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Mecanica de fluidos problemas resueltos josep m bergada grano

buena

Asignatura

mecanica de suelos (ms 1)

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Universidad Nacional de San Cristóbal de Huamanga

Año académico: 2017/2018

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EDICIONS UPC

AULA POLITÈCNICA

/ INGENIERÍA MECÁNICA

Josep M. Bergadà Graño

Mecánica de fl uidos

Problemas resueltos

AULA฀POLITÈCNICA฀

Mecánica฀de฀fluidos฀

Problemas฀resueltos฀

Primera฀edición:฀febrero฀de฀2006฀

Diseño฀de฀la฀cubierta:฀Jordi฀Calvet

©฀ Josep฀M.฀Bergadà฀Graño,฀

©฀ Edicions฀UPC,฀ ฀ Edicions฀de฀la฀Universitat฀Politècnica฀de฀Catalunya,฀SL ฀ Jordi฀Girona฀Salgado฀31,฀08034฀Barcelona ฀ Tel.:฀93฀401฀68฀83฀฀฀Fax:฀93฀401฀58฀ ฀ Edicions฀Virtuals:฀edicionsupc ฀ A/e:฀edicions-upc@upc

Producción:฀ TECFOTO,฀SL ฀ Ciutat฀de฀Granada฀55,฀08005฀Barcelona

฀ Depósito฀legal:฀B-9274- ISBN:฀84-8301-833-

Quedan฀rigurosamente฀prohibidas,฀sin฀la฀autorización฀escrita฀de฀los฀titulares฀del฀copyright,฀bajo฀las฀san- ciones฀establecidas฀en฀las฀leyes,฀la฀reproducción฀total฀o฀parcial฀de฀esta฀obra฀por฀cualquier฀medio฀o฀proce- dimiento,฀comprendidos฀la฀reprografía฀y฀el฀tratamiento฀informático,฀y฀la฀distribución฀de฀ejemplares฀de฀ella฀ mediante฀alquiler฀o฀préstamo฀públicos.

Prólogo I

Prólogo

La mecánica de fluidos tiene sus orígenes en la hidráulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor del año 4000 antes de nuestra era proliferaron las obras hidráulicas que aseguraban el regadío de vastas zonas. Posteriormente, los imperios griego, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusión de las construcciones hidráulicas.

A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo que hoy se denomina mecánica de fluidos , algunas de las cuales son las realizadas por:

Arquímedes (287-212 a.), crea el tornillo helicoidal y enuncia el principio de flotación. Leonardo da Vinci (1452-1519), muestra la aparición de vórtices en la zona de separación de flujo; describe los principios de funcionamiento de máquinas voladoras.

Pascal (1623-1662), en el estudio de la estática de fluidos define el principio que lleva su nombre. Newton (1642-1727), realiza el análisis espectral de la luz; define la teoría de gravitación universal; establece los principios de cálculo integral y diferencial, y promulga la ley de viscosidad que lleva su nombre. Henry de Pitot (1695-1771), crea, con el fin de medir la velocidad de un fluido, el tubo que lleva su nombre. Bernoulli (1700- 1782), populariza la ley que define la energía asociada al fluido a lo largo de una línea de corriente, estudia problemas sobre estática y dinámica de fluidos. Euler (1707-1783), establece la base matemática para el estudio del flujo ideal, sin viscosidad. Venturi (1746-1822), clarifica los principios básicos del flujo a lo largo de un conducto convergente divergente (el tubo de Venturi), define los principios del resalto hidráulico.

Henri Navier (1785-1836), basándose en los estudios de Euler, deriva las ecuaciones de Navier, que posteriormente Stokes modifica hasta obtener las ecuaciones que se conocen actualmente. Ludwig Hagen (1797- 1884), estudiando el flujo en conductos cerrados, encuentra la zona de traspaso entre flujo laminar y turbulento, y observa que depende de la velocidad y la temperatura del fluido, así como del diámetro y la rugosidad del conducto. Poiseulle (1799-1869), estudia el movimiento de la sangre en venas y capilares, y determina experimentalmente la relación entre presión y caudal en capilares.

