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schaum's out line differential geometric
미분기하학
Kookmin University
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Differential Geometry
미분기하학개론
-해답집-
Lipschutz 지음
전재복 옮김
- 아직도 수정할 곳(벡터 표현 등)이 많습니다.
최대한 빠른 시간 안에 완성하여 올리겠습니다. 감사합니다.
2 미분기하학개론
제1장
1 <그림 1-38>과 같은 사면체 OPQR
에서
을 의 중점이라 할
때, 을 에 대하여 구하여라.
<풀이> ,
∴
1
이라 할 때, 를
으
로 나타내어라.
<풀이>
± ± ≦ 임을 보여라.
<풀이> ± 라 하면, 문제 1에 의하여
± ≦ 이다.
∴ ± ± ± ≦ ± ≦
⇒ ± ± ≦
1 사변형의 대변의 중점을 연결하는 두 선분의 중점은 서로 일치함을 보여라.
<풀이>
라 하면
이다. ⋯ ①
의 중점을
, 의 중점을
라 하면
,
∴
∵ ①에 의해서
∴
과
는 한 점에서 만난다.
만약
과
가 한 점에서 만나지 않으면
의 값은
이 아닌
다른 값을 가질 것이다.
1 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점에서 만남을 보여
라. (내심)
<풀이> 와 를 ′ 과 ′ 의 내각을 이등분한다고 하고
그 교점을 라 하자.
′ 를 이라 하면
⋯ ①
4 미분기하학개론
⇒
∴ 정리 1에 의하여 와 는
에서 하나의 기저를 이룬다.
1
에서 3 개 혹은 그 이상의 벡터는 일차종속임을 증명하여라.
<풀이> i) 와 를
에서 일차독립인 벡터라 하자. 보충문제 1에 의하여 와 는
에서
하나의 기저를 이루므로 는 와 의 일차결합으로 표현되어진다.
∴ 는 일차종속이다.
ii) 와 가 일차종속이면 자명하다.
1 만일
,
,
가 하나의 기저에 관하여 벡터 의 성분이라면,
(i) ⇔
(ii) ⇔
(iii) ⇔
임을 증명하여라.
<풀이> (i)
⋯
,
⋯
이라고 하면 벡터의 정의에 의하여
를 만족하게 된다(두 벡터가 같으면 성분들끼리도 같다).
(ii) 벡터의 정의에 의해
⋯
가 된다. 이때, 라
고 하면
⋯
⋯
가 된다. 따라서
가 성립한다.
(단,
⋯
이다)
(iii) 이면
⋯
⋯
⋯
이므로 성분들
끼리 같다는 성질을 이용하면
를 만족한다.
1
를 하나의 기저라 하자.
이 일차
독립인지 아닌지를 말하라.
<풀이>
⋅ ×
∴ 정리 1에 의하여 는 서로 일차독립이다.
1
를 하나의 기저라 하고,
이라
하자. 이 때,
가 하나의 기저임을 보이고,
에 관하여
의 성분을
구하여라.
<풀이>
⋅
×
이므로 정리 1에 의하여
는 하나의 기저가
된다.
위의 세 식을 연립하면
이므로
제1장 보충문제 해답 5
1
이라 할 때,
(a) ⋅ (b)
(c) ∡ (d)
(e)
를 구하여라.
<풀이> (a) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
(b)
(c) ∡
⋅
⋅
(d)
⋅
(e)
⋅
1 벡터
의 방향코사인을 구하여라.
<풀이>
이므로 방향 코사인은
이다.
1
과
이 수직이 되도록 를 정하여라.
<풀이> ⋅ ∡ 에서 ∡
이므로 ⋅ 이어야 한다.
⋅ ⇒
∴
1
⋅
을 인수분해 하여라.
<풀이>
⋅
⋅이므로
⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅
1
이라 할 때, 가 직각삼각형이 되도록 벡터 를 정하
여라.
<풀이> ⋅
이고,
이므로 와
는 서로 수직이 아니고, 가 빗변이 된다. 는 (또는
)와 평행이므로
로 표현할 수 있다.
(단, 는 상수)
이므로
⇒ ±
∴ ±
제1장 보충문제 해답 7
×
이므로 와 에 수직인 단위벡터는 ±
이다.
1 평면 위의 한 점 에서 까지의 벡터
과
,
가
위에 있을 때, 한 점 에서 까지의 거리를 구하여라.
<풀이>
×
이므로
×
⇒ ×
⋅ × 이므로
×
×
⋅ ×
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
임을 증명하여라.
<풀이>
이라 하면
(∵
)
이므로
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
1 × ⋅ × × ⋅ × × ⋅ × 을 증명하여라.
