- Informacje
- Czat SI
Kurs Matlaba
Matematyka stosowana (STC-3-101-s)
Komentarze
Przejrzyj tekst
URGRZLVNRLSURJUDPRZDQLHZM ]\NX0$7/$% • MATLAB - pakiet obliczeniowy firmy MathWorks jest przeznaczony do wykonywania Uy*QRURGQ\FKREOLF]HQXPHU\F]Q\FK • 6HUFH SDNLHWX VWDQRZL LQWHUSUHWHU M ]\ND XPR*OLZLDMF\ LPSOHPHQWDFM DOJRU\WPyZ • • • • • QXPHU\F]Q\FK RUD] ELEOLRWHNL SRGVWDZRZ\FK G]LDáD QD PDFLHU]DFK RGZUDFDQLH GRGDZDQLHRGHMPRZDQLHZDUWR FLZáDVQHLWS 3RGVWDZRZ\PW\SHPGDQ\FKMHVWPDFLHU]VWGQD]ZDMATrix LABoratory. 3DNLHW SRVLDGD REV]HUQH ELEOLRWHNL GRGDWNRZ\FK SURFHGXU XPR*OLZLDMFH UR]ZL]\ZDQLH typowych problemów obliczeniowych. 3URVWDEXGRZDRNLHQNRZDXáDWZLDNRU]\VWDQLH]SURJUDPX àDWZDLHVWHW\F]QDMHVWZL]XDOL]DFMDZ\QLNyZZSRVWDFLGZXLWUyMZ\PLDURZ\FKZ\NUHVyZ 'RGDWNRZ ]DOHW SDNLHWX 0$7/$% MHVW PR*OLZR ü SU]HSURZDG]HQLD REOLF]H symbolicznych (na wzorach). :SURZDG]HQLHGRSUDF\Z URGRZLVNXM ]\ND0$7/$% • 3UDFDZ URGRZLVNXM ]\ND0$7/$%SROHJDQDZ\GDZDQLXSROHFHNWyUHSR]DWZLHUG]HQLX Z\NRQ\ZDQHVSU]H]LQWHUSUHWHU • :L NV] OLF]E LQVWUXNFML PR*QD ]DSLVDü Z ]ELRU]H WHNVWRZ\P ]ZDQ\P VNU\SWHP SOLNL ] rozszerzeniem .m). 3U]\NáDG\SROHFH • Podstawienie: » a=3; powoduje utworzenie zmiennej aRZDUWR FL UWAGA: UHGQLNSRSROHFHQLXSRZRGXMH*HZDUWR üE GFDZ\QLNLHPQLHE G]LHZ\ ZLHWODQDQD ekranie. » b=sin(a) b = 0 REOLF]DZDUWR üIXQNFMLVLQXVGOD]PLHQQHMa, wynik zapisuje do zmiennej bLZ\ ZLHWODQD ekranie. • -H*HOLQLHSRGDQRQD]Z\]PLHQQHMWRZ\QLNG]LDáDQLDMHVWXPLHV]F]DQ\ZVWDQGDUGRZHM zmiennej ans. • 8WZRU]RQD ]GHILQLRZDQD ]PLHQQDMHVWSDPL WDQDRGPRPHQWXXWZRU]HQLDD*GRFKZLOLMHM XVXQL FLD0R*OLZDMHVWSU]\W\PQLHW\ONR]PLDQDZDUWR FLDOHUyZQLH*UR]PLDUX]PLHQQHM 1D]Z\]PLHQQ\FKLLQIRUPDFMHRQLFKPR*QDX]\VNDüZ\ZRáXMFIXQNFMHwho i whos. • 8VXQL FLH]PLHQQHM]SDPL FL 3 clear c A clear - usuwa zmienne c i A; XVXZDZV]\VWNLH]PLHQQH]QDMGXMFHVL ZSDPL FL • Zapisanie zmiennych na dysku: save nazwa_pliku GRP\ OQLHSU]\MPRZDQHMHVWUR]V]HU]HQLH.mat). • Wczytanie danych z pliku dyskowego: load nazwa_pliku • .RU]\VWDQLH]SRGU F]QHMSRPRF\SRGDMFHMRSLVIXQNFML help nazwa_funkcji • =DZDUWR üDNWXDOQHJRNDWDORJXPR*QDZ\ ZLHWOLüX*\ZDMFIXQNFMLdir lub ls. • 'R]PLDQ\NDWDORJXVáX*\SROHFHQLH cd nazwa_katalogu Liczby rzeczywiste i ich formaty • 3RGVWDZRZ\PW\SHPGODHOHPHQWyZPDFLHU]\Z\NRU]\VW\ZDQ\PSU]H]0$7/$%VOLF]E\ rzeczywiste. • 0DNV\PDOQLPLQLPDOQZDUWR üOLF]E\U]HF]\ZLVWHMGRGDWQLHMPR*QDSR]QDü]DSRPRF funkcji realmin i realmax. • 'RRNUH OHQLDVSRVREXZMDNLOLF]E\U]HF]\ZLVWHVSU]HGVWDZLRQHQDHNUDQLHVáX*\SROHFHQLH format SRVWDüBOLF]E\, gdzie SRVWDüBOLF]E\RNUH ODSRVWDüZMDNLHMOLF]E\U]HF]\ZLVWH E GZ\ ZLHWODQHQDHNUDQLH QSshort, short e, long). 3U]\NáDG 3U]HGVWDZOLF]E ZUy*QHMSRVWDFLX*\ZDMFIXQNFMLformat. » format short » 2 ans = 2 » format short e » 2 ans = 2+000 » format long » 2 ans = 2 4 )XQNFMHZVSRPDJDMFHNRQVWUXRZDQLHPDFLHU]\ • Definicja macierzy jednostkowej o wymiarach nxn lub mxn: A=eye(n) A=eye(m,n) A=eye([m n]) • Definicja macierzy o wymiarach nxn lub mxnZ\SHáQLRQHMMHG\QNDPL A=ones(n) A=ones(m,n) A=ones([m n]) • Definicja macierzy o wymiarach nxn lub mxnZ\SHáQLRQHM]HUDPL A=zeros(n) A=zeros(m,n) A=zeros([m n]) 'RVW SGRHOHPHQWyZPDFLHU]\ • 2GZRáDQLHGRHOHPHQWyZ 3U]\NáDG » A=[1 2 A = 1 0 1 » A(2,3) ans = 8 » A(3,2) ans = 1 3; 0 9 8; 1 1 0] 2 9 1 3 8 0 RGZRáDQLHGRHOHPHQWXZZLHUV]X RGZRáDQLHGRHOHPHQWXZZLHUV]X • 2GZRáDQLHGRSRGPDFLHU]\ 3U]\NáDG » A=[1 2 3 4 5 6; 0 9 8 7 6 5; 1 1 0 0 2 2] A = 1 2 3 4 5 6 0 9 8 7 6 5 1 1 0 0 2 2 - utworzenie macierzy B poprzez pobranie z macierzy A » B=A(:,[1:3 5]) kolumn: 1-3 oraz 5 B = 6 1 0 1 » B=A([1 B = 1 1 2 3 5 9 8 6 1 0 2 3], 1:2:5) 3 0 - utworzenie macierzy B z elementów macierzy AOH*F\FK QDSU]HFL FLXZLHUV]\L]NROXPQDPLL 5 2 • Usuwanie wektora z macierzy: 3U]\NáDG » A=[1 2 3 4; 4 5 6 7] A = 1 2 3 4 4 5 6 7 » A(2,:)=[ ] - usuwa drugi wiersz macierzy A A = 1 2 3 4 » A(:,1:2)=[ ] - usuwa dwie pierwsze kolumny macierzy A A = 3 4 6 7 :\PLDULZ\ ZLHWODQLHPDFLHU]\ • [n,m]=size(A) • n=length(X) • disp(A) lub A ]ZUDFDOLF]E ZLHUV]\m i kolumn n macierzy A; - zwraca wymiar wektora X OXEZL NV]\]Z\PLDUyZPDFLHU]\X); - pokazuje macierz A na ekranie; ']LDáDQLDQDPDFLHU]DFK • 6XPDLUy*QLFDPDFLHU]\ 3U]\NáDG Zdefiniuj dwie macierze A i BDQDVW SQLHREOLF]LFKVXP Uy*QLF RUD]GRGDMGRHOHPHQWyZ macierzy AOLF]E Definicja macierzy: » A=[1 -1 2; -2 3 1] A = 1 -1 2 -2 3 1 » B=[1 1 1; 0 -2 2] 7 ans = 2 4 2 2 0 2 • Odwracanie i transpozycja inv(A) lub A^(-1) A’ ]ZUDFDPDFLHU]RGZURWQGRA - transponuje macierz A 3U]\NáDG Zdefiniuj macierz