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Variabili Aleatorie

Corso

Statistica e calcolo della probabilità (085847)

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Politecnico di Milano

Anno accademico: 2010/2011

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Variabili Aleatorie Probabilità Mattia Natali Variabili Aleatorie µ Definizioni: Ø Una variabile aleatoria X è una regola (funzione) che associa un numero ad un esito casuale. Ø Per le variabili aleatorie siamo interessati a calcolare probabilità del tipo: § P ( a ≤ X ≤ b ) = P ( esiti tali che a ≤ X ≤ b ) . Esempio per quanto riguarda i dadi: ({(1,1), (1, 2 ), ( 2,1)}) à 1 1 1 3 1 P ( 2 ≤ X ≤ 3 ) = P ({(1,1)}) + P ({(1, 2 )}) + P ({( 2,1)}) = + + = = . 36 36 36 36 12 P ( 2 ≤ X ≤ 3 ) = P (( i, j ) ∈Ω : 2 ≤ i + j ≤ 3 ) = P Ø Sia X una variabile aleatoria (V.), la funzione di ripartizione (F.D.) di X è FX ( x ) := P ( X ≤ x ) . Quindi FX ( x ) esprime la probabilità che la variabile aleatoria X assuma un valore minore o uguale a x . § Proprietà: 1. 2. 0 ≤ FX ( x ) ≤ 1 , la dimostrazione è ovvia FX ( x ) = P ( X ≤ x ) ∈[ 0,1] . P ( a &amp;amp;lt; X ≤ b ) = FX ( b ) − FX ( a ) . ♦ Dimostrazione: P ( X ≤ b ) = P (( X ≤ a ) ∪ ( a &amp;amp;lt; X ≤ b )) = P ( X ≤ a ) + P ( a &amp;amp;lt; X ≤ b )  significa unione di due eventi à P ( a &amp;amp;lt; X ≤ b ) = P ( X ≤ b ) − P ( X ≤ a ) . (N.: ∪ disgiunti). 3. FX ( x ) è non decrescente. ♦ Dimostrazione: segue da 2. Se x &amp;amp;lt; y à F ( y ) − F ( x ) = P ( x &amp;amp;lt; X ≤ y ) à F ( y ) = F ( x ) + P ( x &amp;amp;lt; X ≤ y ) ma visto che sono tutti maggiori di 0 à F ( y ) ≤ F ( x ) . 4. lim FX ( x ) = lim P ( X ≤ x ) = P ( X ≤ ∞ ) = 1 , ossia FX ( +∞ ) = 1 . x→+∞ x→+∞ FX ( −∞ ) = P ( X ≤ −∞ ) = 0 . 5. P ( X &amp;amp;gt; x ) = 1 − P ( X ≤ x ) = 1 − FX ( x ) . µ Variabili aleatorie discrete: X è una variabile aleatoria discreta se l’insieme dei suoi possibili valori è finito o numerabile. Ø Sia X una variabile discreta, la funzione di massa (densità) è p X ( a ) := P ( X = a ) . Ø Proprietà: 1. P ( X ∈A ) = ∑ p X ( a ) . a∈A • Dimostrazione: P ( X ∈A ) con A = { x1 , x2 ,..., xn } . O P ( X ∈A ) = P ( X ∈{ x1 , x2 ,..., xn }) = P ⎛ X = x1 ,..., X = xn ⎞ = P ( X = x1 ) + ... + P ( X = xn ) = ⎝ ⎠ = p ( x1 ) + p ( x2 ) + ... + p ( xn ) = 2. p X ( a ) ∈[ 0,1] . ∑ p ( a ) . X a∈A 1 Variabili Aleatorie Probabilità FX ( x ) = 3. • Mattia