- Information
- AI Chat
Tổng hợp đề thi cuối kỳ đại số BK0ST
Đại số (MI1140)
Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
Preview text
ĐỀ 1 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20201
Mã HP: MI1141 Khóa: K65 Thời gian: 90 phút
Chú ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi.
Câu 1. Cho ánh xạ f : xác định bởi
3 2
f x x 3 x mx 1,m . Tìm điều kiện cho m để ánh xạ
f là đơn ánh.
Câu 2. Giải phương trình phức:
5 3
z 3 i z 4 z 0.
Câu 3. Trong không gian
3
P x , cho các vector:
2 3 2 3 2 3
1 2 3
q 3 x 2 x x , q 1 2 x x x , q 2 x 4 x 3 x
. Đặt
1 2 3
W Span q , q ,q.
a) Tìm số chiều và một cơ sở của W.
b) Xác định m để vector
2 3
u 5 x mx 8 x thuộc W.
Câu 4. Cho ánh xạ
3 3
f :
xác định bởi
f x y z, , x y z m, x y z, x y z
.
a) Tìm m để f
là phép biến đổi tuyến tính.
b) Tìm các giá trị riêng và vector riêng của f khi m 0.
c) Cho tích vô hướng trong
3
là tích vô hướng chính tắc. Khi m 0 , tìm một cơ sở trực chuẩn của
3
để
ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo. Chỉ ra ma trận của f theo cơ sở đó.
Câu 5. Trong không gian Euclide
3
với tích vô hướng được cho bởi
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
x y, x y 2 x y x y , x x , x , x , y y , y ,y , cho các vector
1 2 3
v 1; 0; 0 , v 0;1;1 , v 1; 2;1.
a) Tìm một cơ sở của không gian
3
1 2
H u : u v ,u v.
b) Tìm vector
1 2
v Span v ,v sao cho v trực giao với
3
v và v 7.
Câu 6. Cho ma trận vuông cấp 4:
ij
A a
, với ,1 , 4
ij
a i j và
#######
là một giá trị riêng của A. Chứng
####### minh rằng nếu là số hữu tỉ thì là số nguyên.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 3 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20201
Mã HP: MI1141 Khóa: K65 Thời gian: 90 phút
Chú ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị phải kí xác nhận số đề vào bài thi.
Câu 1. Cho ánh xạ f : xác định bởi
2020
5
f z z 3 i. Xác định tập nghịch ảnh
1 2020
f 2
.
Câu 2. Cho các tập con A, B của tập hợp X và
X \A B. Chứng minh rằng
X \B A.
Câu 3. Trong
4
cho các vector
1 2 3 4
v 2;1; 1; 0 , v 1; 2;1;1 , v 1;1; 2;1 , v 1; 2; 4; 2
.
a) Vector
4
v có thuộc
1 2 3
Span v , v ,v không? Tại sao?
b) Đặt
1 2 3 4
U Span v , v , V Span v ,v. Tìm số chiều và một cơ sở của không gian con U V, với
U V u v u: U v, V
.
Câu 4. Cho toán tử tuyến tính
2 2
f :P x P x thỏa mãn
2 2 2 2 2 2
f 1 x x 1 5 x x , f x x 1 2 x x , f 2 x 2 9 x 2 x
.
a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của
2
P x.
b) Tìm các giá trị riêng của vector riêng của f.
Câu 5. Cho không gian Euclide
2
P x với tích vô hướng xác định bởi:
1
2
1
p q , p x q x dx, p q, P x
. Tìm hình chiếu trực giao của vector
2
v x x lên không gian
2
W Span 1 x x,.
Câu 6. Cho A là ma trận vuông cấp 2021 thỏa mãn
2021
0
T
A A
. Chứng minh rằng A là ma trận phân đối
xứng, tức là
T
A A.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 8 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KÌ 20201
Mã HP: MI1142 Nhóm 2 Thời gian: 90 phút
Câu 1 (2đ). Cho ánh xạ
16
g : , g x z 1 i 3 và tập
B x : z 2.
- Tìm phần thực, phần ảo của
g 3 i.
- Xác định
1
g B
.
Câu 2 (2đ).
