- Informacje
- Czat SI
Murawski-Filozofia matematyki
Pedagogika Specjalna
Polecane dla Ciebie
Komentarze
Inne powiązane dokumenty
- PAS - PODRĘCZNIK DO SKALI OSOBOWEJ OCENY PAS H. C. GUNZBURGA DLA OSÓB Z UPOŚLEDZENIEM
- PAC 2 (Naprawiony) - PODRĘCZNIK DO INWENTARZA PAC-2 H.C. GUNZBURGA DO OCENY POSTĘPU W ROZWOJU SPOŁECZNYM
- PAC 1 - PODRĘCZNIK DO INWENTARZA PAC-1 H.C. GUNZBURGA DO OCENY POSTĘPU W ROZWOJU SPOŁECZNYM
- Przewodnik po kompetencjach społecznych
- wczesne wspomaganie rozwoju dziecka z niedosłuchem
- Mechanizmy obronne - psychologia kliniczna- notatka
Przejrzyj tekst
ARTYKUŁY
Zagadnienia Filozoficzne w Nauce XXXIII / 2003, s. 74–92∗
Roman MURAWSKI
Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wydział Matematyki i Informatyki, Poznań
GŁÓWNE KONCEPCJE I KIERUNKI FILOZOFII
MATEMATYKI XX WIEKU∗
CZĘŚĆ I
1. POWSTANIE KIERUNKÓW KLASYCZNYCH
Filozofia matematyki weszła w XX wiek w atmosferze kryzysu. Był on związany przede wszystkim ze statusem i rolą obiektów abs- trakcyjnych. W teorii mnogości stworzonej przez G. Cantora w ostat- niej ćwierci XIX wieku wykryto antynomie. Pewne z nich znał już Cantor — na przykład antynomię zbioru wszystkich zbiorów czy an- tynomię zbioru wszystkich liczb porządkowych. Potrafił je jednak wy- eliminować wprowadzając rozróżnienie pomiędzy klasami a zbiorami. Nowe trudności pojawiły się, gdy B. Russell wykrył w systemie lo- giki G. Fregego, do którego ten ostatni chciał zredukować arytmetykę liczb naturalnych, antynomię klas niezwrotnych (zwaną dziś antynomią Russella). Obok tego pojawiły się jeszcze tzw. antynomie semantyczne (G. Berry, K. Grelling).
∗UWAGA: Tekst został zrekonstruowany przy pomocy środków automatycz- nych; możliwe są więc pewne błędy, których sygnalizacja jest mile widziana (obi@opoka). Tekst elektroniczny posiada odrębną numerację stron. 1 Artykuł powstał w oparciu o Wstęp do przygotowanej przeze mnie książki Współ- czesna filozofia matematyki, która ukazała się w Wydawnictwie Naukowym PWN, Warszawa, 2002.
2 Roman MURAWSKI
W tej sytuacji powstała potrzeba znalezienia solidnego i pew- nego fundamentu dla matematyki. Próby znalezienia takiego funda- mentu i przezwyciężenia kryzysu doprowadziły m. do ukształtowa- nia się nowych kierunków filozofii matematyki, a mianowicie logi- cyzmu, intuicjonizmu i formalizmu. Próbując zaradzić trudnościom ujawnionym przez kryzys odwoływano się oczywiście do pewnych wcześniejszych tendencji i osiągnięć matematyki, zwłaszcza matema- tyki XIX wieku. Szczególnie istotne były tu: samo powstanie teorii mnogości, arytmetyzacja analizy matematycznej (A. Cauchy, K. We- ierstrass, R. Dedekind), aksjomatyzacja arytmetyki liczb naturalnych (G. Peano), powstanie geometrii nieeuklidesowych (N. Łobaczew- ski, J. Bolayi, C. Gauss) i pełna aksjomatyzacja systemów geometrii (M. Pasch, D. Hilbert), wreszcie powstanie i szybki rozwój logiki ma- tematycznej (G. Boole, A. de Morgan, G. Frege, B. Russell). 2 Nowe kierunki filozofii matematyki szukały odpowiedzi na pytanie o solidne, pewne i bezpieczne podstawy matematyki przede wszystkim w logice matematycznej i teorii mnogości.
