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Appunti su curve nello spazio in forma parametrica - Geometria a.a. 2013/2014

Corso

Geometria (15BCGLN)

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Politecnico di Torino

Anno accademico: 2013/2014

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Politecnico di Torino

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Anteprima del testo

Curve nello spazio

in forma parametrica

Curve in forma parametrica

Def. Curva in forma parametrica è una funzione

####### γγγγ: D ⊆⊆⊆⊆R →→→→ Rm γγγγ(t)=(x 1 (t),x 2 (t),...,xm(t))

continua su D, cioè le funzioni

xi(t) : D ⊆⊆⊆⊆R→→→→R sono continuesu D, i=1,2,...,m

C= Im(γγγγ) : C è il sostegno della curva

ESEMPI

γ(t)=(2-t,1+2t, t), t∈R: C= Im(γ) è unaretta nello spazio
γ(t)=(cos t, sin t), t∈[0,2π]: C= Im(γ) è una circonferenzanel piano

Curve e archi semplici

####### Def.: C si dice semplice se γ è iniettiva

####### Es: γ(t)=(t 2 -1, t 3 -t) non è semplice (strofoide di Barrow)

Se D=[a,b] ⊆⊆⊆⊆ R, γ si dice arco di curva di estremi

####### A=γ(a) e B=γ(b)

Se D=[a,b] ⊆ R e seγ(a)=γ(b), γ si dice curva chiusa
Arco semplice
Arco non semplice
Arco chiuso semplice
Arco chiuso non semplice C

Curva e sostegno della curva

Curve diverse con lo stesso sostegno f(t)=(t,t), g(t)=(t 3 ,t 3 ), h(t)=(-t,-t),t∈R che cosa cambia?
f(t)=(R cos t , R sin t), t∈[0,2π]: C= Im(f) circonferenza
e se t∈R?
- f(t)=(2-t,1+2t, t), t∈R: C= Im(f) retta
- f(t)=(2-t,1+2t, t), t∈[0,2]: C= Im(f) segmento
- f(t)=(cos t, sin t, t), t∈R : C= Im(f) elica cilindrica se t∈ [0,2π]: spira  (t+1,1) se 0≤t&lt;
f(t)= (2,t) se 1≤t&lt;2 (f è continua) (4-t,4-t) se 2≤t≤ 3

 (t,0,0) se 0≤t&lt;

f(t)=  (1,t-1,0) se 1≤t&lt;2 (f è continua)  (1,1,t-2) se 2≤t≤ 3

Curve biregolari – Piano osculatore

####### Definizione: la curva γ : I ⊆⊆⊆⊆ R→→→→ R 3

γ(t)=(x(t),y(t),z(t)) si dice biregolarese γè derivabile due volte con derivate continue su I (cioè se x(t),y(t),z(t) ∈C(2)(I)) e se γ’(t) ∧γ’’(t) ≠ 0 ∀t∈ I La direzione del vettore γ’(t) ∧γ’’(t) si dice binormale a f

Definizione: sia γuna curva biregolare; si dice piano osculatore aC=Im(γ)

in P 0 = γ(t 0 ) il piano per P 0 ortogonale al vettore binormaleb=γ’(t 0 ) ∧γ’’(t 0 )

Esempio: l’elica cilindrica γ(t)=(cos t, sin t, ht) è biregolare (su R). Infatti γ’(t)=(-sint, cos t,h),γ’’(t)=(-cos t, -sin t,0), γ’(t)∧γ’’(t) =(hsin t,-hcos t,1)≠ 0 ∀t∈R

Il piano osculatore a C=Im(γ) nel punto P 0 =(-1,0,hπ), corrispondente al valore t= π, è il piano passante per P 0 e ortogonale al vettore b=(0,h,1); dunque ha equazione hy+z-hπ =

Curve piane

####### Una curva γ: D ⊆⊆⊆⊆R →→→→R 3 γ(t)=(x(t),y(t),z(t))

è piana quando esiste un piano π:ax+by+cz+d= che la contiene, cioè tale che ax(t)+by(t)+ cz(t)+d≡ 0 sia identicamente soddisfatta da ogni t∈D.

Metodi per vedere se una curva è piana

Le funzioni (x(t),y(t),z(t),1) sono linearmente dipendenti (in un opportuno spazio di funzioni definite su D a valori in R) (a volte si riesce a vedere ‘a occhio’ l’equazione di un piano soddisfatta dalle coordinate parametriche dei punti di γ)
Il piano osculatore in ogni punto è costante (lo si calcola in un punto scelto, e poi si vede se γ giace sul piano calcolato). Questo metodo è giustificato dalla definizione geometrica del piano osculatore.

