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Apuntes Completos Fundamentos De Sistemas Digitales- Prof. Morillo
Fundamentos de Sistemas Digitales (71901014)
UNED
Comentarios
- ¡Muchas gracias!
- buen trabajo, aunque en el blog de morillo está por separado sin publi
- Gracias!!!!
- muy bueno
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Algebra de Boole DE BOOLE George Boole (1854) una herramienta que se utiliza para el estudio de computadores. La en computadores es del tipo binario El estado de un elemento del circuito viene representado por una variable que puede valer o que indica la entre las variables y el de variables f(a,b,c,..) F (a, b, c) abc b(c d ) TABLA DE LA VERDAD: Tabla que recoge todas las combinaciones de las variables de entrada y los valores que toman las salidas. a b c F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 F (a, b, c) abc abc abc) 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 OPERACIONES EN EL ALGEBRA DE BOOLE F F F o o producto: Tablas de la verdad a 0 0 1 1 b 0 1 0 1 F 0 1 1 1 F 0 0 0 1 F 1 1 0 0 1 Algebra de Boole LEYES FUNDAMENTALES DEL ALGEBRA DE BOOLE a a 0 a a a a 1 0 a Conmutativa a b b a a b b a Asociativa a b c (a b) c a (b c) a b c (a b) c a (b c) Distributiva a bc (a b)(a c) a (b c) ab ac a ab a (1 b) a a (a b) aa ab a Morgan a b a b a b a b Teorema Shannon F f (a, b, c) a f (1, b, c) a f (0, b, c) F bc F abc abc Leyes de Morgan Morgan a b a b a a 0 0 1 1 b F 0 1 1 0 0 0 1 0 a 1 1 0 0 b 1 0 1 0 F 1 0 0 0 F 1 1 1 0 F 1 1 1 0 2 Algebra de Boole DE LA A PARTIR DELA TABLA DE LA VERDAD Se define como de una a todo producto o suma en el que aparecen todas las variables en su forma directa a o complementada a . forma minterm suma de productos forma maxterm producto de sumas A PARTIR DE LA TABLA DE LA VERDAD: maxterm 0 1 2 3 4 5 6 7 minterm 0 1 2 3 4 5 6 7 a b c F 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 Minterms: Se toman las salidas que son y se expresa como suma de producto en los que las variables que son se expresan como literales y las que son como invertidas. F (a, b, c) abc abc abc abc abc F (a, b, c) m1 m2 m5 m6 m7 m(1, 2,5, 6, 7) Maxterms: Se toman las salidas que son y se expresa como producto de suma en los que las variables que son se expresan como literales y las que son como invertidas. F (a, b, c) (a b c)(a b c)(a b c) F (a, b, c) M 0 M 3 M 4 M (0,3, 4) Paso de la forma a la forma 1. Se saca la minterm invertida con los que son 0. 2. Se hace la inversa de la aplicando Morgan a los 3. Se obtiene directamente cambiando los por F (a, b, c) m1 m2 m5 m6 m7 m(1, 2,5, 6, 7) 1. F (a, b, c) m0 m3 m4 m(0,3, 4) 2. F (a, b, c) m0 m3 m4 m(0,3, 4) F (a, b, c) m0 m3 m4 3. F (a, b, c) M 0 M 3 M 4 4 Algebra de Boole Paso de la forma a la forma 1. Se representa la invertida, tomando los maxterm que no aparecen. 2. Se hace la inversa de la aplicando Morgan a los 3. Se obtiene directamente cambiando los por F (a, b, c) M 7 M 4 M 3 M (3, 4, 7) 1. F (a, b, c) M 0 M 1 M 2 M 5 M 6 M (0,1, 2,5, 6) 2. F (a, b, c) M 0 M 1 M 2 M 5 M 6 M (0,1, 2,5, 6) F (a, b, c) M 0 M 1 M 2 M 5 M 6 3. F (a, b, c) m0 m1 m2 m5 m6 EJERCICIOS Febrero del (Nuevo) Expresar F ( a, b, c ) a bc en forma de suma de Septiembre del 2003.Sistemas.A (Viejo) Hallar la forma de F ( a, b) a ab Febrero del 2003.Sistemas.A (Nuevo) Hallar la forma de F m1 m4 m6 m7 Septiembre del (Nuevo) La equivalente a la f (a, b, c) (a b)(a b c) (b c) Semana del 1 Indicar la del circuito 2 3 Septiembre Reserva del 2004.Sistemas.D x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 S0 S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 de las funciones S0, S1, S2 de la tabla de la verdad es equivalente a la f ( x, y , z ) xy ( z z ) x yz 5 Algebra de Boole Una vez obtenida la y el mapa de Karnaugh, posicionar los con salidas y con salidas en los cuadros que les corresponda para poder simplificar: 1. Agrupar las que contengan y que sean adyacentes, procurando hacer agrupaciones de la mayor cantidad posible de 2. Las han de ser de forma cuadrada o rectangular y siempre con respecto de los ejes de doblado del mapa o quedando totalmente a un lado de n Las han de ser de 2,4,8,.. 