- Cho ma trận
11 4 3 2 5
2 1 0 1 2
2 0 1 10 3
3 4 2 0 8
T
B
. Tìm hạng ma trận B.
- Tìm m n, để
1 1
2 1 0
2 3 2 2
n mi
V ni
i
.
Câu 3 (2đ). Kí hiệu Q là tập nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
2 5 5 0
2 4 2 0
x x x x
x x px x
x x x qx
; p q, là các tham số.
- Chứng minh Q là không gian con của
4
.
- Tìm p, q để dim Q 1.
Câu 4 (2đ). Cho toán tử tuyến tính
3 3
g :
xác định bởi
g x y z, , 3 x 8 y 4 , 2z x 4 ,y x y 2 z
.
- Tìm ma trận B của g theo cơ sở
1 2 3
U u 0,1,1 ; u 1, 0,1 ; u 2,1, 0.
- Vector
v 2;5;5 thuộc Im g không? Tại sao?
Câu 5 (1đ). Trong không gian Euclide
3
, với tích vô hướng chính tắc, cho các vector
1 2 3
v 1;1;1 , v 1; 1;0 , v 1;3; 2. Tìm vector
2
y để y trực giao với
1 2
v ,v và hệ
1 2 3
v , v ,v không là
cơ sở của
3
.
Câu 6 (1đ). Cho A là ma trận vuông cấp 2021. Chứng minh hệ phương trình
0
T
A A X có nghiệm không
tầm thường.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 2 ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN ĐẠI SỐ - Học kì 20193
Mã HP: MI1141, Nhóm ngành 1, Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị phải ký xác nhận số đề vào bài thi.
Câu 1 (1đ): Cho ánh xạ f :R R ,
2
f x x xvà tập
A 0;1; 2. Xác định
f A ;
1
f A
.
Câu 2 (2đ): Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
2
2 3 7
3 2 2
3 4 4 3 6
x x x x
x x x x
x x x
x x x m x m
.
a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss với m 3.
b) Tìm m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
Câu 3 (3đ): Cho ánh xạ tuyến tính
3 3
f :R R xác định bởi
1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3
f x , x , x 6x 2x 5x , 2x x x , x 2x.
a) Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của
3
R.
b) Tìm dim Im f và dim ker f.
c) Vectơ
u 3, 2,1 có thuộc Im f không? Tại sao?
Câu 4 (2đ): Chéo hóa ma trận
12 3 3
8 2 4
10 5 1
biết rằng 3; 6 là các trị riêng của nó.
Câu 5 (1đ): Cho không gian Euclide
3
R với tích vô hướng chính tắc cho
W span 1,1,1 , 3, 4, 5 , 6, 7,8 a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của W.
b) Tìm hình chiếu trực giao của
u 4, 2, 6 lên W.
Câu 6 (0đ): Cho A là một ma trận thực vuông. Chứng minh rằng
2
det A I 0 , ở đó I là ma trận đơn vị
cùng cấp với A.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 1 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ 1 20191
MÃ HP : MI1141, Nhóm 1, Thời gian : 90 phút
Chú ý : Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị ký xác nhận số đề.
Câu 1(1đ). Cho
1 3
,
3
n
n
i
z n
i
∈ ℕ. Tìm n nhỏ nhất để Re( ) 0
n
Z
Câu 2(1đ). Chứng minh
0
W | : ,
0
a b
X X a b
a b
R là không gian con của không gian vecto các
ma trận vuông cấp 2 trên ℝ. Tính dimW
Câu 3(2,5đ) Ký hiệu
2
P ( )x không gian vecto của các đa thức có bậc 2
- Hệ
2 2
1 2 3
u ( )x 2 x 3 x ; u ( )x 1 2 ;x u ( )x 1 8 x 6 x có phải là cơ sở của
2
P ( )x hay không? Vì
sao?