William Froude (1810-1879), se dedicó durante parte de su vida a construir barcos; sus investigaciones fueron continuadas por su hijo R. Froude (1846-1924), el cual definió el número adimensional que lleva su nombre y que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitacionales. G. Stokes (1819-1903), logró derivar la ecuación de Navier-Stokes. Kirchhoff (1824-1887), define el coeficiente de contracción, hallándolo para el caso de orificios bidimensionales. Ernst Mach (1838-1916), que en uno de sus más conocidos estudios sobre los flujos a alta velocidad, deduce el número de Mach. Reynolds (1842-1912), clarifica el fenómeno de cavitación; define los regímenes laminar y turbulento, y el número adimensional que los identifica. Su teoría sobre la lubricación hidrodinámica es asimismo muy relevante. Ludwig Prandtl (1875-1953), que observa la aparición y define la teoría de la capa límite, se considera como uno de los creadores de la mecánica de fluidos moderna. Theodor Von Karman (1881-1963) estudia los vórtices detrás de un cilindro, define las fuerzas de arrastre y sustentación de cuerpos en el seno de un fluido en régimen turbulento.

Durante el siglo XX, los avances en la mecánica de fluidos son continuos, siendo la dinámica de gases, la aerodinámica y la aeronáutica los campos que han experimentado y seguirán experimentado una especial proliferación.

Quisiera dedicar este libro a las personas cuyo apoyo he tenido constantemente, sin olvidar a las generaciones de estudiantes de los cuales se aprende a diario, y gracias a los cuales este libro es una realidad. Quisiera agradecer al profesor Eugenio Valencia el apoyo que durante los últimos años me ha prestado.

Es mi deseo que este libro sea de utilidad, tanto para los futuros estudiantes como para los profesionales que necesiten repasar conceptos de mecánica de fluidos.

Josep M. Bergadà

IV Mecánica de fluidos

Problema 31 ......................................................................................................................................................... Capítulo 7. Ecuación de la energía
Problema 32 .........................................................................................................................................................
Problema 33 .........................................................................................................................................................
Problema 34 .........................................................................................................................................................
Problema 35 ......................................................................................................................................................... Capítulo 8. Flujo con viscosidad dominante
Problema 36 .........................................................................................................................................................
Problema 37 .........................................................................................................................................................
Problema 38 .........................................................................................................................................................
Problema 39 .........................................................................................................................................................
Problema 40 .........................................................................................................................................................
Problema 41 .........................................................................................................................................................
Problema 42 .........................................................................................................................................................
Problema 43 ......................................................................................................................................................... Capítulo 9. Análisis adimensional
Problema 44 .........................................................................................................................................................
Problema 45 .........................................................................................................................................................
Problema 46 .........................................................................................................................................................
Problema 47 ......................................................................................................................................................... Capítulo 10. Sistemas de tuberías
Problema 48 .........................................................................................................................................................
Problema 49 .........................................................................................................................................................
Problema 50 ......................................................................................................................................................... Capítulo 11. Capa límite
Problema 51 .........................................................................................................................................................
Problema 52 .........................................................................................................................................................
Problema 53 .........................................................................................................................................................
Problema 54 ......................................................................................................................................................... Capítulo 12. Flujo no estacionario
Problema 55 .........................................................................................................................................................
Problema 56 ......................................................................................................................................................... Capítulo 13. Gas dinámica
Problema 57 .........................................................................................................................................................
Problema 58 .........................................................................................................................................................
Bibliografía ..........................................................................................................................................................

