- Informacje
- Czat SI
Temat: Rezonans w obwodzie równoległym RLC
Elektrotechnika
Politechnika Poznanska
Polecane dla Ciebie
Powiązane Studylist
Elektr laboPrzejrzyj tekst
POLITECHNIKA POZNAŃSKA
INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI PRZEMYSŁOWEJ Zakład Podstaw Elektrotechniki Laboratorium Podstaw Elektrotechniki
Ćwiczenie nr 10
Temat: Rezonans w obwodzie równoległym RLC Rok akademicki: 1
Wydział Automatyki, Robotyki i Elektrotechniki
Studia dzienne inżynierskie
Nr grupy: E-2 L
Wykonawcy:
Gracjan Kostański
Data Wykonania ćwiczenia
Oddania sprawozdania 18.05 23.
Ocena:
Uwagi:
1. Wiadomości teoretyczne
Jeśli w obwodzie równoległym R, L, C zachodzi równość susceptancji indukcyjnej i pojemnościowej, to taki stan nazywa się rezonansem prądów lub rezonansem równoległym.
W obwodzie rezonansu prądów, przedstawionym na rysunku 1a, rezystancja R odwzorowuje straty zarówno w kondensatorze, jak i w cewce. Przyjęto więc dla cewki i dla kondensatora schematy zastępcze równoległe.
Rys. 1. Rezonans prądów w dwójniku równoległym RLC:
a) schemat obwodu,
b) wykres wskazowy dla obwodu w stanie rezonansu
Jeśli do dwójnika równoległego RLC (rys. 1a) doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej U i o pulsacji ω = 2πf, to dla rozpatrywanego obwodu są słuszne następujące zależności:
IR = GU
IL = -jBLU
IC = jBCU
a prąd dopływający do dwójnika
I =IR + IL + IC = [G + j(BC – BL)]U = YU
Zgodnie z podaną definicją, rezonans prądów wystąpi wówczas, gdy B=0, tzn.
BC = BL
lub
ωrC = 1 𝜔𝑟𝐿 = √
𝐿 𝐶
gdzie ρ = √ 𝐿 𝐶 nazywa się impedancją charakterystyczną dwójnika przy częstotliwości rezonansowej.
Częstotliwość, przy której jest spełniony powyższy warunek, jest zwana częstotliwością rezonansową równoległego obwodu rezonansowego
f r = 1 2𝜋√𝐿𝐶
W stanie rezonansu równoległego zachodzącego w obwodzie z rysunku 1a są słuszne następujące zależności:
Y = G
I = IR
IL + IC = 0
IL = IC
W wyniku powyższych rozważań stwierdzono, że w stanie rezonansu prądów:
susceptancja pojemnościowa jest równa susceptancji indukcyjnej,
admitancja obwodu jest równa konduktancji, a zatem argument admitancji zespolonej jest równy zeru,
prąd w gałęzi indukcyjnej jest co do modułu prądowi w gałęzi pojemnościowej, a suma geometryczna tych prądów jest równa zeru,
Rys. 2. Spadek napięcia na rezystorze (linia ciągła) oraz na kondensatorze i cewce (linia przerywana)
Na rysunku 3 pokazano charakterystyki częstotliwościowe dla elementów dwójnika RLC z rysunku 1a.
Rys. 3. Charakterystyki częstotliwościowe G, BL , BC , Y
Celem przeprowadzonego ćwiczenia zbadanie właściwości równolegle połączonych elementów RLC zasilanych ze źródła napięcia przemiennego w pewnym zakresie częstotliwości.
2. Przebieg ćwiczenia 2. Wyznaczenie charakterystyki spadku napięcia na rezystancji oraz na kondensatorze i cewce w funkcji częstotliwości
2.1. Schemat połączeń
2.1. Przebieg pomiarów
Zestawić układ przedstawiony w pkt 2.1. Wyznaczyć taką częstotliwość generatora, aby wystąpił maksymalny spadek napięcia na cewce i kondensatorze (znajdując częstotliwość rezonansową). Zmierzyć napięcie na rezystancji, cewce i kondensatorze przy częstotliwościach niższych i wyższych, utrzymując stałą wartość napięcia generatora. Wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.
2.1. Tabela wyników pomiarów
Tabela 1.