1. LOGICYZM
Logicyzm, 3 który został zapoczątkowany przez G. Fregego, a roz- winięty przez B. Russella i A. Whiteheada, wyrósł z żywej w XIX wieku tendencji tzw. arytmetyzacji analizy matematycznej, której ce- lem było pokazanie, że cała teoria liczb rzeczywistych leżąca u pod- staw analizy da się wyprowadzić z arytmetyki liczb naturalnych. Re- alizacja tego zadania postawiła nowy problem, a mianowicie oparcie arytmetyki liczb naturalnych (a w konsekwencji całej właściwie ma- tematyki) na jakiejś prostszej, bardziej elementarnej teorii. Zadania tego podjął się właśnie G. Frege poprzez redukcję arytmetyki do lo-
2 Osiągnięcia te doprowadziły też na progu XX wieku do radykalnej zmiany kształtu matematyki, a więc do powstania nowego paradygmatu matematyki, zwa- nego paradygmatem logiczno-teoriomnogościowym (por. Batóg, 1996). 3 Dokładne informacje na temat logicyzmu i pozostałych kierunków klasycznych, ich rozwoju i znaczenia znaleźć można na przykład w książce R. Murawskiego Filo- zofia matematyki. Zarys dziejów – — zob. Murawski (1995).
4 Roman MURAWSKI
cież skonstruować. Intuicjoniści odrzucają też istnienie nieskończono- ści aktualnej i zbiorów nieprzeliczalnych, zbiór nieskończony można bowiem według nich rozumieć jedynie jako prawo czy regułę tworze- nia wciąż nowych jego elementów, a taki zbiór jest zawsze przeliczalny (i jest nieskończonością potencjalną tylko). Konsekwencją przyjęcia konceptualizmu jest także odrzucenie tzw. dowodów niekonstruktyw- nych dla stwierdzeń egzystencjalnych (w szczególności dowodów nie wprost) jako nie podających konstrukcji postulowanych obiektów. In- tuicjoniści twierdzą też, że logika jest czymś wtórnym w stosunku do matematyki, że to logika opiera się na matematyce a nie na odwrót (jak chcą logicyści). Głoszą oni też, iż wszelkie konstrukcje matematyczne są niezależne od jakiegokolwiek języka. Język służy jedynie do ko- munikowania innym swych konstrukcji matematycznych. Intuicjoniści podjęli też próby rekonstrukcji istniejącej matematyki na bazie głoszo- nych tez filozoficznych. Doprowadziły one do powstania matematyki intuicjonistycznej, która jest dużo uboższa i bardziej skomplikowana niż matematyka klasyczna.
- FORMALIZM
Trzecim klasycznym kierunkiem współczesnej filozofii matema- tyki jest formalizm stworzony przez D. Hilberta. Hilbert przeciw- stawił się próbom ratowania matematyki poprzez rezygnację z pew- nych jej działów i metod prowadzących do trudności (w szczególności tych operujących nieskończonością aktualną). Podjął natomiast próbę usprawiedliwienia i ugruntowania nieskończoności aktualnej, która od- grywa w matematyce tak istotną rolę (Hilbert pisał w (1926): „Z raju, który stworzył nam Cantor, nikt nie powinien móc nas wypędzić”). Chciał dokonać tego za pomocą metod finitystycznych, a więc odwo- łujących się do konkretnych obiektów stanowiących punkt wyjścia ma- tematyki. Są nimi liczby naturalne rozumiane jako liczebniki (układy znaków). Są one dane bezpośrednio i jasno. Nieskończoność aktu- alna zaś jest jedynie ideą rozumu w sensie Kanta, a więc pojęciem, dla którego nie da się znaleźć rzeczowej podstawy, gdyż przekracza
GŁÓWNE KONCEPCJE I KIERUNKI FILOZOFII... 5
ono wszelkie doświadczenie. Hilbert zaproponował (program ten na- zywa się dziś programem Hilberta), by ugruntować matematykę operu- jącą pojęciem nieskończoności aktualnej (czyli, stosując terminologię Hilberta, matematykę infinitystyczną) poprzez jej formalizację, czyli przedstawienie jej jako systemu sformalizowanego (czy jako zespołu systemów sformalizowanych), a następnie badanie systemów sformali- zowanych jako systemów znaków-napisów (a więc, ,konkretnych i wi- dzialnych przedmiotów”), którymi rządzą określone reguły odwołujące się jedynie do kształtu (formy) napisów a nie do ich treści czy znacze- nia. Badania takie można prowadzić metodami finitystycznymi, czyli bezpiecznymi. W szczególności należało pokazać, że matematyka in- finitystyczna jest niesprzeczna, tzn., że nie można zbudować dwóch dowodów (czyli dwóch ciągów formuł, a zatem dwóch ciągów sym- boli) kończących się formułami wzajemnie sprzecznymi. Hilbert stwo- rzył nawet specjalną teorię matematyczną, która miała zajmować się takimi badaniami — nazywa się ją teorią dowodu. Należy tu jeszcze dodać, że Hilbert traktował formalizację tylko jako zabieg metodyczny, jako narzędzie służące realizacji programu ugruntowania matematyki klasycznej. Hilbert nigdy nie twierdził, że matematyka jest systemem sformalizowanym — dla niego była to tylko rekonstrukcja istniejącej matematyki dokonywana w pewnym określonym celu.
