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Divergencia Y Rotacional - FISICA I
Fisica (CIENCIAS)
Universidad Privada de Tacna
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CAMPOS: OPERADOR NABLA
Representar los campos vectoriales
A = x
ˆ i + y
ˆ j ,
B = y
ˆ i − x
ˆ j. Hallar la divergencia y el
rotacional de cada uno de ellos y explicar el significado físico de los resultados obtenidos.
Solución: I.T. 00, 03, 06, I.T. 95, 97, 00, 01, 03, 05, 06, I. 94
∇ ⋅
A = 2
∇ ×
A = 0
∇ ⋅
B = 0
∇ ×
B =− 2
ˆ k
A es un campo irrotacional o conservativo (rotacional nulo) con una divergencia o
“fuente” de campo constante en todo el espacio.
B es un campo solenoidal (divergencia
nula) y rotacional o de vórtice (rotacional no nulo) con un rotacional constante en todo
el espacio.
Dado el campo vectorial:
A = x
2 ˆ i +sen y
ˆ j + zx
ˆ k , hallar:
∇ ⋅
A ,
∇
∇ ⋅
( A ) y
∇ ×
A
Solución: I.T. 96, 00, 03, 06, I.T 95, 00, 03, 06, I. 94
∇ ⋅
A =
∂ A x
∂ x
∂ A y
∂ y
∂ A z
∂ z
=
∇
∇ ⋅
( A )=
####### ∇ ( 3 x +cos y )=
####### ∂( 3 x +cos y )
∂ x
ˆ i +
####### ∂( 3 x +cos y )
∂ y
ˆ j +
####### ∂( 3 x +cos y )
∂ z
ˆ k =
∇ ×
A =
i
j
k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
A x
A y
A z
=
∂ A z
∂ y
−
∂ A y
∂ z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ i +
∂ A x
∂ z
−
∂ A z
∂ x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ j +
∂ A y
∂ x
−
∂ A x
∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ k =
3 x +cos y
3
ˆ i −sen y
ˆ j
− z
ˆ j
Dado el campo vectorial:
A = 2 x
2
z
ˆ i − xy
2
z
ˆ j + 3 yz
2 ˆ k , hallar:
∇ ⋅
A ,
∇
∇ ⋅
( A ) y
∇ ×
A
Solución: I.T. 96, 02, 05
∇ ⋅
A =
∂ A x
∂ x
∂ A y
∂ y
∂ A z
∂ z
=
∇
∇ ⋅
A
( )
=
####### ∇ ( 4 xz − 2 xyz + 6 yz )=
∂( )...
∂ x
ˆ i +
∂( )...
∂ y
ˆ j +
∂( )...
∂ z
ˆ k =
=
∇ ×
A =
i
j
k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
A x
A y
A z
=
∂ A z
∂ y
−
∂ A y
∂ z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂ A x
∂ z
−
∂ A z
∂ x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
∂ A y
∂ x
−
∂ A x
∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
=
Dado el campo vectorial:
A = z sen z
ˆ i + z cos z
ˆ j + x
2
- y
2 ˆ k , hallar:
∇ A ,
∇ ⋅
A ,
∇
(∇ A ),
∇
∇ ⋅
( A ),
∇ ×
A y
∇ ×
(∇ A )
Solución: I.T. 97, 03, 06, I.T. 97, 00, 03, 06
A =
A ⋅
A = x
2
- y
2
- z
2
= r
∇ A =
∂ A
∂ x
ˆ i +
∂ A
∂ y
ˆ j +
∂ A
∂ z
ˆ k =
∇ ⋅
A =
∂ A x
∂ x
∂ A y
∂ y
∂ A z
∂ z
=
∇
∇ ⋅
( A )=
∇ ( ) 0 =
∇
(∇ A )=
∇
x
ˆ i + y
ˆ j + z
ˆ k
x
2
- y
2
- z
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
∂
∂ x
x
x
2
- y
2
- z
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
∂ y
y
x
2
- y
2
- z
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
∂ z
z
x
2
- y
2
- z
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
4 xz − 2 xyz + 6 yz
####### 2 z ( ) 2 − y
i + 2 z ( ) 3 − x
####### j +( 4 x − 2 xy + 6 y )
k
3 z
2
- xy
2
( )
ˆ i + 2 x
2 ˆ j − y
2
z
ˆ k
x
ˆ i + y
ˆ j + z
ˆ k
x
2
- y
2
- z
2
= r ˆ
0 0
2
x
2
- y
2
- z
2
=
2
r
∇ ⋅
(∇ Φ)=
∇ 4 xyz
3 ˆ i + 2 x
2
z
3 ˆ j + 6 x
2
yz
2 ˆ
( k )=
∂
∂ x
4 xyz
3
( )+
∂
∂ y
2 x
2
z
3
( )+
∂
∂ z
6 x
2
yz
2
( )=
∇
∇ ⋅
( A )=
∇ − x
2
( + 2 xz )=
Dado el campo escalar Φ( x , y , z )= x
2
yz + 3 x
2
calcular su gradiente, la divergencia del
gradiente y el rotacional del gradiente.
