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Integrales - Teorema de Integrabilidad. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Teoria

Teorema de Integrabilidad. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Te...

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Matematicas (002)

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Universidad Nacional Experimental del Táchira

Año académico: 2017/2018

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TEMA 1: TEOREMA DE INTEGRABILIDAD OBJETIVO ESPECÍFICO: Interpretar el Teorema de Integrabilidad TEOREMA DE INTEGRABILIDAD DEFINICIÓN DE SUMA DE RIEMANN Sea f definida en el intervalo cerrado [ a,b ] , y sea Δ dada por a=x 0 &amp;lt; x 1 &amp;lt; x 2 &amp;lt;. ..&amp;lt; x n−1 &amp;lt; x n =b Δxi es el ancho del i-ésimo subintervalo. Si c i es cualquier punto en el i-ésimo donde subintervalo [ x i−1 , x i ] entonces la suma n ∑ f ( c i ) Δxi x i−1 &amp;lt;c i &amp;lt;x i i =1 se denomina una suma de Riemann de f para una partición Δ . El ancho del subintervalo más grande de la partición Δ es la norma de la partición y se denota por medio de ‖Δ‖ . Si todos los intervalos tienen la misma anchura, la partición es regular y la norma se denota mediante: ‖Δ‖= ‖Δx‖= b−a n Partición ordinaria En una partición general, la norma se selecciona con el número de subintervalos en [ a,b ] b−a ‖Δ‖ de la siguiente manera: ¿n Partición general De tal modo, el número de subintervalos en una partición tiende a infinito cuando la norma de la partición tiende a 0. Esto es ‖Δ‖→0 implica que n→ ∞ . La afirmación recíproca de este enunciado no es cierta. Por ejemplo, sea Δ n la partición del intervalo [ 0,1 ] dado por: 0&amp;lt; 1 1 1 1 1 &amp;lt; n−1 &amp;lt;. ..&amp;lt; &amp;lt; &amp;lt; &amp;lt;1 n 8 4 2 2 2 Como se muestra en la figura 4, para cualquier valor positivo de n, la norma de 1 Δ n es 2 la partición obliga a que enunciados . De tal modo, como al dejar que n tienda a infinito no ‖Δ‖ se aproxime a 0. En una partición regular, sin embargo, los ‖Δ‖→0 y n→ ∞ son equivalentes. INTEGRALES DEFINIDAS Para definir la integral definida, considerar el siguiente límite n lim ∑ f ( c i ) Δxi =L ‖Δx‖→0 i =1 Afirmar que este límite existe significa que para ε &amp;gt;0 existe δ &amp;gt;0 tal que para toda partición ‖Δ‖ &amp;lt; δ se sigue que n L−∑ f ( c i ) Δx i i =1 &amp;lt; δ c i en el i-ésimo subintervalo Δ ). (Esto debe ser cierto para cualquier elección de DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL DEFINIDA Si f se define en el intervalo cerrado [ a,b ] y el límite n lim ∑ f ( c i ) Δxi ‖Δx‖→0 i =1 Existe (como se describió antes), entonces se denota por b n lim ∑ f ( c i ) Δxi ‖Δx‖→0 i =1 f es integrable en [ a,b ] y el límite = ∫ f ( x)dx a El límite recibe el nombre de integral definida de f de a a b . El número a es el límite inferior de integración, y el número integración. b es el límite superior de TEMA 2: SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO OBJETIVO ESPECÍFICO: Aplicar el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Al introducir la integral definida de f en el intervalo [a, b] se ha tomado como fijo el límite superior de integración b y x como la variable de integración. Sin embargo, es posible que surja una situación un poco diferente en la que la variable x se use como el límite superior de integración. Para evitar la confusión de utilizar x de dos maneras diferentes, se usa temporalmente t como la variable de integración. (Recordar que la integral definida no es una función de su variable de integración.) La integral definida como un número b ∫ f ( x ) dx a La integral definida como una función de x x ∫ f ( t ) dt F(x) = a Generalizando: Teorema: El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Si ƒ es continua en un intervalo abierto I que contiene a, entonces, para todo x en el intervalo, d dx x [∫ ] f ( t ) dt a Demostración: = f (x ) Empezar definiendo F como: x F(x) = ∫ f ( t ) dt a Luego, de acuerdo con la definición de la derivada, es posible escribir: lim F '( x) = = = = Δx→0 1 Δx lim Δx→0 1 Δx lim Δx→0 1 Δx lim Δx→0 F ( x + Δx )−F (x ) Δx x +Δx x [∫ ∫ ] [∫ ∫ ] [∫ ] f (t )dt− f (t )dt a a x +Δx a f (t )dt+ f (t )dt a x x+Δx f (t )dt x Por el teorema del valor medio para integrales (suponiendo que Δx &amp;gt;0), se sabe que existe un número c en el intervalo [x, x+ Δx ] tal que la integral en la Δx . Además, como x ¿ expresión anterior es igual a ƒ(c) x cuando Δx sigue que c → F '( x) = lim Δx→0 lim = Δx→0 [ c ¿ x+ Δx ] se → 0. De tal modo, se obtiene 1 f ( c ) Δx Δx ] f (c ) = f (x ) Es posible plantear un argumento similar para Δx&amp;lt;0 . Nota: Utilizando el modelo del área para integrales definidas, considerar la aproximación: x+ Δx f (x )Δx = ∫ f (t )dt x x 75. F( x )=∫ ( t+2 ) dt 0 x x t2 1 a )F ( x )=∫ ( t +2 ) dt= +2 t = x 2 +2 x 2 0 2 0 b) [ ] d 1 2 x +2 x = x +2 dx 2 [ ] x 76. F( x )=∫ t ( t 2 +1 ) dt 0 x x 0 0 1 4 1 2 x 1 4 1 2 x2 ( 2 ) 2 3 ( ) ( ) a ) F ( x )=∫ t t + 1 dt =∫ t +3 dt= t + t = x + x = x + 2 b) 4 ] 2 0 d 1 4 1 2 x + x = x 3 + x=x ( x 2 +1 ) dx 4 2 [ x 77. [ ] 3 F( x )=∫ √ t dt 8 x 4 [ ] 4 4 3 x 3 3 a )F ( x )=∫ √ t dt = t 3 = x 3 −16 = x 3 −12 4 8 4 4 8 4 [ 3 ] ( ) 1 d 3 3 3 b) x −12 = x 3 =√ x dx 4 x 78. F( x )=∫ √ t dt 4 x 3 3 [ ] 3 2 x 2 16 2 a ) F=∫ √ t dt = t 2 = x 2 − = x 2 −8 3 4 3 3 3 4 3 [ ] 1 d 2 2 16 b) x − = x 2 =√ x dx 3 3 x F( x )=∫ sec 2 t dt 79. π 4 x x a )F=∫ sec 2 t dt= [ tan t ] =tan x−1 π 4 π 4 ( ) 4 2 4 b) d [ tan x−1 ] =sec 2 x dx x F( x )=∫ sect tan t dt π 3 80. x x a )F ( x )=∫ sec t tan t dt=[ sect ] =sec x−2 π 3 π 3 b) d [ sec x−2 ] =sec x tan x dx En los ejercicios 81 a 86, utilizar el segundo teorema fundamental del cálculo para encontrar F’(x): x 81. F( x )=∫ ( t 2−2 t ) dt 2 Empleando el segundo teorema fundamental del cálculo para encontrar F’(x): Calcular d dx x [∫ ( t 2−2 t ) dt 2 ] d Según el teorema fundamental del cálculo: dx F '( x )= d dx Por tanto: x 82. F( x )=∫ 1 x [∫ x [∫ ] f ( t ) dt a = f (x ) ] ( t 2−2 t ) dt = x 2−2 x 2 2 F '( x )=x −2 x t2 dt t +1 Empleando el segundo teorema fundamental del cálculo para encontrar F’(x): Calcular d dx x t2 ∫ t +1 dt 1 [ F '( x )= d dx Por tanto: ] x t2 x2 dt = ∫ t +1 x +1 1 [ F '( x )= ] x2 x +1 Por tanto: 3 F '( x)=sec x TEMA 3: TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES OBJETIVO ESPECÍFICO: Interpretar geométricamente el Teorema del Valor Medio para Integrales TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Se conoce, que el área de una región bajo una curva es mayor que el área de un rectángulo inscrito y menor que el área de un rectángulo circunscrito. El teorema del valor medio para integrales establece que en alguna parte “entre” los rectángulos inscrito y circunscrito hay un rectángulo cuya área es precisamente igual al área de la región bajo la curva, como se ilustra en la figura 4. Teorema del Valor Medio para Integrales Si ƒ es continua en un intervalo cerrado el intervalo cerrado [ a,b ] [ a,b ] entonces existe un número c en , tal que: b ∫ f ( x)dx a = f (c )(b−a ) Demostración: Caso 1: Si ƒ es constante en el intervalo [a, b] el teorema es claramente válido debido a que c puede ser cualquier punto en [a, b]. Caso 2: Si ƒ no es constante en [a, b], entonces, por el teorema del valor extremo, pueden elegirse ƒ(m) y ƒ(M) como valores mínimo y máximo de ƒ en [a, b]. Como ƒ(m) ¿ ƒ(x) ¿ ƒ(M) para todo x en [a, b], se puede aplicar el teorema de la conservación