- Cho toán tử tuyến tính
2 2
f : P ( )x P ( )xxác định bởi
2 2
f a ( bx cx ) 6 a 2 b 2 c (2 a 3 )b x (4 a b 2 )c x
a. Viết ma trận của f theo cơ sở chính tắc
2
1; x x;
của
2
P ( )x
b. Tìm dim Kerf
Câu 4(2,5đ). Trong
3
R
tích vô hướng của
1 2 3 1 2 3
a ( a ; a ; a ); b ( b b; ; b)
được xác định bởi
1 1 2 2 3 3
a b, a b a b a b
- Cho
1 2
u (1,1, 0); u (0;1;1). Tìm vecto v (0;0;0)sao cho u v, 0 với mọi
1 2
u Span u ,u
- Cho toán tử tuyến tính :
3 3
f :R R
xác định bởi :
f ( ,x y z , ) (2 x 2 y 2 ,z 2 x 5 y z , 2 x y 5 )z
Tìm cơ sở trực chuyển của ℝ
ଷ
để ma trận của f theo cơ sở đó là ma trận đường chéo.
Câu 5(1đ). Với 0 a, ký hiệu
[ ; ]
( ) | ( )
a a
C f x f x
liên tục trên [ a a; ]}
Ánh xạ
[ ; ]
: , ( ) ( )
a
a a
a
C f f x dx
R có phải là đơn ánh không? tại sao?
Câu 6(1đ). Cho A,B là 2 ma trận vuông cùng cấp thỏa mãn
2019
A 0 và AB A B. Chứng minh rằng
det(B)= 0
Câu 7(1đ) : Cho V là không gian vecto hữu hạn chiều và toán tử tuyến tính f :V V.
Chứng minh rằng
2
dim( Kerf ) 2 dim( Kerf)
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
ĐỀ 4 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ 1 20191
MÃ HP : MI1141, Nhóm 1, Thời gian : 90 phút
Chú ý : Thí sinh không được sử dụng tài liệu và giám thị ký xác nhận số đề.
Câu 1(1đ). Cho
3 2
f ( )z z (1 2 )i z (1 2 )i z 2 i. Tính f ( 2 ) i và giải phương trình f ( )z 0.
Câu 2(1đ). Ánh xạ
2 3 2 3
f : R C, f ( ,x y ) ( x 2 y ) (3 x 7 y i)
có toàn ánh không? Vì sao?
####### Câu 3(1đ). Tìm , R để hệ
2 2
2 3
2 1
x y z
x y z
x y z
#######
#######
#######
có vô số nghiệm
Câu 4(1,5đ). Cho
1 2 3
E { e , e , e}là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclide V và phép biến đổi tuyến tính :
f :V Vcó ma trận theo cơ sở E là
0 1 1
1 0 1
1 1 0
A
. Tìm cơ sở trực chuẩn
1 2 3
F f , f ,f sao cho ma trận
của f theo cơ sở F là ma trận đường chéo.
Câu 5(1đ). Cho
1 2 3
E { e , e , e}là cơ sở của không gian vecto V. Hệ
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
F f e 2 e 2 e , f 2 e 3 e e , f 3 e e e
có phải là một cơ sở của V hay không? Vì sao?
Câu 6(2,5đ). Ký hiệu
2
P ( )x là không gian vecto có đa thức có bậc 2
- Cho toán tử tuyến tính
2 2
f : P ( )x P ( )x xác định bởi :
2 2
f a ( bx cx ) 2 a b (2 b c x) ( a b c x). Tìm dim Im f
Trên
2
P ( )x
cho tích vô hướng
1
0
p x ( ), q x( ) p x q x dx( ) ( )
và
2
1 2
u ( )x 1; u ( )x x v x; ( ) x
. Tìm hình
chiếu trực giao của vecto v x( ) lên
1 2
Span u{ , u}.
Câu 7(1đ). Cho A là ma trận vuông cấp n khả nghịch thỏa mãn
1
9 A A
. Tính
2017
det( A A ).
Câu 8(1đ). Trong không gian vecto các hàm số liên tục trên [a,b], chứng minh hệ véc tơ
{ ( ) | |, 1,
k k
####### u x x k n
với , ; , 1, }
i j
####### i j i j n
độc lập tuyến tính.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 1 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20181
MÃ HP: MI1141 Nhóm ngành 1 – Thời gian: 90 phút
Câu 1 (1đ). Cho các tập hợp con của ℝ là 𝐴 = [1; 3], 𝐵 = (𝑚; 𝑚 + 3) . Tìm m để
(𝐴\𝐵) ⊂ (𝐴 ∩ 𝐵) .
