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Aplicación de las Leyes de Newton

Asignatura

FISICA I

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Universidad

Universidad Nacional de Catamarca

Año académico: 2020/2021

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Universidad Nacional de Catamarca

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136

?Suponga que el ave

que vuela entra en una corriente de aire que asciende con rapidez constante. En esta situación, ¿qué tiene mayor magnitud: la fuerza de gravedad o la fuerza ascendente del aire sobre el ave?

E

n el capítulo 4 vimos que las tres leyes de Newton del movimiento, cimientos de la mecánica clásica, tienen un planteamiento muy sencillo; no obstante, su aplicación a situaciones como un velero para hielo que se desliza sobre un lago congelado, un trineo que se lleva colina abajo o un avión que efectúa una vuel- ta cerrada requiere capacidad analítica y técnica. En este capítulo ampliaremos las destrezas para resolver problemas que el lector comenzó a desarrollar en el capítulo anterior. Comenzaremos con problemas de equilibrio, donde un cuerpo está en reposo o se mueve con velocidad constante. Luego generalizaremos nuestras técnicas de reso- lución de problemas a cuerpos que no están en equilibrio, para lo que necesitaremos examinar con precisión las relaciones entre fuerzas y movimiento. Aprenderemos a describir y analizar la fuerza de contacto que actúa sobre un cuerpo que descansa o se desliza en una superficie. Por último, estudiaremos el caso importante del movi- miento circular uniforme, en el que un cuerpo se mueve en una trayectoria circular con rapidez constante. En todas estas situaciones interviene el concepto de fuerza, que usaremos en todo nuestro estudio de la física. Cerraremos el capítulo con una mirada a la naturaleza fundamental de la fuerza y las clases de fuerzas que hay en nuestro Universo físico.

5 Empleo de la primera ley de Newton:

Partículas en equilibrio

En el capítulo 4 aprendimos que un cuerpo está en equilibrio si está en reposo o se mueve con velocidad constante en un marco de referencia inercial. Una lámpara colgante, un puente colgante y un avión que vuela en línea recta a altitud y rapidez constantes son ejemplos de situaciones de equilibrio. Aquí sólo consideraremos el equilibrio de un cuerpo que puede modelarse como partícula. (En el capítulo 11 vere- mos los principios adicionales que necesitaremos aplicar, cuando esto no sea posible.) El principio físico fundamental es la primera ley de Newton: si una partícula está en

5

####### METAS DE

####### APRENDIZAJE

Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:

Cómo usar la primera ley de

Newton para resolver problemas donde intervienen fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio.

Cómo usar la segunda ley de

Newton para resolver problemas donde intervienen fuerzas que actúan sobre un cuerpo en aceleración.

La naturaleza de los diferentes tipos de fuerzas de fricción: fricción estática, fricción cinética, fricción de rodamiento y resistencia de fluidos; y cómo resolver problemas relacionados con tales fuerzas.
Cómo resolver problemas donde

intervienen fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se mueve en una trayectoria circular.

Las propiedades clave de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza.

APLICACIÓN DE LAS

LEYES DE NEWTON

5 .1 Empleo de la primera ley de Newton: Partículas en equilibrio 137

reposo o se mueve con velocidad constante en un marco de referencia inercial, la fuerza neta que actúa sobre ella —es decir, la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre ella— debe ser cero:

(partícula en equilibrio, forma vectorial) (5)

Normalmente usaremos esta ecuación en forma de componentes:

(partícula en equilibrio, forma de componentes) (5)

Esta sección trata sobre el uso de la primera ley de Newton para resolver proble-

mas de cuerpos en equilibrio. Quizás algunos de los problemas parezcan complica- dos; no obstante, lo importante es recordar que todos los problemas que implican partículas en equilibrio se resuelven igual. La estrategia siguiente detalla los pasos a seguir. Estudie detenidamente la estrategia, vea cómo se aplica en los ejemplos y tra- te de aplicarla al resolver problemas de tarea.

aFx 50 aFy 50

S 50

Estrategia para resolver problemas 5 Primera ley de Newton: Equilibrio de una partícula

IDENTIFICARlos conceptos importantes:Es preciso usar la primera ley de Newton con cualquier problema que implique fuerzas que ac- túan sobre un cuerpo en equilibrio, es decir, que esté en reposo o en movimiento con velocidad constante. Por ejemplo, un automóvil está en equilibrio cuando está estacionado; pero también cuando viaja por una carretera recta con rapidez constante. Si en el problema intervienen dos o más cuerpos, y los cuerpos interactúan, también será preciso usar la tercera ley de Newton, la cual nos permite relacionar la fuerza que un cuerpo ejerce sobre otro, es decir, la que el segundo cuerpo ejerce sobre el primero. Asegúrese de identificar la(s) incógnita(s). En los problemas de equilibrio, las incógnitas suelen ser la magnitud de una de las fuerzas, las componentes de una fuerza o la dirección (ángulo) de una fuerza.

PLANTEARel problema con los pasos siguientes: 1 un dibujo sencillo de la situación física, con dimensiones y ángulos. ¡No tiene que ser una obra de arte! 2 cada cuerpo en equilibrio, dibuje un diagrama de cuerpo libre. Por ahora, consideramos el cuerpo como partícula, así que represén- telo con un punto grueso. Noincluya en el diagrama los otros cuerpos que interactúan con él, como la superficie donde descansa o una cuerda que tira de él. 3. Pregúntese ahora qué interactúa con el cuerpo tocándolo o de al- guna otra forma. En el diagrama de cuerpo libre, dibuje un vector de fuerza para cada interacción y rotule cada fuerza con un símbolo que represente su magnitud. Si conoce el ángulo de la fuerza, dibú- jelo con exactitud y rotúlelo. Incluya el peso del cuerpo, excepto si su masa (y por ende su peso) es insignificante. Si se da la masa, use w 5 mg para obtener el peso. Una superficie en contacto con el cuerpo ejerce una fuerza normal perpendicular a la superficie y tal vez una fuerza de fricción paralela a la superficie. Una cuerda o cadena no puede empujar un cuerpo, sólo tirar de él en la dirección de su longitud. 4. En el diagrama de cuerpo libre no muestre las fuerzas que el cuerpo en cuestión ejerce sobre otro cuerpo. Las sumas de las ecuaciones

(5) y (5) sólo incluyen fuerzas que actúan sobre el cuerpo en cuestión. Para cada fuerza sobre el cuerpo, pregúntese “¿Qué otro cuerpo causa esa fuerza?” Si no puede contestar, tal vez esté imaginando una fuerza inexistente. 5. Elija sus ejes de coordenadas e inclúyalas en su diagrama de cuer- po libre. (Si hay más de un cuerpo en el problema, es preciso elegir ejes por separado para cada cuerpo.) Rotule la dirección positiva de cada eje. Por ejemplo, si un cuerpo descansa o se desliza sobre una superficie plana, suele ser más sencillo tomar ejes en las direccio- nes paralela y perpendicular a ella, aun si está inclinada.

EJECUTARla solución como sigue: 1 las componentes de cada fuerza a lo largo de cada uno de los ejes de coordenadas del cuerpo. Marque con una línea ondulada cada vector que se haya sustituido por sus componentes, para no contarlo dos veces. Tenga presente que, aunque la magnitud de una fuerza siempre es positiva, la componente de una fuerza en una di- rección dada puede ser positiva o negativa. 2. Iguale a cero la suma algebraica de las componentes xde las fuerzas. En otra ecuación, haga lo mismo con las componentes y. (Nunca sume componentes x y yen una sola ecuación.) 3. Si hay dos o más cuerpos, repita los pasos anteriores para cada uno. Si los cuerpos interactúan, use la tercera ley de Newton para relacionar las fuerzas que ejercen entre sí. 4. Asegúrese de tener la misma cantidad de ecuaciones independien- tes y de incógnitas. Despeje las ecuaciones para obtener la expre- sión algebraica de las incógnitas.

EVALUARla respuesta:Verifique que sus resultados sean congruen- tes. Si la solución es una expresión simbólica o algebraica, trate de encontrar casos especiales (valores específicos o casos extremos) con los que pueda hacer una estimación rápida. Verifique que su fórmula funciona en tales casos.

5 .1 Empleo de la primera ley de Newton: Partículas en equilibrio 139

Par acción-reacción

a) Diagrama de cuerpo libre para la gimnasta

b) Diagrama de cuerpo libre para la cuerda

c) Diagrama de cuerpo libre para la gimnasta y la cuerda, considerados como un solo cuerpo compuesto

TG sobre R

TR sobre G

peso wpeso wG

TC sobre R TC sobre R

peso wpeso wR

peso wpeso wG + wwR

5 esquemas para este problema, incluyendo el peso de la cuerda.

