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Analisi I prima prova in itinere
Analisi matematica i (1000951)
Università degli Studi di Catania
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Elementi di base Caratterizzazione superiore: se: 1) A 2) A : f Esso il piccolo dei maggioranti Caratterizzazione inferiore: se: 3) A 4) A : f Esso il grande dei minoranti Intorni e punti di accumulazione Definizione di intorno: Un intorno di c un qualsiasi intervallo aperto e limitato contenente c . I , Definizione di intorno circolare: I , ) esempio di cerchio di centro c e raggio Definizione di punto di accumulazione: c un punto di accumulazione si un insieme punto di A diverso da c . A se per ogni intorno di c esiste almeno un I I Definizione di derivato di un insieme: Il derivato di un insieme dei punti di accumulazione simbolo Definizione topologica di limite Sia f : X e x 0 DX lim f ( con x x0 In un intorno di x0 la funzione si in un intorno di l Definizione di limite finito: lim f x : x X x , x 0 D Disuguaglianza di Bernoulli p , Siano , n , n 2 allora: n p) Tesi Dimostrazione: La disuguaglianza viene dimostrata per : p) n p) p Ovvero: p) p Teorema di del limite il limite esiste allora Siano X , 1) e f : X x 0 DX , supponiamo che: lim f ( x 0 Ipotesi 2) lim f ( x 0 Dimostrazione: Bisogna dimostrare che per 1) 2) si ha: 2 1 : x X 1, 0 2 2 : x X 2, 0 2 Allora: 3 1 2 in cui valgono le due relazioni Pertanto: ( 2 2 dimostra che: l ed m devono essere uguali sia minore di per ogni maggiore di 0 , ovvero che . Esplicitando otteniamo: abbiamo: La dimostrazione analoga anche per i limiti divergenti. Teorema dei due carabinieri due funzioni g(x) e h(x) tendono ad l per x tendente ad x0 allora anche la funzione f(x) tra loro compresa costretta a Siano 1) X , f , g , h: X , x 0 DX e supponiamo che: x X , 0 f x) Ipotesi 2) lim f ( e lim x 0 x 0 Allora: lim Tesi x 0 Dimostrazione: possiamo affermare che: 1) 1 : x X 1, x 0 ( 2) 2 : x X 2, x 0 Allora: 3 : x X x 3, 0 f ( e Una funzione sia continua deve rispettare 3 precise condizioni: f continua in x 0 X se: 1) f (x0 ) la funzione esiste nel punto 2) finito lim f f f ( x x0 3) x x0 x0 x 0 (x) il valore del limite nel punto punto x 0 x 0 deve essere uguale alla funzione nel Una funzione continua in tutto X x0 X se continua in tutti i punti di X specie: 1) lim f ( 1 x 0 l1 2) lim f ( 2 x 0 Si tratta di di prima specie se il limite destro e il limite sinistro di f ( x) sono diversi specie: lim f oppure lim f (x) x x Si tratta di di seconda specie se uno dei limiti a sinistra o a destra infinito oppure non esiste specie o eliminabile: lim f ( ma f (x0 ) oppure (x 0 ) x 0 Si tratta di di terza specie se il limite diverso dal valore che la funzione assume in nel punto x 0 oppure non esiste la funzione nel punto x 0 . La eliminabile possibile rendere la funzione continua in x 0 sostituendo il suo valore con l . Teorema di esistenza degli zeri una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, ed assume agli estremi a e b valori di segno opposto, allora il grafico della funzione deve intersecare x in almeno un punto, ovvero la funzione deve assumere il valore zero in almeno un punto Sia f a , continua in a e f Allora: ,b): f Teorema di Weierstrass una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato di estremi a e b, allora dotata di massimo e minimo Sia f a , una funzione continua. Allora Ovvero: x m , x M a ,b f ( x m ( x M a f ha massimo e minimo. Punto cuspidale: lim f ( x I limiti della derivata tendono uno a e a lim f ( x Funzione inversa Definizione funzione inversa: Sia f : A B : x f y una funzione biunivoca. Si dice funzione inversa, la funzione: f :B A : f ( Derivata funzione inversa: La derivata di f ( 1 f (x) Teorema di Fermat una funzione derivabile in un punto c di massimo o minimo relativo, allora in quel punto la derivata deve necessariamente essere Sia f :(a e ,b) . Supponiamo che: 1) c estremo relativo Ipotesi 2) f sia derivabile in c Allora: f Tesi Dimostrazione: Si suppone che c sia punto di minimo relativo. Pertanto: f x X , Per definizione di derivata si ha: lim x lim x f (x 0 (x 0 ) x X , h f (x 0 (x 0 ) x X , h per la si deve avere: f (c) Esse saranno uguali solo se: f (x 0 (x 0 ) h lim x Teorema di Lagrange una funzione limitata con estremi diversi, esiste almeno un punto c la cui retta tangente parallela alla retta secante che congiunge i due Sia f a , , supponiamo che: 1) f continua in a 2) f derivabile in (a , b) Ipotesi 3) f (b) Allora: ,b): f f (a) Tesi Dimostrazione: Applicando il teorema di Cauchy introduciamo la funzione: che verifica le ipotesi del teorema di Cauchy. Pertanto: ,b): f (c) f (a) g (c) g Otteniamo che: f f (a)
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Corso: Analisi matematica i (1000951)
Università: Università degli Studi di Catania
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