Lp. f |UR| |ULC| [kHz] [V] [V] 1 1 4,993 0, 2 1,5 4,994 0, 3 2 4,998 0, 4 2,5 4,961 0, 5 3 4,916 0, 6 3,5 4,805 1, 7 4 4,397 2, 8 4,1 4,203 2, 9 4,2 3,915 2, 10 4,3 3,489 3, 11 4,4 2,915 3, 12 4,5 2,16 4, 13 4,6 1,283 4, 14 4,7 0,639 4, 15 4,8 1,25 4, 16 4,9 2,033 4, 17 5 2,691 3, 18 5,5 4,189 2, 19 6 4,597 1, 20 6,5 4,752 1, 21 7 4,835 1, 22 7,5 4,88 0, 23 8 4,91 0, 24 8,5 4,836 0, 25 9 4,846 0,
iL = 𝑈𝜔𝐿𝐿𝐶 = 25132,2,18474∗22∗10−3 = 3,95 mA
iC = UXLC C = ULC 1 ω∗C
= 765,172, 184 = 2,854 mA
Dla Lp. 35 ( f = 14 kHz ):
ω = 2 * π * 14000 = 87964,59 1 𝑠
iR = 𝑈𝑅𝑅 = 3900 4, 88 = 1,251 [mA]
iL = 𝑈𝐿𝐶 𝜔𝐿 =
0,
0,
87964,59∗22∗10−3 = 0,178 [mA]
iC = ULC XC =
ULC 1 ω∗C
=
0,
765,17 = 1,578 [mA]
IR IL IC [A] [A] [A] 0,00128 0,001331115 0, 0,001281 0,001413104 0, 0,001282 0,001551762 0, 0,001272 0,001747812 0, 0,001261 0,002078662 0, 0,001232 0,002670498 0, 0,001127 0,00394994 0, 0,001078 0,00438294 0, 0,001004 0,004874555 0, 0,000895 0,005456024 0, 0,000747 0,006020929 0, 0,000554 0,006501244 0, 0,000329 0,006801835 0, 0,000164 0,006815655 0, 0,000321 0,006498832 0, 0,000521 0,005991199 0, 0,00069 0,005419954 0, 0,001074 0,003169948 0, 0,001179 0,002079867 0, 0,001218 0,001499174 0, 0,00124 0,00114819 0, 0,001251 0,000913454 0, 0,001259 0,000747848 0, 0,00124 0,000627258 0, 0,001243 0,000533732 0, 0,001242 0,000460712 0, 0,001246 0,000397888 0, 0,001247 0,000356204 0, 0,001248 0,000317652 0,
0,001248 0,000284969 0, 0,001249 0,000256818 0, 0,001249 0,000233235 0, 0,001251 0,000212578 0, 0,001251 0,000339209 0, 0,001251 0,000178274 0,
3. Narysować charakterystykę UR, ULC w funkcji częstotliwości dla parametrów znamionowych, przyjmując wartość napięcia zasilania U = 5 V
Spadek napięcia na rezystorze (linia ciągła) oraz na kondensatorze i cewce (linia przerywana)
0
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0 2 4 6 8 10 12 14 16
I(R) I(L) I(C)
Bc
Bl
G - 0,00196 0,001206 0,00026 0, - 0,002124 0,001113 0,00026 0, - 0,002287 0,001033 0,00026 0, - 0,00245 0,000965 0,00026 0, - 0,002614 0,000904 0,00026 0, - 0,002777 0,000851 0,00026 0, - 0,002941 0,000804 0,00026 0, - 0,003104 0,000762 0,00026 0, - 0,003267 0,000723 0,00026 0, - 0,003431 0,000689 0,00026 0, - 0,003594 0,000658 0,00026 0, - 0,003757 0,000629 0,00026 0, - 0,003921 0,000603 0,00026 0, - 0,004084 0,000579 0,00026 0, - 0,004247 0,000556 0,00026 0, - 0,004411 0,000536 0,00026 0, - 0,004574 0,000517 0,00026 0, - 0,004574 0,000517 0,00026 0, -
- 0,
- 0,
- 0,
- 0,
- 0,
- 0,
- 0,
- 0, - 1 2 3 4 4,2 4,4 4,6 4,8
3. Z danych parametrów wyznaczyć: a) pulsację rezonansową,
ωr = √ 1 LC = √22∗10−3 1 ∗52∗10−9 = 29565,6 [rads]
a) częstotliwość rezonansową.
f r = ωr 2π =
29565, 2π = 4707,5 [Hz]
4. Uwagi końcowe i wnioski
Otrzymane wyniki zgadzają się z założeniami teoretycznymi. Ewentualne błędy mogą wynikać z niedokładnych pomiarów, oraz z faktu, że rozpatrywany układ nie jest idealny i występują w nim dodatkowo parametry (pojemności między przewodami, indukcyjności). W teorii zakładany jest układ o idealnych elementach, natomiast tutaj mamy do czynienia z rzeczywistym kondensatorem i cewką, które oprócz pojemności czy indukcyjności posiadają jeszcze pewną rezystancję własną. Błędy są na tyle małe, że można przyjąć wykonane ćwiczenie jako poprawne.