EVALUAR:Cuando incluimos el peso de la cuerda, vemos que la ten- sión es diferente en los dos extremos de la cuerda. La fuerza TC sobre R que el techo ejerce debe sostener tanto el peso de 490 N de la gimnasta como el peso de 120 N de la cuerda, así que TC sobre R 5 610 N. Para ver esto de forma más explícita, dibuje un diagrama de cuer- po libre para un cuerpo compuesto que consiste en la gimnasta y la cuerda consideradas como unidad (figura 5). Sólo actúan dos fuer- zas externas sobre este cuerpo compuesto: la fuerza TC sobre Rejercida por el techo y el peso total wG 1 wR 5 490 N 1 120 N 5 610 N. (Las fuerzas TG sobre RyTR sobre Gson internas en lo que al cuerpo compues- to respecta. Dado que en la primera ley de Newton sólo intervienen fuerzas externas, las fuerzas internas no se toman en cuenta.) Por lo tanto, la primera ley de Newton aplicada al cuerpo compuesto es

así que Este método de tratar a la gimnasta y la cuerda como cuerpo com- puesto parece mucho más sencillo, y quizá el lector se pregunte por qué no lo usamos desde el principio. La respuesta es que, con ese método, no podíamos obtener la tensión TG sobre Ren el extremo infe- rior de la cuerda. La moraleja es: si hay dos o más cuerpos en un problema en el que intervienen las leyes de Newton, lo más seguro es tratar a cada cuerpo individualmente.

TC sobre R 5 wG 1 wR 5 610 N.

Cuerpo compuesto: aFy 5 TC sobre R 1321 wG 1 wR 2450

son negativas. Después de despejar TC sobre Ry sustituir los valores TG sobre R 5 TR sobre G 5 490 N y wR 5 120 N, tenemos

TC sobre R 5 TG sobre R 1 wR 5 490 N 1 120 N 5 610 N

Ejemplo 5 Equilibrio bidimensional

En la figura 5, un motor de peso wcuelga de una cadena unida me- diante un anillo Oa otras dos cadenas, una sujeta al techo y la otra a la pared. Calcule las tensiones en las tres cadenas en términos de w. Los pesos de las cadenas y el anillo son despreciables.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:Las incógnitas son las tensiones T 1 , T 2 yT 3 en las tres cadenas (figura 5). En este ejemplo, parecería extraño despreciar el peso de las cadenas y del anillo, si en el ejemplo 5 despreciamos el peso de una simple cuerda. La razón es que el peso de las cadenas o del anillo es muy pequeño en comparación con el del motor. En cam- bio, en el ejemplo 5 el peso de la cuerda era una fracción apreciable del peso de la gimnasta (120 N comparados con 490 N). Todos los cuerpos del ejemplo están en equilibrio, así que usa- remos la primera ley de Newton para determinar T 1 , T 2 y T 3. Necesi- tamos tres ecuaciones simultáneas, una para cada incógnita. Sin em-

bargo, la aplicación de la primera ley de Newton a un solo cuerpo sólo nos da dos ecuaciones, como en la ecuación (5). Por lo tanto, para resolver el problema, será preciso considerar más de un cuerpo en equilibrio. Examinaremos el motor (sobre el que actúa T 1 ) y el ani- llo (que está unido a las tres cadenas, así que sobre él actúan las tres tensiones).

PLANTEAR:Las figuras 5 y 5 son diagramas de cuerpo libre, in- cluyendo un sistema de coordenadas x-y,para el motor y el anillo, res- pectivamente. Las dos fuerzas que actúan sobre el motor son su peso wy la fuerza hacia arriba T 1 ejercida por la cadena vertical; las tres fuerzas que ac- túan sobre el anillo son las tensiones de la cadena vertical (T 1 ), la cade- na horizontal (T 2 ) y la cadena inclinada (T 3 ). Puesto que la cadena vertical tiene peso despreciable, ejerce fuerzas de la misma magnitud Tlen ambos extremos: hacia arriba sobre el motor en la figura 5 y

a) Motor, cadenas y anillo

T 1

T 3 T 2 O

608

b) Diagrama de cuerpo libre para el motor

c) Diagrama de cuerpo libre para el anillo O

T 3 sensen 60608

5)La situación. b)y c)son nuestros diagramas.

continúa

140 CAPÍTULO 5Aplicación de las leyes de Newton

hacia abajo sobre el anillo en la figura 5. Si el peso no fuera des- preciable, estas dos fuerzas tendrían diferente magnitud, como fue el caso de la cuerda en el ejemplo 5. Recuerde que también estamos des- preciando el peso del anillo, así que no lo incluimos en las fuerzas de la figura 5.

EJECUTAR:Las fuerzas que actúan sobre el motor están únicamente sobre el eje y; entonces, por la primera ley de Newton,

Las cadenas horizontal e inclinada no ejercen fuerzas sobre el motor, porque no están unidas a él; aunque sí aparecen en la aplicación de la primera ley de Newton sobre el anillo. En el diagrama de cuerpo libre para el anillo (figura 5), recuerde que T 1 , T 2 y T 3 son las magnitudesde las fuerzas. Primero descompo- nemos la fuerza con magnitud T 3 en sus componentes xy y. El anillo está en equilibrio, así que escribimos ecuaciones individuales donde se establece que las componentes xy y de la fuerza neta sobre el anillo es cero. (Recuerde que en la estrategia para resolver problemas 5 vimos que nuncadeben sumarse componentes xy yen una misma ecuación.) Obtenemos

Puesto que T 15 w(de la ecuación para el motor), escribimos la segun- da ecuación del anillo como

T 35

T 1 sen 60°

w sen 60°

5 1

Anillo: aFy 5 T 3 sen 60° 112 T 1250

Anillo: aFx 5 T 3 cos 60° 112 T 2250

Motor: aFy 5 T 1112 w 250 y T 15 w

Ahora podemos usar este resultado en la primera ecuación del anillo:

Así, podemos expresar las tres tensiones como múltiplos del peso w del motor, que supuestamente se conoce. En síntesis,

EVALUAR:Nuestros resultados muestran que la cadena que sujeta al techo ejerce una fuerza sobre el anillo de magnitud T 3 , que es mayor que el peso del motor. Si le parece raro, observe que la componente vertical de esta fuerza es igual a T 1 , que a la vez es igual a w, pero como además la fuerza tiene una componente horizontal, su magnitud T 3 debe ser algo mayor que w. Por lo tanto, la cadena que sujeta al te- cho es la que está sometida a mayor tensión y es la más susceptible de romperse. Quizás a primera vista usted haya pensado que el cuerpo más im- portante en este problema era el motor. Sin embargo, para tener sufi- cientes ecuaciones, también fue necesario considerar las fuerzas que actúan sobre un segundo cuerpo (en este caso, el anillo que une las ca- denas). Las situaciones de este tipo son muy comunes en problemas de equilibrio, así que tenga presente esta técnica.

T 35 1

T 25 0

T 15 w

T 25 T 3 cos 60° 5 w

cos 60° sen 60°

5 0

Ejemplo 5 Un plano inclinado

Un automóvil de peso w descansa sobre los rieles inclinados de una rampa que conduce a un remolque (figura 5). Sólo un cable conec- tado al auto y a la armazón del remolque evita que el auto baje la ram- pa. (Los frenos y la transmisión del auto están desactivados.) Calcule la tensión en el cable y la fuerza con que los rieles empujan los neu- máticos.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:El automóvil está en equilibrio, así que usaremos otra vez la primera ley de Newton. La rampa ejerce cuatro fuerzas sobre el auto, una en cada neumático. Por sencillez, juntaremos todas estas fuerzas en una sola. Otra simplificación es que hay muy poca fricción sobre el auto, de manera que despreciaremos la componente

de esta fuerza que actúa paralela a los rieles (véase la figura 4). (Volveremos a la fuerza de fricción en la sección 5) Por lo tanto, podemos decir que la rampa sólo ejerce una fuerza sobre el auto que es perpendiculara los rieles. Esta fuerza aparece porque los átomos de la superficie de los rieles se resisten a que los átomos de los neu- máticos penetren entre ellos. Al igual que en la sección 4, llamare- mos a esta fuerza “fuerza normal” (véase la figura 4).Las dos incógnitas son la magnitud n de la fuerza normal y la magnitud Tde la tensión en el cable.

