Information
AI Chat

geometerie descriptive et prescriptive en pdf tout le programme

c estun livre tres utile en geometerie qui est tres precis et contient...

Course

Génie de projet (GP 2020)

30 Documents

Students shared 30 documents in this course

University

Université Blida

Academic year: 2021/2022

Uploaded by:

malak basmala

Université Blida

0followers

3Uploads

2upvotes

Comments

Please sign in or register to post comments.

Preview text

École d’Architecture de Nancy

GÉOMETRIE DESCRIPTIVE

TABLE DES MATIÈRES

1. ELEMENTS DE FIGURES
1 Principes
1 Le point :
1 La droite :
1 Le plan :
1. PROBLEMES SUR LES DROITES ET LES PLANS
2 Droite et plan parallèles
2 Plans parallèles
2 Intersection de deux plans
2 Intersection d’une droite et d’un plan
2 Droite et plan perpendiculaires
2 Autres problèmes de géométrie dans l’espace
1. LES OMBRES
3 Ombres propres
3 Ombres portées sur les plans de projection
3 Ombres portées par la méthode du point de perte
1. LES POLYÈDRES
4 Représentation :
4 Ombres propres :
1. MÉTHODES
5 Changements de plans de projection
5 Rotations
5 Rabattements
1. PROBLÈMES MÉTRIQUES
6 Les distances :
6 Angles :
1. GÉNÉRALITES SUR LES COURBES
7 Définitions
7 Projection d’une courbe plane
1. L’ELLIPSE
8 Définition par affinité du cercle
8 Définition par deux diamètres conjugués
8 L’ellipse comme projection d’un cercle
1. CÔNES ET CYLINDRES
9 Définition
9 Cône ou cylindre circonscrit à une surface
9 Détermination des cônes et cylindres
9 Trace sur un plan de projection
9 Intersection avec une droite
9 Problèmes sur les plans tangents
9 Contours apparents des cônes et des cylindres
9 Ombres des cônes et des cylindres

Éléments de figures

1. ELEMENTS DE FIGURES

1 Principes

La géométrie descriptive se propose de donner, dans les deux dimensions de la feuille de papier, une représentation opératoire des objets tridimensionnels : cette représentation bi-dimensionnelle doit décrire suffisamment complètement l’objet afin de pouvoir servir de support à des opérations sur celui-ci.

1.1 La projection orthogonale :

On appelle projection orthogonale d’un point (P) sur un plan le pied (p) de la perpendiculaire (Pp) abaissée de ce point sur le plan.

Plan de projection

Point à projeter

Projection du point

Remarque : Tous les points appartenant à une même droite perpendiculaire au plan de projection se projettent en un même point. La projection orthogonale sur un seul plan n’est donc pas suffisante pour déterminer la position du point dans l’espace.

Plus généralement, la projection orthogonale d’un solide se construit en recherchant la projection de ses points caractéristiques.

Géométrie descriptive – Cours de première année

La projection orthogonale sur un plan des objets tridimensionnels en donne une représentation bidimensionnelle. Cependant, une seule projection orthogonale n’est pas suffisante pour caractériser entièrement un objet dans l’espace, car dans ce passage des 3 aux 2 dimensions, de l’information est nécessairement perdue :

Est-ce la projection d’un cylindre, d’une sphère?

Est-ce la projection d’un cylindre, d’un parallélépipède?

Afin d’éviter cette perte d’information, la géométrie descriptive a recours à deux projections orthogonales distinctes mais coï ncidentes.

1.1 Les deux plans de projections :

Afin de représenter les objets tridimensionnels dans les deux dimensions de la feuille de papier, on commence donc par se donner dans l’espace deux plans de projections perpendiculaires. Ces deux plans se coupent suivant une droite (y’y) appelée ligne de terre.

Le premier plan ( H ) est appelé plan horizontal de projection.

Le second plan ( F ) est appelé plan frontal de projection.

Ces deux plans découpent l'espace en quatre régions, ou dièdres , numérotés comme ci dessous:

1.1 Les quatre dièdres :

1er Dièdre

2ème Dièdre

4ème Dièdre

3ème Dièdre

Plan Frontal

Plan Horizontal

y’

Ligne de terre

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.1 L’épure :

Les projections horizontale et frontale se trouvant donc sur un même plan (toujours la feuille de papier), nous avons ainsi réalisé une épure de l’objet tridimensionnel à représenter.

