vemos que da 5 vueltas y 120° que, además, coincide
con el ángulo de 30.
sin 1920 = sin 120° = sin 30° = −
√
3
2
cos 1740 =
1
2
tan 1740 = −√ 3
csc 𝜃 = −
2
√
3
∙
√
3
√
3
= −
2
√
3
3
sec 𝜃 = 2 cot 𝜃 = −
1
√
3
∙
√
3
√
3
= −
√
3
3
Reducción de ángulos al primer cuadrante:
- Si 𝑥 + 𝑦 = 3 𝜋
Calcular: 𝐸 =
sin 𝑥
cos 𝑦
+
tan 𝑥
cot 𝑦
𝑥 + 𝑦 = 3 𝜋 ∙
180°
𝜋
= 270°
Sustituimos en la expresión 𝑥 = 270 − 𝑦
𝐸 =
sin( 270 − 𝑦)
cos 𝑦
+
tan( 270 − 𝑦)
cot 𝑦
𝐸 =
− cos 𝑦
cos 𝑦
+
cot 𝑦
cot 𝑦
𝐸 = − 1 + 1 = 0
- En un triángulo ABC calcular:
𝐸 =
sin( 2 𝐴 + 𝐵 + 𝐶)
cos(𝐵 + 𝐶)
Si se trata de un triángulo podemos decir que:
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 180°
𝐵 + 𝐶 = 180° − 𝐴
𝐸 =
sin( 2 𝐴 + 180° − 𝐴)
cos(180° − 𝐴)
𝐸 =
sin 𝐴
− cos 𝐴
𝐸 = − tan 𝐴
- Simplificar:
𝐸 =
cos(90° + 𝑥)
sin(−𝑥)
+
tan(𝜋 + 𝑥)
tan(−𝑥)
𝐸 =
− sin 𝑥
−sin 𝑥
+
tan 𝑥
−tan 𝑥
𝐸 = 1 − 1
𝐸 = 0
Ángulo complementario, suplementario y opuesto:
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NIVELACIÓN
- Si: sin 2 𝑥 = sin 3 𝑥, hallar:
𝐸 =
sin 𝑥
cos 4 𝑥
+
sin 2 𝑥
cos 3 𝑥
sin 𝛼 = cos 𝛽 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝛼 + 𝛽 = 90°
2 𝑥 + 3 𝑥 = 90° → 5 𝑥 = 90° → 𝑥 = 18
𝐸 =
sin 18
cos( 4 ∙ 18 )
+
sin( 2 ∙ 18 )
cos( 3 ∙ 18 )
𝐸 =
sin 18
cos 72
+
cos 3 𝑥
cos 3 𝑥
𝐸 =
cos 72
cos 72
+ 1
𝐸 = 1 + 1 = 2
- Sabiendo que sin 20 = 0. 34 , calcula sin 160
sin 160 = sin( 180 − 20 ) = sin 20 = 0. 34
- Hallar el seno, coseno y tangente para el ángulo −30°
Se sabe que sin(− 𝛼) = − sin 𝛼, cos
(
−𝛼
)
= cos 𝛼, tan
(
−𝛼
)
= −tan 𝛼. Entonces:
sin
(
−30°
)
= − sin 30° = −
1
2
cos
(
−30°
)
= cos 30° =
√ 3
2
tan(−30°) = − tan 30° = −
√
3
3
Función (sen, cos, tg, csc, sec, ctg):
- Demuestra la siguiente identidad: cot 𝑥 − sec 𝑥 csc 𝑥( 1 − 2 sin
2
𝑥) = tan 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
−
1
cos 𝑥
∙
1
sin 𝑥
(cos
2
𝑥 −sin
2
𝑥) = tan 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
−
cos
2
𝑥 − sin
2
𝑥
cos 𝑥 sin 𝑥
= tan 𝑥
cos
2
𝑥 − (cos
2
𝑥 − sin
2
𝑥)
cos 𝑥 sin 𝑥
= tan 𝑥