PLANTEAR:La figura 5 muestra un diagrama de cuerpo libre para el auto. Las tres fuerzas que actúan sobre el auto son su peso (magni- tud w), la tensión del cable (magnitud T) y la fuerza normal (magnitud n). Esta última actúa hacia arriba y hacia la izquierda porque está evitando que el auto penetre en los rieles sólidos. Tomamos los ejes de coordenadas xy yparalelos y perpendicula- res a la rampa, como se muestra. Esto facilita el análisis del problema porque así sólo la fuerza del peso tiene componentes tanto en xcomo en y. Si eligiéramos ejes horizontal y vertical, nuestra tarea sería más difícil porque tendríamos que descomponer dos fuerzas (la normal y la tensión). Observe que el ángulo aentre la rampa y la horizontal es igual al ángulo aentre el vector de peso y el eje de la normal al plano de la rampa.

EJECUTAR:Para escribir las componentes xy yde la primera ley de Newton, necesitamos obtener las componentes del peso. Una compli- cación es que el ángulo aen la figura 5 no se mide del eje 1 x al eje 1 y, así que no podemosusar las ecuaciones (1) directamente para obtener las componentes. (Quizás usted desee repasar la sección 1, pues este punto es importante.)

w sen a

w cos a

a a

b) Diagrama de cuerpo libre del auto

a) Auto sobre rampa

Remplazamos el peso por sus componentes.

5 cable sostiene un automóvil en reposo sobre una rampa.

142 CAPÍTULO 5Aplicación de las leyes de Newton

Evalúe su comprensión de la sección 5 Un semáforo con masa m cuelga de dos cables ligeros, uno a cada lado. Los dos cables cuelgan con un ángulo de 45 8 con respecto a la horizontal. ¿Qué tensión hay en cada cable? i) ii) iii) w; iv) v) 2w. ❚

w " 2 ;

w/2; w/" 2 ;

de magnitud nejercida por los rieles y una fuerza de tensión del cable. (Estamos ignorando la fricción, así que suponemos que los rieles no ejercen ninguna fuerza paralela a la pendiente.) Esta situación es idén- tica a la del automóvil en la rampa del ejemplo 5. Igual que en ese ejemplo, no todas las fuerzas que actúan sobre el carro tienen la misma dirección, así que necesitaremos usar ambas componentes de la pri- mera ley de Newton de la ecuación (5). Estamos suponiendo que el cable no tiene peso, así que las fuerzas de tensión que la cuerda ejerce sobre el carro y la cubeta tienen la mis- ma magnitud T.

PLANTEAR:La figura 5 es nuestro modelo idealizado del sistema. Las figuras 5 y 5 son los diagramas de cuerpo libre que dibuja- mos. Cabe señalar que podemos orientar los ejes de forma distinta para cada cuerpo. Los ejes que se muestran son la opción que más nos con- viene. Como hicimos con el auto en el ejemplo 5, representamos el peso del bloque de granito en términos de sus componentes xy y.

EJECUTAR:Aplicando a la cubeta llena de tierra en la figu- ra 5, tenemos

aFy 5 T 112 w 2250 así que T 5 w 2

aFy 50

Aplicando al bloque y al carro en la figura 5, obtenemos

Igualando las dos expresiones para T,

EVALUAR:Nuestro análisis no depende de la dirección del movi- miento, sólo de que la velocidad sea constante. Por lo tanto, el sistema puede moverse con rapidez constante en cualquierdirección, si el peso de la cubeta con tierra es el 26% del peso del carro y el bloque de granito. ¿Qué sucedería si w 2 fuera mayor que 0 1? ¿Y si fuera menor que 0 1? Observe que no fue necesario aplicar la ecuación al carro y al bloque; sólo lo sería si quisiéramos calcular el valor de n. ¿Puede usted demostrar quen 5 wlcos 15°?

gFy 50

w 25 w 1 sen 15° 5 0 1

aFx 5 T 112 w 1 sen 15° 250 así que T 5 w 1 sen 15°

aFx 50

5 Empleo de la segunda ley de Newton:

Dinámica de partículas

Ahora podemos analizar problemas de dinámica, donde aplicamos la segunda ley de Newton a cuerpos sobre los cuales la fuerza neta noes cero, de manera que los cuer- pos no están en equilibrio sino que tienen aceleración. La fuerza neta es igual a la ma- sa del cuerpo multiplicada por su aceleración:

(segunda ley de Newton, forma vectorial) (5)

Normalmente usaremos esta relación en su forma de componentes:

(5)

La estrategia que presentaremos en seguida es muy similar a la que seguimos para re- solver problemas de equilibrio en la sección 5. Estúdiela con detenimiento, vea cómo se aplica en los ejemplos y úsela para resolver los problemas al final del capítulo. Re- cuerde que todos los problemas de dinámica pueden resolverse con esta estrategia.

CUIDADO no pertenece a los diagramas de cuerpo libreRecuerde que la canti- dad es el resultadode las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, no es una fuerza; no es un em- pujón ni tirón ejercido por algo del entorno. Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo con aceleración (como la fruta de la figura 5), nunca incluya “la fuerza ” porque no existe tal fuerza(figura 5). Repase la sección 4 si todavía no le ha quedado claro esto. A veces dibujaremos el vector de aceleración junto a un diagrama de cuerpo libre, como en la figura. 5; pero nunca lo mostraremos con su cola tocando el cuerpo (posición reservada exclusiva- mente para las fuerzas que actúan sobre el cuerpo).❚

maS

mSa

(segunda ley de Newton, aFx 5 max aFy 5 may forma de componentes)

S 5 maS

5 de cuerpo libre correcto e incorrecto para un cuerpo que cae.

2.1 Carrera de automóviles 2 Levantar una caja 2 Bajar una caja 2 Despegue de cohete 2 Máquina de Atwood modificada

ONLINE

2 Empleo de la segunda ley de Newton: Dinámica de partículas 143

Estrategia para resolver problemas 5 Segunda ley de Newton: Dinámica de partículas

IDENTIFICARlos conceptos importantes:Es preciso usar la segunda ley de Newton al resolver cualquier problema donde intervengan fuer- zas que actúan sobre un cuerpo con aceleración. Identifique la incógnita, que suele ser una aceleración o una fuerza. Si es otra cuestión, habrá que identificar y usar otro concepto. Por ejemplo, suponga que le piden determinar con qué rapidez se está mo- viendo un trineo cuando llega al pie de una loma. Ello implica que la incógnita es la velocidad final del trineo. Para obtenerla, primero nece- sitará usar la segunda ley de Newton para calcular la aceleración del trineo. Después, tendrá que usar las relaciones para aceleración cons- tante de la sección 2 y obtener la velocidad a partir de la aceleración.

PLANTEARel problema siguiendo estos pasos: 1 .Haga un dibujo sencillo de la situación. Identifique uno o más cuerpos en movimiento, a los cuales aplicará la segunda ley de Newton. 2. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo identificado, que muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Recuerde que la aceleración de un cuerpo depende de las fuerzas que actúan sobre él, node las fuerzas que él ejerce sobre otros objetos. Ase- gúrese de ser capaz de contestar la pregunta: “¿qué otro cuerpo está aplicando esta fuerza?” para cada fuerza de su diagrama. Además, nunca incluya la cantidad en su diagrama de cuerpo libre; ¡no es una fuerza! 3. Rotule cada fuerza con un símbolo algebraico para representar su magnitud. (Recuerde que las magnitudes siempre son positivas. Los signos menos aparecerán después cuando se obtengan las com- ponentes de las fuerzas.) Por lo regular, una de las fuerzas será el peso del cuerpo; suele ser mejor rotularlo como w 5 mg. Si se da el valor numérico para la masa, se podrá calcular su peso. 4. Elija los ejes de coordenadas x y ypara cada objeto y muéstrelos explícitamente en cada diagrama de cuerpo libre. No olvide indicar cuál es la dirección positiva de cada eje. Si conoce la dirección de la aceleración, las cosas normalmente se simplifican si se elige esa dirección como la dirección positiva de uno de los ejes. Si en el problema intervienen dos o más objetos y éstos se aceleran en di- recciones distintas, se pueden usar distintos ejes para cada objeto.

maS

Identifique cualesquiera otras ecuaciones que podría necesitar, además de la segunda ley de Newton, (se requiere una ecuación por cada incógnita). Por ejemplo, quizá necesite una o más de las ecuaciones para movimiento con aceleración constan- te. Si intervienen dos o más cuerpos, podrían existir relaciones entre sus movimientos; por ejemplo, cuando los cuerpos están unidos con una cuerda. Exprese todas esas relaciones en forma de ecuaciones que relacionan las aceleraciones de los distintos cuerpos.