de desigualdades para escribir: b b ∫ f (m)dx ∫ f ( x)dx a ¿ b a ∫ f ( M )dx ¿ a Ver la figura 4 b f (m)(b−a) f (m) ¿ ¿ ∫ f ( x)dx a f (M )(b−a) ¿ b 1 (b−a ) ∫ f ( x)dx ¿ a f (M ) De acuerdo con la tercera desigualdad, puede aplicarse el teorema del valor medio para concluir que existe alguna c en [a, b] tal que: 1 f (c) = (b−a ) b ∫ f ( x)dx a b o f (c )(b−a ) = ∫ f ( x)dx a Este desarrollo del valor medio de una función en un intervalo es sólo uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. EJERCICIOS DEL 43 AL 50 En los ejercicios del 43 a 46, determinar el (los) valor (es) de c cuya existencia es garantizada por el teorema del valor medio para integrales de la función en el intervalo indicado. 43. f (x )=x−2 √ x , [ 0,2 ] b ∫ f ( x)dx Aplicar el teorema del valor medio para integrales: a = f (c )(b−a ) 2 ∫ ( x−2 √ x ) dx =f (c )(2−0 ). 0 Resolviendo la integral: 2 ∫ ( x−2 √ x ) dx 0 Aplicando la regla de la suma: 1. 2 = ∫ f ( x)dx±g( x)=∫ f ( x)dx±∫ g( x)dx 2 ∫ xdx−∫ 2 √ xdx 0 0 2 ∫ xdx 0 2 x = 2 2 Aplicando la regla: 2 1 +1 2 1 2 ∫ un du= n+1 u ; a≠−1 n+1 3 x 4 −∫ 2 √ x dx=2∫ x dx=2∗ = x2 1 3 0 0 +1 2 Aplicando la n+1 ∫ un du= un+1 ; a≠−1 Por lo tanto: 2 [ 3 ] 2 2 ∫ ( x−2 √ x ) dx = x2 − 43 x 2 0=2− 43 √22∗2=2− 8 3√2 = 6−83 √2 0 regla: Se sustituyen los datos en la fórmula del teorema del valor medio para integrales, tenemos: 6−8 √ 2 3 f (c)(2−0 )= f (c)(2)= 6−8 √ 2 3−4|2 = 3 3 Sabemos que f(c) es la función original evaluada en c, por lo que se sustituye: 3−4 √ 2 3 3−4 √2 c−2 √ c+1= +1 3 ( √ c−1 )2 = 6−4 √ 2 3 c−2 √ c= √ c−1 = √ c=1 ± 6−4 √2 3 ± 6−4 √2 3 √ √ 6−4 √ 2 c= 1± 3 (√ 2 ) Por lo tanto, al tener una raíz, existen dos posibles soluciones c 1=0. 4380 y c 2 =1. 7908 Para este problema, existen dos soluciones ya que ambos resultados se 44. encuentran contenidos en el intervalo 9 f ( x )= 3 x , [ 1,3 ] [ 0,2 ] . b ∫ f ( x)dx Aplicar el teorema del valor medio para integrales: 3 ∫ x93 dx=f (c )(3−1)=2 f (c ) 1 Resolviendo la integral: a = f (c )(b−a ) f (c ) π π − − =4 4 4 [ ( )] Sabemos que f(c) es la función original evaluada en c, por lo que se sustituye: 8 2 sec2 c= = π 4 sec 2 c= π 4 sec c=± π 2 sec c=± √π √ c=±arc sec 2 √π =±arccos 2 √π ( ) ( ) c=0 . 4817 46. f (x )=cos x , [ −π π , 3 3 ] b ∫ f ( x)dx Aplicar el teorema del valor medio para integrales: π 3 ∫ cos xdx=f (c ) −π 3 [ π π −(− ) 3 3 a = f (c )(b−a ) ] Resolviendo la integral: π 3 π 3 3 ∫ cos xdx=[ senx ] −π = √2 −π 3 ( √23 )= √3 −− 3 Se sustituyen los datos en la fórmula del teorema del valor medio para integrales, tenemos: f ( c )= π π −− =√ 3 3 3 [ ( )] Sabemos que f(c) es la función original evaluada en c, por lo que se sustituye: cosc= 3 √3 2π c 1=0. 5971 y c 2 =−0 Para este problema, existen dos soluciones ya que ambos resultados se encuentran contenidos en el intervalo [ −π π , 3 3 ] . En los ejercicios 47 a 50, encontrar el valor medio de la función sobre el intervalo dado y todos los valores de x en el intervalo para los cuales la función sea igual a su valor promedio. Se aplica lo siguiente la definición del valor medio de la función: b 1 ∫ f ( x)dx f (c) = (b−a ) a 2 f (x )=4−x , [ −2,2 ] 47. 2 2 1 ( 4−x2 ) dx= 1 ∫ ( 4−x 2 ) dx= 1 8− 8 − −8+ 8 = 8 ∫ 2−(−2) −2 4 −2 4 3 3 3 Valor Promedio= 8 3 [( ) ( ) ] Esta aproximación parece ser mejor al hacer II Δ II →=0 ( n→ ∞ ). Así la longitud de la gráfica es: Porque f’(x) existe para todo x en garantiza la existencia de c i en [ x i−1, xi ] [ x i−1, xi ] , el teorema del valor medio tal que f (x i )−f ( xi−1 )=f '( ci )( x i−x i−1 ) Δy i =f '(c i ) Δx i √ 1+ [ f '( x ) ] Porque f’ es continua en [a, b], se tiene que continua ( y por consiguiente integrable) en [a, b] lo que implica que: b = ∫ √ 1+[ f '( x )]2 dx a 2 también es

