Informacje
Czat SI

Rozniczkowanie - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs

Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Rok akademicki: 2011/2012

Przesłane przez:

Anonimowy Student

Ten dokument został przesłany przez studenta, takiego jak Ty, który zażyczył sobie zachować anonimowość.

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Polecane dla Ciebie

Komentarze

Aby publikować komentarze, zaloguj się lub zarejestruj się.

Inni studenci przeglądali również:

Inne powiązane dokumenty

Przejrzyj tekst

Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Różniczkowanie 1 Zadanie 1. Wyprowadzić wzór różnicowy do obliczenia pochodnej w punkcie i (patrz rysunek) 2h h i−1 i+1 i a następnie policzyć pochodną f ′ (0) dla danych f (0) = 5, f (0) = 5, f (0) = 5 Odpowiedź: 1. Wyprowadzenie wzoru różnicowego • Sposób I - z wykorzystaniem szeregu Taylora 1 fi−1 = fi − hfi′ + h2 fi′′ + · · · 2 1 ′ fi+1 = fi + 2hfi + (2h)2 fi′′ + · · · 2 po przemnożeniu pierwszego równania przez −4 a następnie dodaniu do siebie dwóch równań otrzymano: fi+1 − 4fi−1 = −3fi + 6hfi′ co ostatecznie daje wzór: fi′ = fi+1 + 3fi − 4fi−1 6h • Sposób II - z wykorzystaniem interpolacji Lagrange’a wzór interpolacyjny Lagrange’a (x − xi )(x − xi+1 ) + (xi−1 − xi )(xi−1 − xi+1 ) (x − xi−1 )(x − xi ) (x − xi−1 )(x − xi+1 ) + f (xi+1 ) · + f (xi ) · (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) (xi+1 − xi−1 )(xi+1 − xi ) f (x) ≈ f¯(x) = f (xi−1 ) · stąd : (x − xi )(x − xi+1 ) (x − xi−1 )(x − xi+1 ) (x − xi−1 )(x − xi ) f¯(x) = fi−1 · +fi · +fi+1 · −h · −3h h · −2h 3h · 2h natomiast pochodna wynosi: 2x − (xi + xi+1 ) 2x − (xi−1 + xi+1 ) 2x − (xi−1 + xi ) f¯′ (x) = fi−1 · +fi · +fi+1 · 2 2 3h −2h 6h2 a dla x = xi −h h − 2h + fi · + fi+1 · 2 fi′ ≈ f¯′ (xi ) = fi−1 · 3h2 −2h2 6h czyli: fi′ = fi+1 + 3fi − 4fi−1 6h Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Różniczkowanie 2 Odpowiedź: 2. Obliczenie pochodnej h = 0 f (0) + 3f (0) − 4f (0) 6 · 0 5 + 3 · 5 − 4 · 5 1 = f ′ (0) = 1 6 f ′ (0) = Zadanie 2. Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji f (x) = 3x2 − 2x + 4 w punkcie x = 3 wykorzystując wzory różnicowe dla równoodległych węzłów xi−1 , xi , xi+1 . Przyjąć h = 0 Odpowiedź: 1. Policzenie pierwszej pochodnej f ′ (3) = f0′ = f1 − f−1 f (3 + 0) − f (3 − 0) = = 2·h 0 f (3) − f (2) 28 − 21 = = = 16 0 0 2. Policzenie drugiej pochodnej f ′′ (3) = f0′′ = f1 − 2f0 + f−1 f (3 + 0) − 2f (3) + f (3 − 0) = = h2 0 f (3) − 2f (3) + f (2) 28 − 2 · 25 + 21 = = =6 0 0 Zadanie 3. Dla gwiazdy różnicowej podanej w zadaniu 1 wyprowadzić wzór różnicowy dla drugiej pochodnej. Zadanie 4. Dla dowolnie wybranej funkcji f (x) obliczyć w wybranym punkcie x0 pierwszą i drugą pochodną funkcji wykorzystując wzory wyprowadzone na wykładzie. Zadanie 5. Za pomocą wzorów różnicowych znaleźć f’(0) a następnie f”(0) dla poniższych danych: x f(x) f’(x) 0 1 0 0 1 ? Zadanie 6. Niech f (x) = 2x sin(x). Znajdź f’(1) stosując krok h = 0 oraz h = 0 i ”różnice centralne” korzystając z poniższych danych: x f(x) 1 1 1 1 1 1 1 1

Czy ten dokument był pomocny?

Rozniczkowanie - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs: Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet: Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Czy ten dokument był pomocny?

Przykładowe zadania : styczeń 2009 – Różniczkowanie 1

Zadanie 1. Wyprowadzić wzór różnicowy do obliczenia pochodnej w punkcie i(patrz

rysunek)

ii −1i+ 1

h2h

a następnie policzyć pochodną f′(0.4) dla danych f(0.2) = 5.2, f (0.4) = 5.3, f (0.8) = 5.1

Odpowiedź:

1. Wyprowadzenie wzoru różnicowego

•Sposób I - z wykorzystaniem szeregu Taylora

fi−1=fi−hf′

i+1

2h2f′′

i+···

fi+1 =fi+ 2hf ′

i+1

2(2h)2f′′

i+···

po przemnożeniu pierwszego równania przez −4a następnie dodaniu do siebie dwóch

równań otrzymano:

fi+1 −4fi−1=−3fi+ 6hf′

co ostatecznie daje wzór:

f′

i=fi+1 + 3fi−4fi−1

•Sposób II - z wykorzystaniem interpolacji Lagrange’a

wzór interpolacyjny Lagrange’a

f(x)≈¯

f(x) = f(xi−1)·

(x−xi)(x−xi+1)

(xi−1−xi)(xi−1−xi+1)+

+f(xi)·

(x−xi−1)(x−xi+1)

(xi−xi−1)(xi−xi+1)+f(xi+1)·

(x−xi−1)(x−xi)

(xi+1 −xi−1)(xi+1 −xi)

stąd :

f(x) = fi−1·

(x−xi)(x−xi+1)

−h· −3h+fi·

(x−xi−1)(x−xi+1)

h· −2h+fi+1·

(x−xi−1)(x−xi)

3h·2h

natomiast pochodna wynosi:

f′(x) = fi−1·

2x−(xi+xi+1)

3h2+fi·

2x−(xi−1+xi+1)

−2h2+fi+1 ·

2x−(xi−1+xi)

6h2

a dla x=xi

f′

i≈¯

f′(xi) = fi−1·

−2h

3h2+fi·

−h

−2h2+fi+1 ·

6h2

czyli:

f′

i=fi+1 + 3fi−4fi−1