EJECUTARla solución como sigue: 1 cada objeto, determine las componentes de las fuerzas a lo lar- go de cada eje de coordenadas. Cuando represente una fuerza en términos de sus componentes, marque con una línea ondulada el vector original para recordar no incluirlo dos veces. 2 cada objeto, escriba una ecuación aparte para cada componen- te de la segunda ley de Newton, como en la ecuación (5). 3. Haga una lista de todas las cantidades conocidas y desconocidas, identificando las incógnitas. 4. Compruebe que tenga la misma cantidad de ecuaciones como de incógnitas. Si le faltan ecuaciones, retroceda al paso 5 de “Plantear el problema”. Si le sobran ecuaciones, tal vez haya una cantidad desconocida que no se identificó como tal. 5. Haga la parte fácil: ¡los cálculos! Despeje las ecuaciones para obte- ner las incógnitas.

EVALUARla respuesta:¿Surespuesta tiene las unidades correctas? (En su caso, utilice la conversión ¿Tiene el signo algebraico adecuado? (Si el problema se refiere a un trineo que se des- liza por una loma, probablemente eligió el eje xpositivo de modo que apuntara pendiente abajo. Si después obtiene una aceleración negativa —es decir, pendiente arriba— sabrá que hay algún error en los cálcu- los.) Si es posible, considere valores específicos o extremos, y com- pare los resultados con lo que esperaba intuitivamente. Pregúntese: “¿el resultado es congruente?”

1 N 5 1 kg#m/s 2 .)

S 5 maS

Ejemplo 5 Movimiento rectilíneo con una fuerza constante

Un velero para hielo descansa en una superficie horizontal sin fricción (figura 5). Sopla un viento constante (en la dirección de los patines del trineo), de modo que 4 s después de soltarse el velero adquiere una velocidad de 6 m>s (unos 22 km>h o 13 mi>h). ¿Qué fuerza cons- tante FWejerce el viento sobre el velero? La masa total del velero más el tripulante es de 200 kg.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:Nuestra incógnita es una de las fuerzas (FW) que ac- túan sobre el velero, así que necesitaremos usar la segunda ley de Newton. Esa ley implica fuerzas y aceleración; pero no nos dan la aceleración, así que habrá que calcularla. Se supone que el viento es constante, así que las fuerzas no cambian con el tiempo y la acelera- ción producida es constante. Esto implica que podremos usar una de las fórmulas de aceleración constante de la sección 2.

PLANTEAR:La figura 5 muestra el diagrama de cuerpo libre para el velero y el tripulante considerados como una unidad. Las fuerzas que actúan sobre este objeto son el peso w, la fuerza normal n ejercida

a) Velero y tripulante sobre hielo sin fricción b) Diagrama de cuerpo libre del velero y su tripulante

5)La situación. b)Nuestro diagrama de cuerpo libre.

continúa

2 Empleo de la segunda ley de Newton: Dinámica de partículas 145

b) Diagrama de cuerpo libre del elevador

a) Un elevador en descenso

Baja con rapidez decreciente

5)La situación. b)Nuestro diagrama de cuerpo libre.

que tengamos ay, la sustituiremos en la componente y de la segunda ley de Newton, ecuación (5).

EJECUTAR:Escribamos primero la segunda ley de Newton. La fuerza de tensión actúa hacia arriba y el peso lo hace hacia abajo, así que

aFy 5 T 112 w 25 may

Despejamos la incógnita T:

Para determinar ay, reacomodamos la ecuación de aceleración constan- te

La aceleración es hacia arriba (positiva), como debería ser en el caso de un movimiento hacia abajo con rapidez decreciente. Ahora podemos sustituir la aceleración en la ecuación de la ten- sión:

EVALUAR:La tensión es 1600 Nmayor que el peso. Esto es lógico: debe haber una fuerza neta hacia arriba que produzca la aceleración que detiene el elevador. ¿Nota usted que obtendríamos el mismo valor de Ty aysi el elevador estuviera ascendiendoyaumentando su rapidez a razón de 2 m>s 2?

5 9440 N

T 5 m 1 g 1 ay 251 800 kg 21 9 m/s 21 2 m/s 22

ay 5

vy 22 v 0 y 2 21 y 2 y 02

1022212 10 m/s 22 212 25 m 2

51 2 m/s 2

vy 25 v 0 y 212 ay 1 y 2 y 02 :

T 5 w 1 may 5 mg 1 may 5 m 1 g 1 ay 2

Ejemplo 5 Peso aparente en un elevador con aceleración

Una mujer de 50 kg se para en una báscula dentro del elevador del ejemplo 5 (figura 5). ¿Qué valor marca la báscula?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:La báscula marca la magnitud de la fuerza hacia abajo ejercida por la mujer sobre la báscula; por la tercera ley de Newton, es- to es igual a la magnitud de la fuerza normal hacia arriba ejercida por la báscula sobre la mujer. Por lo tanto, nuestra incógnita es la magnitud nde la fuerza normal. Obtendremos naplicando la segunda ley de Newton a la mujer. Y ya conocemos la aceleración de ésta; es la misma que la aceleración del elevador, que calculamos en el ejemplo 5.

PLANTEAR:La figura 5 es un diagrama de cuerpo libre para la mujer. Las fuerzas que actúan sobre ella son la fuerza normal n ejerci- da por la báscula y su peso w 5 mg 5 (50 kg) (9 m>s 2 ) 5 490 N.

(La fuerza de tensión, que desempeñó un papel protagónico en el ejemplo 5, no aparece aquí. Ello se debe a que la tensión no actúa di- rectamente sobre la mujer. Lo que ella siente en sus pies es la báscula que empuja hacia arriba, no el cable del elevador.) En el ejemplo 5, la aceleración del elevador y la mujer es ay 51 2 m>s 2. EJECUTAR:La segunda ley de Newton da

EVALUAR:El valor obtenido para n implica que, mientras el eleva- dor se está deteniendo, la báscula empuja a la mujer con una fuerza de 590 N hacia arriba. Por la tercera ley de Newton, la mujer empuja la báscula hacia abajo con la misma fuerza, así que la báscula ma- rca 590 N, lo cual son 100 N más que su peso real. La lectura de la báscula es el peso aparente de la mujer; ésta siente que el piso em- puja con mayor fuerza sus pies que cuando el elevador está parado o se mueve a velocidad constante. ¿Qué sentiría la mujer si el elevador estuviera acelerando hacia abajo, de modo que ay 52 2 m>s 2? Esto sucedería si el elevador estuviera subiendo con rapidez decreciente o bajando con rapidez cre- ciente. Para obtener la respuesta a esta situación, simplemente inserta- mos el nuevo valor de ayen nuestra ecuación para n:

Ahora la mujer siente que pesa sólo 390 N, 100 N menos que su peso real. El lector puede sentir estos efectos dando unos pasos en un ele- vador que se está frenando después de descender (cuando su peso aparente es mayor que su verdadero peso w) o que se está frenando después de ascender (cuando su peso aparente es menor que w).

5 390 N

n 5 m 1 g 1 ay 251 50 kg 23 9 m/s 2112 2 m/s 224

51 50 kg 21 9 m/s 21 2 m/s 225 590 N

n 5 mg 1 may 5 m 1 g 1 ay 2

aFy 5 n 112 mg 25 may

b) Diagrama de cuerpo libre de la mujer

a) Mujer en el elevador en descenso

Baja con rapidez decreciente

5)La situación. b)Nuestro diagrama de cuerpo libre.

146 CAPÍTULO 5Aplicación de las leyes de Newton

Peso aparente e ingravidez aparente Generalicemos el resultado del ejemplo 5. Cuando un pasajero de masa mviaja en un elevador con aceleración ay, una báscula da como peso aparente del pasajero

Cuando el elevador está acelerando hacia arriba,ayes positiva y n es mayor que el pe- so del pasajero w 5 mg. Si el elevador acelera hacia abajo, ayes negativa y n es me- nor que el peso. Si el pasajero no sabe que el elevador está acelerando, sentirá que su peso cambia y, de hecho, la báscula lo indica. El caso extremo sucede cuando el elevador tiene una aceleración hacia abajo ay 52 g, es decir, cuando está en caída libre. En este caso, n 5 0 y el pasajero siente que no tiene peso. Asimismo, un astronauta en órbita alrededor de la Tierra expe- rimenta ingravidez aparente(figura 5). En ambos casos, la persona aún tiene peso, porque actúa sobre ella una fuerza gravitacional; sin embargo, el efecto de esta condi- ción de caída libre es el mismo que si el cuerpo estuviera en el espacio exterior sin experimentar gravedad. En ambos casos, la persona y su vehículo (elevador o nave) están cayendo juntos con la misma aceleración g, así que nada empuja a la persona contra el piso o las paredes del vehículo.

n 5 m 1 g 1 ay 2

5 astronautas en órbita sienten “ingravidez” porque tienen la misma aceleración que su nave, no porque estén “fuera del alcance de la gravedad terrestre”. (Si la fuerza de gravedad no actuara sobre ellos, los astronautas y su nave no perma- necerían en órbita, sino que se internarían en el espacio exterior.)

