- Informacje
- Czat SI
Wartości własne - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
Matematyka stosowana (STC-3-101-s)
Komentarze
Inni studenci przeglądali również:
- Saia cw2-1 - asassas
- Zasada prac wirtualnych
- Układy równań liniowych - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Równania nieliniowe- przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- równania podkreślone i nadkreślone - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- MRS - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
Inne powiązane dokumenty
- Interpolacja - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Aproksymacja - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Wzory problem poczatkowy - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Rozniczkowanie - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- przyklady - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Calki - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
Przejrzyj tekst
Mat. stosowana i met. numeryczne : listopad 2008 – Wartości własne 1 Zadanie 1. Oblicz, stosując metodę potęgową, największą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny dla danej macierzy: 1 −1 0 A = −2 4 −2 0 −1 1 przyjmując wektor startowy x(0) = (1, 0, 0)T i dokładność ǫ = 0 . Odpowiedź: Krok I dla k = 0. 1. Przyjmujemy wektor startowy: x(0) = (1, 0, 0)T . 2. Dokonujemy normalizacji: v (0) 1 = 0 / 1 0 ( 21 ) 1 1 0 0 0 = 0 0 0 3. Wykonujemy krok potęgowy: x(1) = Av (0) 1 −1 0 1 1 = −2 4 −2 0 = −2 0 −1 1 0 0 4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha: ρ1 = v (0) T x(1) = 1 0 1 0 −2 = 1 0 Po wykonaniu pierwszego kroku nie badamy zbieżności iteracji. Krok II dla k = 1. 2. Dokonujemy normalizacji: v (1) 1 = −2 / 1 0 ( 12 ) 1 0 1 1 −2 0 −2 = −2 √ ∼ = −0 5 0 0 0 3. Wykonujemy krok potęgowy: 1 1 −1 0 1 3 1 1 x(2) = Av (1) = −2 4 −2 −2 √ = −10 √ ∼ = −4 5 5 0 0 −1 1 0 2 4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha: ρ2 = v (1) T x(2) = 1 3 1 1 23 −2 0 √ −10 √ = = 4 5 5 5 2 Mat. stosowana i met. numeryczne : listopad 2008 – Wartości własne Odpowiedź: (c.) (λ) 5. Badamy zbieżność iteracji: ǫ2 =| ρ2 −ρ1 ρ2 (x) |=| 3 4 2 |∼ = 0 W celu obliczenia ǫ2 musimy wcześniej dokonać normalizacji v (2) . ( 12 ) 3 3 3 0 1 1 1 ∼ 1 v (2) = −10 √ / 3 −10 2 √ −10 √ = −10 √ = −0 5 5 5 113 2 2 2 0 Korzystając z normy średniokwadratowej: (x) ǫ2 = k v (2) − v (1) k ∼ = k (−0, −0, 0)T k ∼ = 0 6. ǫ2 > ǫ, więc nie spełnia żądanej dokładności. Przechodzimy do kolejnego kroku iteracji. Krok III dla k = 2. 2. Normalizacja v (2) została wykonana w p. 5. kroku II. 3. Wykonujemy krok potęgowy: 13 1 1 −1 0 3 1 1 = −50 √ =∼ x(3) = Av (2) = −2 4 −2 −10 √ = −4 113 113 12 1 0 −1 1 2 4. Obliczamy wartość własną z ilorazu Rayleigha: ρ3 = v (2) T x(3) 13 1 563 ∼ 1 −50 √ = = 3 −10 2 √ = 4 113 113 12 113 (λ) 5. Badamy zbieżność iteracji: ǫ3 =| ρ3 −ρ2 ρ3 (x) ǫ3 |=| 0 4 |∼ = 0 W celu obliczenia musimy wcześniej dokonać normalizacji v (3) . ( 21 ) 13 13 0 13 1 1 1 1 ∼ −50 √ = −50 √ / 13 −50 12 √ v (3) = −50 √ = −0 113 113 113 2813 12 12 0 12 Korzystając z normy średniokwadratowej: (x) ǫ3 = k v (3) − v (2) k ∼ = k (−0, −0, 0)T k ∼ = 0 6. Ponieważ ǫ3 < ǫ , zatem spełniona jest żądana dokładność. 7. Przyjmujemy, że λ1 = ρ3 i x1 = v (3) . Zadanie 2. Zastosować twierdzenie Gerszgorina cierzy: 1 0 −1 0 −1 −1 dla zlokalizowania wartości wlasnych ma 0 1 2 Odpowiedź: Oznaczmy si = aii . s1 = 1 , R1 = 0 + 0 = 0 , czyli K1 (1, 0) s2 = 0 , R2 =| −1 | + | 1 |= 2 , K2 (0, 2) s3 = 2 , R3 =| −1 | + | −1 |= 2, K3 (2, 2) [ Ki , i = 1, 2, 3 czyli K ∈ [−2, 4] K= i Mat. stosowana i met. numeryczne : listopad 2008 – Wartości własne 4 Zadanie 4. Wykonaj trzy pierwsze iteracje metody potęgowej dla macierzy 1 −2 0 −2 4 −2 0 −1 2 przyjmując x(0) = (1, 0, 0)T . Zadanie powtórz dla metody iteracji odwrotnej. Zadanie 5. Dany jest uogólniony problem wlasny A x = λ B x, gdzie: 4 1 −1 1 0 0 6 0 , 1 −0 . A= 1 B = 0 −1 0 10 0 −0 1 Sprowadzić ten problem do postaci standardowej. Obliczyć metodą potęgową dominującą wartość wlasną oraz odpowiadający jej wektor wlasny x. Wykonać 4 kroki iteracji. Zadanie 6. Dla poniższej macierzy oblicz minimalną wartość własną i odpowiadający jej wektor własny wykonując dwie pierwsze iteracje. 5 3 0 4 Przyjmij wektor startowy x(0) = [3, 4]T . Zadanie 7. Dla poniższej macierzy oblicz wartość własną λ najbliższą liczbie 1 oraz odpowiadający jej wektor własny. Wykonaj dwie pierwsze iteracje, przyjmując wektor startowy x(0) = [1, 0]T . 2 1 1 1
Wartości własne - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
Kurs: Matematyka stosowana (STC-3-101-s)
- Więcej od:Matematyka stosowanaSTC-3-101-s
Polecane dla Ciebie
Inni studenci przeglądali również:
- Saia cw2-1 - asassas
- Zasada prac wirtualnych
- Układy równań liniowych - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Równania nieliniowe- przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- równania podkreślone i nadkreślone - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- MRS - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
Inne powiązane dokumenty
- Interpolacja - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Aproksymacja - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Wzory problem poczatkowy - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Rozniczkowanie - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- przyklady - przykładowe zadania z matematyki stosowanej
- Calki - przykładowe zadania z matematyki stosowanej