Przejdź do dokumentu
Benvingut a StudocuRegistra’t per accedir als millors recursos d’estudi
Gość-użytkownik
0obserwujący
Prześlij
Strona głównaMoja BibliotekaZapytaj SI
  • Nie masz jeszcze żadnych ostatnich pozycji.
Moja Biblioteka
  • Nie masz jeszcze żadnych kursów.
  • Nie masz jeszcze żadnych książek.
  • Nie mam jeszcze Studylists.

Równania nieliniowe- przykładowe zadania z matematyki stosowanej

przykładowe zadania z matematyki stosowanej
Kurs

Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty
Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie
Rok akademicki: 2014/2015
Przesłane przez:
Anonimowy Student
Ten dokument został przesłany przez studenta, takiego jak Ty, który zażyczył sobie zachować anonimowość.
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Polecane dla Ciebie

Komentarze

Aby publikować komentarze, zaloguj się lub zarejestruj się.

Inni studenci przeglądali również:

Inne powiązane dokumenty

Przejrzyj tekst

Przykładowe zadania - równania nieliniowe : styczeń 2008 1 Zadanie 1. Znaleźć rozwiązanie równania x2 − 1 = 0 w przedziale [a; b] = [−1, 3; −0, 5] metodą bisekcji zakładając wielkość błędu ∆ = 0, 25. Odpowiedź: Po pierwsze sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆. Mamy | − 0, 5 − (−1, 3)| = 0, 8 > ∆ = 0, 25. W tej sytuacji obliczamy x = 0, 5 ∗ (a + b) = 0, 5 ∗ (−1, 3 + (−0, 5)) = −0, 9. Po drugie sprawdzamy czy f (x) = 0. Mamy f (x = −0, 9) = (−0, 9)2 − 1 = 0, 81 − 1 = −0, 19 czyli f (x) 6= 0. Po trzecie określamy nowy przedział [a; b] taki, dla którego zachodzi f (a)f (b) < 0. Dla dwóch możliwych przedziałów [a; x] i [x; b] czyli [−1, 3; −0, 9] i [−0, 9; −0, 5], mamy: f (−1, 3) ∗ f (−0, 9) = 0, 69 ∗ (−0, 19) = −0, 1311 < 0, f (−0, 9) ∗ f (−0, 5) = −0, 19 ∗ (−0, 75) = 0, 1425 > 0. Stąd nowy przedział [a; b] = [−1, 3; −0, 9]. I powtarzamy dotychczasowy algorytm obliczeń dla nowego przedziału. Sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆. Mamy | − 0, 9 − (−1, 3)| = 0, 4 > ∆ = 0, 25. Obliczamy x = 0, 5 ∗ (a + b) = 0, 5 ∗ (−1, 3 + (−0, 9)) = −1, 1. Sprawdzamy czy f (x) = 0. Mamy f (x = −1, 1) = (−1, 1)2 − 1 = 1, 21 − 1 = 0, 21 czyli f (x) 6= 0. Określamy nowy przedział [a; b] taki, dla którego zachodzi f (a)f (b) < 0. Dla dwóch możliwych przedziałów [a; x] i [x; b] czyli [−1, 3; −1, 1] i [−1, 1; −0, 9], mamy: f (−1, 3) ∗ f (−1, 1) = 0, 69 ∗ 0, 21 = 0, 1449 > 0, f (−1, 1) ∗ f (−0, 9) = 0, 21 ∗ (−0, 19) = −0, 0399 < 0. Stąd nowy przedział [−1, 1; −0, 9]. I powtarzamy algorytm obliczeń dla nowego przedziału. Sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆. Mamy | − 0, 9 − (−1, 1)| = 0, 2 < ∆ = 0, 25 !!!. Obliczamy x∗ = 0, 5 ∗ (a + b) = 0, 5 ∗ (−1, 1 + (−0, 9)) = −1, 0. I koniec obliczeń. Rozwiązaniem równania jest więc x∗ = −1, 0. Zadanie 2. Rozwiązać podane równanie nieliniowe x2 − 1 = 0 metodą stycznych, przyjmując punkt startowy x0 = −0, 9 i wielkość błędu ∆ = 0, 25. Odpowiedź: Po pierwsze obliczamy wartości f (x0 ) i f ′ (x0 ): f (x0 ) = (−0, 9)2 − 1 = −0, 19 i f ′ (x0 ) = 2 ∗ (−0, 9) = −1, 8. Po drugie obliczamy nowe przybliżenie rozwiązania równiania korzystając ze wzoru metody stycznych: x = x0 − f (x0 )/f ′ (x0 ) = −0, 9 − (−0, 19)/(−1, 8) = −0, 9 − 0, 1056 = −1, 0056. Po trzecie sprawdzamy czy |x0 − x| ¬ ∆. Czyli | − 0, 9 − (−1, 0056)| = 0, 1056 < ∆ = 0, 25 !!! I koniec obliczeń. Rozwiązaniem równania jest x∗ = −1, 0056. Przykładowe zadania - równania nieliniowe : styczeń 2008 2 Zadanie 3. Znaleźć rozwiązanie równania x2 − 1 = 0 w przedziale [a; b] = [−1, 3; −0, 5] metodą regula falsi zakładając wielkość błędu ∆ = 0, 25. Odpowiedź: Na początku sprawdzamy czy f (a)f (b) < 0. Mamy: f (−1, 3) ∗ f (−0, 5) = 0, 69 ∗ (−0, 75) = −0, 5175 < 0. Po