- OKRES OD 1931 DO KOŃCA LAT PIĘĆDZIESIĄTYCH
W 1931 roku opublikowana została praca młodego naówczas ma- tematyka i logika wiedeńskiego Kurta G ̈odla (por. G ̈odel, 1931). Miała ona okazać się rewolucyjna i przełomowa w zakresie podstaw i filozofii matematyki. Udowodnione w niej twierdzenia o niezupełności wska- zywały na pewną ograniczoność poznawczą metody aksjomatycznej. W szczególności pokazywały one, że nie można w sposób zupełny zaksjomatyzować nawet arytmetyki liczb naturalnych ani żadnej teorii bogatszej (a było to na przykład wymagane w programie Hilberta) oraz że nie istnieją absolutne dowody niesprzeczności teorii matematycz-
GŁÓWNE KONCEPCJE I KIERUNKI FILOZOFII... 7
jedne z obiektów fizyki niezbędnych do jej uprawiania). Quine przyj- muje bowiem tylko jeden sposób istnienia. Nie mamy więc u niego do czynienia z istnieniem fizycznym, matematycznym, intencjonalnym, konceptualnym itp., tylko po prostu z istnieniem. Odrzuca też moż- liwość podziału teorii naukowych na część analityczną (czysto kon- wencjonalną) i syntetyczną (dotyczącą rzeczywistości). Zauważmy, że oparcie się na argumencie z niezbędności pozwala na naturalne wyja- śnienie faktu stosowalności matematyki do opisu i wyjaśniania świata rzeczywistego. Matematyka jako narzędzie wchodzi bowiem po prostu w skład konstruowanych teorii o świecie. Dodajmy, że stanowisko podobne do stanowiska Quine’a reprezen- tuje również Hilary Putnam (por. Putnam, 1975). Stąd też argument z niezbędności nazywa się często w literaturze argumentem Quine’a- Putnama. Zauważmy też, że Quine odrzucając podejście antyreali- styczne i antyempirystyczne w filozofii matematyki utorował w jakimś sensie drogę podejściu empirystycznemu. Przykładem takiego podej- ścia może być quasi-empiryzm Putnama (będzie o nim mowa poniżej w części II artykułu).