Câu 2 (1đ). Tìm các số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧
ଷ
= 4√3 − 4𝑖, i là đơn vị ảo.
Câu 3 (1đ). Giải phương trình ma trận
3 7 2 3 6
.
3 4 3 1 4
X X
Câu 4 (4đ). Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
0
2 3 2 0
( 3) 3 7
x x x x
x x x x
x m x x x m
( trong đó m là tham số).
a) Giải hệ phương trình khi 𝑚 = 2.
b) Tìm 𝑚 để hệ phương trình có nghiệm.
c) Khi 𝑚 = 0, các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véc tơ con 𝑈 của ℝ
ସ
. Tìm số chiều
và một cơ sở của U.
d) Trong ℝ
ସ
với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của 𝜐 = (4; 5; −6; −9) lên không gian
con 𝑈 ở câu c.
Câu 5 (2đ). Cho biến đổi tuyến tính 𝑓: ℝ
ଷ
→ ℝ
ଷ
xác định bởi;
𝑓(𝑥
ଵ
; 𝑥
ଶ
; 𝑥
ଷ
) = (−2𝑥
ଵ
- 3𝑥
ଶ
- 𝑥
ଷ
; −𝑥
ଵ
− 𝑥
ଶ
- 𝑥
ଷ
; −3𝑥
ଵ
- 2𝑥
ଶ
- 2𝑥
ଷ
).
a) Tìm 𝑚 để véc tơ 𝑢 = (1; 3; 𝑚) ∈ 𝐼𝑚(𝑓). Ánh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao?
b) Tìm cơ sở của ℝ
ଷ
để đối với cơ sở đó ma trận của f có dạng đường chéo.
Câu 6 (1đ). Trong không gian véc tơ các hàm số liên tục trên ℝ, chứng minh hệ véc tơ
B sin x, cos x , sin 2 , cos 2 ,..., sin10 , cos10x x x x là hệ độc lập tuyến tính.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 2 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20181
MÃ HP: MI1141 Nhóm ngành 1 – Thời gian: 90 phút
Câu 1 (1đ). Cho các tập hợp con của ℝ là 𝐴 = [2; 4], 𝐵 = (𝑚; 𝑚 + 1). Tìm m để
B \ A A \ B.
Câu 2 (1đ). Tìm các số phức 𝑧 thỏa mãn 𝑧
ଷ
= 4√3 + 4𝑖, 𝑖 là đơn vị ảo.
Câu 3 (1đ). Giải phương trình ma trận:
3 2 1 2 3
5 4 4 5 6
X X
Câu 4 (4đ). Cho hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 2 0
2 0
x x x x m
x x x x
x mx x x
(trong đó m là tham số).
a) Giải hệ phương trình khi 𝑚 = 1.
b) Tìm 𝑚 để hệ phương trình vô nghiệm.
c) Khi 𝑚 = 0 , các nghiệm của hệ phương trình lập thành một không gian véc tơ con U của ℝ
ସ
. Tìm số
chiều và một cơ sở của 𝑈.
d) Trong ℝ
ସ
với tích vô hướng chính tắc, tìm hình chiếu trực giao của 𝜐 = (5; 2; 4; −3) lên không gian con
𝑈 ở câu c.
Câu 5 (2đ). Cho biến đổi tuyến tính 𝑓: ℝ
ଷ
→ ℝ
ଷ
xác định bởi:
𝑓(𝑥
ଵ
; 𝑥
ଶ
; 𝑥
ଷ
) = (2𝑥
ଵ
− 3𝑥
ଶ
- 𝑥
ଷ
; 𝑥
ଵ
- 𝑥
ଶ
- 𝑥
ଷ
; 3𝑥
ଵ
− 2𝑥
ଶ
- 2𝑥
ଷ
).
a) Tìm 𝑚 để véc tơ 𝑢 = (3; 5; 𝑚) ∈ 𝐼𝑚(𝑓). Ảnh xạ trên có phải là toàn ánh không? Vì sao?
b) Tìm cơ sở của ℝ
ଷ
để đối với cơ sở đó ma trận của 𝑓 có dạng đường chéo.