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Integrales - Teorema de Integrabilidad. Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Teoria

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TEMA 1: TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

OBJETIVO ESPECÍFICO: Interpretar el Teorema de Integrabilidad

TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

DEFINICIÓN DE SUMA DE RIEMANN

Sea

definida en el intervalo cerrado

[

a , b

]

, y sea

dada por

a=x0<x1<x2<. . .<xn−1<xn=b

donde

Δxi

es el ancho del i-ésimo subintervalo. Si

es cualquier punto en el i-ésimo

subintervalo

[

xi−1, xi

]

entonces la suma

∑

i=1

f(ci)Δxi

xi−1<ci<xi

se denomina una suma de Riemann de

para una partición

El ancho del subintervalo más grande de la partición

es la norma de la

partición y se denota por medio de

‖Δ‖

. Si todos los intervalos tienen la misma

anchura, la partición es regular y la norma se denota mediante:

‖Δ‖=

‖Δx‖=

b−a

Partición ordinaria

En una partición general, la norma se selecciona con el número de subintervalos

[

a , b

]

de la siguiente manera:

b−a

‖Δ‖

¿n

Partición general

De tal modo, el número de subintervalos en una partición tiende a infinito cuando

la norma de la partición tiende a 0. Esto es

‖Δ‖→0

implica que

n→∞

La afirmación recíproca de este enunciado no es cierta. Por ejemplo, sea

Δn

la partición del intervalo

[

0,1

]

dado por:

0<1

2n<1

2n−1<. ..<1

8<1

4<1

2<1