pierwsze obliczamy ze wzoru x = [a ∗ f (b) − b ∗ f (a)]/[f (b) − f (a)]. Czyli x = (−1, 3 ∗ (−0, 75) − (−0, 5) ∗ 0, 69)/(−0, 75 − 0, 69) = −0, 9167. Po drugie sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆. Mamy | − 0, 5 − (−1, 3)| = 0, 8 > ∆ = 0, 25. Po trzecie sprawdzamy czy f (x) = 0. Mamy f (x = −0, 9167) = (−0, 9167)2 − 1 = 0, 8403 − 1 = −0, 1597 czyli f (x) 6= 0. Po czwarte określamy nowy przedział [a; b] taki, dla którego zachodzi f (a)f (b) < 0. Dla dwóch możliwych przedziałów [a; x] i [x; b] czyli [−1, 3; −0, 9167] i [−0, 9167; −0, 5], mamy: f (−1, 3) ∗ f (−0, 9167) = 0, 69 ∗ (−0, 1597) < 0, f (−0, 9167) ∗ f (−0, 5) = −0, 1597 ∗ (−0, 75) > 0. Stąd nowy przedział [a; b] = [−1, 3; −0, 9167]. I powtarzamy dotychczasowy algorytm obliczeń dla nowego przedziału. Obliczamy x = (a ∗ f (b) − b ∗ f (a))/(f (b) − f (a)). Czyli x = (−1, 3 ∗ (−0, 1597) − (−0, 9167) ∗ 0, 69)/(−0, 1597 − 0, 69) = −0, 9887. Sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆, | − 0, 9167 − (−1, 3)| = 0, 3833 > ∆ = 0, 25. Sprawdzamy czy f (x) = 0. Mamy f (x = −0, 9887) = (−0, 9887)2 − 1 = 0, 9775 − 1 = −0, 0225 czyli f (x) 6= 0. Określamy nowy przedział [a; b]. Dla dwóch możliwych przedziałów [a; x] i [x; b] mamy: f (−1, 3) ∗ f (−0, 9887) = 0, 69 ∗ (−0, 0225) < 0, f (0, 9887) ∗ f (−0, 9167) = −0, 0225 ∗ (−0, 1597) > 0. Stąd nowy przedział [a; b] = [−1, 3; −0, 9887]. I powtarzamy algorytm obliczeń dla nowego przedziału. Obliczamy x = (−1, 3 ∗ (−0, 0225) − (−0, 9887) ∗ 0, 69)/(−0, 0225 − 0, 69) = −0, 9985. Sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆. Mamy | − 0, 9887 − (−1, 3)| = 0, 3113 > ∆ = 0, 25. Sprawdzamy czy f (x) = 0. f (x = −0, 9985) = (−0, 9985)2 − 1 = 0, 997 − 1 = −0, 003 czyli f (x) 6= 0. Nowy przedział. Dla dwóch możliwych przedziałów [a; x] i [x; b] mamy: f (−1, 3) ∗ f (−0, 9985) = 0, 69 ∗ (−0, 003) < 0, f (0, 9985) ∗ f (−0, 9887) = −0, 003 ∗ (−0, 0225) > 0. Stąd nowy przedział [a; b] = [−1, 3; −0, 9985]. I powtarzamy algorytm obliczeń dla nowego przedziału. Obliczamy x = (−1, 3 ∗ (−0, 003) − (−0, 9985) ∗ 0, 69)/(−0, 003 − 0, 69) = −0, 9998. Sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆. Mamy | − 0, 9985 − (−1, 3)| = 0, 3015 > ∆ = 0, 25. Sprawdzamy czy f (x) = 0. f (x = −0, 9998) = (−0, 9998)2 − 1 = 0, 9996 − 1 = −0, 0004 czyli f (x) 6= 0. Nowy przedział. Dla dwóch możliwych przedziałów [a; x] i [x; b] mamy: f (−1, 3) ∗ f (−0, 9998) = 0, 69 ∗ (−0, 0004) < 0, f (0, 9998) ∗ f (−0, 9985) = −0, 0004 ∗ (−0, 003) > 0. Stąd nowy przedział [a; b] = [−1, 3; −0, 9998]. I powtarzamy algorytm obliczeń dla nowego przedziału. Obliczamy x = (−1, 3 ∗ (−0, 0004) − (−0, 9998) ∗ 0, 69)/(−0, 0004 − 0, 69) = 0, 6904/(−0, 6904) = −1, 0. Sprawdzamy czy |b − a| ¬ ∆. Mamy | − 0, 9998 − (−1, 3)| = 0, 3002 > ∆ = 0, 25. Sprawdzamy czy f (x) = 0. f (x = −1, 0) = (−1, 0)2 − 1 = 1 − 1 = 0, 0 czyli f (x) = 0. I koniec obliczeń. Rozwiązaniem równania jest więc x∗ = −1, 0. Przykładowe zadania - równania nieliniowe : styczeń 2008 4 Zadanie 7. Znaleźć rozwiązanie równania x3 − x − 1 = 0 w przedziale [a; b] = [1, 0; 2, 0] metodą regula falsi zakładając wielkość błędu ∆ = 0, 01. Zadanie 8. Znaleźć rozwiązanie równania x3 − x − 1 = 0 w przedziale [a; b] = [1, 0; 2, 0] metodą siecznych zakładając wielkość błędu ∆ = 0, 01. Zadanie 9. Rozwiązać podane równanie nieliniowe x3 +x2 −3x−3 = 0 metodą stycznych, przyjmując punkt startowy x0 = 2 i wielkość błędu ∆ = 0, 01. Zadanie 10. Rozwiązać podane równanie nieliniowe x3 + x2 − 3x − 3 = 0 metodą iteracji prostej, przyjmując punkt startowy x0 = 2 oraz wielkość błędu ∆ = 0, 01. UWAGA: Wartość współczynnika α należy ustalić zgodnie z uwagami w konspekcie dotyczącymi metody iteracji prostej.

