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Tarea 04 Solucionado - Ejercicios sobre paralelogramo, paralelepípedo, ecuaciones de la recta en R3
Introducción a la matemática para ingeniería (1I03N)
Universidad Tecnológica del Perú
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I. SOLUCION DE EJERCICIOS
1 que los puntos A=(1,−3,2), B=(1,2,− 1 ), C=(0,3,1) y
D=( 0 ,−2,4) Son los vértices de un paralelogramo y hallar su
área.
Tenemos la fórmula: Ap=|⃗ax⃗b|
⃗AB=(0,5,− 3 )
⃗AD=(−1,1,2)
Ap=|⃗ABx⃗AD|= |
i j k 0 5 − 3 −1 1 2|
= 13 i+ 3 j+ 5 k=(13,3,5)
Ap=|⃗ABx⃗AD|=√ 132 + 32 + 52 =√ 169 + 9 + 25 =√ 203 u 2
RPTA:Ap=√ 203 u 2
2. Sean ⃗a= 3 i+ 4 j, ⃗b= 2 i+ 2 j−k y c⃗= 3 i+ 4 k. Calcular el volumen
Del paralelepípedo formado por los vectores a,⃗ ⃗b y c⃗.
Emplearemos la fórmula de triple producto escalar o producto
mixto:
|u.⃗ ⃗v.⃗w|= |
u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 |
Tenemos los vectores:
|⃗A.⃗B.⃗C|=
|
3 4 0
2 2 − 1
3 0 4|
= 3 ( 8 + 0 )− 4 ( 8 + 3 )= 24 − 44 = 20
Volumen del paralelepípedo:|⃗A.⃗B.⃗C|=− 20 u 3
D= (0, -2,4) C= (0, 3,1)
⃗AD A= (1,-3,2) ⃗AB B= (1, 2,-1)
⃗A=(3,4,0)
⃗B=(2,2,− 1 )
⃗C=(3,0,4)
⃗C
⃗B ⃗A
3. Dadas las rectas L 1 y L 2 , respectivamente por las ecuaciones:
L 1 =x− 4 2
= 2 y+ 2 − 6
= 5 −z 10
L 2 :x=t+2,y= 3 t−4,z= 2 t+ 1
Encuentrelasecuaciones:VECTORIALPARAMETRICASIMETRICA Y GENERAL.
Recta L 1 :
L 1 =x− 4 2
= 2 y+ 2 − 6
= 5 −z 10 Ordenamos el término de z, sacando el negativo, obtendríamos:
L 1 =x− 4 2
= 2 y+ 2 − 6
=z− 5
− 10 Ecuación Simétrica
L 1 =− 6 x+ 24 = 4 y+ 4 ;− 20 y− 20 =− 6 z+ 30
L 1 =− 6 x− 4 y+ 20 = 0 ;− 20 y+ 6 y− 50 = 0 Ecuación General
L 1 =( 4 ,−2,5)+t( 2 ,− 6 ,− 10 ) Ecuación Vectorial
L 1
{
x= 4 + 2 t y=− 2 − 6 t z= 5 − 10 t
Ecuación Paramétrica
Recta L 2 :
L 2 :x=t+2,y= 3 t−4,z= 2 t+ 1
L 2
{
x= 2 +t y=− 4 + 3 t z= 1 + 2 t
Ecuación Paramétrica
L 2 =( 2 ,−4,1)+t(1,3,2) Ecuación Vectorial
L 2 =x− 2 1
=y+ 4 3
=z− 1 2
Ecuación Simétrica
L 2 = 3 x− 6 =y+ 4 ; 2 y+ 8 = 3 z− 3
Proyvu⃗+⃗v= 78 √ 142
(−1,2,3)=− 78
14
, 156
14
, 234
14
RPTA:Proyv⃗u+⃗v= 78 √ 142
(−1,2,3)=− 78
14
, 156
14
, 234
14
7 el volumen de un paralelepípedo que tenga cuatro de sus vértices en los
puntos siguientes: A (2, 3, 1), B(4, 1, –2), C(6, 3, 7) y D(–5, –4, 8)
⃗AB=B−A=( 2 ,− 2 ,− 3 )
⃗AC=C−A=(4,0,6)
⃗AD=D−A=(− 7 ,−7,7)
Reemplazamos los datos en la fórmula:
|⃗AB.⃗AC.⃗AD|=
|
2 − 2 − 3
4 0 6
− 7 −7 7|
= - (-2)(28-(-42))+0-(-7)(12-(-12))=140+
RPTA:|⃗AB.⃗AC.⃗AD|= 308 u 3 (volumendel paralelepipedo)
8 el área de un paralelogramo cuyos lados son los vectores: ́A= (2 ́i + 3 J ́− 7 K ́) y
B ́= (5 ́i – 2 J ́)
Tenemos:
́A=(2,3,− 7 ) AP=‖⃗A x⃗B‖= ‖
i j k 2 3 − 7 5 −2 0‖ B ́=( 5 ,−2,0)
AP=‖⃗A x⃗B‖=‖− 14 i,− 35 j,− 19 k‖=√(− 14 ) 2 +(− 35 ) 2 +(− 19 ) 2 AP=‖⃗A x⃗B‖=√ 1782 =√ 81 x 22
RPTA:AP=‖⃗A x⃗B‖= 9 √ 22 u 2
|⃗u.⃗v .⃗w|= |
u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 |
⃗AD
⃗AC
⃗AB
9 el volumen del paralelepípedo si los vectores que forman la base son:
́v = (2, -1, 4), w ́=(2,4,3) y los componentes de la altura son: u ́=¿ (1, 3, 5).
|u.⃗ ⃗w.⃗v|= |
2 −1 4
2 4 3
1 3 5|
= 2(20-9)-(-1)(10-3)+4(6-4)
RPTA:|u.⃗ ⃗w .⃗v|= 37 u 3 (volumendel paralelepipedo)
10. Hallar el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores: ́a= (1, 5, 6),
b ́ = (-2, 4,-3)
AP=‖⃗A x⃗B‖= ‖
i j k 1 5 6 −2 4 − 3 ‖
AP=‖⃗A x⃗B‖=‖− 39 i,− 9 j, 14 k‖=√(− 39 ) 2 +(− 9 ) 2 +( 14 ) 2 AP=‖⃗A x⃗B‖=√ 1521 + 81 + 196 =√ 1798 RPTA:AP=‖⃗A x⃗B‖=42 2 (aréadel paralelogramo)
|u.⃗ ⃗v .⃗w|= |
u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 u⃗ w 1 w 2 w 3 |
⃗w ⃗v
Tarea 04 Solucionado - Ejercicios sobre paralelogramo, paralelepípedo, ecuaciones de la recta en R3
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