Natali ∑ p ( a ) . X a≤ X Dimostrazione: caso particolare della prima proprietà. ∑ FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = P ( X ∈(−∞, x]) = a∈(−∞, x ] p X ( a ) = ∑ p X ( a ) . a≤x µ Variabili aleatorie continue (assolutamente): Ø X variabile aleatoria è continua se ∃ f ( x ) ≥ 0 : ∀A ⊂  , P ( X ∈ A ) := f X ( x ) si chiama densità. § Ø P (a &amp;amp;lt; X ≤ b) = Ø P ( x &amp;amp;lt; X ≤ x + ∆ x) = ∫ b a ∫ f ( x ) dx . A f X ( x ) dx . ∫ x +∆ x x f X ( s ) ds  f ( x )∆ x , se prendo ∆ x → 0 . Ø Proprietà della densità (continua): 1. P (a &amp;amp;lt; X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b) = P (a &amp;amp;lt; X &amp;amp;lt; b) = 2. P ( X = a) = P (a ≤ X ≤ a) = ∫ b a f X ( x ) dx . ∫ f ( x ) dx = 0 . Ma nelle applicazioni non lo incontreremo a a quasi mai, succede solo nella matematica pura. FX ( x ) = 3. ∫ x −∞ f X ( s ) ds . FX ( x ) = P ( X ≤ x ) = P ( X ∈(−∞, x]) = • ∫ x −∞ f X ( s ) ds . d x d f X ( s ) ds = f X ( x ) à FX ( x ) = f X ( x ) . La densità è la derivata della funzione di ∫ −∞ dx dx 4. ripartizione. 5. ∫ +∞ −∞ f X ( x ) dx = 1 . Dimostrazione: F ( +∞ ) − F ( −∞ ) = 1 − 0 = 1 . µ Coppie di variabili aleatorie: Ø Coppia ( X,Y ) di variabili aleatorie si chiama anche vettore aleatorio. Ø Sia ( X,Y ) una coppia di variabili aleatorie FX ,Y ( x, y ) := P ( X ≤ x,Y ≤ y ) si chiama funzione di ripartizione congiunta (perché c’è sia X che Y ). La virgola nell’argomento di P ( ) denota l’intersezione tra eventi. 1. 2. 3. FX ( x ) = P ( X ≤ x ) , FY ( y ) = P (Y ≤ y ) si chiamano funzioni di ripartizione marginali. 0 ≤ FX ,Y ( x, y ) ≤ 1 . lim FX ,Y (x, y) = FX ,Y ( +∞, y ) = P ( X ≤ +∞,Y ≤ y ) = P (Y ≤ y ) à FX ,Y ( +∞, y ) = FY ( y ) , si x→+∞ può ottenere la funzione di ripartizione marginale partendo da quella congiunta mandando all’infinito l’altra variabile aleatoria. Questo perché FX ( ∞ ) = P ( x &amp;amp;lt; ∞ ) = 1 e FY ( ∞ ) = P ( y &amp;amp;lt; ∞ ) = 1 . Ø Un vettore aleatorio ( X,Y ) è discreto se X e Y lo sono. § Funzione di massa congiunta: p X ,Y ( x, y ) := P ( X = x,Y = y ) . 2 Variabili Aleatorie • Probabilità Mattia Natali Caso n variato: ♦ ( X1, X2 ,..., Xn ) con Xk variabile aleatoria. FX ,..., X ( a1 ,..., an ) = P ( X1 ≤ a, X2 ≤ a2 ,..., Xn ≤ an ) à FX ,..., X ( a1 ,..., ak −1 , +∞, ak +1 ,..., an ) = FX ,..., X ,..., X ( a1 ,..., ak −1 , ak +1 ,..., an ) . PX ,..., X ( a1 ,..., an ) = P ( X1 = a1 ,..., Xn = an ) con a = ( a1 ,..., an ) e X = ( x1 , x2 ,..., xn ) . 