Ejemplo 5 Aceleración cuesta abajo

Un trineo cargado de estudiantes en vacaciones (peso total w) se desli- za hacia abajo por una larga cuesta nevada. La pendiente tiene un án- gulo constante a, y el trineo está tan bien encerado que la fricción es despreciable. ¿Qué aceleración tiene el trineo?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:Nuestra incógnita es la aceleración, que obtendremos aplicando la segunda ley de Newton. No hay fricción, así que las únicas fuerzas que actúan sobre el trineo son su peso wy la fuerza normal n ejercida por la colina. Al igual que en el ejemplo 5 (sección 5), la superficie está inclinada de manera que la fuerza normal no es vertical ni es opuesta al peso. Por lo tanto, deberemos usar ambas componentes de en la ecuación (5).

PLANTEAR:La figura 5 muestra el diagrama de cuerpo libre. To- mamos ejes paralelo y perpendicular a la colina, de modo que la ace- leración (que es paralela a la colina) tenga la dirección 1 x.

S 5 mSa

EJECUTAR:La fuerza normal sólo tiene componente y, pero el peso tiene tanto componente x comoy:y (Compare con el ejemplo 5, donde la componente xdel peso era 2 w sena. La diferencia es que en el ejemplo 5 el eje 1 x era cuesta arriba y en la figura 5 es cuesta abajo.) La línea ondulada de la figura 5 nos recuerda que descompusimos el peso en sus componentes. La aceleración es exclusivamente en la dirección 1 x, así que ay 5 0. La segunda ley de Newton en forma de componentes nos dice entonces que

Dado que w 5 mg, la ecuación para la componente xnos indica que mgsena5max, es decir,

Observe que no necesitamos la ecuación de la componente ypara obte- ner la aceleración. ¡Ésa es la ventaja de elegir el eje xen la dirección de la aceleración! Lo que nos da las componentes yes la magnitud de la fuerza normal que la superficie de la colina ejerce sobre el trineo:

EVALUAR:Observe que la masa no aparece en el resultado de la ace- leración, lo cual significa que cualquier trineo, sin importar su masa ni su número de pasajeros, se desliza por una colina sin fricción con aceleración gsen a. En particular, si el plano es horizontal, a5 0 y ax 5 0 (el trineo no se acelera); si el plano es vertical, a590° y ax 5 g (el trineo está en caída libre). Observe también que la fuerza normal n no es igual al peso del tri- neo (compare con el ejemplo 5 de la sección 5). No necesitamos este resultado aquí, pero será útil después.

n 5 w cos a5mg cos a

ax 5 g sen a

aFy 5 n 2 w cos a5may 50

aFx 5 w sen a5max

wx 5 w sena wy 52 w cos a.

a) La situación b) Diagrama de cuerpo libre del trineo

sensen

5 diagrama para este problema.

148 CAPÍTULO 5Aplicación de las leyes de Newton

Ejemplo 5 Dos cuerpos con la misma magnitud de aceleración

En la figura. 5, un deslizador de masa mlse mueve sobre un riel de aire horizontal, sin fricción, en el laboratorio de física. El deslizador está conectado a una pesa de masa m 2 mediante un cordón ligero, flexi- ble e inelástico que pasa por una pequeña polea sin fricción. Calcule la aceleración de cada cuerpo y la tensión en el cordón.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:El cordón y la pesa se están acelerando, así que debe- remos usar la segunda ley de Newton. Hay tres incógnitas: la tensión T en el cordón y las aceleraciones de los dos cuerpos.

PLANTEAR:Los dos cuerpos tienen diferente movimiento, uno hori- zontal y el otro vertical, así que no podemos considerarlos juntos co- mo hicimos en el ejemplo 5. Las figuras 5 y 5 muestran

los diagramas de cuerpo libre y sistemas de ejes correspondientes. Conviene hacer que ambos cuerpos aceleren en la dirección positiva de un eje, por lo que elegimos la dirección 1 ypara la pesa hacia aba- jo. (Es completamente válido usar diferentes ejes de coordenadas para los dos cuerpos.) No hay fricción en la polea y consideramos que el cordón no tiene masa, así que la tensión Ten el cordón es homogénea: aplica una fuer- za de magnitud Ta cada cuerpo. (Quizá sea conveniente repasar el ejemplo conceptual 4 de la sección 4, donde vimos la fuerza de tensión ejercida por un cordón sin masa.) Los pesos son m 1 gy m 2 g. Si bien las direcciones de las dos aceleraciones son distintas, sus magnitudes son iguales. Ello se debe a que el cordón no se estira; por lo tanto, los dos cuerpos deberán avanzar distancias iguales en tiempos iguales, y así sus rapideces en cualquier instante dado debe- rán ser iguales. Cuando las rapideces cambian, lo hacen en la misma cantidad en un tiempo dado, de manera que las aceleraciones de los dos cuerpos deben tener la misma magnitud a. Podemos expresar esta relación así

Gracias a esta relación, en realidad sólo tenemos dos incógnitas: a y la tensión T.

EJECUTAR:Para el deslizador en el riel, la segunda ley de Newton da

En el caso de la pesa, las únicas fuerzas que actúan están en la direc- ción y, así que

Pesa: aFy 5 m 2 g 112 T 25 m 2 a 2 y 5 m 2 a

Deslizador: aFy 5 n 112 m 1 g 25 m 1 a 1 y 50

Deslizador: aFx 5 T 5 m 1 a 1 x 5 m 1 a

a 1 x 5 a 2 y 5 a

a) Aparato b) Diagrama de cuerpo libre para el deslizador

c) Diagrama de cuerpo libre para la pesa

m 2

m 1

5)La situación. b), c)Nuestro diagrama de cuerpo libre.

fuerza horizontal que actúa sobre este cuerpo compuesto es la fuerza F que usted ejerce. Las fuerzas FT sobre Cy FC sobre Tno intervienen porque son internas con respecto a este cuerpo compuesto, y la segunda ley de Newton nos dice que sólo las fuerzas externas afectan la aceleración de un cuerpo (véase la sección 4). Por lo tanto, necesitaremos una ecuación adicional para determinar la magnitud FT sobre Csi empleamos este método; obtenemos esa ecuación aplicando la segunda ley de Newton al envase de leche, igual que en el método 1.

EJECUTAR:Método 1: Las ecuaciones de componente xde la segunda ley de Newton para la bandeja y el envase son

Así, tenemos dos ecuaciones simultáneas con las incógnitas axy FT sobre C. (Sólo necesitamos dos ecuaciones, lo cual significa que las componentes yno desempeñan ningún papel en este ejemplo.) Una forma fácil de despejar axde las dos ecuaciones es sumarlas; esto elimina FT sobre Cy nos da

ax 5

F mT 1 mC

9 N 1 kg 1 0 kg

5 6 m/s 2

F 5 mT ax 1 mC ax 51 mT 1 mC 2 ax

Envase: aFx 5 FT sobre C 5 mC ax

Bandeja: aFx 5 F 2 FC sobre T 5 F 2 FT sobre C 5 mT ax

Sustituimos este valor en la ecuación del envase y obtenemos

Método 2: La componente x de la segunda ley de Newton para el cuerpo compuesto con masa mes

y la aceleración de este cuerpo compuesto es

Ahora examinamos el envase de leche solo y observamos que, si que- remos impartirle una aceleración de 6 m>s 2 , la bandeja deberá ejercer sobre él una fuerza de

EVALUAR:Obtenemos las mismas respuestas con los dos métodos, como debería ser. Para verificar las respuestas, observe que las fuerzas a cada lado de la bandeja son distintas: F 5 9 N a la derecha y FC so- bre T 5 3 N a la izquierda. Por lo tanto, la fuerza neta horizontal sobre la bandeja es F 2 FC sobre T 5 6 N, que es exactamente la que se nece- sita para acelerar una bandeja de 1 kg a 6 m>s 2. El método de tratar los dos cuerpos como un solo cuerpo compues- to funciona únicamente si los dos cuerpos tienen la misma magnitud y dirección de aceleración. Si las aceleraciones son distintas, deberemos tratar los dos cuerpos individualmente, como en el ejemplo que sigue.