<풀이>
에 의하여
× ⋅ × ⋅⋅ ⋅⋅
× ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅⋅
× ⋅ × ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
내적은 교환법칙이 성립하므로 (즉, ⋅ ⋅이므로)
× ⋅ × × ⋅ × × ⋅ ×
8 미분기하학개론
1 × × × 임을 증명하여라.
<풀이>
에 의하여
× × ×
⇒ × × × ⋅ × ⋅ × ⋅ ×
는 상수,
⋅ × ⋅ × 이므로
∴ × × ×
1 만일 와 가 와 를 포함하는 평면에 수직인 평면 위에 있을 때,
× ⋅× 임을 보여라.
<풀이> 와 를 포함하는 평면을
, 와 를 포함하는 평면을
라 하면
∡
이다. ⋯ ①
× 는
에, × 는
에 속하므로 ①에 의해서
∡ × ×
이다.
∴ × ⋅×
을 임의의 기저라 하고,
×
,
×
,
×
라 하자.
이 때,
은
와 쌍대(dual)임을 밝혀라.
즉,
⋅
<풀이>
⋅
⋅
×
,
⋅
⋅
×
,
⋅
⋅
×
⋅
⋅
×
,
⋅
⋅
×
,
⋅
⋅
×
⋅
⋅
×
,
⋅
⋅
×
,
⋅
⋅
×
이므로
⋅
이다.
1
과
을 쌍대기저라 하자. 이 때,
은
과 같은 방향을
가짐을 보여라.
<풀이>
라 하면 보충문제 1로부터
이다.
이므로
와
는 같은 부호이다.
∴
은
과 같은 방향을 갖는다.
10 미분기하학개론
∴
일 때, 는 최소값
를 갖는다.
그 때의 는 의 중점이다.
보-4. 사면체의 부피는 육면체의 부피의
임을 증명하라.
<풀이> 사면체의 세 변을 라 하면
밑넓이 :
×
높이 : 를 × 에 사영한 것과 같으므로
×
×
⋅ ×
사면체의 부피
×
밑넓이×높이이므로
⋅
×
×
⋅ ×
⋅ × 이므로
사면체의 부피는 육면체의 부피의
이다.
보-5. 을 이웃하는 세 변으로 갖는 사면체의 부피는?
<풀이>
보-6.
에 대하여 의 점 에 관한 moment vector와 점 에
관한 moment vector는?
<풀이> 점 에 관한 moment vector를
라 하면
×
∴
점 에 관한 moment vector를
라 하면
×
×
∴
제2장 보충문제 해답 11
제2장
2 점
을 지나는 평
면의 방정식을 구하여라.
<풀이> 이므로
×
∴ 평면의 방정식은
⋅ ⇒
2 점
을 지나고 직선
에 수직인 평면의 방정식을 구하여라.
<풀이> 직선의 방향 vector는 이다.
∴
∴ 평면의 방정식은
⋅ ⇒
2 점
을 지나고 평면
에 평행한 평면의 방정식을 구하여라.
<풀이> 주어진 평면의 법선벡터는 이므로 평면에 평행한 평면의 법선벡터는 가
된다. 따라서 을 지나면서 주어진 평면에 평행한 평면의 방정식은
이 된다. 이 식을 정리하면
이 된
다.
2 점
를 지나고 평면
,
에 각각 수직인 평면의 방정식
을 구하여라.
<풀이> 주어진 두 평면의 법선벡터는 각각
,
이 된다. 두 벡터
에 수직하는 벡터를 구하면
이 된다. 따라서 우리가 구하
고자 하는 평면의 법선벡터는 이다. 이 평면이 를 지나므로 평면의 방
정식은
이다. 이 식을 정리하면
가 된다.
2 두 평면
와
의 교선의 직선의 방정식을 구하여라.
<풀이>
⋯ ①
⋯ ②라 하자.
① ②를 하면
⋯ ③을 ①과 ②식에 대입하면
제2장 보충문제 해답 13
⇒
⇒ , ⇒
⇒
, ⇒
, ⇒
2
라 할 때,
(a) (b) (c) ×
을 구하여라.
<풀이> (a)
(b)
(c) ×
,
이므로
×
2
이라 할 때, 는
에 속하는 것을 보이고,
가
에
포함될 를 구하여라.
<풀이>
이므로
∴ ∈
∈
라고 하면
이다.
≦
∴
라고 하면
∴ 가 되므로 ∈
이다.
∴ ∈
⇒ ∈
이므로
⊂
- lim
→
을 계산하여라.
<풀이> 정리 2(44p)에 의하여
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
14 미분기하학개론
2
가 불연속일 의 값을 정하여라.
<풀이>
,
라 하면
가 불연속일 조건은
가 불연속이면 되므로
±
(단, ⋯)이다.