1 n 1 n 1 n ∑p 1 X1 ,..., Xn ( a1,..., an ) = pX ,..., X 1 k−1 , X k+1 ,..., X n ak k−1 n ( a ,..., a 1 a ,..., an ) . k −1, k +1 f X1 ,..., Xn ( a1 ,..., an ) da1 ..  P ( a1 &amp;amp;lt; x1 ≤ a1 + da1 ,...., an &amp;amp;lt; xn ≤ an + dan ) . P (( x1 ,.., xn ) ∈A ) = ∫ ...∫ da1 .. fx1 ,.. ( a1 ,..., an ) . n integrali in A µ Valore Atteso: Ø X variabile aleatoria discreta, il valore atteso di X è il numero: ∑ ai P ( X = ai ) = ∑ ai pX ( ai ) =: E ( X ) aspettazione o media di X . i § i Note: ∑ a P ( X = a ) non converge à E ( X ) non esiste. Sia X una variabile aleatoria a valori in {a , a ,..., a } . N ( X ,..., X ) = numero di volte 1. Se i i i 2. 1 2 n k 1 n Nk X + ... + Xn a1 N1 + a2 N 2 + ... + an N n  P ( X = ak ) à 1 = = N N N N N N = a1 1 + a2 2 + ... + an n  a1P ( X = a1 ) + ... + an P ( X = an ) = E ( X ) . N N N ∑ ai pX ( ai ) i = E ( X ) . ∑ pX ( ai ) = 1 che ottengo “ ak ”. i § E ( X ) = prezzo equo del bene X . § X variabile aleatoria continua, E ( X ) := § ∫ +∞ −∞ xf X ( x ) dx . Proprietà del valore atteso: • X variabile aleatoria g :  →  ⇒ Y = g ( X ) è una variabile aleatoria. • α , β ∈, X variabile aleatoria E [α X + β ] = E ⎡⎣ g ( X ) ⎤⎦ = ∑ g ( x ) p X ( x ) = ∑ (α X + β ) p ( x ) = x x = ∑ α Xp X ( x ) + ∑ β p X ( x ) = α ∑ Xp X ( x )+ β ∑ p X ( x ) = α E ( X ) + β . x • • • x x E(X) x =1 E [α X ] = α ( X ) . E ( β ) = β il valore atteso di un numero è un numero stesso. E [ X + Y ] = E [ X ] + E [Y ] . 4 Variabili Aleatorie Probabilità Mattia Natali ( ) ∑ ( x + y ) p ( x, y ) = ♦ Dimostrazione: ( X,Y ) discreto. E ( X + Y ) = E g ( X,Y ) = X ,Y x, y = ∑ xp X ,Y ( x, y ) + ∑ yp X ,Y ( x, y ) = ∑ ∑ xp ( x, y ) + ∑ ∑ yp ( x, y ) = x, y x, y x y y x = ∑ x ∑ p ( x, y ) + ∑ y ∑ p ( x, y ) = ∑ xp X ( x ) + ∑ yPY ( y ) = E [ X ] + E [Y ] . x • § y = pX ( y ) x = pY ( x ) x y ⎡ n ⎤ n E ⎢ ∑ X k ⎥ = ∑ E [ X k ] . ⎣ k =1 ⎦ k =1 ⎧∑ g ( x ) p X ( x ) ⎪ x Teorema: X variabile aleatoria e g :  →  . E ⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦ = ⎨ (analogia con +∞ ⎪ ∫ g ( x ) f X ( x ) dx ⎩ −∞ E(X) = § y ∫ +∞ −∞ xf X ( x ) dx ). Teorema: X = ( X1 ,..., X n ) vettore aleatorio g :  →  . g ( X ) = g ( X1 ,..., X n ) à ⎧∑ g ( x ) p X ( x ) = ∑ ( x1 ,..., xn ) p X1 ,..., X1 ( x1 ,.., xn ) ⎪ x1 ,.., xn E ⎡⎣ g ( X ) ⎤⎦ = ⎨ X . ⎪ ∫ ...