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contanilidad basica (contanilidad basica)
Universidad Continental
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VIGAS
EST¡TICAMENTE
INDETERMINADAS
RESISTENCIA DE MATERIALES II
2014
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
INGENIERÕA CIVIL -
21/10/
Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA
ESCUELA DE GEOLOGIA, MINAS,
METALURGIA, GEOGRAGICA Y CIVIL
Facultad: Ingeniería Civil
Curso: Resistencia de Materiales II
Profesor: Ing. José Luis Chuquillanqui Suarez
Tema: Vigas Estáticamente Indeterminadas
Integrantes: Gonzales Olivares Diego Martin
Luna Lopez Marco Antonio
AÑO: 2014
INTRODUCCIÓN
Al estudiar el esfuerzo simple se observó que en los problemas estáticamente indeterminados, en los que las ecuaciones de equilibrio estático son insuficientes, es preciso añadir otras ecuaciones de relación entre las deformaciones elásticas. De la misma manera en el estudio de las vigas estáticamente indeterminadas o hiperestáticas hay que añadir a las ecuaciones de la estática otras relaciones adicionales basadas en la deformación de las vigas.
El análisis de las vigas estáticamente indeterminadas es muy diferente al de las vigas estáticamente determinadas. Cuando una viga es estáticamente determinada, podemos obtener todas las reacciones, fuerzas cortantes y momentos flexionantes a partir de diagramas de cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio.
Sin embargo, cuando una viga es estáticamente indeterminada, las ecuaciones de equilibrio no son suficientes y se requieren ecuaciones adicionales. El método fundamental para analizar una viga estáticamente indeterminada es resolver las ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión. Si bien este método sirve como un buen punto de inicio en nuestro análisis, es práctico solo para los tipos más simples de vigas estáticamente indeterminadas.
Las vigas estáticamente indeterminadas normalmente se identifican por la forma en que están dispuestos los apoyos; por ejemplo, una viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro, se llama viga en voladizo apuntalada o soportada.
Como solo hay tres ecuaciones independientes de equilibrio para esta viga, no es posible calcular las cuatro reacciones solo por el equilibrio. El número de reacciones que rebasan el número de ecuaciones de equilibrio se llama grado de indeterminación estática. Entonces, una viga en voladiza soportada es estáticamente indeterminada de primer grado.
OBJETIVOS
Saber identificar problemas estáticamente indeterminados y aprender a añadir otras ecuaciones de relación entre las deformaciones elásticas, identificando los diversos casos de apoyos y como tratar cada uno.
Aprender a resolver sistemas estáticamente indeterminados aplicando el método de doble integración teniendo en cuenta la teoría estudiada, los apoyos redundantes y las fórmulas que debemos aplicar.
De la misma forma aprender a solucionar sistemas indeterminados aplicando el método de momentos de áreas, para cada diferente tipo de viga hiperestática.
Poder discernir de manera eficiente que método es más apropiado para cada tipo de problema (si se usa el método de doble integración o el método de momentos de áreas), a fin de resolver el problema eficazmente de manera rápida y sencilla.
Cualquier reacción excedente respecto al número necesario para soportar la estructura en forma estáticamente determinada se denomina redundante estática y el número de tales redundantes necesariamente es el mismo que el grado de indeterminación estática.
Por ejemplo, la reacción Rb mostrada en la Fig. 1a puede considerarse como una reacción redundante. Obsérvese que la estructura se convierte en una viga en voladizo cuando se retira el apoyo B. La estructura estáticamente determinada que se obtiene al retirar la redundante se designa estructura liberada o estructura primaria. Otro planteamiento para la viga de la Fig. 1a es considerar el momento reactivo MA como la redundante; si el momento reactivo es retirado, la estructura liberada es una viga simple con un soporte articulado en A y un soporte de rodillo en B. Un caso especial ocurre si todas las cargas sobre la viga son verticales (Fig. 1b), ya que entonces desaparece la reacción horizontal. Sin embargo, la viga aun es estáticamente indeterminada en primer grado dado que existe ahora dos ecuaciones de equilibrio estático independientes y tres reacciones.
Una viga de extremos fijos, a veces llamada viga doblemente empotrada, o viga fija, se muestra en la Fig. 1c. En cada soporte existen tres cantidades reactivas; por lo cual, la viga tiene un total de seis reacciones desconocidas. Como existen tres ecuaciones de equilibrio, la viga es estáticamente indeterminada en tercer grado. Si se consideran las reacciones en un extremo como las tres redundantes y se retira da la estructura, se obtiene una viga en voladizo como estructura liberada, Si se retiran los dos momentos reactivos del extremo fijo y una reacción horizontal, la estructura liberada es una viga simple.