Câu 6 (1đ). Trong không gian véc tơ các hàm số liên tục trên ℝ, chứng minh hệ véc tơ
B sin x, cos x , sin 2 , cos 2 ,..., sin10 , cos10x x x x là hệ độc lập tuyến tính.
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 4 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20181
MÃ HP: MI1141 Nhóm ngành 1 – Thời gian: 90 phút
Câu 1 (1đ). Cho các mệnh đề 𝐴, 𝐵, 𝐶. Lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề 𝐴 → (𝐵 ∧ 𝐶).
Câu 2 (1đ). Cho ánh xạ 𝑓: ℂ → ℂ xác định bởi 𝑓(𝑧) = 2𝑧
ଷ
- Ánh xạ 𝑓 có phải là toàn ánh không vì
sao? Xác định tích các mô đun của các phần tử trong tập nghịch ảnh 𝑓
ି ଵ
({5 − 2𝑖}).
Câu 3 (2đ). Cho ma trận
1 3 2
2 1 3
3 2 1
A
.
a) Tính 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 2𝐸)
ହ
, trong đó 𝐸 là ma trận đơn vị cấp 3.
b) Giải phương trình ma trận
XA 0 0 0.
Câu 4 (1đ). Trong không gian 𝑃
ଷ
[𝑥] , cho hệ véc tơ 𝑢
ଵ
= 1 − 2𝑥 − 𝑥
ଷ
, 𝑢
ଶ
= 2 − 𝑥 − 𝑥
ଶ
- 2𝑥
ଷ
, 𝑢
ଷ
=
−1 + 𝑥 − 𝑥
ଶ
− 𝑥
ଷ
, 𝑢
ସ
= 4 − 4𝑥 + 2𝑥
ଶ
- 2𝑥
ଷ
và các không gian véc tơ con 𝑉
ଵ
= 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢
ଵ
, 𝑢
ଶ
}, 𝑉
ଶ
=
𝑠𝑝𝑎𝑛{𝑢
ଷ
, 𝑢
ସ
}. TÌm số chiều và 1 cơ sở của các không gian con 𝑉
ଵ
- 𝑉
ଶ
và 𝑉
ଵ
∩ 𝑉
ଶ
.
Câu 5 (2đ). Cho biến đổi tuyến tính trên không gian ℝ
ଷ
xác định bởi
l𝑓(2; 3; −1) = (6; 2; −2), 𝑓(1; 1; 3) = (2; 3; −1), 𝑓(3; 1; −1) = (5; 4; −2).
a) Xác định dim Im(𝑓) b) Tìm các giá trị riêng của 𝑓.
Câu 6 (2đ). Cho dạng toàn phương
ℎ(𝑥
ଵ
, 𝑥
ଶ
, 𝑥
ଷ
) = 𝑎𝑥
ଵ
ଶ
- 3𝑥
ଶ
ଶ
- 2𝑥
ଷ
ଶ
- 4𝑥
ଵ
𝑥
ଶ
− 2𝑥
ଵ
𝑥
ଷ
- 2𝑥
ଶ
𝑥
ଷ
.
a) Tìm điều kiện của 𝑎 để dạng toàn phương xác định dương.
b) Với 𝑎 = 2, ta có duy nhất một tích vô hướng ⟨𝑢, 𝜐⟩ trên ℝ
ଷ
thỏa mãn ⟨𝑢, 𝑢⟩ = ℎ(𝑢). Tìm một cơ sở trực
chuẩn của ℝ
ଷ
với tích vô hướng này thông qua việc trực chuẩn hóa Gram-Smith cơ sở chính tác của ℝ
ଷ
.