FT sobre C 5 mC ax 51 0 kg 21 6 m/s 225 3 N

ax 5

F m

9 N 1 kg

5 6 m/s 2

aFx 5 F 5 max

FT sobre C 5 mC ax 51 0 kg 21 6 m/s 225 3 N

3 Fuerzas de fricción 149

En estas ecuaciones, hemos usado las relaciones aly 5 0 (el deslizador no se acelera verticalmente) yalx 5 a 2 y 5 a(los dos objetos tienen la misma magnitud de aceleración). La ecuación xpara el deslizador y la ecuación para la pesa nos dan dos ecuaciones simultáneas para las incógnitas Ty a:

Sumamos estas ecuaciones para eliminar Ty nos da:

Así, la magnitud de la aceleración de cada cuerpo es

Sustituimos esto en la primera ecuación (la del deslizador) para ob- tener:

T 5

m 1 m 2 m 11 m 2

a 5

m 2 m 11 m 2

m 2 g 5 m 1 a 1 m 2 a 51 m 11 m 22 a

Pesa: m 2 g 2 T 5 m 2 a

Deslizador: T 5 m 1 a

EVALUAR:La aceleración es menor que g, como se esperaba; la pesa se acelera más lentamente porque la frena la tensión en el cordón. La tensión Tnoes igual al peso m 2 gde la pesa, sino que es menor según el factor ml>(ml 1 m 2 ). Si T fuera iguala m 2 g, la pesa estaría en equilibrio, lo cual no sucede.

CUIDADO Quizá tensión y peso no sean lo mismoEs un error común suponer que, si un objeto está unido a un cordón vertical, la tensión en el cordón debe ser igual al peso del objeto. Era así en el ejemplo 5, donde la aceleración era cero; ¡pero la situación es distinta en el presente ejemplo! La única estrategia segura consiste en tratar siemprela tensión como una variable, del modo como lo hicimos aquí.❚

Por último, revisemos algunos casos especiales. Si m 15 0, la pesa caería libremente y no habría tensión en el cordón. Las ecuaciones dan T 5 0 y a 5 gcuando ml 5 0. Asimismo, si m 25 0, no esperamos ten- sión ni aceleración; en este caso, de hecho, las ecuaciones dan T 5 0 y a 5 0.

5 Fuerzas de fricción

Hemos visto varios problemas en que un cuerpo descansa o se desliza sobre una su- perficie que ejerce fuerzas sobre el cuerpo. Siempre que dos cuerpos interactúan por contacto directo de sus superficies, llamamos a dicha interacción fuerzas de contacto. La fuerza normal es un ejemplo de fuerza de contacto; en esta sección, veremos con detenimiento otra fuerza de contacto: la fuerza de fricción. Una fuerza importante en muchos aspectos de nuestra vida es la fricción. El aceite de un motor automotriz reduce la fricción entre piezas móviles; no obstante, sin fric-

ción entre los neumáticos y el asfalto, el automóvil no podría avanzar ni dar vuelta. El arrastre del aire —la fricción ejercida por el aire sobre un cuerpo que se mueve a través de él— reduce el rendimiento del combustible en los autos, pero hace que funcionen los paracaídas. Sin fricción, los clavos se saldrían, las bombillas y tapas de frascos se desatornillarían sin esfuerzo y el hockey sobre hielo sería imposible (figura 5).

Fricción cinética y estática

Si tratamos de deslizar una caja pesada con libros por el piso, no lo lograremos si no

aplicamos cierta fuerza mínima. Luego, la caja comienza a moverse y casi siempre podemos mantenerla en movimiento con menos fuerza que la que necesitamos ini- cialmente. Si sacamos algunos libros, necesitaremos menos fuerza que antes para po- ner o mantener en movimiento la caja. ¿Qué podemos afirmar en general acerca de este comportamiento? Primero, cuando un cuerpo descansa o se desliza sobre una superficie, podemos re-

presentar la fuerza de contacto que la superficie ejerce sobre el cuerpo en términos de componentes de fuerza perpendiculares y paralelos a la superficie (figura 5). El vec-

tor componente perpendicular es la fuerza normal, denotada con El vector compo- nente paralelo a la superficie (y perpendicualr a es la fuerza de fricción, denotada

con Si la superficie no tiene fricción, entonces será cero pero habrá todavía una

fuerza normal. (Las superficies sin fricción son una idealización inasequible, aunque

S f

S .

S )

nS.

Evalúe su comprensión de la sección 5 Imagine que usted sostiene el desliza- dor del ejemplo 5, de modo que éste y la pesa están inicialmente en reposo. Le da al deslizador un empujón hacia la izquierda en la figura 5 y luego lo suelta. El cordón permanece tenso conforme el deslizador se mueve hacia la izquierda, queda instantáneamente en reposo y luego se mueve hacia la derecha. En el instante en que el delsizador tiene velocidad cero, ¿cuál es la tensión en el cordón? i) mayor que en el ejemplo 5; ii) la misma que en el ejemplo 5; iii) menor que en el ejemplo 5, pero mayor que cero; iv) cero. ❚

5 hockey sobre hielo depende cru- cialmente de que exista justo la cantidad correcta de fricción entre los patines del jugador y el hielo. Si hubiera demasiada fricción, los jugadores se moverían muy lentamente; si la fricción fuera insuficiente, no podrían evitar caerse.

Fuerza de contacto

Componente n de la fuerza normal

Empujón o tirón

Peso

Componente ƒ de la fuerza de fricción

Las fuerzas de fricción y normal son componentes reales de una sola fuerza de contacto.

5 el bloque se empuja o se tira de él sobre una superficie, la superficie ejerce una fuerza de contacto sobre el bloque.

3 Fuerzas de fricción 151

dependen de la rapidez del cuerpo relativa a la superficie. Por ahora, ignoraremos es- te efecto y supondremos que mk y fk son independientes de la rapidez, para concentrar- nos en los casos más sencillos. La tabla 5 también da coeficientes de fricción estática, que definiremos en breve. Las fuerzas de fricción también pueden actuar cuando no hay movimiento relati- vo. Si tratamos de deslizar por el piso la caja con libros, tal vez no se mueva porque el piso ejerce una fuerza de fricción igual y opuesta sobre la caja. Ésta se llama fuerza de fricción estática En la figura 5, la caja está en reposo, en equilibrio, bajo la acción de su peso y la fuerza normal hacia arriba La fuerza normal es igual en magnitud al peso (n 5 w) y ejercida por el piso sobre la caja. Ahora atamos una cuer-

da a la caja (figura 5) y gradualmente aumentamos la tensión T en la cuerda. Al principio, la caja no se mueve porque, al aumentar T, la fuerza de fricción estática fs también aumenta (su magnitud se mantiene igual a T). En algún momento, Tse vuelve mayor que la fuerza de fricción estática fsmáxima que la superficie puede ejercer; después, la caja “se suelta” (la tensión Tpuede rom- per las interacciones entre las moléculas de las superficies de la caja y el piso) y co- mienza a deslizarse. La figura 5 muestra las fuerzas cuando Ttiene este valor crítico. Si Texcede dicho valor, la caja ya no estará en equilibrio. Para un par de su- perficies dado, el valor máximo de fsdepende de la fuerza normal. Los experimentos han revelado que, en muchos casos, ese valor máximo, llamado (fs)máx, es aproxima- damente proporcionala n; llamamos coeficiente de fricción estática al factor de

proporcionalidad ms. En la tabla 5 se dan valores representativos de ms. En una situa- ción específica, la fuerza de fricción estática real puede tener cualquier magnitud en- tre cero (cuando no hay otra fuerza paralela a la superficie) y un valor máximo dado por msn. En símbolos,

fs#ms n (magnitud de la fuerza de fricción estática) (5)

wS nS.

S s .

Caja en movimiento; la fricción cinética es esencialmente constante.

Caja en reposo; la fricción estática es igual a la fuerza aplicada.

1 fs 2 máx

O T

No se aplica fuerza, caja en reposo. Sin fricción: fs 5 0

Fuerza aplicada débil, la caja permanece en reposo. Fricción estática: fs , msn

Mayor fuerza aplicada, caja a punto de deslizarse. Fricción estática: fs 5 msn

La caja se desliza con rapidez constante. Fricción cinética: fk 5 mkn

a) b) c) d)

5), b), c)Si no hay movimiento relativo, la magnitud de la fuerza de fricción estática fses igual o menor que msn. d)Si hay movimiento relativo, la magnitud de la fuerza de fricción cinética fkes igual a mkn. e)Gráfica de la magnitud de la fuerza de fric- ción fen función de la magnitud de la fuerza aplicada T. La fuerza de fricción cinética varía un poco conforme se forman y se rompen los enlaces intermoleculares.