Literatura [1] Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna , WNT, Warszawa 2001.
[2] Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna , t. 1, WNT, Warszawa 1973.
[3] Frąckowiak J., Nawrowski R., Zielińska M., Podstawy elektrotechniki. Laboratorium , WPP, Poznań 2011.
[4] Krakowski M., Elektrotechnika teoretyczna , t. 1, Wyd. Nauk. PWN, Warszawa 1995.
Moc bierna fazy L 1 wyraża się wzorem:
𝑄𝐿1=
𝑈𝐿2𝐿
√ 3
𝐼𝐿1𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿
natomiast moc całkowita układu wynosi:
𝑄𝑐𝑎ł= 3
𝑈𝐿2𝐿
√ 3
𝐼𝐿1𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿1=√ 3 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿
Oznacza to, że aby otrzymać całkowitą moc bierną, należy wskazanie watomierza pomnożyć przez
√ 3. W obwodach trójfazowych o symetrycznym zasilaniu i niesymetrycznym obciążeniu moc bierną należy mierzyć za pomocą trzech lub dwóch watomierzy. Na rys. 2 przedstawiono układ do pomiaru mocy biernej trzema watomierzami. Ponieważ do pomiaru mocy biernej trzema watomierzami do ich cewek napięciowych doprowadza się napięcie przewodowe, w celu obliczenia całkowitej mocy biernej sumę wskazań watomierzy należy
podzielić przez √ 3.
𝑄𝑐𝑎ł=
𝑄 1 + 𝑄 2 + 𝑄 3
√ 3
W układzie trójfazowym, trójprzewodowym, podobnie jak przy pomiarze mocy czynnej, moc bierną mierzy się dwoma watomierzami. Na rysunku 3 przedstawiono układ do pomiaru mocy biernej dwoma watomierzami (jeden z możliwych układów połączeń).
Rys. 2 Układ trzech watomierzy do pomiaru mocy Rys. 3 Układ dwóch watomierzy do pomiaru mocy biernej przy niesymetrycznym obciążeniu biernej odbiornika trójfazowego
Wskazania odpowiednich watomierzy wynoszą:
𝑄 1 = 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1cos(𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1)=𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1sin𝜑𝐿
𝑄 2 = 𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3cos(𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3)=𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3sin𝜑𝐿
Aby otrzymać moc bierną układu Q, należy sumę wskazań watomierzy pomnożyć przez √ 3 i podzielić przez 2.
𝑄𝑐𝑎ł =
√ 3 (𝑄 1 + 𝑄 2 )
2
3. Przebieg ćwiczenia
3 Pomiar mocy biernej w układzie trójfazowym jednym watomierzem przy obciążeniu symetrycznym
3.1 Schemat połączeń układu pomiarowego oraz sposoby połączeń odbiorników
Sposoby połączeń odbiorników:
3.1 Przebieg pomiarów
Połączyć układ według schematu zamieszczonego w pkt. 3.1. Pomiary wykonać dla dwóch rodzajów połączeń odbiornika. a) Równoległe połączenie rezystorów i kondensatorów w gwiazdę. b) Szeregowe połączenie rezystorów i kondensatorów w trójkąt. Odczytać wskazania mierników, a wyniki pomiarów zamieścić w tabeli 1.
3.1 Wyniki pomiarów
Tabela 1
3 Pomiar mocy biernej dwoma watomierzami przy obciążeniu symetrycznym
3.2 Schemat połączeń układu pomiarowego oraz sposoby połączenia odbiorników Sposoby połączenia odbiorników jak w pkt. 3.
𝑋𝐶=
1
𝜔𝐶
=
1
(20 ∙ 10−6)∙ 2 𝜋𝑓
=
1
(20 ∙ 10−6)∙ 2𝜋 ∙ 50
=
1
(20 ∙ 10−6)∙ 314
= 159[𝛺]
Obliczenie oporu zespolonego kondensatora i rezystora
𝑍 =
𝑅 ∙(−𝑗𝑋𝐶)
𝑅 − 𝑗𝑋𝐶
=
−𝑗 159 ∙ 220
220 − 𝑗159.