Nomenclatura V

Nomenclatura

a = Aceleración. [m/s 2 ] Cd = Coeficiente de descarga. CP = Calor específico a presión constante. [J/Kg K] CV = Calor específico a volumen constante. [J/Kg K] CD = Coeficiente de arrastre. Coeficiente de resistencia para la capa límite. CL = Coeficiente de sustentación. D = Fuerza de sustentación. [N] D = Diámetro. [m] Dh = Diámetro hidráulico. [m] F = Fuerza. [N]. f = Coeficiente de fricción. g = Aceleración gravitatoria. [m/s 2 ] H = Energía por unidad de peso. [J/Kg g] H=h=Z = Nivel de referencia, (cota). [m] h = Entalpía. [ J/Kg] L = Longitud. [m] L = Fuerza de arrastre. [N] M = Par. [N m] m= Caudal másico. [Kg/s] N =W Potencia. [W] [Kw] NPSH = Altura neta positiva de aspiración. [m] P = Presión. [Pa] P*= Presión reducida. [Pa] R, r = Radio. [m] R = Constante característica de cada gas. [J / Kg K] Re = Número de Reynolds. S = Sección de paso. [m 2 ] Q = Caudal volumétrico. [m 3 /s]

Q= Flujo de calor. [J/s] T = Temperatura [ºC; K] t = Tiempo. [s] U = V= Velocidad del fluido. [m/s] u = Energía interna. [J/Kg] V = Velocidad. [m/s] W = Potencia. [W] [Kw] ∀= Volumen. [m 3 ] Y = Energía por unidad de masa. [J/Kg] YT = Energía teórica por unidad de masa. [J/Kg] Z = Nivel de referencia, (cota). [m]

αT = Coeficiente de expansión térmica. [K-1] β = Módulo de compresibilidad volumétrica. [N/m 2 ] ∆h = Pérdidas de carga por rozamiento. [m 2 /s 2 ] ∆P = Variación de presión. [N/m 2 ]. ∆x = Variación de posición [m].

Problema 1 1

Problema 1

1 Enunciado

Entre los extremos de un tubo de 0,006 m de diámetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia de presión relativa de 50 Pa. Si el caudal que fluye es de Q=3,5 10 m s× -6 2 , halle la viscosidad del fluido

circulante (considerando régimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hipótesis.

1 Resolución

La velocidad media de paso del fluido por el conducto será:

Q3,5×10 m U = = = 0, Ssπ0, 006 4

G

Dado que no se puede determinar el número de Reynolds, se considerará que el régimen de flujo es laminar; al final de proceso se comprobará esta hipótesis.

Considerando que el fluido fluye según la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribución de velocidades en dirección radial según Poiseulle es:

()

2 22
2

∆P11 r U = r - R = Umáx 1- ∆xμ4 R

∆P

donde Umáx = - R ∆x4μ

⎛⎞⎛⎞

⎜⎟⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

G

La relación velocidad máxima-velocidad media

Umax U= 2

G

donde

∆PR*

U=-

∆x8μ

G

La diferencia de presión entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzos cortantes en la pared del mismo, así:

22 * total

D×0,

Fp = ∆P = 50 = 1, 4137 N 44

ππ

2 Mecánica de fluidos

El esfuerzo cortante se define como:

2 máx

máx 2

Ur =μ =μ U 1- rr R

2r =-μU R

∂∂⎛⎞⎛⎞

τ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ∂∂⎝⎠⎝⎠

El esfuerzo cortante de la pared valdrá:

máx

r=R 2 =-μU R U como U = 2 U =-μ R

G

El esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo será:

U

F= S= 2πRL=-μ4 2 πRL R

como - F = Fp

1, 4137 = 8πUμL=8π0,1237 μ

ττ

G

N×S

μ = 0, 4547 m

Para que el flujo sea laminar se debe cumplir:

UD 0,1237 × 0, 006

Re = = < 2. ν 0, 4547 ρ

G

Para cumplir la igualdad, se tiene que ρ debería valer ρ= 1.470 m 3 ; como esto es imposible, se

concluye que la hipótesis es acertada. En concreto, para una densidad de 800 Kg m 3 , se obtiene Re = 1,3.

