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Casos Practicos Error EN Estado Estable
Control Estadístico de la Calidad (CEC 1)
Instituto Tecnológico de Ciudad Juárez
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Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
Calcular los errores en estado estacionario, ante las señales típicas de prueba, para el
sistema siguiente:
G(s)
+
-
R(s) Y(s)
E(s)
H(s)
)1s5)(1s2(
10
)s(G
)s(H 1
-El error del sistema ante entrada escalón unidad (posición) será:
)s(H)s(GlimK 0s
p
10
)1s50)(1s2(
10
limK 0s
p
09.
11
1
K
1
e p
p
Corresponde a un sistema tipo 0 luego presenta error constante ante entrada escalón.
-El error del sistema ante entrada rampa unidad (velocidad) será:
)s(H)s(sGlimK 0s
v
0
)1s50)(1s2(
10
slimK 0s
v
v
v K
1
e
Corresponde a un sistema tipo 0 luego presenta un error infinito ante la entrada rampa.
- El error del sistema ante entrada parabólica (aceleración) será:
)s(H)s(GslimK
2
0s
a
0
)1s50)(1s2(
10
slimK
2
0s
a
a
a K
1
e
Corresponde a un sistema tipo 0 luego presenta un error infinito ante entrada aceleración.
La figura siguiente representa la respuesta del sistema ante los tres tipos de entrada.
EJERCICIO 3.
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
v
v K
1
e ; )s(H)s(sGlimK 0s
v
)12s3s)(8s4s(s
8
slimK v 0s 222
0
1
ev
- Error de aceleración:
a
a K
1
e ; )s(H)s(GslimK
2
0s
a
12
1
)12s3s)(8s4s(s
8
slimK 222
2
0s
a
12
121
1
ea
El sistema es de tipo 2, luego presenta error nulo de posición y velocidad y error finito de
aceleración.
EJERCICIO 3.
Calcular el valor de K en el sistema siguiente para que el error en régimen permanente sea
menor o igual a 0, al aplicar la entrada: t51)t(r.
G(s)
+
-
R(s) Y(s)
E(s)
H(s)
2 )1s)(1s4(s
)1s2(K )s(G
; )s(H 1
Entrada: t 51)t(r ;
Lineal: e ee vp
- Escalón:
p
p K
1
e
; )s(H)s(GlimK 0s
p
Errores en Estado Estacionario
0s 2
p )1s)(1s4(s
)1s2(K limK
0
1
1
ep
- Rampa:
v
v K
1
e ; )s(H)s(sGlimK 0s
v
K
)1s)(1s4(s
)1s2(K slimK v 0s 2
K
1
v 5e
Error total: eee vp
K
5
01
50K
EJERCICIO 3.
Tenemos un sistema de control dado por la siguiente estructura:
k G(s)
R(s) E(s) C(s) Y(s)
La función de transferencia G(s) es:
Gs)
ss
ss s
(
2
32
24
23
Indicar el tipo del sistema y calcular los errores de estado estacionario ante entrada escalón
y entrada rampa cuando K = 1.
El sistema tiene realimentación unitaria, y puede verse que el tipo de este sistema es cero al
no poseer en cadena abierta ningún polo en el origen. Por tanto presentará un error finito ante
entrada escalón y un error infinito ante la entrada rampa.
Error ante escalón:
33.
3
4
3s2ss
4s2s lim)s(GlimK 23
2
0s0s
p
428.
33.
1
K
1
e
p
p
Errores en Estado Estacionario
En el punto 2:
E 212
)5s)(1s(
5
EE
E 12
)5s)(1s(
5
1E
5s
5
E)s(RE 21
5s
5
E)s(R )5s)(1s(
5
1E 22
)s(R 5s
5
)5s)(1s(
5
2 1E
3
1
111
1
s
1
5s
5
)5s)(1s(
5
1
1
limsE
0s
2
- Al introducir una entrada en rampa los valores de régimen permanente de las señales en
los puntos 1 y 2 serán infinito.
- Para la entrada R:
K5.
10
K
10s6s
)1s(K limK p 0s 2
K5.
1
K
1
E
p
R
Para la entrada T:
Cuando R(t)=0 EYsT ()
)5s5(K10s6s
10s6s
s
1
)s(GK
1
s
1
)s(M)s(T)s(Y 2
2
K
10
)5s5(K10s6s
10s6s
s
1
slim))s(Y(slim)s(EslimE 2
2
0s0s
T 0s
T
Luego el error total aplicando superposición será la suma de ER y ET: EEE TR
510 K
10
5 K
1
E
1
0
510 K
10
510 K
10
E
1 para cualquier valor de K.
Luego se cumple la condición de error para cualquier valor de K.
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 3.
Se pretende controlar la posición p(t) de la cabeza de lectura-escritura del disco duro de un
PC, y para ello se utiliza un motor de CC, un sensor de posición y un regulador.
La ecuación que liga la velocidad de posicionamiento de la cabeza v(t) en función de la
tensión aplicada al motor u(t), es:
)t(v dt
)t(dv a)t(u 10 siendo a = 0 seg.
La posición real de la cabeza se mide con un sensor que transmite de forma instantánea y
sin ningún tipo de deformación esa posición al regulador.
El regulador tiene como misión el mejorar el comportamiento del sistema para lo que
realiza las siguientes funciones:
- Compara la señal de referencia de posicionamiento con la posición real, obteniendo el
error e(t).
- Genera la señal de entrada al motor a partir de la señal de error, según la ecuación
siguiente:
)t(e k dt
)t(de c k)t(u dt
)t(du b
siendo: b = 0 sg.
c = 0 sg.
Obtener:
a) Diagrama de bloques del sistema.
b) El valor de k para producir un error de posicionamiento, en régimen permanente, de 0 m
ante una entrada de referencia tipo rampa de 10 m/sg.
a) La estructura típica de un sistema de control es la siguiente:
R(s) Y(s)
Controlador Proceso
Sensor
Salida
Señal de error
Realimentación
Referencia
Comparador
-Para el motor: la función que liga su señal de salida, v(t), con su señal de entrada, u(t), es
dada en el enunciado:
)t(v dt
)t(dv a)t(u 10
Tomando transformada de Laplace, con condiciones iniciales nulas, obtenemos la función
de transferencia del motor:
V(s)V(s) s a U(s)
as
10
)s(U
)s(V
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 3.
Obtener los errores en estado estacionario para el sistema del ejercicio 1.
En el ejercicio 1. se obtuvo que el diagrama de bloques y la función de transferencia de
lazo abierto del sistema eran:
E (s) a E(s)
(s) m
(s) c
Amplific. Motor Engrane
(s) r
+
-
G(s)
)1725s5(s
50000
)s(G 2
El sistema es de tipo uno, con lo cuál ya sabemos de antemano que no va a presentar error
ante entrada escalón, que va a tener un error constante ante entrada rampa y que el error será
infinito ante entrada aceleración.
Error ante entrada escalón (error de posición):
)1725s5(s
50000
lim)s(GlimK p 0s0s 2
0
1
1
k
1
e
p
p
Error ante entrada rampa (error de velocidad):
98.
)1725s5(s
50000
slim)s(sGlimK 2 0s0s
v
034.
98.
1
k
1
e
v
v
Error ante entrada parabólica (error de aceleración):
0
)1725s5(s
50000
slim)s(GslimK 2
2
0s
2
0s
a
0
1
k
1
e
a
a
Errores en Estado Estacionario
EJERCICIO 3.
El sistema mostrado en la figura representa un sistema de control para una planta que viene
definida por la función de transferencia G 1 (s). Este sistema de control está formado por una
realimentación interna donde se incluye un estabilizador G 2 (s) y por un regulador D(s) en la
cadena directa.
El sistema posee dos entradas: R(s) representa la entrada de referencia del sistema
P(s) representa la entrada de perturbaciones
D(s)
04s4
30
2
Planta G 1 (s)
Estabilizador G 2 (s)
as
1s
P(s)
R(s)
_ + _
Regulador E(s) Ys)
- Considerando D(s) = 1 y a = 9 calcular el valor del error de régimen permanente cuando
las entradas son: r(t) = 3 y p(t) = 0. Explicar el significado de dicho error.