∫ g ( x ) f X ( x ) dx ⎩ µ Varianza: Ø Sia X una variabile aleatoria con media µ = E ( X ) . Si definisce varianza: 2 2 Var ( X ) := E ⎡⎣( X − µ ) ⎤⎦ = E ⎡( X − E ( X )) ⎤ . Per calcolare una varianza devo: ⎣ ⎦ § § § ⎧∑ xp ( x ) ⎪ x Calcolare µ = E ( X ) = ⎨ +∞ ⎪ ∫ xf ( x ) dx ⎩ −∞ 2 ⎧∑ ( x − µ ) p ( x ) ≥ 0 ⎪ Var ( x ) = ⎨ x +∞ 2 ⎪ ∫ ( x − µ ) f ( x ) dx ≥ 0 ⎩ −∞ Oss: Var ( X ) ≥ 0 , Var ( X ) = 0 ⇔ X = µ . Var ( X ) si chiama deviazione standard. Ø Ø Proprietà: § X variabile aleatoria α , β ∈ , § § § § § ( ) 2 2 Var (α X + β ) = E ⎡⎣(α X + β ) − E (α X + β ) ⎤⎦ = E ⎡⎢ α X + β − (α E ( X ) + β ) ⎤⎥ = ⎣ ⎦ 2 2 2 2 = E ⎡(α X − α E ( X )) ⎤ = α E ⎡( X − E ( X )) ⎤ = α Var ( X ) à Var (α X + β ) = α 2Var ( X ) . ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 Var (α X ) = α Var ( X ) . Var (α X ) = α 2Var ( X ) ⇒ Var ( − X ) = Var ( X ) , E ( − X ) = −E ( X ) . Var ( X + β ) = Var ( X ) . Var ( β ) = 0 . ( ) Var ( X ) = E X 2 − E ( X ) . 2 5 Variabili Aleatorie • Probabilità Mattia Natali ⎛ ⎞ X k ⎟ = ∑ Var ( X k ) . ∑ ⎝ k ⎠ k Corollario: se X1 ,..., X n variabili aleatorie indipendenti à Var ⎜ X,Y indipendenti ⇒ Cov ( X,Y ) = 0 . § X,Y sono non correlate se Cov ( X,Y ) = 0 . § Indipendenza ⇒ non correlazione. Ø X,Y variabili aleatorie, X &amp;amp;amp; Y sono positivamente (negativamente) correlate se Cov ( X,Y ) &amp;amp;gt; 0 Ø ( Cov ( X,Y ) &amp;amp;lt; 0 ). µ Coefficiente di Correlazione: Cov ( X,Y ) Ø ρ ( X,Y ) := coefficiente di correlazione. Var ( X )Var (Y ) Cov (α X, αY ) α 2Cov ( X,Y ) = = § ρ (α X, αY ) = Var (α X )Var (αY ) α 2 Var ( X )Var (Y ) ρ ( X,Y ) ≤ 1 . § ρ ( X,Y ) = 1 ⇔ Y = α X + β . § Cov ( X,Y ) Var ( X )Var (Y ) . µ Legge dei grandi numeri: Ø Disuguaglianza di Chebyshev: X variabile aleatoria, µ = E ( X ) e σ = Var ( X ) . P ( X − µ &amp;amp;gt; kσ ) ≤ 1 . In altri termini, la probabilità che una variabile aleatoria differisca dalla sua k2 1 media per più di k volte la deviazione standard, non può superare il valore di 2 . k § Dimostrazione: Diciamo che X sia discreta. 2 2 σ 2 = Var ( X ) = E ⎡⎣( X − µ ) ⎤⎦ = ∑ ( x − µ ) p X ( x ) = x = ∑ ( x − µ ) p ( x ) + ∑ ( x − µ ) p ( x ) ≥ ∑ ( x − µ ) p ( x ) ≥ 2 ( x: x − µ &amp;amp;gt; kσ ) ≥ ( kσ ) 2 2 ( x: x − µ ≤ kσ ) ∑ ( x: x − µ &amp;amp;gt; kσ ) 2 ( x: x − µ &amp;amp;gt; kσ ) p X ( x ) = k 2σ 2 P ( X − µ &amp;amp;gt; kσ ) ≤ σ 2 ⇒ P ( X − µ &amp;amp;gt; kσ ) ≤ 1 . k2 Ø Teorema (Legge debole dei grandi numeri): X1 , X 2 ,... variabili aleatorie indipendenti, ⎧⎪ E ( X1 ) = E ( X2 ) = ... = µ ⎛ ⎛1 n ⎞ ⎞ f issato , P ε &amp;amp;gt; 0 ⇒ ⎨ ⎜ ⎜⎝ n ∑ X k ⎟⎠ − µ &amp;amp;gt; ε ⎟ → 0 con n → ∞ . 