- Informacje
- Czat SI
Calka potrojna - wzory
Matematyka (L101)
Komentarze
Przejrzyj tekst
Całka potrójna
DEFINICJA (podziału prostopadłocianu)
Podziałem prostopadłocianu
{{{{ }}}}
3
R : ==== ( x , y , z ) ∈∈∈∈ : a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b, c ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ d , p ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤q
nazywa si zbiór P złoony z prostopadłocianów
1 n
R , ..., R , n ∈ , ∈∈
∈
które całkowicie
wypełniaj prostopadłocian R i maj parami rozłczne wntrza.
Przyjmujemy nastpujce oznaczenia:
1
k k k
∆x , ∆y , ∆z , k = , ...,n ==
= - wymiary prostopadłocianu
k
R
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
2 2 2
1
k k k k
d : ==== ∆x ++++ ∆y ++++ ∆z , k ==== , ...,n - długo przektnej prostopadłocianu
(
((
( )
))
)
{{{{ }}}}
1
k
δ P : ==== max d : k ==== , ...,n - rednica podziału P
{(( (( ))))
{{
{ }
}}
}
1
k k k k
Θ : x , y , z R : k , ...,n
∗∗∗∗ ∗∗∗∗ ∗∗∗∗
= ∈ = == ∈∈ ==
= ∈ = - zbiór punktów porednich podziału P
DEFINICJA (całki potrójnej po prostopadłocianie)
CAŁK POTRÓJN PO PROSTOPADŁOCIANIE R Z FUNKCJI f ograniczonej na
prostopadłocianie R definiuje si wzorem
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
0
1
n
k k k k k k
P
k R
f x , y, z dxdydz : lim f x , y , z x y z
δ
∆ ∆ ∆
∗ ∗ ∗ ∗∗ ∗∗ ∗∗
∗ ∗ ∗
→→→→
====
==
o ile granica jest właciwa i nie zaley od wyboru podziału P prostopadłocianu R i punktów
porednich Θ. Mówimy wtedy, e FUNKCJA f JEST CAŁKOWALNA
NA PROSTOPADŁOCIANIE R.
UWAGA
Podobnie, jak dla całki podwójnej, zachodz twierdzenia o liniowoci, addytywnoci
wzgldem obszaru całkowania oraz warunek wystarczajcy istnienia całki.
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki potrójnej )
(o zamianie całki potrójnej na całki iterowane)
Jeeli funkcja f : R →→→→ jest całkowalna na prostopadłocianie
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
R : ==== a ,b ×××× c,d ×××× p,q ==== D ×××× p,q
oraz dla kadego ( x , y ) ∈∈∈∈ Distnieje całka
(((( ))))
q
p
f x , y , z dz ,
to istnieje całka iterowana
(
((
( )
))
)
q
D p
f x , y , z dz dxdy
i zachodzi równo
(((( )))) (((( ))))
q
R D p
f x , y , z dxdydz f x , y , z dz dxdy
====
TWIERDZENIE
Jeeli funkcja f : R →→→→ jest całkowalna na prostopadłocianie
{{{{ }}}}
3
R : ==== ( x , y , z ) ∈∈∈∈ : a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b, c ≤≤≤≤ y ≤≤≤≤ d , p ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤q
to
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
q q b d d b
R a c p c a p
f x , y , z dxdydz f x , y , z dz dy dx f x , y , z dz dx dy ...
== == ==== ====
DEFINICJA (całki potrójnej po obszarze ograniczonym)
Niech
3
V ⊂⊂⊂⊂ bdzie obszarem ograniczonym. Niech f :V →→→→ bdzie ograniczona na V
oraz niech R ⊃⊃⊃⊃ V bdzie prostopadłocianem zawierajcym obszar V. Ponadto niech funkcja
(
((
( )
))
)
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
0
f x , y , z , x , y , z V
f x , y , z :
, x , y , z R \V
∗∗∗∗
∈∈∈∈
== ==
∈∈∈∈
CAŁK POTRÓJN Z FUNKCJI f PO OBSZARZE V definiuje si wzorem
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
V R
f x , y , z dxdydz : f x , y , z dxdydz
∗∗∗∗
====
o ile całka po prawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, e FUNKCJA f JEST
CAŁKOWALNA NA OBSZARZE V.
DEFINICJA (obszaru normalnego wzgldem płaszczyzny)
Obszar domknity
3
V ⊂⊂⊂⊂ nazywa si OBSZAREM NORMALNYM WZGLDEM
PŁASZCZYZNY XOY, gdy
(
((
( )
))
) (
((
( )
))
)
{{{{ }}}}
3
XY
V ==== x , y , z ∈∈∈∈ : x , y ∈∈∈∈ D , g( x , y ) ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤h( x , y ) ,
gdzie
XY
D jest obszarem normalnym na płaszczynie XOY, g, h s funkcjami okrelonymi
i cigłymi na
XY
D takimi, e
XY
g( x , y ) <<<< h( x , y ), ( x , y ) ∈∈∈∈int D
Obszary normalne wzgldem płaszczyzn XOZ, YOZ definiuje si analogicznie.
