- Information
- AI Chat
Matematik-Formülleri
Aerodynamic Experiments (UUM310)
Ondokuz Mayis Üniversitesi
Preview text
Ardışık Sayılar Toplam Formülleri
Ardışık sayıların toplamı:
1 + 2 + 3 +....+ n =
𝐧.(𝐧+𝟏) 𝟐
Ardışık çift sayıların toplamı :
2 + 4 + 6 + ... + 2n = n.(n+1)
Ardışık tek sayıların toplamı:
1 + 3 + 5 + .... + (2n − 1) = n=n 2
Ardışık tam kare sayıların toplamı:
1 2 + 2 2 + 3 2 +....+ n 2 =
𝐧.(𝐧+𝟏).(𝟐𝐧+𝟏) 𝟔
Ardışık ve küp şeklindeki sayıların toplamları:
1 3 + 2 3 + 3 3 +....+ n 3 =[
𝐧.(𝐧+𝟏)
𝟐 ]
2
Ardışık 4 sayıların toplamı:
1 4 + 2 4 + 3 4 +....+ n 4 = n.(n+1)(2n+1)(3n²+3n+1) 6
Terim sayısı: (𝐁ü𝐲ü𝐤 𝐭𝐞𝐫𝐢𝐦−𝐊üçü𝐤 𝐓𝐞𝐫𝐢𝐦)
𝐀𝐫𝐭ış 𝐌𝐢𝐤𝐭𝐚𝐫ı + 𝟏
(𝐒𝐨𝐧 𝐭𝐞𝐫𝐢𝐦 − İ𝐥𝐤 𝐓𝐞𝐫𝐢𝐦)
𝐀𝐫𝐭ış 𝐌𝐢𝐤𝐭𝐚𝐫ı + 𝟏
Belirli bir sayıdan başlayan ve sabit artış gösteren dizilerin toplam:
r: ilk terim n:son terim x: ardışık iki terimin farkı ise ,
r+(r+x)+(r+2x)+..=
(𝐧+𝐫).(𝐧−𝐫+𝐱) 𝟐𝐱
Devirli Ondalık Sayıyı Rasyonel Sayıya Çevirme:
Sayının tamamından devretmeyen
kısım çıkarılır. Paydaya virgülden
sonraki devreden basamak sayısı kadar 9 ve sağına devretmeyen basamak sayısı kadar sıfır yazılarak rasyonel sayı oluşturulur.
a,bc𝑑𝑒 =
abcde−abc 9900
Bir Sayının Pozitif Tam Bölenlerinin Sayısı:
A = ap.br s farklı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde olsun.
A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı, (p + 1).(r + 1).(s + 1)
A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam bölenidir.
A sayısının tam sayı bölenleri sayısı 2.(p + 1).(r + 1).(s + 1)
- A sayısının tam sayı bölenlerinin toplamı sıfırdır.
- A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı
𝑎 𝑝+1 − 1 𝑎 − 1.
𝑏 𝑟+1 − 1
𝑏 − 1.