Czy ten dokument był pomocny?

Równania nieliniowe- przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs: Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty
Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet: Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Czy ten dokument był pomocny?
Przykładowe zadania - równania nieliniowe : styczeń 2008 1
Zadanie 1. Znaleźć rozwiązanie równania x2−1 = 0 w przedziale [a;b] = [−1,3; −0,5]
metodą bisekcji zakładając wielkość błędu ∆ = 0,25.
Odpowiedź:
Po pierwsze sprawdzamy czy |b−a| ¬ ∆. Mamy | − 0,5−(−1,3)|= 0,8>∆ = 0,25.
W tej sytuacji obliczamy x= 0,5∗(a+b) = 0,5∗(−1,3 + (−0,5)) = −0,9.
Po drugie sprawdzamy czy f(x) = 0.
Mamy f(x=−0,9) = (−0,9)2−1 = 0,81 −1 = −0,19 czyli f(x)6= 0.
Po trzecie określamy nowy przedział [a;b]taki, dla którego zachodzi f(a)f(b)<0.
Dla dwóch możliwych przedziałów [a;x]i[x;b]czyli [−1,3; −0,9] i[−0,9; −0,5], mamy:
f(−1,3) ∗f(−0,9) = 0,69 ∗(−0,19) = −0,1311 <0,
f(−0,9) ∗f(−0,5) = −0,19 ∗(−0,75) = 0,1425 >0.
Stąd nowy przedział [a;b] = [−1,3; −0,9].
I powtarzamy dotychczasowy algorytm obliczeń dla nowego przedziału.
Sprawdzamy czy |b−a| ¬ ∆. Mamy | − 0,9−(−1,3)|= 0,4>∆ = 0,25.
Obliczamy x= 0,5∗(a+b) = 0,5∗(−1,3 + (−0,9)) = −1,1.
Sprawdzamy czy f(x) = 0.
Mamy f(x=−1,1) = (−1,1)2−1 = 1,21 −1 = 0,21 czyli f(x)6= 0.
Określamy nowy przedział [a;b]taki, dla którego zachodzi f(a)f(b)<0.
Dla dwóch możliwych przedziałów [a;x]i[x;b]czyli [−1,3; −1,1] i[−1,1; −0,9], mamy:
f(−1,3) ∗f(−1,1) = 0,69 ∗0,21 = 0,1449 >0,
f(−1,1) ∗f(−0,9) = 0,21 ∗(−0,19) = −0,0399 <0.
Stąd nowy przedział [−1,1; −0,9].
I powtarzamy algorytm obliczeń dla nowego przedziału.
Sprawdzamy czy |b−a| ¬ ∆. Mamy | − 0,9−(−1,1)|= 0,2<∆ = 0,25 !!!.
Obliczamy x∗= 0,5∗(a+b) = 0,5∗(−1,1 + (−0,9)) = −1,0.
I koniec obliczeń. Rozwiązaniem równania jest więc x∗=−1,0.
Zadanie 2. Rozwiązać podane równanie nieliniowe x2−1 = 0 metodą stycznych, przyj-
mując punkt startowy x0=−0,9 i wielkość błędu ∆ = 0,25.
Odpowiedź:
Po pierwsze obliczamy wartości f(x0)if′(x0):
f(x0) = (−0,9)2−1 = −0,19 if′(x0) = 2 ∗(−0,9) = −1,8.
Po drugie obliczamy nowe przybliżenie rozwiązania równiania korzystając
ze wzoru metody stycznych:
x=x0−f(x0)/f′(x0) = −0,9−(−0,19)/(−1,8) = −0,9−0,1056 = −1,0056.
Po trzecie sprawdzamy czy |x0−x| ¬ ∆. Czyli | − 0,9−(−1,0056)|= 0,1056 <∆ = 0,25 !!!
I koniec obliczeń. Rozwiązaniem równania jest x∗=−1,0056.

Inni studenci przeglądali również:

Inne powiązane dokumenty