Esempi

Cambiamenti di parametro

Curve congruenti

E’ data la curva γγγγ: I ⊆⊆⊆⊆ R→→→→ Rn

Definizione: Cambiamento regolare di parametro è una

biezione φ:J⊆⊆⊆⊆R→→→→I, dove φ∈C (1)(J) e φ’(u) ≠ 0, ∀u∈J

Definizione: La curva δδδδ=γγγγ○φ si dice congruente alla curva γ

Proprietà: Due curve regolari hanno lo stesso sostegno se

e solo se sono congruenti tra loro

Esempi

Ascissa curvilinea

Definizione: la rappresentazione parametrica δδδδ: I⊆⊆⊆⊆ R→→→→Rndi una curva si dice intrinseca se ||δδδδ’(s) ||=1, ∀s∈I

Il parametro s viene in tal caso detto ascissa curvilinea

Proprietà: Se la rappresentazione parametrica δδδδ(s) è intrinseca, la lunghezza dell’arco di curva tra A= δδδδ(a) e B=δδδδ(b) risulta semplicemente ℓ=∫ab ds=b-a Esempio

Esempi

Lunghezza di un arco di circonferenza γ(t)=(Rcos t,Rsin t ), t∈[0,θ]:

L= ∫ 0 θ|| γγγγ’(t)|| dt= ∫ 0 θRdt= Rθ

Lunghezza di una spira di elica cilindrica

γ(t)=(cos t, sin t, ht ), t∈[0,2π]:

L= ∫ 02 π|| γγγγ’(t)|| dt= ∫ 02 π√(1+h 2 ) dt= 2π √(1+h 2 )

Lunghezza di una spira di elica conica di passo 1:

γ(t)=(t cos t, t sin t,t ), t∈[0,2π]:

L= ∫ 02 π√(2+t 2 ) dt=√(2π)√(1+2π 2 )+ ln (√(2π)+√(1+2π 2 ))

Significato geometrico

dell’integrale curvilineo

Se f:D⊆ R 2 →R, γγγγ:I=[a,b]⊆R→→→→R 2 ,γγγγ(t)=(x(t),y(t))

l’integrale curvilineo

∫γfdγγγγ := ∫abf(x(t),y(t))(x’ 2(t)+y’ 2(t))1/2 dt

misura l'area laterale della regione cilindrica di base l'arco

di curva γ e altezza variabile data dai valori di f/γγγγ

Esempi

Calcoliamo l’integrale curvilineo della funzione f(x,y)=x-x 2 y lungo

la semicirconferenza γ: x 2 +y 2 =1 contenuta nel semipiano x&gt;0 e lungo

la semicirconferenza σ: x 2 +y 2 =1 contenuta nel semipiano y&gt;

Scriviamo γin forma parametrica regolare γ(t)=(cos t, sin t),t∈[-π/2, π/2],

da cui γ’(t)=(-sin t, cos t), ||γ’(t)||=1.

∫γf dγγγγ:=∫-π/2π/2f(cos t, sin t) ||γ’(t)||dt= ∫-π/2π/2(cos t- cos 2 t sin t) dt=

La sola cosa che varia per σè che t∈[0, π], dunque

∫γf dγγγγ:=∫ 0 πf(cos t, sin t) dt=∫ 0 π(cos t- cos 2 t sin t) dt=

Calcoliamo l’integrale curvilineo della funzione f(x,y)=y, lungo l’ arco di parabola γ: y=√x, x∈[0,6]

Scriviamo γin forma parametrica regolare γ(t)=(t 2 , t),t∈[0,√6],

da cui γ’(t)=(2t, 1), ||γ’(t)||= √(1+4t 2 ).

∫γf dγγγγ:=∫ 0 √ 6 f(t 2 , t) ||γ’(t)||= dt=∫ 0 √ 6 t√(1+4t 2 )dt=31/

Esempi

Calcolare il baricentro G dell’arco omogeneo γγγγdi catenaria y=Chx

x∈[-1,1]

Scriviamo γ in forma parametrica regolare γ(t)=(t, Ch t),t∈[-1,1],

da cui γ’(t)=(1, Sh t), ||γ’(t)||=Ch t. M=∫γdγ= ∫- 1 1 || γ’(t)||dt= ∫ 11 Ch t dt=2 Sh 1

xG= 1/(2Sh1) ∫γx dγ= 1/(2Sh1) ∫- 1 1 t ||γ’(t)||dt= 1/(2Sh1) ∫ 11 tCh t dt= 0

yG=1/(2Sh1)∫γy dγ =1/(2Sh1)∫- 1 1 Cht ||γ’(t)||dt=1/(2Sh1)∫ 11 Ch 2 t dt=(2+Sh2)/(4Sh1)

Dunque G=(0,(2+Sh2)/(4Sh1) )

Calcolare il momento di inerzia rispetto ad O del segmento omogeneo γγγγdella retta y=1, con x∈[0,1]

Scriviamo γ in forma parametrica regolare γ(t)=(t, 1),t∈[0,1],

da cui γ’(t)=(1, 0), ||γ’(t)||=1. IO =∫ 0 1 (x 2 (t)+y 2 (t)) ||γ’(t)|| dt= ∫ 01 (t 2 +1)dt= 4/

Superfici nello spazio

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