𝑐 𝑠+1 − 1
𝑐 − 1
A sayısının asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı - (a + b + c)
A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı
�𝐴(𝑝+1).(𝑟+1).(𝑠+1)
Çarpanlara Ayırma – Özdeşlikler
Tam Kare Özdeşliği: İki Terim Toplamının Karesi : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 İki Terim farkının Karesi : (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Üç Terim Toplamının Karesi: (a +b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2.(ab + ac + bc) İki Terim Toplamının Küpü: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 İki Terim Farkının Küpü : (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 İki Kare Farkı Özdeşliği: a 2 – b 2 = (a + b).(a – b)
x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy x 2 + y 2 = (x – y) 2 + 2xy (x – y) 2 = (x + y) 2 – 4xy (x + y) 2 = (x – y) 2 + 4xy x 3 – y 3 = (x – y) 3 + 3xy (x – y) x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy (x + y) x 2 + y 2 + z 2 = (x + y + z) 2 – 2 (xy + xz + yz)
xn + y n veya xn - y n biçimindeki polinomların Özdeşliği
İki Küp Toplamı : a 3 + b 3 = (a + b).(a 2 – ab + b 2 )
İki Küp Farkı : a 3 - b 3 = (a - b).(a 2 + ab + b 2 )
a 4 + b 4 = (a + b).(a 3 – a 2 b + ab 2 – b 3 ) a 4 – b 4 = (a 2 + b 2 ).(a + b).(a – b)
a 5 + b 5 = (a + b).(a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 ) a 5 – b 5 = (a – b).(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 )
a 6 + b 6 = (a + b).(a 5 – a 4 b + a 3 b 2 – a 2 b 3 + ab 4 – b 5 )
a 6 – b 6 = (a – b).(a 2 + ab + b 2 ).(a+ b).(a 2 + ab + b 2 )
a 7 + b 7 = (a + b).(a 6 – a 5 b + a 4 b 2 – a 3 b 3 + a 2 b 4 – ab 5 + b 6 )
a 7 – b 7 = (a – b).(a 6 + a 5 b + a 4 b 2 + a 3 b 3 + a 2 b 4 + ab 5 + b 6 )
Ortalama Çeşitleri
Aritmetik Ortalama: Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.
a 1 ,a 2 ,a 3 .. gibi n tane sayının aritmetik ortalaması;
AO= a 1 +a 2 +a 3 +...+an n Geometrik Ortalama:
a ve b sayıları için x= √𝑎. 𝑏 ise, x sayına a ile b nin geometrik ortalaması veya x sayısı a ile b arasında orta orantılı denir.
a 1 ,a 2 ,a 3 .. gibi n tane sayının geometrik ortalaması;
x= 𝑛√𝑎 1. 𝑎2. 𝑎3 .... 𝑎𝑛dir.
Harmonik Ortalama:
a ve b reel sayıları için x=
2a a+b sayısına
a ile b nin harmonik ortalaması denir.
a 1 ,a 2 ,a 3 .. gibi n tane sayının harmonik ortalaması;
x=
n 1 a1 +
1 a2 +⋯+
1 an
Üslü Sayılar
a ∈ R ve n ∈ Z+ olmak üzere ;
a.a.a..=an (a: taban, n: üs)
- a ≠ 0 için a 0 =1 dir. (0 0 belirsizdir.)
a 1 =a, a 2 =a (a kare), a 3 =a.a (a küp)
a > 0 için (-a)2n=a2n > 0 dır.
a > 0 için (-a)2n-1=-a2n-1 < 0 dır.
(a-b)2n=(b-a)2n, (a-b)2n-1=-(b-a)2n-
an=am ise n=m dir. (a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ - 1)
ax n+bx n+cx m-dx m+ex m= (a+b)xn+(c-d+e)xm
am=am+n,
am=(a)m
a m:an=a(m-n)
am:bm=(a:b)m
(a m)n=am
a-m=1/(am)
Köklü Sayılar
- 𝑛√𝑏 𝑚= 𝑏
𝑚 𝑛
2. �𝑏. 𝑛√𝑏
𝑚 = 𝑚.𝑛√𝑏
3. �𝑎. 𝑛�𝑏. 𝑝√𝑐
𝑚 = 𝑚.𝑛.𝑝√𝑎.𝑛𝑝 𝑏 𝑝. 𝑐
4. �𝑎 ± √𝑏 = �𝑎+𝑐 2 ± � 𝑎−𝑐 2
c=√𝑎 2 − 𝑏 dir.
5. �𝑎. 𝑛�𝑎. 𝑛√𝑎 ...
𝑛 = 𝑛−1√𝑎
6.�𝑎. �𝑎 ... √𝑎 = 2𝑛�𝑎 2 𝑛 −
7. �𝑎: 𝑛�𝑎: 𝑛√𝑎 ...