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki potrójnej po obszarze normalnym wzgldem XOY)
Jeeli funkcja f :V →→→→ jest całkowalna w obszarze
3
V ⊂⊂⊂⊂ normalnym wzgldem
płaszczyzny XOY, to
(((( )))) (((( ))))
XY
h( x , y )
V D g( x , y )
f x , y , z dxdydz f x , y , z dz dxdy
=
=
UWAGA
(i) Twierdzenia po pozostałych obszarach normalnych s analogiczne.
(ii) Całka potrójna po OBSZARZE REGULARNYM (jest skoczon sum obszarów
normalnych wzgldem płaszczyzn układu współrzdnych o rozłcznych wntrzach)
wyraa si podobnym wzorem jak dla całki podwójnej.
Trójk liczb nazywa si WSPÓŁRZDNYMI
WALCOWYMI PUNKTU PRZESTRENI.
( )
φ ρ, ,h
x
y
z
####### ( )
- P x , y ,z
####### ( )
- P ′x , y , 0
ρ
φ
0
h
x
y
- P
ρ
φ
h
- P′
UWAGA (o przekształceniu walcowym)
(i) Współrzdne
(((( ))))
x , y, z punktu przestrzeni XYZ danego we współrzdnych walcowych
(
((
( )
))
φ ρ, ,h )okrelone s wzorami
x cos
W : y sin
z h
ρ φ
ρ φ
== ==
==
==
(ii) Przekształcenie W , które kademu punktowi
(((( ))))
φ ρ, ,h przyporzdkowuje punkt
(((( ))))
x , y, z
okrelony powyszymi wzorami nazywa si PRZEKSZTAŁCENIEM WALCOWYM
(iii)
(((( ))))
0
0 0
0 0 1
W
sin cos
J , ,h det cos sin
ρ φ φ
φ ρ ρ φ φ ρ
−−−−
==== ==== >>>>
wewntrz prostopadłocianu
(((( ))))
{{{{ }}}}
1 2
Ω = φ ρ, ,h : 0 ≤ α < φ < β ≤ 2 π , 0 ≤ ρ≤ r , h ≤ h ≤h == ≤≤ << << ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤ ≤≤
= ≤ < < ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
(iv)
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
V
f x , y , z dxdydz f cos , sin ,h d d dh, V W
Ω
= ρ φ ρ φ ρ φ ρ = Ω == ==
= =
DEFINICJA (współrzdnych sferycznych)
Połoenie punktu P w przestrzeni XYZ mona opisa przy pomocy trójki liczb
(((( ))))
φ ψ ρ, , ,
gdzie φ
oznacza miar kta midzy dodatni czci osi OX a rzutem promienia wodzcego
punktu P na płaszczyzn XOY
[
[[
[ ]
]]
] [
[[
[ ]
]]
]
(((( ))))
φ ∈ 0 2, π ∨ φ ∈ −π π, ; ∈∈ ∨∨ ∈ −∈ −
∈ ∨ ∈ −
ψ
oznacza miar kta midzy płaszczyzn XOY a promieniem wodzcym punktu P
2 2
,
π π
ψ
∈∈ ∈∈ −−−−
.
Natomiast ρ oznacza odległo punktu P od pocztku układu współrzdnych
(((( ))))
ρ ≥ 0. ≥≥
≥
Trójk liczb nazywa si WSPÓŁRZDNYMI
SFERYCZNYMI PUNKTU PRZESTRENI.
( )
φ ψ ρ, ,
x
y
z
####### ( )
- P x , y ,z
####### ( )
- P ′x , y , 0
ρ
φ
0
ψ
P
φ
ψ
ρ
długo geograficzna
szeroko geograficzna
promie Ziemi
φ −
ψ −
ρ −
P
′
UWAGA (o przekształceniu sferycznym)
(i) Współrzdne
(((( ))))
x , y, z punktu przestrzeni XYZ danego we współrzdnych sferycznych
(
((
( )
))
φ ψ ρ, , )okrelone s wzorami
x cos cos
S : y sin cos
z sin
ρ φ ψ
ρ φ ψ
ρ ψ
====
==
==
(ii) Przekształcenie S , które kademu punktowi
(((( ))))
φ ψ ρ, , przyporzdkowuje punkt
(((( ))))
x , y , z okrelony powyszymi wzorami nazywa si PRZEKSZTAŁCENIEM
SFERYCZNYM
(iii) (
((
( )
))
)
2
0
s
sin cos cos sin cos cos
J , , det cos cos sin sin sin cos cos
cos sin
ρ φ ψ ρ φ ψ φ ψ
φ ψ ρ ρ φ ψ ρ φ ψ φ ψ ρ ψ
ρ ψ ψ
−−−− −−−−
==== −−−− ====
jest wikszy od zera wewntrz prostopadłocianu
(((( ))))
0 2 0
2 2
, ,h : , , r
π π
Ω φ ρ α φ β π γ ψ λ ρ
==== ≤≤≤≤ <<<< <<<< ≤≤≤≤ −−−− ≤≤≤≤ <<<< <<<< ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ ≤≤≤≤
(iv)
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
2
V
f x , y , z dxdydz f cos cos , sin cos , sin cos d d d , V S
Ω
==== ρ φ ψ ρ φ ψ ρ ψ ρ ψ φ ψ ρ ==== Ω
Calka potrojna - wzory
Kurs: Matematyka (L101)
Uniwersytet: Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kosciuszki
