VARIABILI ALEATORIE DISCRETE!

La V.A. è una funzione che trasforma i risultati di un esperimento !

aleatorio, che chiamiamo w, in un numero reale X: Ω → R. Ω (Spazio

campionario). !

• Variabile Aleatoria discreta • Variabile Aleatoria continue !

VARIABILI ALEATORIE DISCRETE: !

V.A. è discreta se l’insieme dei possibili valori è FINITO o UN’INFINITÀ

NUMERABILE.$

Tipicamente deriva da un processo di conteggio. !

Funzione di probabilità di X !

p(X){𝑃 (𝑋 = 𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑆𝑥 (𝑆𝑢𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡𝑜 𝑑𝑖 𝑋, 𝑙′𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖 𝑣𝑎𝑙.) 0

𝐴𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒 !

PROPRIETA’: !

1. p(X) ≥ 0 𝑥 ∈ R 2. ∑𝑥∈𝑆𝑥 𝑝(𝑋) = 1 !

GRAFICO DI p(X): AD ASTE$

Esempio: X = n° di computer venduti in un giorno in un dato negozio. !

X ={ 0 1 2 3 4 5 6 0,05 0,1 0,2 0,2 0,2 0,15 0,1 !

P(3≤X<6) = P(X∈ [3; 6)) = 0,2+0,2+0,15 = 0,55 !

Delle V.A. discrete è importante conoscere e calcolare due valori di

sintesi. !

1. Valore atteso o media o speranza matematica o momento primo !

E(X) = ∑𝑥∈𝑆𝑥 𝑥 ∙ 𝑝(𝑥)$

2. Varianza V(X) = ∑𝑥∈𝑆𝑥(𝑥 − 𝜇)^2 ∙ 𝑝(𝑥) = 𝐸(𝑥^2) − [𝐸(𝑥)]^2 !

VALORE ATTESO DI UNA QUALUNQUE TRASFORMAZIONE DI X Se X

~ p(x) nota, allora per calcolare il valore atteso di Y=g(x) (Y=X^2, Y= X-

K, Y=1/X, ...) !

Statistica - variabili aleatorie discrete

Scienze delle finanze