𝑛 = 𝑛+1√𝑎
8.�𝑎 + �𝑎 + √𝑎 + ⋯ = 1+√1+4𝑎 2
NOT: a sayısı ardışık iki tamsayının çarpımına eşit ise sonuç büyük olan sayıya eşittir.
9. √𝑎
𝑛 𝑛√𝑏 = � 𝑎 𝑏
𝑛
10. 𝑛√𝑎 . 𝑛√𝑏 = 𝑛√𝑎. 𝑏
11. √𝑎 + √𝑏 ≠ √𝑎 + 𝑏
12. 𝑎√𝑥 + 𝑏√𝑥 = (𝑎 + 𝑏)√𝑥
- 𝑛√𝑥 n çift ise x≥0 dır.
14ı kökten kurtarmak
𝑎 √𝑏
=
𝑎
√𝑏
.
√𝑏
√𝑏
=
𝑎√𝑏
𝑏
𝑎
𝑛√𝑏
=
𝑎
𝑛√𝑏
.
𝑛√𝑏 𝑛−
𝑛√𝑏 𝑛−
=
𝑎 √𝑏𝑛 𝑛−
𝑏
Mutlak Değer
Sayı doğrusu üzerinde bir x ∈ R sayısının sıfıra olan uzaklığına Mutlak Değer denir.
|x| ifadesi alttaki şartlarda belirtilen değerleri alır.
a) x > 0 ise |x|= x b) x < 0 ise |x|= -x c) x=0 ise |x|= 0
Özellikleri
|x| ≥ 0
|x|=|-x
|x²|=|x|²= x² ve √x = |x|
|x|=|x|.|y|
|x/y|=|x|/|y|
c>0 için |x-a|= c ise x-a = ± c dir. x = a ± c
|x-a|≤ c için
- c ≤ x-a ≤ c => a-c ≤ x ≤ a+c
|x-a|≥ c için x-a ≥ c veya x-a ≤ - c
||a| - |b|| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|
Oran – Orantı
a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere 𝑎𝑏 ifadesine a nın b ye oranı denir.
Kümelerde Evrensel Küme ve Tümleyen Özellikleri
Evrensel küme Elemanları incelenen kümeye göre, yapılması gereken bütün işlemleri içine alabilecek şekilde belirlenen, en geniş kümeye evrensel küme denir. Genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir. Evrensel küme, incelenen probleme göre değişir. Hiç bir zaman boş küme olamaz. Evrensel kümeyi Venn şeması ile gösterirken, diğer kümelerden ayırt etmek için dikdörtgen şeklinde gösterilir.
Tümleme E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor. A kümesi, E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna göre, E evrensel kümesine ait olup, A kümesine ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A' veya A sembolü ile gösterilir.
E, evrensel küme A ⊂ E , B ⊂ E , A' A nın tümleyeni B' B nin tümleyeni olmak üzere,
1) A' ⊂ E
2) A∪A'=E
3) A∩A'=∅
4) A∪E=E
5) E'=∅
6) ∅'=E
7) A∩E=A
8) (A')'=A
9) E\A=A'
- A \ B=A∩B' (A∪B≠E ise)
- (A \ B)'=A'∪B
- A \ B=B' (A∪B=E ise)
- A\A'=A
DE MORGAN KURALLARI
1) (A U B)'=A'∩B'
2) (A ∩ B)' =A'∪B'
Alt Küme Sorularında Kullanılan Formüller
Herhangi iki A ve B kümeleri verilmiş olsun. A kümesinin her elemanı B kümesinin de bir elemanı ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A ⊂ B şeklinde yazılır “A alt küme B” diye okunur. Bu tanıma göre, (A ⊂ B) ⇔ (∀ x ∈ A⇒ x ∈ B) dir.