= 129𝑒−𝑗 54°
b) Odbiornik w kształcie „trójkąta”
𝑓 = 50[𝐻𝑧] 𝑅 = 220[𝛺] 𝐶 = 20𝜇𝐹 =20 ∙ 10−6[𝐹]
𝑋𝐶=
1
𝜔𝐶
=
1
(20 ∙ 10−6)∙ 2 𝜋𝑓
=
1
(20 ∙ 10−6)∙ 2𝜋 ∙ 50
=
1
(20 ∙ 10−6)∙ 314
= 159[𝛺]
Obliczenie oporu zespolonego kondensatora i rezystora
𝑍 =
𝑅 ∙(−𝑗𝑋𝐶)
𝑅 − 𝑗𝑋𝐶
=
−𝑗 159 ∙ 220
220 − 𝑗159.
= 129𝑒−𝑗 54°
Zamiana układu w kształcie „trójkąt” na układ „gwiazda”
𝑍𝑔=
𝑍 2
3𝑍
=
(129𝑒−𝑗 54°)
2
3 ∙(129𝑒−𝑗 54°)
= 43𝑒−𝑗 54,1°
4 Obliczenia mocy biernej dla pomiaru jednym watomierzem
Wykonać obliczenia poszczególnych wielkości zawartych w tabeli 4 dla dwóch sposobów połączenia odbiornika (A i B). Prąd i napięcie przedstawić w postaci 𝐴𝑒𝑗𝜑.
Dla A
𝑄𝐿1=
𝑈𝐿2𝐿
√ 3
𝐼𝐿1𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿
𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿1=
𝑄𝐿1√ 3
𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
=
√ 3 ∙ 62
132 √ 2 ∙ 0√ 2
= 0. 6779
arcsin(0. 6779)= 42°
𝑄𝑐𝑎ł=√ 3 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿1=√ 3 ∙ 62 = 107[𝑣𝑎𝑟]
Dla B
𝑄𝐿1=
𝑈𝐿2𝐿
√ 3
𝐼𝐿1𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿
𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿1=
𝑄𝐿1√ 3
𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
=
√ 3 ∙ 62
132 √ 2 ∙ 0. 84√ 2
= 0. 4843
arcsin(0. 4843)= 28°
𝑄𝑐𝑎ł=√ 3 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1𝑠𝑖𝑛𝜑𝐿1= 3 ∙ 𝑄𝐿1= 186[𝑣𝑎𝑟]
Tabela 4 𝑈𝐿2𝐿3 𝐼𝐿1 𝑄 1 𝑄𝑐𝑎ł Rodzaj połączenia [V] [A] [var] [var] odbiornika 132𝑒−𝑗 90° 0𝑒𝑗42° 62 107 A 132𝑒−𝑗 90° 0. 84𝑒𝑗28° 62 107 B
4 Obliczenia mocy biernej dla pomiaru mocy trzema watomierzami
Wykonać obliczenia poszczególnych wielkości zawartych w tabeli 5 dla dwóch sposobów połączenia odbiornika (A i B). Prąd i napięcie przedstawić w postaci 𝐴𝑒𝑗𝜑.
Dla A
𝑄 1 = 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1cos(𝜑𝑈− 𝜑𝐼)= 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1sin𝜑𝐿
𝑄 1 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
= 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝐿1)=
62
132 ∙ 0.
= 0. 7828
arcsin(
𝑄 1
𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
)= 51°
𝑄 2 = 𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3cos(𝜑𝑈− 𝜑𝐼)=𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3sin𝜑𝐿
𝑄 2 𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿
= 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝐿3)
arcsin(
𝑄 2
𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿
)= − 68°
𝑄 3 = 𝑈𝐿3𝐿1𝐼𝐿2cos(𝜑𝑈− 𝜑𝐼)=𝑈𝐿3𝐿1𝐼𝐿2sin𝜑𝐿
𝑄 3 𝑈𝐿3𝐿1𝐼𝐿
= 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝐿2)
arcsin(
𝑄 3
𝑈𝐿3𝐿1𝐼𝐿
)= 171°
𝑄𝑐𝑎ł=
𝑄 1 + 𝑄 2 + 𝑄 3
√ 3
=
62 + 62 + 62
√ 3
107[𝑣𝑎𝑟]
Dla B
𝑄 1 = 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1cos(𝜑𝑈− 𝜑𝐼)= 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿1sin𝜑𝐿
𝑄 1 𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
= 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝐿1)=
62
132 ∙ 0. 84
= 0. 5592
arcsin(
𝑄 1
𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
)= 34°
𝑄 2 = 𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3cos(𝜑𝑈− 𝜑𝐼)=𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3sin𝜑𝐿
𝑄 1
𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
