- Informacje
- Czat SI
Co to znaczy ze ciag jest zbiezn
Termodynamika (TER1)
Komentarze
Przejrzyj tekst
Co to znaczy, że ciąg jest zbieżny?
Wprowadzenie Przeczytaj Animacja Sprawdź się Dla nauczyciela
Ciąg nieskończony to taki, który posiada nieskończenie wiele wyrazów. Jednym z najważniejszych pojęć związanych z ciągami nieskończonymi jest pojęcie granicy. Wiąże się z nim bardzo ważna własność, którą nazywamy zbieżnością ciągu i której poświęcony będzie ten temat. Dowiemy się czym są ciągi zbieżne oraz poznamy przykłady zarówno ciągów zbieżnych jak i takich, które zbieżne nie są. Poznamy również związek pomiędzy zbieżnością ciągu a posiadaniem przez niego granicy. Twoje cele Dowiesz się co to znaczy, że ciąg jest zbieżny. Poznasz przykłady ciągów zbieżnych oraz takich, które nie są zbieżne. Zrozumiesz związek między zbieżnością ciągu oraz granicą ciągu. Źródło: Dean Marston, dostępny w internecie: pixabay.
Co to znaczy, że ciąg jest zbieżny?
Powyższa obserwacja pozwala nam dokonać klasyfikacji ciągów nieskończonych w zależności od tego czy posiadają one granice czy też nie. Definicja: Ciąg zbieżny Ciąg nieskończony nazywamy zbieżnym, jeśli posiada on granicę (tzn. posiada on granicę będącą liczbą rzeczywistą). Spójrzmy na kolejne przykłady ilustrujące powyższą definicję. Przykład 2 Ciąg jest ciągiem zbieżnym, gdyż posiada on granicę równą. Rozważmy teraz ciąg dany wzorem Wiemy, że. Oznacza to, że w dowolnie małym otoczeniu liczby znajdują się prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Jeśli do każdego wyrazu ciągu dodamy liczbę , to wówczas w dowolnie małym otoczeniu liczby znajdą się prawie wszystkie wyrazy ciągu. Oznacza to, że granica tego ciągu jest równa , zatem jest to również ciąg zbieżny. Przykład 3 Rozważmy ciąg dany wzorem Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu (an) g ∈ R an = 1 n 0 an = 3 + 1 n lim n→+∞ 1 n = 0 0 an = 1 n 3 3 an = 3 + n 1 an = 2 cos(πn), n ∈ N. a 1 = 2 cos(π) = 2 ⋅ (−1) = − a 2 = 2 cos(2π) = 2 ⋅ 1 = 2 a 3 = 2 cos(3π) = 2 ⋅ (−1) = − a 4 = 2 cos(4π) = 2 ⋅ 1 = 2
Z powyższego oraz faktu, że funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie równym wynika, że dla (tzn. gdy jest liczbą nieparzystą) oraz dla (tzn. gdy jest liczbą parzystą). Rozumując teraz analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że ciąg dany wzorem nie posiada granicy, a zatem nie jest zbieżny. Przykład 4 Rozważmy ciąg dany wzorem Policzmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu Ponieważ funkcja sinus jest funkcją okresową o okresie równym , więc dla każdego. Oznacza to, że nasz ciąg jest ciągiem stałym takim, że dla każdego. Ciągi stałe są ciągami zbieżnymi, gdyż ich granica jest równa tej stałej wartości (w naszym przypadku ). Ciekawostka Okazuje się, że suma dwóch ciągów nie będących ciągami zbieżnymi może być ciągiem zbieżnym. Aby wykazać ten fakt, rozważmy dwa ciągi. Wypiszmy po kilka początkowych wyrazów każdego z ciągów. Oba ciągi przyjmują zatem na zmianę wartości oraz. Rozumując więc analogicznie jak w przykładzie 1., możemy stwierdzić, że oba ciągi nie są zbieżne. Z drugiej strony widzimy, że dla (tzn. gdy jest liczbą nieparzystą) , natomiast . Gdy (tzn. gdy jest liczbą parzystą) , natomiast. Wynika stąd, że dla każdego Ciąg jest więc ciągiem stałym równym. Jest on więc zbieżny. 2 π an = −2 n = 2k + 1, k ∈ N n an = 2 n = 2k, k ∈ N n an = 2 cos(πn) an = sin(πn) − 1, n ∈ N. a 1 = sin(π) − 1 = 0 − 1 = − a 2 = sin(2π) − 1 = 0 − 1 = − a 3 = sin(3π) − 1 = 0 − 1 = − 2 π sin(πn) = 0 n ∈ N an = − n ∈ N lim n→+∞ an = − an = (−1)n , bn = (−1)n+1 , n ∈ N. a 1 = (−1) 1 = −1, a 2 = (−1) 2 = 1, a 3 = (−1) 3 = −1, a 4 = (−1) 4 = 1 b 1 = (−1) 2 = 1, b 2 = (−1) 3 = −1, b 3 = (−1) 4 = 1, b 4 = (−1) 5 = − 1 − n = 2k + 1, k ∈ N n an = − bn = 1 n = 2k, k ∈ N n an = 1 bn = − n ∈ N an + bn = −1 + 1 = 0. (an + bn) 0
Animacja
Polecenie 1
Zapoznaj się z poniższą animacją, na której przedstawiono sposób na wyznaczenie granicy
ciągu zbieżnego. Po zapoznaniu się z animacją, wykonaj zamieszczone pod nią
polecenia.