Solución: I.T. 04, I.T. 05
∇ Φ=
∂Φ
∂ x
ˆ i +
∂Φ
∂ y
ˆ j +
∂Φ
∂ z
ˆ k =
∇⋅
∇Φ
( )
=
####### ∇ ( 2 xyz + 6 x )
ˆ i + x
2
z
ˆ j + x
2
y
ˆ ⎡ k
⎣
⎤
⎦
=
∂
∂ x
####### ( 2 xyz + 6 x )+
∂
∂ y
x
2
z
( )
∂
∂ z
x
2
y
( )
=
=
∇ ×
( )∇Φ =
ˆ i
ˆ j
ˆ k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
2 xyz + 6 x x
2
z x
2
y
=...=
(Se puede demostrar que cuando se calcula el rotacional del gradiente de un campo
escalar el resultado siempre es nulo)
Si Φ= x
2
y + 3 yz + 5 determinar
∇ Φ,
∇ ⋅
(∇ Φ) y
∇ ×
(∇ Φ). ¿Cuál sería su derivada
direccional en el punto (1, 1, 0) según la dirección determinada por el vector unitario (0,
0, 0)?
Solución: I.T. 99, 02, 05, I.T. 02, 04
∇ Φ=
∂Φ
∂ x
ˆ i +
∂Φ
∂ y
ˆ j +
∂Φ
∂ z
ˆ k =
4 yz
3
- 12 x
2
yz
(− 2 x + 2 z )
ˆ i + 2 x
ˆ k
2 xy
ˆ i + x
2
( + 3 z )
ˆ j + 3 y
ˆ k
####### ( 2 xyz + 6 x )
ˆ i + x
2
z
ˆ j + x
2
y
ˆ k
2 yz + 6
0
∇ ⋅
(∇ Φ)=
∇ 2 xy
ˆ i + x
2
( + 3 z )
ˆ j + 3 y
ˆ k
[ ]
=
∂
∂ x
( 2 xy )+
∂
∂ y
x
2
( + 3 z )+
∂
∂ z
( 3 y )=
∇ ×
(∇ Φ)=
ˆ i
ˆ j
ˆ k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
2 xy x
2
- 3 z 3 y
=
La derivada direccional en el punto que nos dan y según el vector unitario
u del
enunciado será igual al producto escalar del gradiente en dicho punto por dicho vector
unitario:
d Φ
dl
=
∇ Φ
(1,1, 0)
⋅ u ˆ =
Dado el campo vectorial:
A = xy
ˆ i − z
2 ˆ j + xyz
ˆ k calcular la divergencia del vector y su
rotacional, así como el gradiente de la divergencia.
Solución: I.T. 01, I.T. 02
∇⋅
A =
∂ A x
∂ x
∂ A y
∂ y
∂ A z
∂ z
=
∇ ×
A =
ˆ i
ˆ j
ˆ k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
A x
A y
A z
=
∂ A z
∂ y
−
∂ A y
∂ z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ i +
∂ A x
∂ z
−
∂ A z
∂ x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ j +
∂ A y
∂ x
−
∂ A x
∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ k =
=
∇
∇ ⋅
( A )=
∇ ( y + x y )=
∂( y + x y )
∂ x
ˆ i +
∂( y + x y )
∂ y
ˆ j +
∂( y + x y )
∂ z
ˆ k =
Dada la función escalar U = xye
z
hallar la divergencia del gradiente del campo.
Solución: I.T. 01, I.T. 02
∇ U =
∂ U
∂ x
ˆ i +
∂ U
∂ y
ˆ j +
∂ U
∂ z
ˆ k = ye
z ˆ i + xe
z ˆ j + xye
z ˆ k
2 y
0
y + x y
y
ˆ i +( ) 1 + x
ˆ j
( xz + 2 z )
ˆ i − yz
ˆ j − x
ˆ k
2
∇ ×
∇ Φ
( )
=
∇ ×
∂Φ
∂ x
ˆ i +
∂Φ
∂ y
ˆ j +
∂Φ
∂ z
ˆ k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
ˆ i
ˆ j
ˆ k
∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z
∂Φ
∂ x
∂Φ
∂ y
∂Φ
∂ z
=
=
∂
2
Φ
∂ y ∂ z
−
∂
2
Φ
∂ z ∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ i +
∂
2
Φ
∂ z ∂ x
−
∂
2
Φ
∂ x ∂ z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ j +
∂
2
Φ
∂ x ∂ y
−
∂
2
Φ
∂ y ∂ x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ k =
Suponiendo que Φ tiene segundas derivadas parciales continuas con lo que el orden de
derivación no importa.
