- Informacje
- Czat SI
Definicja calki Riemanna metody calkowania
Matematyka (GBG-1-101-s)
Komentarze
Przejrzyj tekst
Reimanna I Definicja odcinka) odcinka a ,b na n a x0 x1 ... xn b . Przyjmujemy nast puj ce oznaczenia: xk xk , k 1, ...,n cz ci nazywa si P x0 , x1 , ..., xn , gdzie k tego odcinka P P ) max : k 1, rednica P xk , xk , k 1, ...,n punkt po redni k tego odcinka P Definicja (funkcji ograniczonej) Funkcja f : a ,b jest ograniczona, gdy ,m a ,b m f( M Definicja (sumy Niech funkcja f : a ,b b dzie ograniczona oraz niech P b dzie na n cz ci. SUM (RIEMANNA) FUNKCJI f ODPOWIADAJ C P I PUNKTOM PO REDNIM , k 1, ...,n tego nazywa si liczb f , P ) n k f ( Interpretacja geometryczna sumy f(x) f ( ) f ( ) a b x1 2 x2 x3 4 x4 x0 x5 Uwaga Suma jest przybli eniem pola obszaru ograniczonego wykresem funkcji y f ( x ) 0 , osi OX oraz prostymi x a, x b przez sum prostok o bokach , f ( k ), k 1, ...,n . Definicja Riemanna) OZNACZON (RIEMANNA) Z FUNKCJI f ograniczonej na przedziale , definiuje si wzorem b f ( x )dx lim ( P 0 a n k f ( k o ile granica jest ciwa i nie zale y od wyboru P , i po rednich k , k 1, ...,n. wtedy, e FUNKCJA f JEST PRZEDZIALE , Licz a i b nazywa si odpowiednio DOLN I GRANIC Ponadto przyjmuje si a f ( x )dx a a b f ( x )dx f ( x )dx , a b b a Interpretacja geometryczna oznaczonej b f ( x )dx lim ( P a n k f ( k y f ( x 0 D a D ( x , y b 2 : a x b, 0 y f ( x ) UWAGA 3 (i) Je eli f i g s w , , to b a b b a a f ( x g( x dx f ( x g( x )dx D ( x , y 2 : a x b, g( x ) y f ( x ) y f ( x 0 D2 D D1 y g( x ) 0 a b b (ii) Je eli f jest w , to b ( x )dx f ( x )dx , a . a TWIERDZENIE (WK istnienia oznaczonej) Je eli funkcja f jest na przedziale , to jest na tym przedziale ograniczona. TWIERDZENIE (WW istnienia oznaczonej) Ka da funkcja ci na danym przedziale jest na nim UWAGA Niech f : a ,b b dzie funkcj ci na , oraz niech a ,b b dzie ustalonym punktem , Funkcj F : a ,b okre lon wzorem F ( x ) x f ( t )dt , x a ,b nazywa si FUNKCJ GRANICY Funkcja ta jest niczkowalna w ka dym punkcie x a ,b i zachodzi F x ) d dx x f ( t )dt f ( x ) WNIOSEK Ka da funkcja f : I ci w przedziale I pierwotn okre lon wzorem F ( x ) x ma w tym przedziale funkcj f ( t )dt , x I , I TWIERDZENIE (Newtona Leibniza) (Podstawowe twierdzenie rachunku niczkowego i Je eli f : a ,b jest ci na , oraz F jest funkcj pierwotn funkcji f na , to b a f ( x )dx F ( x F ( b ) F ( a ) b TWIERDZENIE (o przez cz ci) Je eli funkcje f i g s klasy C 1 na , to b b f ( x ) f x ) b f ( x )g ( x )dx f ( x )g( x f x )g( x )dx g ( x ) g( x ) a a f ( b )g( b ) f ( a )g( a ) b f x )g( x )dx a TWIERDZENIE (o przez zmian zmiennych) Je eli jest ci na , (i) f : a ,b x f ( x ) (ii) : t t ) a ,b , gdzie ( ) a ,b , ( ) a , ( ) b jest bijekcj klasy C 1 na , , to b f ( x )dx a x t ) x a b dx t )dt t ( a ) ( b ) f t t )dt TWIERDZENIE (o przez podstawienie) Je eli (i) h : a ,b x h( x ) , jest kl. C 1 , h( a ) , h( b ) (ii) g : t g( t ) to b a jest ci t h( x ) xa b g h( x x )dx g( t )dt dt x )dx t h( a ) h( b )
Definicja calki Riemanna metody calkowania
Kurs: Matematyka (GBG-1-101-s)