Pour faciliter la lecture d’une épure et reconstituer mentalement la forme de l’objet et sa position dans l’espace, on utilise des conventions de représentation :

Les lignes vues sont dessinées en trait plein. Les lignes cachées en points ronds ou ponctués. Les lignes de rappel et les lignes de constructions en trait rouge (ou noir) fin.

h

g

f

e

d

c

b

a

g'

h'

f'

e'

d'

c'

b'

a'

v’

y’ y

Ligne de rappel

Ligne de terre

Eléments de figures

1 Le point :

1.2 Représentation du point :

Soit un point (P) de l’espace. Ce point (P) se projette horizontalement sur le plan ( H ) en (p) et frontalement sur le plan ( F ) en (p 1 ). Le plan (pPp 1 ) ainsi défini est perpendiculaire aux deux plans de projection ( H ) et ( F ), et donc à la ligne de terre en (α).

Les points (Ppαp 1 ) définissent un rectangle. Les droites (pα) et (p 1 α) sont perpendiculaires à la ligne de terre (y’y).

Ainsi, lorsque le plan frontal est amené en coï ncidence avec le plan horizontal par rotation autour de (y’y), le point (p 1 ) décrit un quart de cercle de centre (α).

Ce point (p 1 ) vient donc se placer en (p’) dans le prolongement de (pα). La droite (pp’) est appelée ligne de rappel du point (P). Cette droite est donc nécessairement perpendiculaire à la ligne de terre (y’y).

y’

p’ α

p 1

(p) est la projection horizontale de (P). (p’) est la projection frontale de (P).

Eléments de figures

1.2 Les plans bissecteurs :

Par convention, on subdivise les 4 dièdres par deux plans médians appelés bissecteurs.

Ces plans bissecteurs sont perpendiculaires et forment un angle de 45° avec les plans de projections. Les points appartenant aux plans bissecteurs ont donc pour caractéristique d’être à égale distance du plan de projection horizontal et du plan de projection vertical. Les cotes et éloignements de tels points sont donc égaux en valeur absolue.

2ème bissecteur Plan Frontal

1er bissecteur

Plan Horizontal

45 °

Géométrie descriptive – Cours de première année

Soit (P) un point du premier bissecteur (B1).

(P) est a égale distance du plan frontal et du plan horizontal. Il appartient au 1er ou au 3ème dièdre.

Cote et éloignement sont donc de même signe.

éloignement (P) = Cote (P)

45 °

α p

p’ P

α y’ y

p’

Soit (Q) un point du second bissecteur (B2).

(Q) est a égale distance du plan frontal et du plan horizontal. Il appartient au 2ème ou au 4ème dièdre.

Cote et éloignement sont par conséquent de signe opposé.

éloignement (Q) = - Cote (Q)

45 °

q’

α α y’ y

q q’

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.3 Droites remarquables :

Les droites particulières, qui peuvent poser certains problèmes de construction, sont les droites parallèles ou perpendiculaires au plans de projection, ou encore situées dans les plans bissecteurs.

1.3.2 Droite verticale :

Est dite verticale toute droite perpendiculaire au plan horizontal de projection. Sa projection frontale est donc perpendiculaire à la ligne de terre (y’y), et sa projection horizontale se réduit à un point.

Tous les points d’une droite verticale ont même éloignement.

d’ y

d 1 D

d’

y’ y’

1.3.2 Droite de bout :

Est dite droite de bout toute droite perpendiculaire au plan frontal de projection. Sa projection horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre (y’y) et sa projection frontale est réduite à un point.

Tous les points d’une droite de bout ont même cote.

d’

y d’

d 1

D

y’

Eléments de figures

1.3.2 Droite horizontale :

Est dite horizontale toute droite parallèle au plan horizontal de projection. Tous les points d’une droite horizontale ont donc la même cote et sa projection frontale est parallèle à la ligne de terre (y’y).

d’

D

y’

1.3.2 Droite frontale :

Est dite frontale toute droite dont parallèle au plan frontal de projection. Tous les points d’une droite frontale ont donc le même éloignement et sa projection horizontale est parallèle à la ligne de terre.

d’ D

d’

y y’ y y’

Eléments de figures

Si la droite appartient au 2ème bissecteur, ses deux projections sont confondues :

d d’

d’ D

y’ y’

1.3.2 Droite de profil :

Est dite de profil toute droite appartenant à un plan perpendiculaire à la ligne de terre, et ainsi aux deux plans de projections. Les deux projections d’une telle droite sont donc elles-mêmes perpendiculaires à la ligne de terre et alignées sur une même ligne de rappel. Le problème est que toutes les droites appartenant à un même plan perpendiculaire à la ligne de terre ont les mêmes projections. On ne peut alors déterminer une droite de ce plan qu’en en caractérisant deux points. Nous verrons plus loin comment traiter ce problème.

a’

b’

a’

b’

a b

B

A

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.3 Constructions sur les droites :

1.3.3 Marquer un point sur la droite :

Soit la droite (D) dont on connaît les projections horizontale et frontale et soit (m) la projection horizontale d’un point (M) de cette droite.