Film dostępny pod adresem zpe.gov/a/DwPWtOdO
Film nawiązujący do treści lekcji dotyczącej zbieżności ciągu.
Polecenie 2
Postepując podobnie jak przedstawiono w animacji uzasadnij, obliczając granicę, że ciąg
jest zbieżny.
Polecenie 3
Który z podanych ciągów jest zbieżny?
A.
B.
an = n 2 +1n
an =
n− n+
an =
3 n 6 n+
an = 2 n 4 +
Trwa wczytywanie danych...
Sprawdź się
####### Pokaż ćwiczenia: 輸 醙 難
Ćwiczenie 1 Czy ciąg jest zbieżny? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Nie Tak an = (−1)n n Ćwiczenie 2 Przeciągnij w puste miejsca odpowiednie elementy tak, by powstało zdanie prawdziwe. Ciąg an = 1−2 n+2njest , gdyż jego granica. istnieje i jest równa −2 nie istnieje istnieje i jest równa −∞ rozbieżny zbieżny Ćwiczenie 3 Ćwiczenie 4 Który z podanych ciągów nie jest zbieżny? Zaznacz prawidłową odpowiedź.
an = sin(
π
2 + nπ)
an = 1 − 1 n an = cos(2nπ)
####### 醙
####### 輸
####### 輸
####### 輸
Ćwiczenie 8 Przenieś podane ciągi do odpowiednich obszarów. Ciągi, które są zbieżne Ciągi, które nie są zbieżne
an = sin( π 4 + πn)
an = (−1)n n+ an = 3 − 4n an = cos(πn)
an = cos( πn 6 ) an = 2 n 4 n+
an = sin(π − πn)
####### 難
Dla nauczyciela
Autor: Mariusz Doliński Przedmiot: Matematyka Temat: Co to znaczy prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego Grupa docelowa: III etap edukacyjny, liceum, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa: VI. Ciągi Uczeń spełnia wymagania określone dla zakresu podstawowego, a ponadto: 1. oblicza granice ciągów, korzystając z granic ciągów typu , oraz twierdzeń o granicach sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych, a także twierdzenia o trzech ciągach; Kształtowane kompetencje kluczowe: kompetencje w zakresie rozumienia i tworzenia informacji kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii kompetencje cyfrowe kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się Cele operacyjne: Dowiesz się co to znaczy, że ciąg jest zbieżny. Poznasz przykłady ciągów zbieżnych oraz takich, które nie są zbieżne. Zrozumiesz związek między zbieżnością ciągu oraz granicą ciągu. Strategie nauczania: konstruktywizm; konektywizm. Metody i techniki nauczania: odwrócona klasa; film; dyskusja. 1 n √ na
Praca domowa: 1. Uczniowie zapoznają się z medium w sekcji „Animacja” i rozwiązują polecenia z nim związane. Materiały pomocnicze: Własności ciągów zbieżnych Wskazówki metodyczne: Medium w sekcji „Animacja” można wykorzystać jako materiał służący powtórzeniu materiału w temacie „Co to znaczy, że ciąg jest zbieżny?”.
Co to znaczy ze ciag jest zbiezn
Kurs: Termodynamika (TER1)
- Odkryj więcej od:
