Informacje
Czat SI

Calki - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs

Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Rok akademicki: 2011/2012

Przesłane przez:

Anonimowy Student

Ten dokument został przesłany przez studenta, takiego jak Ty, który zażyczył sobie zachować anonimowość.

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Polecane dla Ciebie

Komentarze

Aby publikować komentarze, zaloguj się lub zarejestruj się.

Inni studenci przeglądali również:

Inne powiązane dokumenty

Przejrzyj tekst

Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 1 Zadanie 1. Stosując wzór sumacyjny Simpsona dla przedziału całkowania podzielonego na k = 3 podprzedziały obliczyć całke: Z 3 I= (x3 + 2x)dx −3 Odpowiedź: Całkę można policzyć dwoma sposobami: • I. Korzystamy z ogólnego wzoru Simpsona: Z a b f (x)dx ≈ h [f0 + fn + 2 (f2 + f4 + · · · + fn−2 ) + 4 (f1 + f3 + · · · + fn−1 )] . 6 Mamy zatem: I = h6 [f (−3) + f (3) + 2(f (−1) + f (1)) + 4(f (−2) + f (0) + f (2))] = = 62 [−33 + 33 + 2 · (−3 + 3) + 4 · (−12 + 0 + 12)] = 0 • II. Korzystamy ze wzoru Simpsona obliczając sumę trzech całek: I= Z −1 3 (x + 2x)dx + −3 Stąd: I = 2 6 1 3 (x + 2x)dx + 2 6 [−3 + 4 · 0 + 3] + Z 3 (x3 + 2x)dx. 1 −1 [−33 + 4 · (−12) − 3] + Uwaga: h = xi+2 − xi , Z 2 6 [3 + 4 · 12 + 33] = 0 gdzie i = 0, 2, 4. Zadanie 2. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały): I= Z 3 1 x2 − 3x + 5 dx , a) metodą prostokątów środkowych, b) metodą trapezów, c) metodą Simpsona. Zadanie 3. Stosując wzory Newtona–Cotesa przy interpolacji wielomianem 3-go stopnia, obliczyć całkę: I= Z 2 (−8x3 + 4x2 + 20x + 8)dx −1 Odpowiedź: Dla stopnia n = 3: = 1, h = 2−(−1) 3 x0 = −1, x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, f0 = 8 + 4 − 20 + 8 = 0, f1 = 8, f2 = −8 + 4 + 20 + 8 = 24, f3 = −64 + 16 + 40 + 8 = 0. Korzystając ze wzoru Newtona–Cotesa dla n = 3 otrzymujemy: 3 3 1 1 · 0 + · 8 + · 24 + · 0 = 36 I =3·1· 8 8 8 8 Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 2 Zadanie 4. Obliczyć metodą prostokątów lewych, prawych, środkowych oraz trapezów całki (n – liczba podprzedziałów): Z 2 dx , n = 4, x3 dx, n = 4, x 0 1 Z 3 p Z 1 2 x 1 + x dx, n = 6, sin πx dx, n = 6, Z 3 0 Z Z 2π x sin x dx, n = 8, 0 0 1 x2 ex dx, n = 8. 0 Dodatkowo obliczyć powyższe całki stosując metodę Simpsona oraz wzory Newtona–Cotesa (stopnia 3, 4, 5) dla n = 1. Zadanie 5. Stosując trzypunktową kwadraturę Gaussa znaleźć wartość całki I= Z √ √ 5+ 3 4 √ (4x − 5+ 3 √ − 2x2 )dx Czy otrzymany wynik jest dokładny? Dla trzypunktowej kwadratury Gaussa węzły i wagi są następujące: q q ξ0 = − 35 , ξ1 = 0, ξ2 = 35 w0 = 95 , w1 = 89 , w2 = 59 Odpowiedź: Stosując podstawienie √ √ √ √ 5+ 3+ 5− 3 √ x = mξ + n gdzie m = = 5 √ 2√ √ √ 5+ 3− 5+ 3 √ = 3 n= 2 √ √ √ √ sprowadzamy całkę w przedziale − 5 + 3; 5 + 3 do całki w przedziale h−1; 1i Po zastosowaniu trzypunktowej kawadratury Gaussa do otrzymanej całki ostateczny rezultat wynosi √ √ 5 8 5 1000 5 I = 5( · 0 + · 30 + · 522) = . 9 9 9 3 Otrzymany wynik jest dokładny ponieważ trzypunktową kwadraturą Gaussa można całkować ściśle wielomiany do stopnia 5-go włącznie. R √3+1 Zadanie 6. Obliczyć przybliżoną wartość całki : −√3+1 ex/2 (sin x − 1) dx dwupunktową √ kwadraturą Gaussa. Wagi wi = 1, współrzędne węzłów xii = + − 1/ 3. Zadanie 7. Obliczyć kwadraturą Gaussa całki, przyjmując n = 2 i n = 3: Z 3 1 Z 0 dx , x Z 1 sin πx dx, 0 2 x3 dx, Z 0 Z 0 2π 3 p x 1 + x2 dx, x sin x dx, Z 0 1 x2 ex dx.

Czy ten dokument był pomocny?

Calki - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs: Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet: Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Czy ten dokument był pomocny?

Mat. stosowana i met. numeryczne : styczeń 2009 – Całki 1

Zadanie 1. Stosując wzór sumacyjny Simpsona dla przedziału całkowania podzielonego na

k= 3 podprzedziały obliczyć całke:

I=Z3

−3

(x3+ 2x)dx

Odpowiedź:

Całkę można policzyć dwoma sposobami:

•I. Korzystamy z ogólnego wzoru Simpsona:

f(x)dx ≈h

6[f0+fn+ 2 (f2+f4+···+fn−2) + 4 (f1+f3+···+fn−1)] .

Mamy zatem:

I=h

6[f(−3) + f(3) + 2(f(−1) + f(1)) + 4(f(−2) + f(0) + f(2))] =

6[−33 + 33 + 2 ·(−3 + 3) + 4 ·(−12 + 0 + 12)] = 0

•II. Korzystamy ze wzoru Simpsona obliczając sumę trzech całek:

I=Z−1

−3

(x3+ 2x)dx +Z1

−1

(x3+ 2x)dx +Z3

(x3+ 2x)dx.

Stąd: I=2

6[−33 + 4 ·(−12) −3] + 2

6[−3 + 4 ·0 + 3] + 2

6[3 + 4 ·12 + 33] = 0

Uwaga: h=xi+2 −xi,gdzie i= 0,2,4.

Zadanie 2. Oblicz całki (bez podziału na podprzedziały):

I=Z3

1x2−3x+ 5dx ,

a) metodą prostokątów środkowych, b) metodą trapezów, c) metodą Simpsona.

Zadanie 3. Stosując wzory Newtona–Cotesa przy interpolacji wielomianem 3-go stopnia,

obliczyć całkę:

I=Z2

−1

(−8x3+ 4x2+ 20x+ 8)dx

Odpowiedź:

Dla stopnia n= 3:

h=2−(−1)

3= 1,

x0=−1, x1= 0, x2= 1, x3= 2,

f0= 8 + 4 −20 + 8 = 0, f1= 8, f2=−8 + 4 + 20 + 8 = 24, f3=−64 + 16 + 40 + 8 = 0.

Korzystając ze wzoru Newtona–Cotesa dla n= 3 otrzymujemy:

I= 3 ·1·1

8·0 + 3

8·8 + 3

8·24 + 1

8·0= 36