ADQDVW SQLHZ\]QDF]PDFLHU]RGZURWQGRQLHMLGRNRQDMWUDQVSR]\FML » A=[1 2 3; 0 9 8; 3 4 7] A = 1 2 3 0 9 8 3 4 7 »inv(A) ans = -15 1 5 -12 1 4 13 -1 -4 » A’ ans = 1 0 3 2 9 4 3 8 7 6SUyEXMVDPRG]LHOQLHZ\NRQDüQDVW SXMFHSU]\NáDG\ • 3U]\NáDG Zdefiniuj dwa wektory kolumnowe x i yDQDVW SQLHREOLF]LORF]\QVNDODUQ\ » x’*y • 3U]\NáDG 2EOLF]VXP NZDGUDWyZHOHPHQWyZGDQHJRZHNWRUDx: » x’*x ']LDáDQLDWDEOLFRZH • ']LDáDQLHWDEOLFRZHMHVWG]LDáDQLHPNWyUHSU]HNV]WDáFDSRV]F]HJyOQHHOHPHQW\PDFLHU]\ oddzielnie. 9 3U]\NáDG Zdefiniuj dwie macierze A i BDQDVW SQLHZ\NRQDMG]LDáDQLDPQR*HQLDG]LHOHQLDL SRW JRZDQLDWDEOLFRZHJR Definicja macierzy: » A=[5 -6 2; -2 4 1] A = 5 -6 2 -2 4 1 » B=[5 2 2; -1 -2 1] B = 5 2 2 -1 -2 1 0QR*HQLHWDEOLFRZH » A.*B ans = 25 -12 4 2 -8 1 Dzielenie tablicowe: » A./B ans = 1 -3 1 2 -2 1 3RW JRZDQLHWDEOLFRZH SRGQLHVLHQLHHOHPHQWyZPDFLHU]\AGRGUXJLHMSRW JL » A.^2 ans = 25 36 4 4 16 1 Operatory logiczne • 2SHUDWRU\ORJLF]QHZM ]\NX0$7/$% == ~= < > <= >= & | równe Uy*QH mniejsze ZL NV]H mniejsze równe ZL NV]HUyZQH i lub 10 » » » X A=[1 2 –1; 3 –4 2; 5 –2 3]; B=[3 –5 2]’; X=inv(A)*B = 0 1 -0 2SHUDFMHQDáDFXFKDFK • 8]XSHáQLDMF\PW\SHPGDQ\FKZM ]\NX0$7/$%MHVWW\SáDFXFKRZ\ WHNVWRZ\ 'R GHILQLRZDQLD]PLHQQHMWHJRW\SXVWRVXMHVL DSRVWURI\QS » s=’MATLAB’; • =PLHQQDW\SXáDFXFKRZHJRPR*H]DZLHUDüQD]Z LQVWUXNFMLNWyUPR*QDZ\NRQDüX*\ZDMF funkcji eval. 3U]\NáDG » t=[0:0:1]; » s=‘sin (t)’; » eval(s) ans = 0 0 0 0 0 0 • 0R*QDZ\V\áDüQDHNUDQZ\ZRáDQLH]DFK W\RF]HNXMFHQDZSURZDG]HQLHSU]H]X*\WNRZQLND GDQHMZDUWR FLOXEáDFXFKD]QDNyZQS » a=input(‘Podaj wartosc a: ’); Podaj wartosc a: lub: » wzor=input(‘Podaj wzor funkcji f(x): ‘,’s’); Podaj wzor funkcji f(x): UWAGA: 8*\FLHSDUDPHWUX‘s’ w funkcji inputSRZRGXMHL*ZSURZDG]RQDGDQDMHVWWUDNWRZDQDMDNR áDFXFK]QDNyZ Skrypty • 3U]\NáDG 1DSLV]VNU\SW RWZLHUDMF]PHQXFile z opcji New plik M-file NWyU\NUH OLZ\NUHV]DGDQHM 12 SU]H]X*\WNRZQLNDIXQNFMLMHGQHM]PLHQQHMZSU]HG]LDOH 0, 4π . NRPHQWDU]ZVNU\SFLHSRSU]HG]DVL ]QDNLHPµ¶ x=0:0:4*pi; wzor=input(‘Podaj wzor funkcji jednej zmiennej f(x): ‘,’s’); y=eval(wzor); plot(x,y); % kreslenie wykresu funkcji y=f(x) =DSLV]JRSRGQD]ZwykresDQDVW SQLHXUXFKRPZSLVXMFZOLQLLNRPHQGMHJRQD]Z » wykres WSKAZÓWKA: 3RGDMQDSU]\NáDGIXQNFM sin ( x ) + 2 ⋅ cos ( 