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
Đề 5: ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ 20181
Nhóm ngành 2. Mã HP 1142-Thời gian : 90 phút
Câu 1: Tìm các nghiệm phức của phương trình thỏa mãn điều kiện
6
4
z 3 i thỏa mãn điều kiện
z 2 i 3
Câu 2 : Cho các ma trận
1 3 8 7
,
4 4 14 11
A B
Tìm ma trận X thỏa mãn AX B X
Câu 3: Trong không gian
2
P x cho các vecto
2 2
1 2
v 1 x x , v 2 mx x,
2 2
3
v 4 5 x x , v 10 11 x 5 x
a) Xác định m để hệ
1 2 3
B v , v ,v phụ thuộc tuyến tính.
b) Với m =2,chứng minh B lập thành cơ sở của không gian
2
P x. Tìm tọa độ của vecto v đối với cơ sở
B
Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính f :ℝ
ଷ
→ ℝ
ଷ
thỏa mãn
f 1,1, 0 3,3,9 ,
f 2, 1,1 1,3,1 ,
f 0,1,1 1,1, 3
a) Lập ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của ℝ
ଷ
b) Xác định
f 3, 4, 5
c) Xác định số chiều và một cơ sở của ker f
Câu 5: Trong ℝ
ସ
với tích vô hướng chính tắc, cho các vecto:
1 2 3
v 1;1; 2; 1 , v 1; 2;1;1 , v 3; 4;5; 1
Đặt
1 2 3
V Span v , v ,v
a) Xác định số chiều và một cơ sở của V
b) Tìm hình chiếu trực giao của vecto
V 4,1, 0, 4 lên V
Câu 6: Cho ma trận A và m x n với m n, có hạng bằng m. CM tồn tại ma trận B cỡ n x m sao cho AB=E,
với E là ma trận đơn vị.
ĐỀ 7 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ - 20181
Mã số MI1143 – Nhóm ngành 3 – Thời gian: 90 phút
Câu 1. (1đ) Cho mệnh đề 𝑃: "∀𝑥 ∈ ℝ, ∃𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 > 𝑥"
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 8 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ - 20181
Mã số MI1143 – Nhóm ngành 3 – Thời gian: 90 phút
Câu 1. (1đ) Cho mệnh đề 𝑃: "∀𝑥 ∈ ℝ, ∃ 𝑦 ∈ ℝ: 𝑦 < 𝑥".
a) Xác định mệnh đề phủ định của 𝑃.
b) Mệnh đề 𝑃 muốn khẳng định điều gì?
Câu 2. (1đ) Cho các tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶. Chứng minh:
𝐴 × (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∩ (𝐴 × 𝐶)
Câu 3. (2đ) Cho các vector:
𝜐
ଵ
= (2,1,0, −3); 𝜐
ଶ
= (1, −1,2,5); 𝜐
ଷ
= (5,3,1,2); 𝜐
ସ
= (8,5,6,1)
a) Chứng minh 𝜐
ଵ
, 𝜐
ଶ
, 𝜐
ଷ
, 𝜐
ଷ
lập thành một cơ sở của không gian ℝ
ସ
.
b) Tìm tọa độ của vector 𝜐 = (23,14,17, −5) đối với cơ sở trên.
Câu 4. (3đ) Cho ánh xạ tuyến tính 𝑓: ℝ
ଷ
→ ℝ
ଷ
xác định bởi:
𝑓(1,2,3) = (13, −7, −2); 𝑓(1,2,0) = (4,2, −2); 𝑓(2,0,0) = (4,0,4)
a) Tìm ma trận của 𝑓 đối với cơ sở chính tắc của ℝ
ଷ
.
b) Tìm các giá trị riêng, vector riêng của 𝑓.
c) Tìm số chiều của không gian hạt nhân và không gian ảnh của 𝑓.
Câu 5. (2đ) Trong không gian ℝ
ହ
với tích vô hướng chính tắc cho các vector: 𝜐
ଵ
= (1, −1, −1,1,1); 𝜐
ଶ
=
(2,1,4, −4,2); 𝜐
ଷ
= (4, −3, −2,6,0). Ký hiệu 𝑉 là không gian sinh bởi 𝜐
ଵ
, 𝜐
ଶ
, 𝜐
ଷ
.
a) Tìm một cơ sở trực chuẩn của 𝑉 bằng phương pháp Gramm-Schmidt.
b) Tìm hình chiếu trực giao của vector 𝜐 = (0,2,4,6,8) lên 𝑉.