152 CAPÍTULO 5Aplicación de las leyes de Newton

Al igual que la ecuación (5), ésta es una relación entre magnitudes, no de vecto- res. La igualdad sólo se cumple cuando la fuerza aplicada Talcanza el valor crítico en que el movimiento está a punto de iniciar (figura 5). Si Tes menor que este valor (figura 5), se cumple la desigualdad y debemos usar las condiciones de equilibrio para obtener fs. Si no se aplica fuerza (T 5 0), como en la figura 5, tampoco hay fuerza de fricción estática (fs 5 0). Apenas inicia el deslizamiento de la caja (figura 5), la fuerza de fricción suele disminuir; es más fácil mantener la caja en movimiento que ponerla en movimiento. Por lo tanto, el coeficiente de fricción cinética suele ser menor que el de fricción está- tica para un par de superficies dado (véase la tabla 5). Si comenzamos con cero fuerza aplicada (T 5 0) y aumentamos gradualmente la fuerza, la fuerza de fricción varía un poco, como se muestra en la figura 5. En algunas situaciones, las superficies se atoran (fricción estática) y deslizan (fric- ción cinética) de forma alterna. Esto es lo que causa el molesto rechinamiento de la tiza aplicada con un ángulo inadecuado a una pizarra; o los fenómenos de los lim- piaparabrisas cuando el vidrio está casi seco y de los neumáticos que se derrapan en el asfalto. Un ejemplo más positivo es el movimiento de un arco de violín contra una cuerda. Cuando un cuerpo se desliza sobre una capa de gas, la fricción puede reducir- se mucho. En el riel de aire empleado en los laboratorios de física, los deslizadores se apoyan en una capa de aire. La fuerza de fricción depende de la velocidad; sin em- bargo, a rapideces comunes el coeficiente de fricción efectivo es del orden de 0.

1 gF

S 502

Ejemplo 5 Fricción en movimiento horizontal

Usted intenta mover una caja de 500 N por un piso horizontal. Para co- menzar a moverla, debe tirar con una fuerza horizontal de 230 N. Una vez que la caja “se libera” y comienza a moverse, puede mantenerse a velocidad constante con sólo 200 N. ¿Cuáles son los coeficientes de fricción estática y cinética?

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:La caja está en equilibrio si está en reposo o se mueve con velocidad constante, así que usamos la primera ley de Newton ex- presada por la ecuación (5). También necesitaremos las relaciones de las ecuaciones (5) y (5) para calcular las incógnitas msy mk.

PLANTEAR:En ambas situaciones, cuatro fuerzas actúan sobre la ca- ja: la fuerza hacia abajo del peso (magnitud w 5 500 N), la fuerza nor- mal hacia arriba (magnitud n) ejercida por el suelo, una fuerza de tensión (magnitud T) a la derecha ejercida por la cuerda, y una fuerza de fricción a la izquierda ejercida por el suelo. Las figuras 5 y

5 muestran el diagrama de cuerpo libre un instante antes de que la caja comience a moverse, cuando la fuerza de fricción estática tiene su máximo valor posible, (fs)máx5msn. Una vez que la caja se está mo- viendo hacia la derecha con velocidad constante, la fuerza de fricción cambia a su forma cinética (figura 5). Dado que la cuerda de la figura 5 está en equilibrio, la tensión es la misma en ambos extre- mos. Por lo tanto, la fuerza de tensión que la cuerda ejerce sobre la caja tiene la misma magnitud que la fuerza que usted ejerce sobre la cuerda.

EJECUTAR:Justo antes de que la caja comience a moverse (figura 5), tenemos

Para obtener el valor de ms, entonces, usamos la ecuación (5), (fs)máx 5msn. Por lo tanto,

Una vez que la caja está en movimiento, las fuerzas son las que se muestran en la figura 5, y tenemos

Ahora usamos fk5mknde la ecuación (5):

EVALUAR:Es más fácil mantener la caja en movimiento que comen- zar a moverla, por lo que el coeficiente de fricción cinética es menor que el coeficiente de fricción estática.

mk 5

fk n

200 N 500 N

5 0.

aFy 5 n 112 w 250 así que n 5 w 5 500 N

aFx 5 T 112 fk 250 así que fk 5 T 5 200 N

ms 5

1 fs 2 máx n

230 N 500 N

5 0.

aFy 5 n 112 w 250 así que n 5 w 5 500 N

aFx 5 T 1121 fs 2 máx 250 así que 1 fs 2 máx 5 T 5 230 N

a) Se tira de una caja b) Diagrama de cuerpo libre de la caja justo antes de comenzar a moverse

c) Diagrama de cuerpo libre de la caja que se mueve a rapidez constante

5 esquemas para este problema.

154 CAPÍTULO 5Aplicación de las leyes de Newton

a) La situación b) Diagrama de cuerpo libre para el trineo

sensen

5 esquemas para este problema. (Usamos la relación fk5mkn en la ecuación para las componentes x.) Reordenando, obtenemos

Al igual que en el ejemplo 5, la fuerza normal n no es igual al peso w. Si dividimos la primera ecuación entre la segunda, obtenemos

EVALUAR:El peso wno aparece en esta expresión. Cualquier trineo, sin importar su peso, bajará una pendiente con rapidez constante, si el coeficiente de fricción cinética es igual a la tangente del ángulo de in- clinación de la pendiente. Cuanto mayor sea el coeficiente de fricción, más empinada deberá ser la pendiente para que el trineo se deslice con velocidad constante.

mk 5

sen a cos a

5 tan a así que a5arctan mk

mk n 5 w sen a y n 5 w cos a

EJECUTAR:Las condiciones de equilibrio son

aFy 5 n 112 w cos a 250

aFx 5 w sen a1 12 fk 25 w sen a2mk n 50

Ejemplo 5 Trineo con fricción II

El mismo trineo con el mismo coeficiente de fricción que en el ejem- plo 5 se acelerahacia abajo por una pendiente más empinada. De- duzca una expresión para la aceleración en términos de g, a, mky w.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:El trineo ya no está en equilibrio, pues tiene una ace- leración. Por lo tanto, es preciso usar la segunda ley de Newton, en su forma de componentes, como en la ecuación (5). La incógnita es la aceleración cuesta abajo.

PLANTEAR:La figura 5 muestra nuestros esquemas diagrama de cuerpo libre (figura 5) es casi el mismo que para el ejemplo 5. La componente yde la aceleración del trineo, ay, sigue siendo cero, pero la componente x, ax, no lo es.

EJECUTAR:Nos conviene expresar el peso como w 5 mg. Entonces, utilizando la segunda ley de Newton en forma de componentes,

aFy 5 n 112 mg cos a 250

aFx 5 mg sen a1 12 fk 25 max

S 5 mSa,

De la segunda ecuación y la ecuación (5), obtenemos una expresión para fk:

Sustituimos esto en la ecuación de la componente x:

EVALUAR:¿Es lógico este resultado? Podemos verificar algunos ca- sos especiales. Primero, si la ladera es vertical, a590°; entonces, sena51, cosa50yax 5 g. Esto es caída libre, tal como esperaría- mos. Segundo, en una ladera con ángulo asin fricción, mk 5 0 y ax 5 gsena. Ésta es la situación del ejemplo 5 y felizmente obtene- mos el mismo resultado. Ahora supongamos que hay la fricción sufi- ciente para que el trineo se mueva con velocidad constante. En tal caso, ax 5 0 y nuestro resultado da sena5mkcosa y mk 5 tana Esto concuerda con nuestro resultado del ejemplo 5. Por último, observe que podría haber tanta fricción que mk cosafuera realmente mayor que sena. En tal caso, ax sería negativa. Si damos al trineo un empujón cuesta abajo para ponerlo en movimiento, se frenará y final- mente se detendrá. Prácticamente hemos agotado el problema del trineo, y ello nos da una lección importante. Partimos de un problema sencillo y lo ex- tendimos a situaciones cada vez más generales. Nuestro resultado más general, el de este ejemplo, incluye todos los anteriores como casos especiales. No memorice este resultado; sólo sirve para este tipo de problemas. Simplemente trate de entender cómo se obtuvo y qué significa. Una última variación que el lector podría probar es el caso en que se da al trineo un empujón inicial colina arriba. Ahora se invierte la dirección de la fuerza de fricción cinética, así que la aceleración es distinta del valor cuesta abajo. Resulta que la expresión para axes la misma que para la bajada, sólo que el signo menos cambia a más. ¿Puede demostrarlo?

ax 5 g 1 sen a2mk cos a 2

mg sen a1 1 2mkmg cos a 25 max

fk5mk n5mkmg cos a

n 5 mg cos a

a) La situación b) Diagrama de cuerpo libre para el trineo

sensen

5 esquemas para este problema.