2. FILOZOFIA MATEMATYKI WITTGENSTEINA
Przystępując do omawiania poglądów Wittgensteina z zakresu fi- lozofii matematyki powiedzmy od razu, że trudno o ich jednoznaczną prezentację i ocenę. Źródłem tych trudności jest przede wszystkim spo- sób pisania Wittgensteina: wieloznaczny, nieprecyzyjny, aforystyczny i lakoniczny (jak na przykład w Traktacie) , czy też, zwłaszcza w dzie- łach późniejszych, polegający na nieustannym podważaniu własnych twierdzeń i sformułowań. Stąd rozmaitość interpretacji jego poglą- dów. I tak filozofię matematyki Wittgensteina uważa się na przykład za wyraz skrajnego konwencjonalizmu (M. Dummett), za postać be- hawioryzmu (P. Bernays) czy za skrajny finityzm (G. Kreisel). Wittgenstein nie pozostawił żadnego wykończonego traktatu na temat matematyki. Poglądy swe zawarł w licznych uwagach czynio- nych w różnych okresach życia — uwagach nieraz w istotny sposób
8 Roman MURAWSKI
z sobą niezgodnych. Znajdujemy je przede wszystkim w zakończeniu opublikowanego pośmiertnie dzieła Philosopical Investigations (1953) oraz w wydanych także po śmierci z jego spuścizny rękopiśmiennej Remarks on the Foundations of Mathematics (1956). Wittgenstein za- czął od rozważania języka jako zbioru zdań odwzorowujących stany rzeczy, z których zbudowany jest świat, rozumiany jako model se- mantyczny (por. Tractatus). Ten świat (ogół faktów) ma granice wy- znaczone przez granice języka. Wittgenstein wyraźnie odgraniczał tu zdania opisowe, denotujące stany rzeczy, od wyrażeń formalnych lo- giki i matematyki. Te ostatnie uważał za formy dowodu wyznaczone przez reguły logicznej składni języka. Twierdził, że w logice czyn- ność i jej wynik są równoznaczne, a w matematyce widział jedynie, ,metodę logiczną”. Ową operacjonistyczną interpretację zdań logiki i matematyki zastosował w swej późniejszej filozofii do wszelkich wyrażeń językowych, traktując fenomen posługiwania się językiem jako swoistą formę bycia człowieka w świecie. Takie rozumienie ję- zyka wyraźnie odbija kluczowy dla semiotyki Wittgensteina termin, ,gra językowa”. W (1953) pisał:, ,Istnieje niezliczona ich [rodzajów zdań] ilość: niezliczona ilość sposobów użycia tego wszystkiego, co zwiemy ‘znakiem’, ‘słowem’, ‘zdaniem’. I mnogość ta nie jest czymś stałym, raz na zawsze danym; powstają bowiem, można rzec, nowe typy języka, nowe gry językowe, a inne stają się przestarzałe i idą w zapomnienie. (Pewien przybliżony obraz tego dać mogą przemiany matematyki.)” (I. 23, s. 20). Właśnie pytanie o sens i funkcję zdań matematyki czystej niepokoiło Wittgensteina przez długie lata. Intere- sował go tu sens, ,gier językowych” w matematyce oraz status episte- mologiczny poznania matematycznego. Przy czym w poszukiwaniach swoich kładł główny nacisk na analizę procesu poznania w matema- tyce (łatwo tu dostrzec pewną zbieżność z Brouwerem). Wittgenstein występował zdecydowanie przeciwko logicyzmowi, w szczególności przeciw podejmowanym przez Russella próbom zredukowania aryt- metyki (i całej matematyki) do logiki. Uważał, że gubi się w ten spo- sób twórczy charakter dowodu matematycznego i wielość technik jego przeprowadzania. Dowód matematyczny nie jest redukowalny do ak-
10 Roman MURAWSKI