2 ⎝ ⎠ k =1 ⎪⎩Var ( X1 ) = Var ( X2 ) = ... = σ 1 n Con ∑ X k = X n media campionaria. n k =1 7 Variabili Aleatorie § Probabilità Mattia Natali 1 n 1 ⎡1 n ⎤ 1 n X = E X = ( k ) ∑ µ = nµ = µ . ∑ ∑ k⎥ n k =1 n ⎣ n k =1 ⎦ n k =1 ( ) Dimostrazione: E X n = E ⎢ ⎛1 n ⎞ 1 ⎛ n ⎞ 1 n 1 n nσ 2 σ 2 . Var ( Xn ) = Var ⎜ ∑ X k ⎟ = 2 Var ⎜ ∑ X k ⎟ = 2 ∑ Var ( X k ) = 2 ∑ σ 2 = 2 = ⎝ n k =1 ⎠ n ⎝ k =1 ⎠ n k =1 n k =1 n n ⎛ ⎞ σ 2X σ 2 ε 1 ⎜ ⎟ P Xn − µ &amp;amp;gt; ε = P ⎜ Xn − E ( Xn ) &amp;amp;gt; σ ≤ = = → 0 . σ X X ⎟ ⎛ ε ⎞ 2 ε 2 nε 2 n→∞ ⎜⎝  ⎟⎠ =k ⎜⎝ σ ⎟⎠ X ( ) Per il teorema di Chebyshev µ Funzione generatrice dei momenti: Ø X variabile aleatoria, t ∈ , e è una variabile aleatoria. Ø La funzione generatrice dei momenti di X è tX ⎧ ⎪⎪ m X ( t ) := E ⎡⎣ etX ⎤⎦ = ⎨ ⎪ ⎪⎩ ∑e tx pX ( x ) se X è discreta x ∫ +∞ −∞ etx f X ( x ) dx se X è continua Il nome adottato deriva dal fatto che tutti i momenti di cui è dotata X possono essere ottenuti derivando più volte nell’origine la funzione m X ( t ) . ⎧∑ g ( x ) p X ( x ) con X discreta ⎪ x Ø E ( g ( X )) = ⎨ +∞ ⎪ ∫ g ( x ) f X ( x ) dx con X continua ⎩ −∞ 0x 0 Ø m X ( 0 ) = E ⎡⎣ e ⎤⎦ = E ⎡⎣ e ⎤⎦ = 1 . Ø ( ) X variabile aleatoria, il momento k-‐esimo di X è E X k . Ø Proprietà: § m (Xk ) ( 0 ) = E ⎡⎣ X k ⎤⎦ . • § § Teorema: X variabile aleatoria, m X ( t ) è derivabile n volte in t = 0 ⇔ se ∃ ( ) ( ) E ( X ) , E X 2 ,..., E X n . X,Y hanno la stessa funzione generatrice dei momenti ⇔ FX = FY à m X = mY ⇔ FX = FY Se X,Y variabili aleatorie indipendenti ⇒ m X +Y = m X mY . In altre parole, la funzione generatrice dei momenti della somma di variabili aleatorie indipendenti è il prodotto delle funzioni generatrici delle singole variabili aleatorie. • Dimostrazione: X,Y indipendenti ⇒ e &amp;amp;amp; e sono indipendenti ∀t . ♦ FetX etY = FetX FetY . tX tY 1 1 ⎛ ⎞ FetX ,etY = P etX ≤ a, etY ≤ b = P ( tX ≤ ln a,tY ≤ ln b ) = P ⎜ X ≤ ln a,Y ≤ ln b ⎟ = ⎝ ⎠ t t 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = P ⎜ X ≤ ln a ⎟ P ⎜ Y ≤ ln b ⎟ = P ( tX ≤ ln a ) P ( tY ≤ ln b ) = P etX ≤ a P etY ≤ b ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t t = F tX = F tY ( ) ( ) ( e ♦ ) e m X +Y ( t ) = E ⎡⎣ et ( X +Y ) ⎤⎦ = E ⎡⎣ etX etY ⎤⎦ = E ⎡⎣ etX ⎤⎦ E ⎡⎣ etY ⎤⎦ = m X ( t ) mY ( t ) . 8