n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2 n formülüyle bulunur. Ayrıca
n elemanlı bir kümeden seçilmiş 2 elemandan
a) Her ikisinin de bulunduğu altküme sayısı : 2 n− b) Hiçbirinin bulunmadığı altküme sayısı : 2 n− c) En az birinin bulunmadığı altküme sayısı : 3 n− d) En az birinin bulunduğu altküme sayısı : 3 n− e) Herhangi birinin bulunmadığı altküme sayısı : 3 n− f) İkisinin beraber bulunmadığı altküme sayısı : 3 n− g) Birinin bulunduğu, diğerinin bulunmadığı altküme sayısı : 3 n−
n elemanlı bir kümeden seçilmiş r elemandan
a) Hepsinin bulunduğu altküme sayısı : 2 n−r b) Birarada bulunmadığı altküme sayısı : 2n− 2 n−r c) Hiçbirinin bulunmadığı altküme sayısı : 2 n−r d) r=x+y olmak üzere x tanesinin bulunduğu y tanesinin bulunmadığı altküme sayısı : 2 n−r
Küme Problemlerinde Kullanılan Formüller
E, evrensel küme A ⊂ E , B ⊂ E , C ⊂ E A' A nın tümleyeni olmak üzere,
- s (A U B)= s(A)+s(B) ( A ∩ B=∅ ise )
- s (A U B)= s(A)+s(B)-s (A ∩ B) ( A ∩ B≠∅ ise )
- s(A∪B∪C)=s(A)+s(B)+S(C)-s (A ∩ B)- s (A ∩ C)-s (B ∩ C)+s (A ∩ B∩C)
- s(A)+s(A')=S(E)
- s(A)=s(A \ B)+s(A ∩ B)
- s(B)=s(B \ A)+s(A ∩ B)
- s(A U B) = s(A \ B) + s(B \ A) + s(A ∩ B)
- s(A U B) = s(A \ B) + s(A)
- s(E)=s(A U B)+s[(A U B)' ]
Faktöriyel
n_N+-{1} olmak üzere; 1 den n ye kadar olan doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir, n! biçiminde gösterilir.
n∈N+ için;
a) n!=n.(n-1).(n-2)...3.
b) n!=n.(n-1)! n!=n.(n-1).(n-2)! n!=n.(n-1).(n-2).(n-3)!
c) m<n ise m! ifadesi, n! içinde vardır.
Permütasyon
n tane farklı elemanın bir sıra üzerinde r li (r ≤ n) sıralanışlarından her birine n nin r li permütasyonu denir.
n elemanlı A kümesinin r li permütasyonlarının sayısı;
P(n,r)= (𝑛−𝑟𝑛!)!
Not: r=n ise; n farklı elemanın n li permütasyonlarının sayısı P(n,n)=n! dir.
Yani n farklı elemanın doğrusal bir sıra üzerindeki farklı sıralanışlarının sayısı n! tanedir.
Tekrarlı Permütasyon
n tane nesnenin n 1 tanesi bir türden, n 2 tanesi ikinci türden, .. tanesi r. türden ve n 1 +n 2 +...+nr=n ise n nesnenin n li permütasyonlarının sayısı;
n tane eleman içerisinden; n 1 tanesi 1. çeşit ve özdeş, n 2 tanesi 2. çeşit ve özdeş, n 3 tanesi 3. çeşit ve özdeş, ......................................... ......................................... nr tanesi r. çeşit ve özdeş olmak üzere; bu n eleman bir sıra üzerinde
𝑛! (𝑛1)!.(𝑛2)!.(𝑛3)!...(𝑛𝑟)! farklı sıralanabilir.
Kombinasyon
n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı (r ≤ n) alt kümelerinin her birine A kümesinin r li kombinasyonu denir. n elemanlı bir kümenin r li kombinasyonlarının sayısı;
C(n,r)=�𝑛𝑟 � =
n! (n−r)!.r!
Olasılık
Bir deneyde olanaklı sonuçların kümesine örnek uzay, örnek uzayın her alt kümesine olay denir.