- Al introducir el regulador 219
53 191)s(D
¿cómo se ve afectado el error de régimen
permanente?
- El error total aplicando superposición de las entradas será la suma de los errores de cada
una de las entradas cuando se anulan el resto de las entradas.
)s(Y)s(R)s(E
12 )s(G)s(Y)s(G)s(E)s(P)s(Y
211 )s(Y)s(G)s(G)s(G)s(E)s(P)s(Y
121 )s(G)s(E)s(P)s(G)s(G1)s(Y
)s(G)s(G
)s(G)s(E)s(P )s(Y 21
1
)s(G)s(G
)s(G)s(E)s(P )s(R)s(E 21
1
12121 )s(G)s(E)s(P)s(G)s(G1)s(R)s(G)s(G1)s(E
Errores en Estado Estacionario
)s(G)s(G
)s(G)s(D)s(E)s(P )s(Y 21
1
)s(G)s(G
)s(G)s(D)s(E)s(P )s(R)s(E 21
1
12121 )s(G)s(D)s(E)s(P)s(G)s(G1)s(R)s(G)s(G1)s(E
)s(G)s(P)s(G)s(G1)s(R)s(D)s(G)s(G)s(G1)s(E
121121
)s(P )s(D)s(G)s(G)s(G
)s(G )s(R )s(D)s(G)s(G)s(G
)s(G)s(G )s(E 121
1
121
21
Error para s
3
)s(R y )s(P 0 :
)s(R )s(D)s(G)s(G)s(G
)s(G)s(G slime 121
21
0s
1
s
3
)219(
)53(191.
4.0s4
30
9s
1s
4.0s4
30
1
9s
1s
4.0s4
30
1
slim
22
2
0s
244.
632.
28
3
219.
292.
4.
30
94.
30
1
94.
30
1
Error para )s(R 0 y s
5.
)s(R :
)s(P )s(D)s(G)s(G)s(G
)s(G slime 121
1 0s
1
s
5.
)219(
)53(191.
4.0s4
30
9s
1s
4.0s4
30
1
4.0s4
30
slim
22
2
0s
344.
632.
5.
5.
219.
292.
4.
30
94.
30
1
4.
30
El error total será: 21 1.1344.4244
Luego la introducción del regulador habrá modificado la forma de la respuesta a la deseada
pero el error de régimen permanente ha tenido un gran incremento.
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 3.
Hallar el valor de K para que la salida c(t) en régimen permanente sea de valor 3 cuando la
entrada r(t) es un escalón de amplitud 10 y la perturbación p(t) una exponencial decreciente de
amplitud unidad y constante de tiempo 1/3 segundos.
3s
K
1s
1
s2s
1
2
R(s)
P(s)
C(s)
—
Se calcula inicialmente el valor de la perturbación: T
t
eK)t(p
donde la amplitud es K = 1 y la constante de tiempo 3
T 1
Sustituyendo los valores, se obtiene:
3 t
1
t
ee)t(p
Tomando transformadas de Laplace:
3s
1
)s(P
La entrada r(t) es un escalón de amplitud 10, luego: )t(u10)t(r
que tomando transformadas de Laplace:
s
10
)s(R
Aplicando superposición, la salida será la suma de la salida para la señal de entrada
eliminando la perturbación más la salida para la perturbación eliminando la señal de entrada:
Considerando la entrada R(s):
3s
K
1s
1
R(s) C(s)
—
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
EJERCICIO 3.
Obtener el error en régimen permanente del sistema de la figura:
Donde: 2 )3s(s
5
)s(G
5s
6
)s(H
Cuando las entradas son: 1 3)t(r 2 t4)t(r
Primer método:
(Y)s(R)s(E )s
Para el escalón E 1 (s):
)s(R )s(H)s(G
)s(G )s(R)s(E 111
s)30)5s()3s(s(
)5s(
s
3
s
3
5s
6
)3s(s
5
1
)3s(s
5
s
3
)s(E 2
2
2
1
5.