= 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝐿1)=
62
132 ∙ 0. 84
= 0. 5592
arcsin(
𝑄 1
𝑈𝐿2𝐿3𝐼𝐿
)= 34°
𝑄 2 = 𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3cos(𝜑𝑈− 𝜑𝐼)=𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿3sin𝜑𝐿
𝑄 2 𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿
= 𝑠𝑖𝑛(𝜑𝐿3)
arcsin(
𝑄 2
𝑈𝐿1𝐿2𝐼𝐿
)= − 86°
𝑄𝑐𝑎ł =
√ 3 (𝑄 1 + 𝑄 2 )
2
=
√ 3 ∙(62 + 62)
2
= 107[𝑣𝑎𝑟]
Tabela 6
𝑈𝐿2𝐿3 𝐼𝐿1 𝑈𝐿1𝐿2 𝐼𝐿3 𝑄 1 𝑄 3 𝑄𝑐𝑎ł Rodzaj połączenia [V] [A] [V] [A] [var] [var] [var] odbiornika 132𝑒−𝑗 90° 0𝑒𝑗51° 132𝑒𝑗30° 0𝑒𝑗− 68° 62 62 107 A 132𝑒−𝑗 90° 0. 84𝑒𝑗34° 132𝑒𝑗30° 0. 84𝑒𝑗− 86° 62 62 107 B
5. Wnioski i uwagi końcowe
Wykonane ćwiczenie pomiaru mocy biernej w układzie trójfazowym przypomina wykonywane poprzednio ćwiczenie pomiaru mocy czynnej. W każdym z tych ćwiczeń występują zależności „powtarzalności” wielkości kątowych względem poszczególnych metod pomiarowych. I tak pomiar mocy biernej jednym watomierzem przypomina pomiar mocy czynnej jednym watomierzem i jednocześnie jest obarczony takimi samymi ograniczeniami jak i zaletami. Podążając dalej tą zależnością pomiar mocy biernej dwoma watomierzami jest podobny do pomiaru mocy czynnej układem Arona. Jednak metody obliczania tych mocy są od siebie znacząco różne, to samo można powiedzieć o obliczeniach stosowanych w pomiarach z wykorzystaniem trzech watomierzy. Podsumowując pomiary mocy czynnej jak i biernej są w znacznym stopniu zautomatyzowane, kiedy wyprowadzi się odpowiednie wzory oraz zależności. Jednak należy uważać na symetrię lub asymetrię zarówno zasilania i odbiornika.
6. Parametry i dane znamionowe zastosowanych urządzeń i mierników
POLITECHNIKA POZNAŃSKA Wydział Elektryczny Instytut Elektrotechniki i Elektroniki Przemysłowej Zakład Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej Przedmiot: Laboratorium Teorii obwodów
Ćwiczenie nr: 12 Temat: Czwórniki równoważne Rok akademicki: 2020/ Kierunek: Elektrotechnika Studia: dzienne inżynierskie Rok studiów: I Semestr: II Nr grupy: E-2/L-
Wykonawca:
Filip Kołaczyński
Data Wykonania ćwiczenia
Oddania sprawozdania 03. 7.
Ocena:
Uwagi:
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zastąpienie pasywnego czwórnika o nieznanej budowie, dla jednej częstotliwości 50 Hz, czwórnikami typu T, Π, X.
2. Wiadomości teoretyczne
Czwórnik to układ czterozaciskowy mający dwa zaciski wejściowe (pierwotne) 1-1' oraz
dwa zaciski wyjściowe (wtórne) 2-2'. Napięcie u 1 pomiędzy zaciskami 1-1' nazywa się
wejściowym (pierwotnym), a napięcie u 2 między zaciskami 2-2' — wyjściowym (wtórnym).
Podobnie prąd i 1 nazywa się wejściowym (pierwotnym), a prąd i 2 wyjściowym (wtórnym).
Rysunek 1. Schemat ogólny czwórnika
Jeżeli w wewnętrznych połączeniach czwórnika nie ma źródeł energii elektrycznej, to taki
czwórnik jest czwórnikiem pasywnym. Gdy wszystkie elementy składowe czwórnika są
liniowe, to czwórnik jest również liniowy. Dwa czwórniki są równoważne, gdy po przyłączeniu
Temat: Rezonans w obwodzie równoległym RLC
Kurs: Elektrotechnika
Uniwersytet: Politechnika Poznanska
- Odkryj więcej od:ElektrotechnikaPolitechnika Poznanska313 Dokumenty
- Więcej od:ElektrotechnikaPolitechnika Poznanska313 Dokumenty