Câu 6. (1đ) Chứng minh rằng nếu ma trận 𝐴 đồng dạng với ma trận 𝐵 thì 𝐴
ସ
cũng đồng dạng với 𝐵
ସ
.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 1 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ HÈ 20173
MÃ HP: MI 1141, Nhóm 1, Thời gian: 90 phút
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và Giám thị phải ký xác nhận số đề vào bài thi của sinh
viên.
Câu 1(2đ). 1. Cho 𝑝, 𝑞, 𝑟 là 3 mệnh đề. Hỏi hai mệnh đề
(𝑝 ↔ 𝑞) ∧ (𝑞 ↔ 𝑟) ∧ (𝑟 ↔ 𝑝) và (𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → 𝑟) ∧ (𝑟 → 𝑝)
có tương đương hay không? Tại sao?
- Ánh xạ 𝑓: ℝ{1} → ℝ,
1
( )
1
x
f x
x
là đơn ánh không? Tại sao?
Câu 2 (1đ). Tìm phần thực và phần ảo của số phức 𝑧 = (−1 + 𝑖)
ଵ
൫√3 − 𝑖൯
ଵହ
.
Câu 3 (1đ). Tìm m để phương trình ma trận sau có vô số nghiệm
2 1 3 2
1 3 1.
5 1 3 3
m X
Câu 4 (1đ). Chứng minh rằng
2
: , ,
0
a b
F M a b c
c
R là không gian con của không gian
2
M các ma
trận vuông cấp 2. Tìm số chiều của F.
Câu 5 (2đ). Cho ánh xạ f : ℝ
ଷ
→ ℝ
ଷ
xác định bởi
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 − 𝑦 + 𝑧; −𝑥 + 2𝑦 − 𝑧; 𝑧).
- Chứng minh 𝑓 là một phép biến đổi tuyến tính và tìm ma trận của 𝑓 theo cơ sở chính tắc của ℝ
ଷ
.
- Tìm trị riêng và vector riêng của 𝑓.
Câu 6 (1đ). Nhận dạng đường bậc hai 4𝑥𝑦 − 4√2𝑦 = 1.
Câu 7 (1đ). Cho 𝑎
ଵ
, 𝑎
ଶ
, 𝑎
ଷ
, 𝑎
ସ
∈ ℝ. Chứng minh rằng ma trận sau khả nghịch
2
1 2 3 4
2
2 1 4 3
2
3 4 1 2
2
4 3 2 1
1
1
.
1
1
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
Câu 8 (1đ). Gọi 𝐶(ℝ) là không gian véc tơ các hàm số liên tục trên ℝ. Cho 𝑛 số thực 𝜆
ଵ
; 𝜆
ଶ
;... ; 𝜆
từng đôi
một khác nhau. Chứng minh rằng hệ các véc tơ ൛𝑓
ଵ
(𝑥) = 𝑒
ఒ భ
௫
; 𝑓
ଶ
(𝑥) = 𝑒
ఒ మ
௫
;... ; 𝑓
(𝑥) = 𝑒
ఒ
௫
ൟ ⊂ 𝐶(ℝ)
độc lập tuyến tính.
ĐỀ 2 ĐỀ THI MÔN ĐẠI SỐ CUỐI HỌC KỲ HÈ 20173
MÃ HP: MI 1141, Nhóm 1, Thời gian: 90 phút
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 5 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20173
MÃ HP MI 1143 Nhóm 3 Thời gian: 90 phút
Câu 1 (2đ).
- Cho ánh xạ 𝑓: [1; +∞) → (−2; +∞) xác định bởi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2. Ánh xạ 𝑓 là ánh xạ toàn ánh không?
Tại sao?
- Cho số phức
2
1 2
, ( 1)
2
i
z i
i
. Tính √𝑧
ల
.
Câu 2 (2đ). Cho các ma trận
2 1 2
4 1 3
0 1
A
m
,
6 1
15 4
4 1
B
, 𝑚 là tham số.
Khi 𝑚 = 1, tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn 𝐴𝑋 = 𝐵.
Tìm 𝑚 để ma trận 𝐴 có hạng nhỏ nhất.