La projection frontale (m’) de ce point appartient nécessairement à la projection frontale (d’) de la droite (D) et est située sur une ligne de rappel issue de (m). On construit donc graphiquement cette projection frontale (m’) en relevant de (m) la ligne de rappel et en interceptant ainsi la projection frontale (d’) de (D). Le point (M) est alors déterminé.

D

d’

d’ m’

m 1 M

y’

1.3.3 Marquer sur une droite un point de cote donnée :

Soit la droite (D) dont on connaît les projections horizontale et frontale et soit c la cote du point recherché.

Tous les points de cote égale à c se projette frontalement sur une droite parallèle à la ligne de terre, à une distance c de celle-ci.

On commence donc par tracer sur l’épure cette droite des projections des points de cote égale à c. Cette droite intercepte la projection frontale (d’) de la droite (D) en point (m’) d’où il suffit alors de descendre une ligne de rappel vers la projection horizontale (d) de la droite (D). Le point (M) appartenant à (D) et de cote égale à c est ainsi déterminé.

m’

d’

On traite de façon similaire la recherche sur une droite donnée d’un point d’éloignement donné.

Géométrie descriptive – Cours de première année

1.3.3 Droites concourantes :

Soient deux droites (D) et (L) de l’espace ayant un point commun (M). Ce point appartient au deux droites, et donc à leurs deux projections.

Sa projection frontale se trouvent donc à l’intersection des projections frontales (d’) et (l’) des deux droites, et sa projection horizontale à l’intersection des projections horizontales (d) et (l). Donc, lorsque deux droites sont sécantes, l’intersection des projections frontales et l’intersection des projections horizontales se trouvent nécessairement sur une même ligne de rappel.

m’

l’

d’

l’

m’

d D

1.3.3 Droites parallèles :

Rappel géométrique : Si deux droites sont parallèles, leurs projections orthogonales sur un plan sont également parallèles.

Donc, si deux droites de l’espace sont parallèles, les projections frontales sont parallèles ainsi que les projections horizontales.

Soient (D) une droite de l’espace et (M) un point de l’espace donnés. Pour construire une droite parallèle à (D) et passant par (M), il suffit donc de construire une parallèle à la projection frontale (d’) de (D) passant par la projection frontale (m’) de (M) et une parallèle à la projection horizontale (d) de (D) passant par la projection horizontale (m) de (M).

d’

m’

y’

Rappel géométrique : Pour qu’une droite soit parallèle à un plan, if faut et il suffit que cette droite soit parallèle à une des droites de ce plan.

Nous allons maintenant chercher à construire une droite passant par un point donné et parallèle au premier bissecteur. Nous savons que les droites du premier bissecteur ont leurs projections horizontales et frontales symétriques par rapport à la ligne de terre.

Donc, pour construire une droite parallèle au 1er bissecteur passant par un point donné, il suffit de se donner une droite ayant ses projections horizontales et

Eléments de figures

frontales symétriques par rapport à la ligne de terre et de mener des parallèles à ses projections passant par les projections horizontales et frontales du point donné.

y a

d’ a’

y’

De la même façon, on construit par un point donné une parallèle au 2ème bissecteur dont on sait que les projections sont confondues.

d d’

y a

a’

y’

On peut construire de même une droite perpendiculaire à un plan bissecteur passant par un point donné. Sachant que les deux plans bissecteurs sont perpendiculaires entre eux, une droite perpendiculaire à l’un est nécessairement parallèle à l’autre. Le problème ici est qu’une telle droite est également de profil, et qu’il est donc nécessaire de la caractériser par deux points.

La méthode consiste donc à se donner une droite de profil dans le bissecteur opposé, puis à mener par le point donné une parallèle à cette droite. Rappelons que pour caractériser une droite de profil sur une épure, il est nécessaire de connaître deux points de cette droite.

L’exemple ci-dessous montre la construction d’une droite perpendiculaire au 1er bissecteur passant par le point (A). On remarquera dans ce cas qu’un segment (AB) perpendiculaire au 1er bissecteur a des projections égales et de même sens. Dans le cas d’un segment perpendiculaire au 2ème bissecteur, ses projections seront égales mais de sens contraire.

y a

a’

d d’ a’

b’

a b

y’

Was this document helpful?