2 ⋅ x ) ,QVWUXNFMHVWHUXMFH • 3 WOD)25 ÄGOD´ for zmienna_iterowana = PDFLHU]BZDUWR FL FLJBLQVWUXNFML end ']LDáDQLHS WOLSROHJDQDZ\NRQDQLXFLJXBLQVWUXNFMLGODNROHMQ\FKZDUWR FL zmiennej_iterowanej:DUWR FLDPLW\PLVNROHMQHZHNWRU\NROXPQRZHSREUDQH] PDFLHU]\BZDUWR FL MH*HOLMHVWWRZHNWRUWRNROHMQR]RVWDQZ\NRQDQHLQVWUXNFMHGODGDQ\FK elementów tego wektora). 3U]\NáDG Napisz skrypt, który generuje macierz ARHOHPHQWDFKVSHáQLDMF\FK]DOH*QR ü i Aij = 1 + j % Proba realizacji petli FOR N=10; M=5; for i=1:N for j=1:M A(i,j)=sqrt(1+i/j); end end A % pierwiastek kwadratowy Zapisz skrypt w pliku petlafor i uruchom go. • 3 WOD:+,/( ÄGRSyNL´ 13 Funkcje • :M ]\NX0$7/$%LVWQLHMHPR*OLZR üGHILQLRZDQLDZáDVQ\FKIXQNFMLMDNRHOHPHQWyZ VWUXNWXUDOQ\FKSURJUDPX'HILQLFMDIXQNFMLPDQDVW SXMFSRVWDü function[ZDUWR üBIXQNFML@ nazwa_funkcji(argument1,..,argumentN) FLJLQVWUXNFML 3U]\NáDG 1DSLV]IXQNFM RWZLHUDMF]PHQXFile z opcji New plik M-file Z\]QDF]DMFZDUWR üVLOQL n!, gdzie nMHVWOLF]EQDWXUDOQ % Funkcja silnia wyznacza watosc n! function[wynik]=silnia(n) wynik=1; for i=1:n wynik=wynik*i; end =DSLV]MSRGQD]Z silniaDQDVW SQLHXUXFKRPZSLVXMFZOLQLLNRPHQGMHMQD]Z ZUD]] ZDUWR FLDUJXPHQWXnXPLHV]F]RQZQDZLDVLHQS » silnia(5) ans = 120 Budowa strukturalna programu • 6NU\SW\NWyUHVWDQRZLZL NV]FDáR üQD]\ZDP\SURJUDPDPL • :VNU\SFLHPR*HP\Z\ZRáDüLVWQLHMFHMX* ZF]H QLHM]GHILQLRZDQH LQQHVNU\SW\OXE funkcje. • Polecenie help nazwa_skryptuZ\ ZLHWODQDHNUDQLHWHNVWXPLHV]F]RQ\ZSLHUZV]\FK liniach komentarza. 3U]\NáDG 1DSLV]SURJUDPNWyU\Z\SLVXMHQDHNUDQLHLQIRUPDFM RMHJRG]LDáDQLXRUD]LPL LQD]ZLVNR DXWRUDDQDVW SQLHZ\]QDF]DZDUWR ün!GODSRGDQHMSU]H]X*\WNRZQLNDZDUWR FLn. 8ZDJD X*\WDZSRQL*V]\PSU]\NáDG]LHIXQNFMDround(n)]DRNUJODOLF]E U]HF]\ZLVWn GROLF]E\FDáNRZLWHM % Program oblicza wartosc silni n! dla wprowadzonej przez % uzytkownika wartosci n disp(‘Program oblicza wartosc silni n! dla wprowadzonej przez’) 15 disp(‘uzytkownika wartosci n’) disp(‘ ‘) disp(‘Autor:’) disp(‘Imie i Nazwisko’) disp(‘ ‘) n=input(‘Podaj wartosc n: ‘); %sprawdzenie czy n jest liczba naturalna while n<0 | n~=round(n) disp(‘Prosze podac liczbe naturalna’) n=input(‘Podaj wartosc n: ‘); end silnia(n) =DSLV]JRSRGQD]Zprogram i uruchom. Grafika dwuwymiarowa • 