Considerando nuevamente el caso especial con cargas verticales únicamente (Fig. 1d), se encuentra que solo deben determinarse cuatro reacciones. El número de ecuaciones de equilibrio estático es dos; por lo tanto, la viga es estáticamente indeterminada en segundo grado. Las dos vigas restantes mostradas en la Fig. 1 son ejemplos de vigas continuas, llamadas así porque tienen más de un claro y son continuas sobre un apoyo.
1 Apoyos Redundantes
Las reacciones adicionales en los apoyos o soportes de la viga o eje que no son necesarias para mantenerlo en equilibrio estable se llaman redundantes, estas se deben seleccionar para cada caso particular. El número de reacciones que excede el número de ecuaciones de equilibrio se denomina grado de indeterminación estática, por ejemplo considerando la viga mostrada (figura 1a.) a continuación con sus respectivas reacciones en apoyos (viga en voladizo apuntalada):
Figura 1a.
Se observa que hay cuatro reacciones desconocidas para tres ecuaciones de equilibrio estático, por esta razón este tipo de viga es indeterminada de primer grado. A la vez se observa que la reacción RB de la viga en voladizo apuntalada se puede seleccionar como una reacción redundante, puesto que esta reacción excede las necesarias para mantener el equilibrio, se puede liberar la estructura removiendo el apoyo en B. quedando la viga de la siguiente manera (figura 1b.):
Figura 1b.
Como se observa la estructura que queda cuando se liberan las redundancias denomina estructura liberada o estructura primaria. La estructura liberada debe ser estable (debe ser capaz de soportar cargas) y debe ser estáticamente determinada.
Otra posibilidad para el análisis de la viga en voladizo apuntalada de la figura 01. Es seleccionar el momento reactivo MA como el redundante. Entonces cuando se eliminara la
####### 1 METODO DE DOBLE INTEGRACION
Este método se aplica igual que en las vigas estáticamente determinadas, solo que allí todas las fuerzas eran conocidas y aquí intervendrán además unas desconocidas, las reacciones redundantes. Al aplicarlo consideremos el origen de ejes, con preferencia, en un extremo empotrado, con lo que las dos constantes de integración que aparecen serán nulas. En la ecuación general de momentos y en las obtenidas al integrar esta sucesivamente aparecen los valores desconocidos de las reacciones hiperestáticas. Para determinar estos valores se aplica la ecuación de la elástica y sus restricciones.
Integrando la primera vez se obtiene la ecuación de la pendiente en cualquier punto de la viga, donde las incógnitas serán las reacciones sobrantes y la constante de integración C 1 :
Integrando una segunda vez se obtiene la ecuación de la deformación en cualquier punto de la viga, donde las incógnitas serán las reacciones sobrantes y las constantes de integración C 1 y C 2.
A partir de las condiciones de los apoyos en la viga se podrán obtener estas incógnitas.
Primero se generan las ecuaciones de deformaciones compatibles, tantas como grado de indeterminación tenga la estructura, mediante un procedimiento similar al descrito para calcular las deformaciones en vigas isostáticas.
En este caso las condiciones de borde o de frontera cinemática encontradas, tendrá que ser igual al grado de indeterminación (G.) más dos, para poder encontrar los valores de las dos constantes de integración C1 y C2.:
No Condiciones de borde = G + 2
Con estas ecuaciones generadas por deformaciones, más las ecuaciones de equilibro respectivas, se tendrá el número suficiente para calcular todas las reacciones externas de la viga.
Esto se demostrara y entenderá mucho mejor con los ejemplos que tenemos en la sección ejemplos del informe.
####### 1 METODO DEL AREA DE MOMENTOS
Si se usa el método del momento de área para determinar las redundantes desconocidas de una viga o eje estáticamente indeterminado, entonces debe dibujarse el diagrama M/EI de modo que en él se representen las redundantes como incógnitas. Una vez que se ha establecido el diagrama M/EI, pueden aplicarse los dos teoremas de momento de área para obtener las relaciones adecuadas entre las tangentes de la curva elástica a fin de satisfacer las condiciones de desplazamiento y la pendiente en los soportes de la viga, en todos los casos, el número de condiciones de compatibilidad será equivalente al número de redundantes, por lo que es posible obtener una solución para las redundantes (reacciones redundantes).
Esto se demostrara y entenderá mucho mejor con los ejemplos que tenemos en la sección ejemplos del informe.