cos
2
𝑥 − cos
2
𝑥 + sin
2
𝑥
cos 𝑥 sin 𝑥
= tan 𝑥
sin 𝑥 sin 𝑥
cos 𝑥 sin 𝑥
= tan 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
= tan 𝑥
tan 𝑥 = tan 𝑥
- Demuestra la siguiente identidad:
cos 𝑥 tan 𝑥
sin 𝑥
− cos
2
𝑥 = sin
2
𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
− cos
2
𝑥 = sin
2
𝑥
1 − cos
2
𝑥 = sin
2
𝑥
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NIVELACIÓN
𝑐 = 15. 11
- b = 45, c = 75, ∠ A = 35º
Aplicamos la ley del coseno para encontrar el lado a ya que tenemos LLL:
𝑎 = √
(
45
)
2
+ ( 75 )
2
− 2 ( 45 )( 75 ) cos 35°
𝑎 = 46
Aplicamos ley del seno para encontrar ∠ B:
sin 𝐵
45
=
sin 35°
46
→ sin 𝐵 =
sin 35 °
46
∙
(
45
)
→ 𝐵 = sin
− 1
(
sin 35 °
46
) ∙ ( 45 )
𝐵 = 34 ° 7 ’
Como sabemos la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180° y con ese
mismo concepto podemos encontrar el ángulo C:
∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°
∠C = 180° − 35 ° − 34 ° 7 ’ → ∠C = 110 ° 53 ’
Identidades y ecuaciones trigonométricas básicas
Razones trigonométricas de la suma de ángulos:
- Hallar: cos 75°
cos 75° = cos(30° + 45°)
cos(30° + 45°) = cos 30° cos 45° − sin 30° sin 45°
cos(30° + 45°) = (
√ 3
2
) (
√ 2
2
) − (
1
2
) (
√ 2
2
)
cos(30° + 45°) =
√ 6
4
−
√ 2
4
=
√ 6 − √ 2
4
- Hallar: sec 16°
sec 16° =
1
cos 16 °
cos 16 ° = cos( 53 ° − 37 °)
cos( 53 ° − 37 °) = sin 53 ° cos 37 ° + cos 53° sin 37°
cos( 53 ° − 37 °) = (
3
5
) (
4
5
) + (
4
5
) (
3
5
)
cos( 53 ° − 37 °) =
12
25
+
12
25
=
24
25
sec 16° =
1
cos 16 °
=
1
24
25
=
25
24
- Si tan
(
𝑥 + 𝑦
)
= 5 ; además tan 𝑥 = 7 ; tan 𝑦
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NIVELACIÓN
tan(𝑥 + 𝑦) =
tan 𝑥 + tan 𝑦
1 − tan 𝑥 tan 𝑦
5 =
7 + tan 𝑦
1 − 7 ∙ tan 𝑦
5 ( 1 − 7 ∙ tan 𝑦) = 7 + tan 𝑦
5 − 35 tan 𝑦 = 7 + tan 𝑦
tan 𝑦 + 35 tan 𝑦 = 5 − 7
36 tan 𝑦 = − 2
tan 𝑦 = −
1
18
Razones trigonométricas del ángulo doble:
- Hallar: sin 74 °
sin( 2 ∙ 37 °) = 2 sin 37° ∙ cos 37°
sin 74 ° = 2 ∙
3
5
∙
4
5
sin 74 ° =
24
25
- Hallar: sec 120°
sec 120 ° =
1
cos 120 °