1DMF] FLHMVSRW\NDQ\PVSRVREHPJUDILF]QHMSUH]HQWDFMLGDQ\FKZM ]\NX0$7/$%MHVW • • • • • • • Z\NUHVIXQNFMLMHGQHM]PLHQQHM6áX*\GRWHJRIXQNFMDplot(x,y), gdzie y=f(x); 2NQRJUDILF]QHPR*QDZ\F]\ FLüZ\ZRáXMFIXQNFM clg; =DPNQL FLHRNQDJUDILF]QHJRRGE\ZDVL SRSU]H]Z\ZRáDQLHIXQNFMLclose; 'RGDWNRZHRNQDPR*QDRWZRU]\üSU]\SRPRF\IXQNFMLfigure; 2WZRU]\üMDNL]DPNQüPR*QDGRZROQHRNQRSRGDMFMHJRQXPHUMDNRDUJXPHQW :FHOXX]\VNDQLDNLONXZ\NUHVyZZMHGQ\PRNQLHQDOH*\Z\NRU]\VWDüIXQNFM subplot(m,n,p), gdzie: m - liczba wykresów w pionie; n - liczba wykresów w poziomie; p - kolejny numer wykresu. 6NDODZ\NUHVXGRELHUDQDMHVWDXWRPDW\F]QLH&KFFM]PLHQLüWU]HEDZ\ZRáDüIXQNFM axis([xmin xmax ymin ymax])LMDNRDUJXPHQWSRGDüZHNWRURNUH ODMF\QRZH parametry osi. :\NUHVPR*QDRSLVDüSRGDMFQD]Z\]PLHQQ\FKW\WXáLWS W\WXáU\VXQNX title(‘tekst’) xlabel(‘tekst’) - opis osi x; ylabel(‘tekst’) - opis osi y; text(x,y,‘tekst’) - umieszcza ‘tekst’ZGRZROQ\PSXQNFLHRZVSyáU] GQ\FK x,y); ZáF]DVLDWN grid on Z\áF]DVLDWN grid off • 3U]\NáDG: Napisz skrypt rysunekNUH OF\SU]\NáDGRZ\Z\NUHVZUD]]RSLVHP % Przykladowy rysunek 16 • mesh(x,y,z,c)IXQNFMDU\VXMHSRZLHU]FKQL RSLVDQSU]H]PDFLHU]Hx, y i z w postaci NRORURZHMVLDWNLRRF]NDFKZ\SHáQLRQ\FKNRORUHPWáDZHGáXJRSLVX]DZDUWHJRZPDFLHU]\c; MH*HOLPDFLHU]c]RVWDQLHSRPLQL WD GRP\ OQLHSU]\MPRZDQHMHVWZWHG\c=z WRNRORUE G]LH ]DOH*DáRGZVSyáU] GQ\FK • 3U]\NáDG: 8WZyU]VLDWN ZDUWR FLIXQNFML f ( x, y ) = sin ( x ) ⋅ sin ( y ) ⋅ exp ( − x 2 − y 2 ) w przedziale -π ,π . Program zapisz w postaci skryptu. close all %usuniecie wszystkich starych rysunkow [X,Y]=meshgrid(-pi:0:pi,-pi:0:pi) Z=sin(X).*sin(Y).*exp(-X.^2-Y.^2) c=X; mesh(X,Y,Z,c) 6SUyEXMSRGVWDZLüZPLHMVFHPDFLHU]\cSR]RVWDáHPDFLHU]HL]REDF]MDN]PLHQLVL U\VXQHN (polecenie c=Y oraz c=Z QDVW SQLHXUXFKRPVNU\SWMHV]F]HUD] • 3U]\NáDG: Napisz skrypt: close all %usuniecie wszystkich starych rysunkow [x,y]=meshgrid((-1:0:2)*pi,(-1:0:2)*pi); % punkty siatki z=sin(x).*sin(y)+4*exp(-(x-0).^2-(y-0)^2);%wartosci funkcji mesh(x,y,z) % rysowanie wykresu 1DVW SQLH]DPLHNRORU\QDRGFLHQLHV]DUR FLGRGDMFQDNRFXSURJUDPXQDVW SXMFOLQL colormap(flipud(JUD\ ]PLHQDRGFLHQLHV]DUR FL 5R]EXGXMVNU\SWRNRORURZSRZLHU]FKQL RSLVDQPDFLHU]DPLx, y i z poprzez dodanie na NRFXOLQLL]DZLHUDMFHMSROHFHQLH surf(x,y,z); • 0R*QDZ\NUH OLüSRZLHU]FKQL XZ]JO GQLDMFQDQLHMRGELFLH ZLDWáDX*\ZDMFIXQNFML surfl(x,y,z) 3U]\NáDG: 1DSLV]VNU\SWNUH OF\SRZLHU]FKQL Z\NRU]\VWXMFSRZ\*V]LQVWUXNFM SRUyZQDMZ\NUHV\ ]PLHQLDMFsurfl na surf). close all %usuniecie wszystkich starych rysunkow [x,y]=meshgrid(-10:0:10,-10:0:10); % punkty siatki r=sqrt(x.