3 Fuerzas de fricción 155

Fricción de rodamiento

Es mucho más fácil mover un archivero lleno de documentos sobre un piso horizon- tal usando un carrito con ruedas que deslizándolo. ¿Qué tanto más fácil es? Podemos definir un coeficiente de fricción de rodamiento mr, que es la fuerza horizontal ne- cesaria para lograr rapidez constante en una superficie plana, dividida entre la fuerza normal hacia arriba ejercida por la superficie. Los ingenieros de transporte llaman a mrresistencia a la tracción, cuyo valor suele ser de 0 a 0 para ruedas de ace- ro sobre rieles de acero, y de 0 a 0 para ruedas de caucho sobre concreto. Estos valores explican en parte por qué en general el combustible rinde más en los ferroca- rriles que en los camiones.

Resistencia de fluidos y rapidez terminal

Si usted saca la mano por la ventanilla de un automóvil que viaja con gran rapidez,

comprobará la existencia de la resistencia de un fluido, que es la fuerza que un flui- do (gas o líquido) ejerce sobre un cuerpo que se mueve a través de él. El cuerpo en movimiento ejerce una fuerza sobre el fluido para hacerlo a un lado. Por la tercera ley de Newton, el fluido responde sobre el cuerpo con una fuerza igual y opuesta. La dirección de la fuerza de resistencia de un fluido que actúa sobre un cuerpo siempre es opuesta a la dirección de la velocidad del cuerpo. La magnitud de la fuer- za de resistencia de un fluido suele aumentar al incrementarse la rapidez del cuerpo en el fluido. Esto es muy diferente de la fuerza de fricción cinética entre dos superfi- cies en contacto, que casi siempre podemos considerar independiente de la rapidez. A rapidez baja, la magnitud f de la fuerza de resistencia del fluido es aproximada- mente proporcional a la rapidez vdel cuerpo:

(resistencia del fluido a baja rapidez) (5)

donde k es una constante de proporcionalidad que depende de la forma y el tamaño

del cuerpo, y las propiedades del fluido. La fuerza de resistencia es aproximadamente proporcional a v 2 , no a v, para la rapidez de una pelota de tenis o una rapidez mayor y

se denomina arrastre del aire o sólo arrastre. Los aviones, las gotas de lluvia y ci-

clistas experimentan arrastre del aire. En este caso, sustituimos la ecuación (5) por

f 5 Dv 2 (resistencia de fluidos a alta rapidez) (5)

f 5 kv

Ejemplo 5 Movimiento con fricción de rodamiento

Un automóvil común pesa unos 12,000 N (aproximadamente 2700 lb). Si el coeficiente de fricción de rodamiento es mr 5 0, ¿qué fuerza horizontal hay que aplicar para impulsar el auto con rapidez constante en un camino horizontal? Ignore la resistencia del aire.

SOLUCIÓN

IDENTIFICAR:El automóvil se mueve con velocidad constante, así que tenemos un problema de equilibrio y usaremos la primera ley de Newton. Las cuatro fuerzas que actúan sobre el auto son el peso, la fuerza normal hacia arriba, la fuerza hacia atrás de la fric- ción de rodamiento y la fuerza desconocida hacia adelante F (la incógnita).

PLANTEAR:El diagrama de cuerpo libre se parece mucho al de la fi- gura 5 del ejemplo 5; sólo hay que sustituir la fuerza de fricción cinética por la fuerza de fricción de rodamiento fr; y la fuerza de ten- sión por la fuerza desconocida F.

EJECUTAR:Al igual que en el ejemplo 5, la primera ley de Newton para las componentes verticales nos indica que la fuerza normal tiene

la misma magnitud que el peso del auto. Entonces, por la definición de mr, la fuerza de fricción de rodamiento fr es

fr5mrn 5 (0) (12,000 N) 5 180 N (unas 40 lb)

La primera ley de Newton para las componentes horizontales nos dice que se requiere una fuerza hacia adelante de esta magnitud, para que el auto avance con rapidez constante.

EVALUAR:La fuerza requerida es muy pequeña y, por ello, es posible que uno mismo pueda empujar un automóvil averiado. (Al igual que en el caso del deslizamiento, es más fácil mantener rodando un auto que iniciar su movimiento.) Hemos despreciado los efectos de la resistencia del aire, lo cual es una buena aproximación si el vehículo se mueve len- tamente. Sin embargo, a rapideces de autopista, la resistencia del aire tiene un efecto más importante que la fricción de rodamiento. Intente aplicar este análisis a la caja del ejemplo 5. Si la caja se lleva sobre una plataforma con ruedas de hule (mr 5 0), sólo necesi- tará una fuerza de 10 N para mantenerla en movimiento a velocidad constante. ¿Puede verificarlo?

2.1 Paracaidista

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Aplicación de las Leyes de Newton

Asignatura: FISICA I

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Universidad: Universidad Nacional de Catamarca

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136

?Suponga que el ave

que vuela entra en una

corriente de aire que

asciende con rapidez

constante. En esta

situación, ¿qué tiene

mayor magnitud: la

fuerza de gravedad

o la fuerza ascendente

del aire sobre el ave?

En el capítulo 4 vimos que las tres leyes de Newton del movimiento, cimientos

de la mecánica clásica, tienen un planteamiento muy sencillo; no obstante, su

aplicación a situaciones como un velero para hielo que se desliza sobre un

lago congelado, un trineo que se lleva colina abajo o un avión que efectúa una vuel-

ta cerrada requiere capacidad analítica y técnica. En este capítulo ampliaremos las

destrezas para resolver problemas que el lector comenzó a desarrollar en el capítulo

anterior.

Comenzaremos con problemas de equilibrio, donde un cuerpo está en reposo o

se mueve con velocidad constante. Luego generalizaremos nuestras técnicas de reso-

lución de problemas a cuerpos que no están en equilibrio, para lo que necesitaremos

examinar con precisión las relaciones entre fuerzas y movimiento. Aprenderemos a

describir y analizar la fuerza de contacto que actúa sobre un cuerpo que descansa o

se desliza en una superﬁcie. Por último, estudiaremos el caso importante del movi-

miento circular uniforme, en el que un cuerpo se mueve en una trayectoria circular

con rapidez constante.

En todas estas situaciones interviene el concepto de fuerza, que usaremos en todo

nuestro estudio de la física. Cerraremos el capítulo con una mirada a la naturaleza

fundamental de la fuerza y las clases de fuerzas que hay en nuestro Universo físico.

5.1 Empleo de la primera ley de Newton:

Partículas en equilibrio

En el capítulo 4 aprendimos que un cuerpo está en equilibrio si está en reposo o se

mueve con velocidad constante en un marco de referencia inercial. Una lámpara

colgante, un puente colgante y un avión que vuela en línea recta a altitud y rapidez

constantes son ejemplos de situaciones de equilibrio. Aquí sólo consideraremos el

equilibrio de un cuerpo que puede modelarse como partícula. (En el capítulo 11 vere-

mos los principios adicionales que necesitaremos aplicar, cuando esto no sea posible.)

El principio físico fundamental es la primera ley de Newton: si una partícula está en

METAS DE

APRENDIZAJE

Al estudiar este capítulo,

usted aprenderá:

• Cómo usar la primera ley de

Newton para resolver problemas

donde intervienen fuerzas que

actúan sobre un cuerpo en

equilibrio.

• Cómo usar la segunda ley de

Newton para resolver problemas

donde intervienen fuerzas que

actúan sobre un cuerpo en

aceleración.

• La naturaleza de los diferentes

tipos de fuerzas de fricción:

fricción estática, fricción

cinética, fricción de rodamiento

y resistencia de fluidos; y cómo

resolver problemas relacionados

con tales fuerzas.

• Cómo resolver problemas donde

intervienen fuerzas que actúan

sobre un cuerpo que se mueve

en una trayectoria circular.

• Las propiedades clave de las

cuatro fuerzas fundamentales

de la naturaleza.

APLICACIÓN DE LAS

LEYES DE NEWTON