cos 120 ° = cos( 2 ∙ 60 )
cos( 2 ∙ 60 ) = cos
2
60° − sin
2
60°
cos( 2 ∙ 60 ) = (
1
2
)
2
− (
√ 3
2
)
2
cos 120 ° =
1
4
−
3
4
= −
2
4
= −
1
2
sec 120 ° =
1
−
1
2
= − 2
- Hallar sin 120 °
sin 120 ° = sin( 2 ∙ 60 °) = 2 sin 60 ° ∙ cos 60 °
sin 120 ° = 2 ∙
√
3
2
∙
1
2
sin 120 ° =
√
3
2
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
- Hallar el valor de: tan 18 ° 30 ’
18 ° + 30 ’
(
1°
60’
)
= 18 .5°
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NIVELACIÓN
sin 𝑥
cos 𝑥
+
1
cos 𝑥
− cos 𝑥
1
cos 𝑥
+
sin 𝑥
cos 𝑥
= sin 𝑥
sin 𝑥 + 1 − cos
2
𝑥
cos 𝑥
1 + sin 𝑥
cos 𝑥
= sin 𝑥
sin 𝑥 + 1 − cos
2
𝑥
1 + sin 𝑥
= sin 𝑥
sin 𝑥 + 1 − ( 1 − sin
2
𝑥)
1 + sin 𝑥
= sin 𝑥
sin 𝑥 + sin
2
𝑥
1 + sin 𝑥
= sin 𝑥
sin 𝑥 ( 1 + sin 𝑥)
1 + sin 𝑥
= sin 𝑥
sin 𝑥 = sin 𝑥
- Demuestra la siguiente identidad: sec 𝑦 =
cot 𝑦+tan 𝑦
csc 𝑦
sec 𝑦 =
cos 𝑦
sin 𝑦
+
sin 𝑦
cos 𝑦
1
sin 𝑦
sec 𝑦 =
cos
2
𝑥 + sin
2
𝑥
sin 𝑦 cos 𝑦
1
sin 𝑦
sec 𝑦 =
1
sin 𝑦 cos 𝑦
1
sin 𝑦
sec 𝑦 =
sin 𝑦
sin 𝑦 cos 𝑦
sec 𝑦 =
1
cos 𝑦
sec 𝑦 = sec 𝑦
Ecuaciones trigonométricas básicas:
- Resolver: 4 cos( 3 𝜃) − 3 = 0
4 cos( 3 𝜃) = 3
cos
(
3 𝜃
)
=
3
4
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NIVELACIÓN
3 𝜃 = cos
− 1
(
3
4
)
3 𝜃 = 41. 4 1°
𝜃 = 13 .80°
- Resolver: 5 cos
2
𝑥 = 4 − 3 sin
2
𝑥
5 cos
2
𝑥 − 4 + 3 sin
2
𝑥 = 0
5 cos
2
𝑥 − 4 + 3 ( 1 − cos
2
𝑥) = 0
5 cos
2
𝑥 − 4 + 3 − 3 cos
2
𝑥 = 0
2 cos
2
𝑥 − 1 = 0
(√ 2 cos 𝑥 − 1 )(√ 2 cos 𝑥 + 1 ) = 0
Primera solución:
√
2 cos 𝑥 − 1 = 0 → √
2 cos 𝑥 = 1 → cos 𝑥 =
1
√ 2
∙
√
2
√ 2
=
√
2
2
𝑥 = cos
− 1
(
√ 2
2
)
𝑥
1
= 45° 𝑦 𝑥
2
= 315°
Segunda solución:
√ 2 cos 𝑥 + 1 = 0 → √ 2 cos 𝑥 = − 1 → cos 𝑥 = −
1
√
2
∙
√ 2
√
2
= −
√ 2
2
𝑥 = cos
− 1
(−
√ 2
2
)
𝑥
1
= 13 5° 𝑦 𝑥
2
= 22 5°
- Resolver: 4 sec 𝜃 − 2 = 6 sec 𝜃
4 sec 𝜃 − 2 − 6 sec 𝜃 = 0
− 2 sec 𝜃 = 2
− 2 ∙
1
cos 𝜃
= 2
2 cos 𝜃 = − 2
cos 𝜃 = −
2
2
cos 𝜃 = − 1
𝜃 = cos
− 1
(− 1 )
𝜃 = 180°
Deber Unidad 3 - 111111
Asignatura: Física
Universidad: Escuela Politécnica Nacional
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