logic” (1944) oraz, ,What is Cantor’s continuum problem?” (1947, wersja poprawiona i rozszerzona — 1964). Pomocne w zrozumieniu jego poglądów mogą też być trzy jego prace opublikowane dopiero pośmiertnie, tzn.:, ,Some basic theorems on the foundations of ma- thematics and their implications” (1951)„ ,Is mathematics a syntax of language?” (1953) oraz, ,The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy” (1970). Stanowisko filozoficzne G ̈odla można określić jako realizm, do- kładniej platonizm. G ̈odel twierdził, że przedmioty matematyki istnieją realnie poza czasem i przestrzenią, niezależnie od poznającego pod- miotu (aczkolwiek niegdzie nie wyjaśnił, czym one są i jak istnieją). Teza taka jest według niego niezbędna, by otrzymać zadowalający sys- tem matematyki, tak samo, jak przyjęcie realnego istnienia obiektów fizycznych jest potrzebne do wyjaśnienia wrażeń zmysłowych. G ̈odel mocno podkreślał też analogię między logiką i matematyką a naukami przyrodniczymi (odwołując się tu do Russella). G ̈odel twierdził, że, ,logika i matematyka (tak jak fizyka) są oparte na aksjomatach o rzeczywistej treści (with a real content)” (1944, s. 139). Według niego twierdzenia matematyczne są prawdziwe na mocy, ,znaczenia używanych w nich pojęć” (choć samo to znaczenie może być niedefiniowalne, tzn. nieredukowalne do czegoś bardziej fundamentalnego), odrzuca natomiast tezę o prawdziwości twierdzeń matematyki na podstawie konwencji czy na mocy reguł językowych. Matematyka ma treść, na którą składają się fakty matematyczne (por. G ̈odel, 1953, s. 358). Obiekty matematyczne są według G ̈odla czymś różnym od swej reprezentacji w teoriach matematycznych, są w stosunku do nich trans- cendentne — zauważmy tu związek z filozofią Kanta (Ding an sich) . Wynika to z ich obiektywnego istnienia. Aksjomaty opisują jedy- nie część własności obiektów matematycznych. W odróżnieniu jednak od Kanta, G ̈odel twierdził, że podmiot poznający nie dodaje nic do poznawanych obiektów. G ̈odel przedstawiał i wyjaśniał swe poglądy filozoficzne na matematykę przede wszystkim w związku z proble- mami teorii mnogości, a w szczególności w związku z problemem
GŁÓWNE KONCEPCJE I KIERUNKI FILOZOFII... 11
kontinuum. Jako realista był przekonany, że hipoteza kontinuum ma ściśle określoną wartość logiczną, tzn. jest prawdziwa lub fałszywa (choć nie potrafimy tego obecnie rozstrzygnąć). G ̈odel postulował więc istnienie pewnego absolutnego uniwersum zbiorów, które staramy się opisać za pomocą aksjomatów teorii mnogości. To, że nie potrafimy na podstawie przyjmowanych aksjomatów ani udowodnić, ani oba- lić hipotezy kontinuum świadczy tylko o tym, że aksjomaty te, ,nie zawierają pełnego opisu tej rzeczywistości” (1947). Stąd konieczność przyjęcia (czy właściwie konieczność ciągłego przyjmowania) nowych aksjomatów w matematyce, w szczególności nowych aksjomatów teo- rii mnogości (czyli pewnych nowych zdań stwierdzających własności uniwersum wszystkich zbiorów) potrzebnych po to, by rozstrzygnąć hipotezę kontinuum. G ̈odel postulował tu badanie nowych silnych ak- sjomatów nieskończoności postulujących istnienie dużych liczb kar- dynalnych. Twierdził też, że mogą z nich wynikać nie tylko pewne wnioski dotyczące hipotezy kontinuum, ale również nowe interesu- jące konsekwencje arytmetyczne (choć matematyka nie nauczyła się jeszcze korzystać z silnych aksjomatów teorii mnogości dla rozwiązy- wania problemów teorii liczb — por. G ̈odel, 1951, s. 307). Poszukując rozwiązania problemu kontinuum, G ̈odel postulował też rozważanie aksjomatów opartych na zupełnie innych ideach niż dotychczas przyj- mowane. Aksjomaty takie nie muszą być bezpośrednio oczywiste. Jeśli chodzi o kwestie epistemologiczne, to