30)5s()3s(s
)5s( 3lim s)30)5s()3s(s(
)5s(
s
3
slim)s(Eslime 2 0s 2 0s
1 0s
1
Para la rampa E 2 (s):
2222 s
4
30)5s()3s(s
)5s(
s
4
)s(E
2222 s)30)5s()3s(s(
)5s(
s
4
)s(E
222 0s
2 0s
2 s)30)5s()3s(s(
)5s(
s
4
slim)s(Eslime
s)30)5s()3s(s(
)5s(20)30)5s()3s(s( lime 2
2
0s
2
G(s)
H(s)
- _
R 1 (s) Y(s)
R 2 (s)
Errores en Estado Estacionario
Aplicando superposición:
21total 5
Segundo método:
)1)s(H()s(G
)s(G )s('G
5s
s 1 5s
6
1)s(H
)s1(5)5s()3s(s
)5s(
5s
s
)3s(s
5
1
)3s(s
5
)s('G 2
2
2
Para el escalón:
p
p K
1
e
5
5
25
)s1(5)5s()3s(s
)5s( lim)s(GlimK p 0s0s 2
5.
2
1
6
3
51
1
p 3e
Para la rampa:
v
v K
1
e
0
)s1(5)5s()3s(s
)5s( slimK 2 0s
v
0
1
ev
Aplicando superposición al sistema lineal tiempo invariante:
vptotal 5
G’(s)
- _
R 1 (s) Y(s)
R 2 (s)
Errores en Estado Estacionario
EJERCICIO 3.
Para el sistema de control cuyo diagrama de bloques se muestra en la figura:
K G(s)
H(s)
X(s) E(s) U(s) Y(s) 5s4s
)66( )s(G 2
6)(s8)(2s
10
H(s)
K 1
- Calcular el error de posición mediante las fórmulas (ep=1/(1+Kp))
2 el error como Y(s)-X(s)
3 si ambos errores coinciden y por qué
4 la función temporal de la señal de error
- Error de posición:
083.
120
10
)6s)(4s(
5
5s4s
2s lim)s(H)s(GlimK p 0s0s 2
923.
083.
1
K
1
e p
1p
Error muy elevado para la entrada escalón unidad.
- Error como diferencia entre entrada y salida.
10s15)6s)(4s)(5s4s(
)6s)(4s)(2s3(
s
1
s
1
)s(E 2
10s15)6s)(4s)(5s4s(
)6s)(4s)(2s3(
s
1
s
1
slim)s(sElime 2p 0s0s 2
63.
130
48
1
10s15)6s)(4s)(5s4s(
)6s)(4s)(2s3( 1lime 2p 0s 2
- Comparación de errores.
No, no coinciden y es lógico porque en el apartado 1 se considera el error después del
comparador, teniendo en cuenta la realimentación. En el apartado 2 se hace la diferencia entre
entrada y salida sin tener en cuenta la realimentación. En algunos sistemas mirar este error
puede ser incluso erróneo.
Problemas de Ingeniería de Sistemas: Sistemas Continuos. Conceptos básicos.
- Función temporal de la señal de error.
)2s3(5)6s)(4s)(5s4s(
)6s)(4s)(5s4s(
s
1
)6s)(4s(
5
5s4s
2s 1
s
1
)s(H)s(GK
)s(R )s(E 2
2
2
)170)661)((132)(546(s
)6s)(4s)(5s4s( )s(E 22
2
Descomponiendo E(s) en fracciones se llega a:
22 170)661(
132
0985.
546
256.
s
923.
)s(E
222222 170)661(
96.396.3621 235. 170)661(
621 235. 170)661(
222222 170)661(
96.
170)661(
661 235. 170)661(
96.396.3621 235.
2222 170)661(
170.
170.
96.
170)661(
661 235.
2222 170)661(
170.
825.
170)661(
661 235.
2222 170)661(
170.
825.
170)661(
661 235. 132
0985.
546
256.
s
923.
)s(E
Aplicando las tablas de las transformadas de Laplace:
1
s
1
at e as
1
tcose )as(
as at
22
tsene )as(
at 22
)t170(825)t170(e235.0e0985.0e256.0923)t(e
t661.2t132.
)501.0t170(e489.0e0985.0e256.0923)t(e
t661.2t132.
Casos Practicos Error EN Estado Estable
Materia: Control Estadístico de la Calidad (CEC 1)
Universidad: Instituto Tecnológico de Ciudad Juárez
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