2 de adyacentes. 3. El mapa se puede considerar una esfera, esto es, las columnas de los extremos y las extremas son adyacentes entre ellas. 4. Una vez agrupados, minimizar usando adyacencia y (variables que cambian de valor desaparecen) y sumar los resultados. 5. Tener en cuenta que cuando el de es menor que el de es mejor minimizar con respecto a los e invertir la obtenida. Ejemplo: Simplificar la F (a, b, c, d ) acd abd abc abc abcd 1. Desarrollar para obtener la F (a, b, c, d ) acd abd abc abc abcd F ( a, b, c, d ) abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd abcd m0 m4 m1 m3 m8 m9 m12 m13 m6 F (a, b, c, d ) m0 m1 m3 m4 m6 m8 m9 m12 m13 2. Mapa de Karnaugh b b d d d b b d d d d 3 d 4 c a a m0 m1 m5 m4 a c 1 1 0 1 c m2 m6 c 0 1 0 1 c m10 m11 m15 m14 c 0 0 0 0 c m8 c 1 1 1 1 m3 m7 a m9 m13 m12 2 3. Agrupaciones: 1 ac cd 3 abd 1 4 abd 4. final: F (a, b, c, d ) ac cd abd abd 7 Algebra de Boole Logigrama a c_ d_ F b Redundancias y indiferentes: Son aquellos que son prohibidos (no esposible su de entrada) por alguna y que por lo tanto las salidas correspondientes se pueden tomar como o como (X) nos intereses para una mayor esto es mayor Ejemplo: 1. En un registro de cuatro bits cuyas salidas disponibles al exterior se almacena en BCD. a) Determinar la tabla de verdad de un circuito que detecte que el contenido en el registro es par. b) Minimizar las expresiones algebraicas de este circuito por el de Karnaugh c) Realizar la con puertas NAND y NOR. a) Tabla de verdad El BCD se explica en el apartado 4.3.2 del texto base. Su tabla es la siguiente: decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R3 R2 R1 Ro fpar 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 X X X X X X 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A la derecha se ha incluido una columna que contiene un 1 si la cifra decimal representada en su fila es par, y 0 si es impar. Por tanto, dicha columna contiene los valores de la del enunciado, y la tabla anterior constituye su tabla de verdad. Las seis entradas representan redundancias, pues corresponden a combinaciones no en el que, por tanto, nunca pueden darse. Por ello, el valor de fpar en estos casos es indiferente. 8 Algebra de Boole Teniendo en cuenta los tres minterms redundantes elegidos en la la resultante es f par R3 R0 R3 R0 La suma presente en la fpar, puede expresarse con una puerta NAND f NAND A B tal que A R3 R0 R3 R0 A R3 R0 que equivale a una NOR un inversor. B R3 R0 B R3 R0 que corresponde con una NAND. Con todo esto, la de la queda f par R3 R0 R3 R0 El circuito correspondiente contiene en total cuatro puertas, de las cuales 2 son NAND y las otras dos son NOR, una de ellas actuando como inversor. EJERCICIOS Febrero del 2003.Sistemas.A Septiembre 2003 Simplificar la siguiente f (a c d ) (b c d ) (ab c d ) Septiembre del F Septiembre Reserva del 2004.Sistemas.D Simplificar la siguiente f ((a b)c a b c d ) (c b) 10 de la DE LA Sistemas de Acumulativos Cada un valor (Romano). Posicionales de Valor Valor del y que ocupa (Peso) N Base b de caracteres. de ai p enteros. q fraccionarios. N (b a p p 2 a p a p 4 ..... a1a0 , q N (b a p p a p 2b p 2 ... a1b1 a0b 0 q b q 1927, 456(10 1i103 9i102 2i101 7i100 4i10 6i10 Sistemas de Base Decimal 10 Binario 2 0y1 Octal 8 Hexadecimal 16 0 9, A, B, C, D, E, F Unidad BIT 1 de la Ejemplo: 135,375 (10 pasar a binario 7 135 128 2 135 7 2 2 1 1 0 0 7 2 2 7 4 3 3 2 2 3 2 1 1 2 2 1 1 0 2 0,375 0,25 0,125 2 0,125 0,125 0 0,375 2 0,125 2 Exponente 28 27 26 Peso 256 128 64 1 0 5 4 2 32 0 3 2 16 0 2 2 8 0 2 4 1 1 0 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 0,5 0,25 0,125 0,0625 0,03125 0 1 1 Binario Octal Binario Octal: Se hacen agrupaciones