G ̈odel twierdził, że podstawo- wym źródłem wiedzy matematycznej jest intuicja. Choć obiekty teorii mnogości są tak odległe od doświadczenia zmysłowego, to jednak w jakiś sposób postrzegamy je. Pisał: „Nie widzę żadnych racji, dla których mielibyśmy mieć mniejsze zaufanie do tego rodzaju percepcji, tzn. do intuicji matematycznej, niż do percepcji zmysłowej, która skła- nia nas do budowania teorii fizycznych i do oczekiwania, że przyszłe dane zmysłowe będą z nimi zgodne oraz do wiary w to, że pyta- nia, które są teraz nierozstrzygalne, zostaną być może rozstrzygnięte w przyszłości” (1947). Intuicja matematyczna wystarcza do wyjaśnienia i ugruntowania prostych pojęć i aksjomatów. Nie musi być ona pojmowana jako da-
GŁÓWNE KONCEPCJE I KIERUNKI FILOZOFII... 13
matematyki. Tak było w szczególności po roku 1931, kiedy to filozo- fia matematyki nie rozwijała się wprawdzie jako taka, ale inspirowała badania w logice i podstawach matematyki. Pod patronatem logicyzmu i platonizmu powstała i rozwinęła się semantyka teoriomnogościowa stworzona przez Alfreda Tarskiego. Dała ona początek ważnemu działowi podstaw matematyki, a mia- nowicie teorii modeli. Teoria ta stanowi dziś jedno z podstawowych narzędzi badania języków elementarnych i infinitystycznych oraz ba- dania teorii i struktur matematycznych. Wyrosła ona z rozważań Tar- skiego nad pojęciem prawdy i oparta jest na jego definicji pojęcia spełniania (por. Tarski, 1933). Bardzo intensywnie rozwijała się też zapoczątkowana przez Hil- berta — w związku z doktryną formalizmu — teoria dowodu, czyli metamatematyka finitystyczna. Wyniki G ̈odla o niezupełności, o któ- rych mówiliśmy wyżej, pokazały, że programu Hilberta nie da się zrealizować w jego pierwotnej postaci. Nie obaliły one jednak sa- mej filozofii Hilberta. W tej sytuacji badania poszły w dwóch kie- runkach: z jednej strony badano jakie środki, niekoniecznie już tylko finitystyczne, są potrzebne i wystarczą do wykazania niesprzeczno- ści różnych teorii matematycznych, a z drugiej dla jakich fragmentów matematyki klasycznej możliwa jest redukcja finitystyczna (skoro, jak pokazał G ̈odel, nie jest ona możliwa dla całej matematyki klasycz- nej). Pierwsze z tych podejść zwie się dziś uogólnionym, drugie zaś zrelatywizowanym programem Hilberta. Wydaje się, że pierwszym, który skłonny był dopuścić nie tylko metody finitystyczne, ale ogólnie metody konstruktywistyczne (abs- trahujemy tu od niejasności i niejednoznaczności tego pojęcia) był P. Bernays, a pierwszym znaczącym wynikiem w tym kierunku był dowód G. Gentzena (z roku 1936) niesprzeczności arytmetyki liczb naturalnych za pomocą indukcji pozaskończonej do liczby ǫ 0. Bada- nia te rozwinęły się w rozbudowany dzisiaj dział logiki matematycznej i podstaw matematyki, zwany teorią dowodu. Drugie podejście, tzn. zrelatywizowany program Hilberta, uzy- skało w ostatnich latach silny impuls ze strony tzw. matematyki od-
14 Roman MURAWSKI
wrotnej — mówimy o tym dokładniej w części II niniejszego artykułu (por. też Murawski, 1993). Pod wpływem doktryny intuicjonistycznej rozwijały się różne sys- temy matematyki konstruktywistycznej i rozmaite nurty konstruktywi- zmu. Prowadzono też (i nadal się prowadzi) intensywne badania nad matematyką i logiką intuicjonistyczną. Dodajmy, że w ostatnich latach badania te zyskały silny impuls — okazało się mianowicie, że logika intuicjonistyczna jest bardzo użytecznym narzędziem w informatyce teoretycznej.