Ecuación de la flecha:
Las condiciones de borde se establecen observando la curva elástica:
Dado que la viga tiene 4 reacciones externas, y solo disponemos de 3 ecuaciones de equilibrio, el elemento es hiperestático de grado 1. Es decir, tiene una reacción sobrante o redundante. Por lo tanto son necesarias las 3 condiciones de borde encontradas, dos de las cuales se usarán para encontrar C1 y C2, mientras que la tercera generará la ecuación adicional que necesitamos para encontrar las 4 reacciones externas
De esta manera tendremos las cuatro ecuaciones necesarias:
Resolviendo el sistema:
Cabe destacar que las ecuaciones de equilibrio B, C y D se realizan con las cargas reales, no con las ficticias, aunque si se tomaran en cuenta, el resultado sería el mismo
EJEMPLO 02 – DOBLE INTEGRACIÓN
Para la viga doblemente empotrada mostrada en la figura 2 determinar:
a) Las ecuaciones de: la elástica, la pendiente y la deformación b) Las constantes de integración c) Reacciones incógnitas
RESOLUCIÓN:
A) CALCULO DE LAS ECUACIONES DE LA ELÁSTICA, PENDIENTE Y DEFORMACIÓN.
1).- Obtención de la ecuación de la curva elástica. 2) Integrando dos veces la ecuación 1 se obtiene la ecuación de la pendiente y de la deformación
EJEMPLO 03 – DOBLE INTEGRACIÓN
Hallar las reacciones y momentos en el sistema estáticamente indeterminado por el método de doble integración.
Figura 3.
Como observamos en la figura 3, en el extremo fijo, la deflexión y la pendiente son nulas, por lo que las dos constantes de integración C 1 y C 2 también lo son. Escribiendo la ecuación diferencial de la elástica en función de la ecuación general de momentos e integrando dos veces se obtiene.
ý𝔼
2 þ ý 2
= Āÿ+ ÿý 2 400+ý 2 2,
ý𝔼
þ
ý= Āÿý +
𝔶ý 2
2 2 200
+ý 2 2, 2 + ÿ 1
ý𝔼þ =
𝕀𝔶ý 2
2 +
𝔶ý 3
6 2
200
3 +ý 2 2,
3 + ÿ
1 ý + ÿ 2
Hacemos que el momento sea cero (ecuación de la estática) en A y que la deformación también sea nula en A, es decir cuando x =
Āÿ+ 3ÿ2 400( 1 )= 0
𝕀𝔶∗3 2
2 +
𝔶∗3 3
6 2
200
3 ( 1 )
3 = 0
De este sistema se obtiene:
ÿ= 193 ā Āÿ= 2 179 ā. 𝕚
Por equilibrio en eje y RA = 207 N
####### EJEMPLO 04 – MÉTODO DE MOMENTO DE ÁREAS
Considerar la viga apoyada en su extremo izquierdo, empotrada en el derecho y sometida a la carga aislada representada en la figura. Determinar las reacciones.
Solución:
Por estática tenemos:
∑Āþ= 1 ÿ + Ā 1 2 𝕃Ā = 0 & & && (1)
∑þ𝕣= 1 + 2 2 𝕃 = 0 & & & & (2)
Es un sistema de fuerzas paralelas, por lo que solo disponemos de dos ecuaciones de equilibrio. Por tanto, cualquier ecuación de equilibrio distinta de las anteriores no será independiente. Pero esas dos ecuaciones contienen las tres resultantes que deseamos hallar por lo que es indeterminado y necesitamos añadir una ecuación que provenga de las deflexiones de la viga. Para obtenerla representamos la viga deformada.
Si se traza una tangente en B a esta curva, coincidirá con la posición original de la viga sin flexar. El desplazamiento del extremo A con respecto a esta tangente es cero, por lo que podemos aplicar el segundo teorema de momentos. Para eso graficamos el diagrama de momentos flectores (se observa que no es necesaria la división de los momentos por la rigidez de la viga).
####### EJEMPLO 05 - MÉTODO DE MOMENTO DE ÁREAS
La viga se somete a la fuerza concentrada que se muestra en la figura, determinar las reacciones en los soportes. EI es constante.
Solución:
Teniendo el diagrama de cuerpo libre y la curva elástica:
Por estática tenemos:
∑Āý= þþÿ 2 Āý2 𝕃(2ÿ) = 0 & & & & (1)
∑þ𝕣= 2ýþ+ þþ2 𝕃 = 0 && & & (2)
Se procede a graficar el diagrama M/EI por partes para la reacción redundante By y para la carga P:
De la curva elástica se deduce:
𝕡þ⁄ý= (
2ÿ 3
####### )[
####### 1
####### 2
####### (
þþÿ ý𝔼 )ÿ] + (
ÿ 2
####### )[
2𝕃ÿ ý𝔼 (ÿ)] + (
2ÿ 3
####### )[
####### 1
####### 2
####### (
2𝕃ÿ ý𝔼 )(ÿ)] = 0
þþ= 2𝕃
Reemplazando en las ecuaciones (1) y (2), se obtienen las reacciones faltantes:
ýþ= 1𝕃 Ā 1 = 0𝕃ÿ
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