^2+y.^2); % oblicza promienie punktow a=atan(x./y); % oblicza katy odchylenia od dodatniej polosi d=max(max(a))-min(min(a)) % usuwa skoki kata 18 z=cos(r-a*2*pi/d)*0+0*r; % oblicza wartosci funkcji surfl(x,y,z); % rysowanie powierzchni axis([-10 10 -10 10 -0 0] ); % ustala proporcje • :\NUH ORQHSRZLHU]FKQLHPR*QDSRGGDüFLHQLRZDQLXX*\ZDMFIXQNFML shading flat; shading interp; shading faceted; • 3U]\NáDG Napisz skrypt: close all; [x,y]=meshgrid(-3:0:3); z=sin(x).*sin(y)+4*exp(-(x-0).^2-(y-0)^2); % z przykladu 2 %Wykres w trybie flat subplot(1,3,2) surf(x,y,z) shading flat title(‘flat’) %Wykres w trybie interp subplot(1,3,3) surf(x,y,z) shading interp title(‘interp’) %Wykres w trybie faceted subplot(1,3,1) surf(x,y,z) shading faceted title(‘faceted’) • ,QQHHOHPHQW\U\VXQNyZWDNLHMDN RSLV\HW\NLHW\OLQLHSRPRFQLF]HZ\NRQXMHVL SRGREQLH MDNZJUDILFHGZXZ\PLDURZHM'RGDWNRZRMHGQDNQDOH*\]GHILQLRZDüHOHPHQW\GRW\F]FH trzeciego wymiaru, np.: text(x,y,z,’tekst’); 3U]\NáDG\SURJUDPyZZM ]\NX0$7/$% • 3U]\NáDG %Program rysuje wykres wybranej funkcji: %f(x)=exp(x), f(x)=exp(x+sin(x)), y=exp(x+log(x)), %f(x)=exp(x+(3*x+1)) 19 text(x(1),y(1),num2str(y(1))) text(x(101),y(101),num2str(y(101))) save wyniki • :\QLNLG]LDáDQLDSURJUDPX 3RQL*HMSU]HGVWDZLRQRZ\NUHVIXQNFML f ( x ) = exp ( x + sin ( x )) w przedziale 0,5 E GF\ SU]\NáDGRZ\PZ\QLNLHPG]LDáDQLDSURJUDPX • 3U]\NáDG %Program rysuje wykresy sil tnacych i momentow zginajacych %belki wolnopodpartej obciazonej sila skupiona %Dane do programu: % l - dlugosc belki % P - wartosc sily skupionej % x - odleglosc punktu przylozenia sily od lewej podpory clear clc disp('Program rysuje wykresy sil tnacych i momentow zginajacych belki wolnopodpartej') disp(' obciazonej sila skupiona przylozona w wybranym punkcie belki') 21
Kurs Matlaba
Kurs: Matematyka stosowana (STC-3-101-s)
- Odkryj więcej od:Matematyka stosowanaSTC-3-101-s
- Więcej od:Matematyka stosowanaSTC-3-101-s