E örnek uzayı için boş kümeye olanaksız olay(imkânsız olay), E kümesine kesin olay denir. E örnek uzayının A ve B gibi iki olayı için, A ∩ B = 0 ise, A ve B olaylarına ayrık olaylar denir.
Olasılık Nedir? Bir E örnek uzayının tüm alt kümelerinin kümesi T ve değer kümesi R={x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} olan P fonksiyonu aşağıdaki aksiyomları gerçekliyorsa buna olasılık fonksiyonu denir.
A ∈ T ise p(A) reel sayısına da A olayının olasılığı denir.
- ∀A ∈ T için 0 ≤ p(A) ≤ 1 dir.
- p(E)=1 dir.
- A, B ∈ T ve A ∩ B = 0 ise p(A ∪ B)=p(A)+p(B) dir.
Özellikler
- P(0)=0 dır.
- A ⊂ B ise p(A) ≤ p(B)
- p(A)=1 - p(A) (A olayının olmama olasılığı)
- p(A ∪ B)=p(A)+p(B)-p(A ∩ B) dir.
- E={x 1 ,x 2 ,x 3 } örnek uzayları için: p(x 1 )+p(x 2 )+p(x 3 )=1 dir
Eş Olumlu Örnek Uzay Nedir?
Olayların gerçekleşme olasılığı eşit olan örnek uzaya denir. E eş olumlu örnek uzay ve A ⊂ E bir olay ise, A nın olasılığı;
P(A)=
s(A) s(E)
S(A)= Anın eleman sayısı
S(E)= Enin eleman sayısı
E örnek uzayı A ⊂ E, B ⊂ E ve p(A ∩ B)=p(A).p(B) ise, A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir. [p(A) ≠ 0, p(B) ≠ 0]
Bir E örnek uzayının iki olayı A ve B olsun. A olayının olasılığı B olayına bağlı ise, A olayının olasılığına, A olayının B koşullu olasılığı denir ve bu olasılık;
p(
A B)=
p(A∩B) p(B) ile gösterilir. Örnek uzay eş olumlu ise;
p(
A B)=
s(A∩B) s(B) olur.
Trigonometri
sinα=KarşıHipotenüs Dik Kenar Uzunluğu Uzunluğu
cosα=KomşuHipotenüs Dik Kenar Uzunluğu Uzunluğu
tanα= KomşuKarşı Dik Dik Kenar Kenar Uzunluğu Uzunluğu
cotα=KomşuKarşı Dik Dik Kenar Kenar Uzunluğu Uzunluğu
secα= 𝑐𝑜𝑠𝑎 1 = KomşuHipotenüs Dik Kenar Uzunluğu Uzunluğu
cosecα= 𝑠𝑖𝑛𝑎 1 = KarşıHipotenüs Dik Kenar Uzunluğu Uzunluğu
tanα=𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠α
cotα=𝑐𝑜𝑠α𝑠𝑖𝑛α
tanα.cotα=
sin 2 α+cos 2 α=
Eğim=tan α
Merkezi Eğilim ve Yayılım Ölçüleri
Ortanca (medyan): Veriler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralandığında tam ortada kalan değer ortancadır. Eğer tam ortada sayı yoksa ortaya gelen iki sayı alınır ve ikiye bölünür, çıkan sonuç virgüllüde olsa ortancadır.
Tepe değer (mod): Veriler küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralandığında en çok tekrar eden sayı tepe değerdir. Bir veri grubunda birden fazla en çok tekrar eden terim bulunabilir. Bu durumda veri grubunun birden fazla tepe değeri vardır.
Aritmetik Ortalama: Verilerin toplamının veri sayısına bölümüdür.
a 1 ,a 2 ,a 3 .. gibi n tane sayının aritmetik ortalaması;
AO= a 1 +a 2 +a 3 +...+an n
Matematik-Formülleri
Course: Aerodynamic Experiments (UUM310)
University: Ondokuz Mayis Üniversitesi