LITERATURA CYTOWANA
Batóg, T. [1996], Dwa paradygmaty matematyki. Studium z dziejów ifilozofii matematyki, Wyd. Nauk. UAM, Poznań (wyd. II: 2000). G ̈odel, K. [1931], ̈Uber formal unentscheidbare S ̈atze der „Principia Mathe- matica“ und verwandter Systeme. I, Monatshefte f ̈ur Mathematik und Physik 38, 173-198. Przedruk wraz z tłumaczeniem angielskim: „On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Re- lated Systems’ w: G ̈odel, K. Collected Works, vol. I, ed. by Feferman, S. et al., Oxford University Press, New York and Clarendon Press, Oxford,1986, 144-195. G ̈odel, K. [1944], Russell’s mathematical logic, w: Schilpp, P. (Ed.) The Philosophy of Bertrand Russell, Northwestern University, Evanston, 123-153. Przedrukowane w: G ̈odel, K. Collected Works, vol. II, ed. by Feferman, S. et al. , Oxford University Press, New York and Oxford, 1990, 119-141. Przekład polski: „Logika matematyczna Russella” w: R. Murawski (red.), Współczesna filozofia matematyki, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 2002. G ̈odel, K. [1947], What is Cantor’s continuum problem?, The American Ma- thematical Monthly 54, 515-525. Wersja rozszerzona w: P. Benacer-
16 Roman MURAWSKI
Murawski, R. [1993], Rozwój programu Hilberta, Roczniki Polskiego Towarzy- stwa Matematycznego, Seria II: Wiadomości Matematyczne 30, 51-72. Murawski, R. [1995], Filozofia matematyki. Zarys dziejów, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa (wyd. II: 2001). Murawski R. [1999], Recursive Functions and Metamathematics, Kluwer Aca- demic Publishers, Dordrecht-Boston-London. Parsons, Ch. [1998], Platonism and mathematical intuition in Kurt G ̈odel’s tho- ught, Bulletin of Symbolic Logic 1, 44-74. Putnam H. [1975], What is mathematical truth?, w: Putnam, H., Mathematics, Matter and Method. Philosophical Papers, vol. I, Cambridge Univer- sity Press, Cambridge-London-New York-Melbourne, 60-78. Przekład polski: „Czym jest prawda matematyczna?” w: R. Murawski (red.), Współczesna filozofia matematyki, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 2002. Quine, W.V. [1951]a, Two dogmas of empiricism, Philosophical Review 60/1, 20-43. Także w: Quine W.V., From a Logical Point of View, Ha- rvard University Press, Cambridge, Mass. 1953, 20-46. Przekład pol- ski: „Dwa dogmaty empiryzmu” w: W.V. Quine, Z punktu widzenia logiki. Eseje logiczno-filozoficzne, PWN, Warszawa 1969, 35-70. Quine, W.V. [1951]b, On Carnap’s views on ontology, Philosophical Studies 2. Przekład polski: „O poglądach Carnapa na ontologię” w: Stanosz B. (red.), Emiryzm współczesny, Wydawnictwo Uniwersytetu War- szawskiego, Warszawa, 163-172. Quine, W.V. [1953], On what there is, w: Quine W.V., From a Logical Point of View, Harvard University Press, Cambridge, Mass., 1-19. Przekład polski: „O tym, co istnieje” w: W.V. Quine, Z punktu widzenia logiki. Eseje logiczno-filozoficzne, PWN, Warszawa 1969, 9-34.
GŁÓWNE KONCEPCJE I KIERUNKI FILOZOFII... 17
Tarski, A. [1933], Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych, Nakładem Towarzystwa Naukowego Warszawskiego, Warszawa. Wang Hao [1974], From Mathematics to Philosophy, Routledge and Kegan Paul, London. Wittgenstein, L. [1922], Tractatus logico-philosopicus, New York-London. Prze- kład polski: Tractatus logico-philosophicus, PWN, Warszawa 1970, wydanie II: Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 1997. Wittgenstein, L. [1953], Philosopical Investigations, Basil Blackwell, Oxford. Prze- kład polski: Dociekania filozoficzne, PWN, Warszawa 1972. Wittgenstein, L. [1956], Remarks on the Foundations of Matematics, Basil Blac- kwell, Oxford. Przekład polski: Uwagi o podstawach matematyki, Wy- dawnictwo KR, Warszawa 2000.
Murawski-Filozofia matematyki
Kurs: Pedagogika Specjalna
- Odkryj więcej od:
Polecane dla Ciebie
Inni studenci przeglądali również:
Inne powiązane dokumenty
- PAS - PODRĘCZNIK DO SKALI OSOBOWEJ OCENY PAS H. C. GUNZBURGA DLA OSÓB Z UPOŚLEDZENIEM
- PAC 2 (Naprawiony) - PODRĘCZNIK DO INWENTARZA PAC-2 H.C. GUNZBURGA DO OCENY POSTĘPU W ROZWOJU SPOŁECZNYM
- PAC 1 - PODRĘCZNIK DO INWENTARZA PAC-1 H.C. GUNZBURGA DO OCENY POSTĘPU W ROZWOJU SPOŁECZNYM
- Przewodnik po kompetencjach społecznych
- wczesne wspomaganie rozwoju dziecka z niedosłuchem
- Mechanizmy obronne - psychologia kliniczna- notatka