Câu 3 (3đ). Kí hiệu 𝐺 là tập nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
2 2 3 4
1 2 3 4
3 3 0
2 0
7 2 8 2 0
x x x x
x x x x
x x x x
- Chứng minh 𝐺 là không gian con của ℝ
ସ
.
Xác định một cơ sở của 𝐺.
Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ 𝑢 = (1; −2; 0; 1) trên 𝐺.
Câu 4 (2đ). Cho toán tử tuyến tính 𝑓: ℝ
ଷ
→ ℝ
ଷ
xác định bởi:
𝑓(2; 1; −1) = (0; 1; 3), 𝑓(1; 2; 1) = (3; 2; 3), 𝑓(1; −1; 2) = (1; 3; 0).
- Tìm ma trận 𝐴 của 𝑓 theo cơ sở chính tắc của ℝ
ଷ
.
- Tìm một cơ sở của ℝ
ଷ
(nếu có) để ma trận của 𝑓 theo cơ sở đó là ma trận đường chéo.
Câu 5 (1đ).
Cho 𝐴 là ma trận thực, vuông cấp 𝑛 và 𝐸 là ma trận đơn vị cùng cấp. Chứng minh 𝑑𝑒𝑡(𝐴
ଶ
- 4𝐸) ≥ 0.
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và phải làm đúng số đề được phát. Giám thị coi thi không
giải thích gì thêm.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
ĐỀ 6 ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN ĐẠI SỐ HỌC KỲ 20173
Mã HP MI 1143 Nhóm 3 Thời gian: 90 phút
Câu 1(2đ).
- Cho ánh xạ 𝑔: (−∞; −1] → [−2; +∞) xác định bởi 𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 2. Ánh xạ 𝑔 là ánh xạ đơn ánh
không? Tại sao?
- Cho số phức
2
5
, ( 1)
3 2
i
z i
i
. Tính 𝑧
ଶଵ଼
.
Câu 2(2đ). Cho các ma trận
2 1 3
1 2
3 1 4
A n
,
13 4 19
4 1 6
C
, 𝑛 là tham số.
Khi 𝑛 = 0, tìm ma trận 𝑋 thỏa mãn 𝑋𝐴 = 𝐶.
Tìm 𝑛 để ma trận 𝐴 có hạng lớn nhất.
Câu 3(3đ). Kí hiệu 𝑆 là tập nghiệm của hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3
2 0
3 0
5 2 2 0
x x x x
x x x x
x x x
- Chứng minh 𝑆 là không gian con của ℝ
ସ
.
Xác định một cơ sở của 𝑆.
Tìm hình chiếu trực giao của véc tơ 𝑥 = (0; 1; 2; 5) trên 𝑆.
Câu 4(2đ). Kí hiệu 𝑃
ଶ
[𝑥] là không gian các đa thức hệ số thực, có bậc ≤ 2. Cho toán tử tuyến tính
𝑔: 𝑃
ଶ
[𝑥] → 𝑃
ଶ
[𝑥] xác định bởi:
𝑔(2 + 𝑥 − 𝑥
ଶ
) = 𝑥 + 3𝑥
ଶ
, 𝑔(1 + 2𝑥 + 𝑥
ଶ
) = 3 + 2𝑥 + 3𝑥
ଶ
, 𝑔(1 − 𝑥 + 2𝑥
ଶ
) = 1 + 3𝑥.
- Tìm ma trận 𝐵 của 𝑔 theo cơ sở chính tắc của 𝑃
ଶ
[𝑥].
- Tìm một cơ sở của 𝑃
ଶ
[𝑥] (nếu có) để ma trận của 𝑔 theo cơ sở đó là ma trận đường chéo.
Câu 5(2đ).
Cho 𝐴 là ma trận thực, vuông cấp 𝑛 và 𝐸 là ma trận đơn vị cùng cấp. Chứng minh 𝑑𝑒𝑡(𝐴
ଶ
- 9𝐸) ≥ 0.
Chú ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và phải làm đúng số đề được phát. Giám thị coi thi không
giải thích gì thêm.
Xem thÍm c·c khÛa học online tại bkkhongsotach.edu
Tổng hợp đề thi cuối kỳ đại số BK0ST
Course: Đại số (MI1140)
University: Trường Đại học Bách khoa Hà Nội