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Variabili'Aleatorie'Probabilità'Mattia'Natali'

Variabili'Aleatorie'

µ Definizioni:)

Ø Una'variabile)aleatoria)

'è'una'regola'(funzione)'che'associa'un'numero'ad'un'esito'casuale.'

Ø Per'le'variabili'aleatorie'siamo'interessati'a'calcolare'probabilità'del'tipo:'

§

P a ≤X≤b

( )

=Pesiti tali che a≤X≤b

( )

.'Esempio'per'quanto'riguarda'i'dadi:'

P2≤X≤3.7

( )

=P i,j

( )

∈Ω : 2 ≤i+j≤3.7

( )

=P1,1

( )

, 1, 2

( )

, 2,1

( )

{ }

( )

'à'

P2≤X≤3.7

( )

=P1,1

( )

{ }

( )

+P1, 2

( )

{ }

( )

+P2,1

( )

{ }

( )

36 +1

36 =3

36 =1

Ø Sia'

'una'variabile'aleatoria'(V.A.),'la'funzione)di)ripartizione'(F.D.R.)'di'

'è'

FXx

( )

:=P X ≤x

( )

.'Quindi'

FXx

( )

'esprime'la'probabilità'che'la'variabile'aleatoria'

'assuma'un'valore'minore'o'

uguale'a'

§ Proprietà:))

0≤FXx

( )

≤1

,'la'dimostrazione'è'ovvia'

FXx

( )

=P X ≤x

( )

∈0,1

[ ]

P a <X≤b

( )

=FXb

( )

−FXa

( )

♦ Dimostrazione:'

P X ≤b

( )

=P X ≤a

( )



∪a<X≤b

( )

=P X ≤a

( )

+P a <X≤b

( )

à'

P a <X≤b

( )

=P X ≤b

( )

−P X ≤a

( )

.'(N.B.:'



∪

'significa'unione'di'due'eventi'

disgiunti).'

FXx

( )

'è'non'decrescente.'

♦ Dimostrazione:'segue'da'2.'Se'

x<y

'à'

F y

( )

−F x

( )

=P x <X≤y

( )

'à'

F y

( )

=F x

( )

+P x <X≤y

( )

'ma'visto'che'sono'tutti'maggiori'di'

'à'

F y

( )

≤F x

( )

lim

x→+∞

FXx

( )

=lim

x→+∞

P X ≤x

( )

=P X ≤ ∞

( )

,'ossia'

FX+∞

( )

FX−∞

( )

=P X ≤ −∞

( )

P X >x

( )

=1−P X ≤x

( )

=1−FXx

( )

µ Variabili)aleatorie)discrete:)

Ø

'è'una)variabile)aleatoria)discreta'se'l’insieme'dei'suoi'possibili'valori'è'finito'o'numerabile.'

Ø Sia'

'una'variabile'discreta,'la'funzione)di)massa)(densità)'è'

pXa

( )

:=P X =a

( )

Proprietà:)

P X ∈A

( )

=pXa

( )

a∈A

∑

• Dimostrazione:'

P X ∈A

( )

'con'

A=x1,x2,..., xn

{ }

P X ∈A

( )

=P X ∈x1,x2,..., xn

{ }

( )

=P X =x1,...

,X=xn

⎛

⎝⎞

⎠=P X =x1

( )

+... +P X =xn

( )

=p x1

( )

+p x2

( )

+... +p xn

( )

=pXa

( )

a∈A

∑

pXa

( )

∈0,1

[ ]

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