2
라 할 때
(a) lim
→
⋅ (b) lim
→
× 를 구하여라.
<풀이> (a) lim
→
⋅
⋅
이므로 lim
→
⋅ ⋅
(b) lim
→
×
×
이므로
lim
→
× lim
→
2 만일 가 위에서 연속이라면, × × 도 위에서 연속임을 보여라.
<풀이> 정리 1(17p)에 의하여
× × ⋅ ⋅ 이다.
가 위에서 연속이므로
⋅ 는 위에서 연속이고,
⋅ 도 위에서 연속이므로
× × ⋅ ⋅ 는 위에서 연속이다.
일 때
(a)
(b)
을 구하여라.
<풀이> (a)
(b)
2 에서
으로 표현되는 곡선의 접선의 방정식을 구하여
라.
16 미분기하학개론
-
⋅
⋅
⋅
⋅
가 성립함을 보여라.
<풀이> 공식
(49p)에 의하여
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
2
의 을 중심으로 하는 Taylor의 전개식에서 최초의 3 개항을 구
하여라.
<풀이>
′
⇒ ′
′′
⇒ ′′
이므로 Taylor의 공식(52p)에 의하여
′
′′
2 도함수의 정의( 과정)를 이용하여
#######
#######
가 성립함을 보여라.
<풀이> ※ 도함수의 정의
′
lim
→
①
이라 하면
이므로
lim
→
lim
→
lim
→
②
이라 하면
이므로
lim
→
lim
→
⇒ lim
→
lim
→
⇒ lim
→
③ 이라 하면
제2장 보충문제 해답 17
이므로
lim
→
lim
→
lim
→
①, ②, ③에 의하여
2 만일 와 가 에 관하여 미분가능한 함수일 때,
⋅ ⋅
⋅
가 성립함을 보여라.
<풀이> ⋅ 라 하자.
⋅
lim
→
lim
→
⋅ ⋅
lim
→
lim
→
lim
→
∴
⋅ ⋅
⋅
인 모든 를 구하여라.
<풀이>
-
상수벡터를 만족하는 모든
를 구하여라.
<풀이>
2 ×
이기 위한 필요충분조건은 가 일정방향을 가지는 것임을 증명하여라.
<풀이> ⇒ ×
⇒ 또는
i)
⇒ (constant vector)
ii) (constant vector)
i), ii)에 의하여 는 일정방향을 가진다.
⇐ 가 일정방향을 가진다고 하면 ′ (constant vector, 도 포함)이므로
⇒ ×
제2장 보충문제 해답 19
2
안의 모든 에 대하여 벡터
은
안에 놓여 있음을 보여라.
<풀이> ∈
이므로
이다.
이라 하면
≦
≦
≦
≦ ,
이라고 하면
≦ ×
이므로 ∈
2 lim
→
이라 할 때,
lim
→
, 임을 보여라.
<풀이> lim
→
이므로
임의의 양수 에 대하여 다음을 만족하는 가 존재한다.
⇒
∴
⇒
∴ lim
→
, 이다.
2 →
일 때 → → 이라면, →
일 때 ⋅ → ⋅임을 보여라.
<풀이> 방법 1) →
일 때 → → 이므로 lim
→
lim
→
이다.
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅이고
lim
→
⋅ ⋅ lim
→
⋅ ⋅이므로
lim
→
⋅
lim
→
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
방법 2) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 이므로
⋅ ⋅ ≦ ⋅ ⋅
→
일 때 → 이므로 적당한 ′
이 존재하여,
20 미분기하학개론
′ 일 때 ≦ 인 양수 가 존재한다.
→
일 때 → 이므로 적당한
≦ ′ 이 존재하여,
일 때
이다.
따라서, ⋅
⋅
⋯ ①
i) 이면 ⋅ 이므로 임의의 에 대하여
⋅
이다.
ii)
이면
이므로 적당한
에 대하여
일 때
∴ ⋅ ⋅
⋯ ②
∴
라 하면 ①과 ②에 의하여
⇒ ⋅ ⋅
∴ →
일 때 → → 이라면, →
일 때 ⋅ → ⋅
⋅
⋅
, 는 상수 벡터임을 보여라.
<풀이>
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
라 하면 lim
→
lim
→
이므로
lim
→
⋅
⋅
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
lim
→
⋅
⋅ ⋅ ⋅ (단, 은 을 포함한 상수 벡터이다.)
∴ lim
→
⋅
⋅
⋅
이므로
⋅
⋅
⋅
이다.
∴
⋅
⋅
2 임을 보여라.
<풀이> lim
→
lim
→
이므로
인
∞ 에 대하여
schaum's out line differential geometric
Course: 미분기하학
University: Kookmin University