4 Mecánica de fluidos

1 2 L1 1

Rω F= τ·dS = μ· ·2 π·R ·H = μ 2π H·R hh

1 3 L1 11 1

Rω ω M=F·R= μ ·2π ·R · H R = μ 2π H· R hh

El valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales será:

2 3 L

ω N=M·ω = μ ·2π H· R h

En la base del cilindro, se tiene:

du==Vriiω dy h h

Los valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, serán:

3 R R ii BiS 0 i 0

rω 2 π r F=τdS = μ 2 πrdr=μ ω hh 3

⎡⎤

∫∫ ⎢⎥

⎣⎦

3 B

ωR F= μ2π h

4 R 3 i BBi ii 0

ω 2 πω 2 π R M = dF ·R = μ r ·dr = μ· · hh 4

⎡⎤

∫ ⎢⎥

⎣⎦

4 B

ω 2 πR M=μ h

La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, será:

NB = M·ω = μ ω 242 πR h

con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro será:

NT = NL + NB = μ

2 4 31 1

ω 2 π R HR + h

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

= 7·10-3·

24 10 ·2π 0,1·0, 03 + 3 0, 03 0, 001 4

⎛⎞

⎜⎟

⎝⎠

NT = 0,0127 [W]

Problema 3 5

Problema 3

3 Enunciado

Halle la expresión del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.

Fig. 3.

3 Resolución

Las tensiones cortantes existentes se pueden definir como:

VRμrcosθ τ=μ =μ = ne e

∂ω ω ∂

;

Problema 4 7

Problema 4

4 Enunciado

Se hace rotar un cuerpo cónico con una velocidad constante de 10 rad/s; la base del cono tiene un diámetro de 5 cm, y el espesor de la partícula de aceite es de 0,1 mm. Si la viscosidad del aceite es de 7·10-

[N·S/m 2 ], halle el par necesario para mantener el movimiento.

Ri 5 cm

Figura 4. Esquema del cuerpo cónico.

4 Resolución

Se divide la superficie del cono en dos partes: por un lado, la superficie lateral y, por otro lado, la base.

En la superficie lateral, el esfuerzo cortante en un punto genérico vale:

τi= μdνi dn

= i

Rω μ e

= i

htgθω μ e

;

8 Mecánica de fluidos

θ e

En la base:

τi= μdνi dn

= i

Rω μ e

;

dri

dz dhi

La fuerza que se opone al movimiento en la superficie lateral:

dF =τdS = τ 2 πRdZi cosθ=

dh dz

;

dh dh dF 2 R 2 h tg cos cos

=τ π =τ π θ θθ

22 i

dh dF = μ h tgθ 2 π ecosθ

h 223 2 i 0 i

ωtgθωtgθh F= μ 2 πhdh=μ 2π ecosθ ecosθ 3

∫

La fuerza en la base será:

dF =τdS =τ 2 πRdRi

2 i

ω dF = μ R 2 πdR e

Problema 5 11

Problema 5

5 Enunciado

Sea un volumen de agua de 1 m 3 , sometido inicialmente a una presión de 10 5 Pa y a una temperatura de 280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presión del fluido son de 300 K y 3 10 5 Pa, determine el volumen que ocupará el líquido en estas condiciones.

Datos: 41 T 1, 53 10 K α= −− (coeficiente de expansión térmica) 9 2

N

1, 96 10

β= (módulo de compresibilidad volumétrica)

5 Resolución

La definición del módulo de compresibilidad y del coeficiente de expansión térmica es:

dp d

β=−∀ ∀

1d dT

∀

α= ∀

La variación de volumen con la presión y la temperatura se define:

ddpdT pT

∂∀ ∂∀

∀= +

∂∂

de donde:

ddpdT

∀

∀=− +α∀ β

Integrando:

PT PT

final final final inicial inicial inicial

ddp dT

∀ ∀

∀

=−+α ∫∫ ∫∀β

12 Mecánica de fluidos

final ()final inicial ()final inicial inicial

1

ln p p T T

⎛⎞∀

⎜⎟=− − +α − ⎝⎠∀β

final inicial ()final inicial ()final inicial

1

ln∀=∀ −ln p −p +α −T T β

1 ()pp ()TT final inicial

finalinicial finalinicial ee

−−β α− ∀=∀

Sustituyendo valores, se obtiene:

∀=∀final inicial1, 002961

El volumen del fluido al final será ligeramente mayor que el inicial.

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