de 3 bits de derecha a izquierda para la parte entera e izquierda a derecha para la decimal y se hace la directa de cada de 3 bits. Ejemplo: (2 pasar a octal La parte entera tiene 8 bits, como son agrupaciones de 3 bits, se un cero a la izda. La parte decimal tiene 5 bits, como son agrupaciones de 3 bits, se un cero a la dcha. 0 1 3 1 1 0 4 0 1 0 5 1 , , 0 1 3 1 0 1 2 0 (2 345,32 (8 Octal Binario : Se hace la directa de cada en octal a sus correspondientes 3 bits en binario Ejemplo: 652,27 (8 pasar a binario 6 1 1 652,27 (8 0 5 0 1 1 2 1 0 0 , , 2 1 0 0 1 7 1 1 (2 Binario hexadecimal: El procedimiento es el mismo que para la con octal, pero con agrupaciones de 4 bits. Ejemplo: (2 pasar a hexadecimal 1 1 1 0 0 1 0 E 1 , 0 1 1 5 0 1 0 0 6 0 8 (2 (16 Ejemplo: F4A,B (16 pasar a binario F 1 1 4 1 1 0 1 A 0 0 1 0 1 0 , , B 1 0 1 1 F4A,B (16 (2 3 de la Pasar a binario, octal y hexadecimal el decimal 251,625 Hexadecimal: 251:16 15 resto 11 15 F 11 B 251 (10 FB (16 0,625 16 10 10 A 0,625 (10 0,A (16 251,625 (10 FB,A (16 Binario: F 1011 1010 FB,A (16 Octal: 11 011,1010 3 7 3 ,5 0 (8 Pasar a binario, octal el 1B3,2(16 1B3,2(16 110110011,0010 (2 663,1 (8 Septiembre del 2001.B Indicar la igualdad incorrecta: a) 20,1(8 b) 37,6(8 c) 1101,01(2 11,4 (8 d) Septiembre del Indicar la respuesta correcta: 176,32(10 a binario es: a) 1100101,10011 b) c) 10100110,0011 d) 1001001,01001 Sep 2005. A6. Sistemas Pasar a octal el AF,7(16 a) 257,31(8 b)257,34(8 c)1217,31(8 d)1217,07(8 Semana. C11 Arquitectura de Ordenadores Pasar el A3F8D(16 a octal y restar 11(8 a) 671620(8 b)2437602(8 c)2437574(8 d)2437604(8 4 Funciones Codificador de magnitud signo a Complemento a 1 2. Sumadores y restadores Semisumador: s a b c Sumador: a b Cin s Co a 0 0 0 0 1 1 1 1 b 0 0 1 1 0 0 1 1 Cin 0 1 0 1 0 1 0 1 s 0 1 1 0 1 0 0 1 Co 0 0 0 1 0 1 1 1 S abc abc abc abc c(ab ab) c (ab ab ) c(a b) c (a b) cm cm) c m c (a b) C0 abc abc abc abc ab c(a b) 2 Funciones Sumador paralelo: Semirrestador: a s b c Restador: a D b Cin Ci Co a 0 0 0 0 1 1 1 1 b 0 0 1 1 0 0 1 1 Ci 0 1 0 1 0 1 0 1 D 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 S abc abc abc abc c(ab ab) c (ab ab ) c(a b) c (a b) cm cm) c m c (a b) Ci abc abc abc abc ab ci (a b) 3 Funciones Sumador paralelo con acarreo adelantado: Pi ai bi Gi ai Si Pi Ci Ci Gi Pi C1 G0 P0C0 C2 G1 PC 1 1 G1 P1 (G0 P0C0 ) G1 PG 1 0 P1 P0 C0 C3 G2 P2C2 G2 P2 (G1 PG 1 0 P1 P0 C0 ) G2 P2 G1 P2 PG 1 0 P2 P1 P0 C0 C4 G3 P3C3 G3 P3 (G2 P2G1 P2 PG 1 0 P2 P1 P0C0 ) G3 P3G2 P3 P2 G1 P3 P2 PG 1 0 P3 P2 P1 P0 C0 Se gestiona el acarreo desde el principio, suponiendo para cada salida 4 etapas de puertas independientemente del orden de la salida Sn 5 Funciones 3. Sumador en complemento a 1: Cuando se opera en en a el de limitado al de bits. De esta manera cuando el resultado de una suma o resta es superior al de el resultado de la es dicho error queda recogido en el bit denominado de rebosamiento. 1. 2. 3. 4. Funciones que debe realizar el circuito Sumar en binario puro sin signo ni magnitud. Dar por el resultado si el y no hay rebose. Si y no hay rebose Sumar al resultado. Si hay rebose Dar error Situaciones: No hay problemas en los casos 0 0 0 0 1 1 0 1 1 Sumar al resultado 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 Rebose 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 rebose S1 A1 B1 S1 A1 B1 4. COMPARADORES Comparador elemento que compara dos datos de entrada (a, b) de n bits cada uno y activa una de entre tres salidas en de que El de bits de cada una de las entradas da nombre al comparador. un comparador de 4 bits es el que tiene cada una de sus entradas de 4 bits. a b a 0 0 1 1 b 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 (a b) ab (a b) ab ab a b (a b) ab 6
Apuntes Completos Fundamentos De Sistemas Digitales- Prof. Morillo
Asignatura: Fundamentos de Sistemas Digitales (71901014)
Universidad: UNED
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