∇ ⋅
∇ ×
A
( )
=
∇ ⋅
∂ A z
∂ y
−
∂ A y
∂ z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ i +
∂ A x
∂ z
−
∂ A z
∂ x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ j +
∂ A y
∂ x
−
∂ A x
∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ˆ k
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
=
∂
2
A z
∂ x ∂ y
−
∂
2
A y
∂ x ∂ z
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
2
A x
∂ y ∂ z
−
∂
2
A z
∂ y ∂ x
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
2
A y
∂ z ∂ x
−
∂
2
A x
∂ z ∂ y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
Suponiendo que
A tiene segundas derivadas parciales continuas con lo que el orden de
derivación no importa.
Demostrar que
∇ Φ( ) r =
d Φ
dr
r ˆ , donde r es la distancia radial al origen, y hallar Φ( ) r para el
caso particular en que
∇ Φ( ) r =
r
r
5
y Φ( ) 1 = 0.
Solución: I.T. 06, I.T. 95, 03, 06, I. 94
Si el campo escalar sólo depende de la distancia radial r (lo que significa que tiene
simetría esférica), al derivar respecto de cualquier coordenada x , y , o z , deberemos
utilizar la regla de la cadena: primero derivaremos respecto de r y luego derivaremos r
respecto a la coordenada en cuestión:
∂Φ( ) r
∂ x
=
d Φ( ) r
dr
∂ r
∂ x
=
d Φ( ) r
dr
∂ x
2
- y
2
- z
2
∂ x
=
d Φ( ) r
dr
x
x
2
- y
2
- z
2
=
d Φ( ) r
dr
x
r
Igualmente:
∂Φ( ) r
∂ y
=...=
d Φ( ) r
dr
y
r
,
∂Φ( ) r
∂ z
=...=
d Φ( ) r
dr
z
r
Calculando el gradiente del campo escalar:
0
0
∇ Φ( ) r =
∂Φ( ) r
∂ x
i +
∂Φ( ) r
∂ y
j +
∂Φ( ) r
∂ z
k =
d Φ( ) r
dr
x
r
i +
y
r
j +
z
r
k
⎛
⎝
⎞
⎠
=
d Φ( ) r
dr
r
r
=
d Φ( ) r
dr
r
Como se ha demostrado, el resultado es equivalente a derivar el campo escalar respecto
de la variable radial r y multiplicar por el vector unitario radial.
En el caso particular que nos proponen:
¡Error!Marcador no definido.
Demostrar que si un campo escalar tiene simetría esférica el operador
∇ actuando sobre
dicho campo es equivalente al operador
d
dr
⎛
⎝
⎞
⎠
r ˆ donde
r es el vector de posición del punto
tomando como origen el centro de simetría. Aplicarlo a Φ( ) r = r
n
Solución: I.T. 96, 00, 04, 05
Si el campo escalar tiene simetría esférica eso significa que sólo depende de la distancia
radial r , es decir se puede escribir de la forma Φ( ) r.
Derivando utilizando la regla de la cadena:
∂Φ( ) r
∂ x
=
d Φ( ) r
dr
∂ r
∂ x
=
d Φ( ) r
dr
∂ x
2
- y
2
- z
2
∂ x
=
d Φ( ) r
dr
x
x
2
- y
2
- z
2
=
d Φ( ) r
dr
x
r
Igualmente:
∂Φ( ) r
∂ y
=...=
d Φ( ) r
dr
y
r
,
∂Φ( ) r
∂ z
=...=
d Φ( ) r
dr
z
r
Calculando el gradiente del campo escalar:
####### ∇Φ( ) r =
####### ∂Φ( ) r
∂ x
ˆ i +
####### ∂Φ( ) r
∂ y
ˆ j +
####### ∂Φ( ) r
∂ z
ˆ k =
####### d Φ( ) r
dr
x
r
ˆ i +
y
r
ˆ j +
z
r
ˆ k
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
####### d Φ( ) r
dr
r
r
=
####### d Φ( ) r
dr
r ˆ
Como se ha demostrado, el resultado es equivalente a derivar el campo escalar respecto
de la variable radial r y multiplicar por el vector unitario radial.
Aplicando esta demostración al campo escalar Φ( ) r = r
n
####### ∇Φ( ) r =
####### d Φ( ) r
dr
r ˆ=
d r
n
( )
dr
r ˆ= n r
n − 1
r ˆ
Φ=
1
3
1 −
1
r
3
⎛
⎝
⎞
⎠
Divergencia Y Rotacional - FISICA I
Asignatura: Fisica (CIENCIAS)
Universidad: Universidad Privada de Tacna
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