Informacje
Czat SI

Aproksymacja - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs

Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Rok akademicki: 2012/2013

Przesłane przez:

Anonimowy Student

Ten dokument został przesłany przez studenta, takiego jak Ty, który zażyczył sobie zachować anonimowość.

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Polecane dla Ciebie

Komentarze

Aby publikować komentarze, zaloguj się lub zarejestruj się.

Inni studenci przeglądali również:

Inne powiązane dokumenty

Przejrzyj tekst

Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008 – Aproksymacja 1 Zadanie 1. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych: i x y 0 −π/6 1 1 0 -8 2 π/6 -3 3 π/2 1 Znajdź równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwadratów. Jako funkcje bazowe przyjmij: Θ0 = 1, Θ1 = sin(x). Znajdź wartość w punkcie x0 = π/4. Odpowiedź: Funkcja aproksymująca: ϕ (x) = a0 + a1 sin(x) . Błąd: ǫ= 3 X i=0 [ϕ(xi ) − fi ]2 = 1 1 =(a0 − a1 − 1)2 + (a0 + 8)2 + (a0 + a1 + 3)2 + (a0 + a1 − 1)2 2 2 Z warunków ∂ǫ = 0, j = 0, 1 dostajemy ∂aj 8 2 a0 −18 = . 2 3 a1 2 Po rozwiązaniu powyższego układu a0 = − 52 , a1 = 1. Funkcja aproksymująca ϕ (x) = − 25 + sin(x), √ ϕ (π/4) = 12 (−2 + 2) ≈ −1 Odpowiedź: ϕ (x) = − 52 + sin(x), √ ϕ (π/4) = 21 (−2 + 2) ≈ −1 Zadanie 2. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych: x y −π/6 1 0 -2 π/6 -3 π/2 1 a) Znajdź równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwadratów. Jako funkcje bazowe przyjmij :Φ0 = 1, Φ1 = sin x. Podaj wartość w punkcie x0 = π/4. b) Oblicz błąd względny rozwiązania wiedząc, że wynik ścisły wynosi f (x0 = π/4) = −11/4. Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008 – Aproksymacja 2 Zadanie 3. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych. Wyznacz równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwadratów. Przyjmij funkcje bazowe: Φ1 (x) = 3x π Φ2 (x) = cos(x) Oblicz wartość funkcji aproksymującej w punkcie x0 = π/4. i x y 0 −π/2 -3 1 −π/3 -10 2 π/3 20 3 π/2 3 Odpowiedź: Funkcja aproksymująca: ϕ(x) = A1 Φ(x) + A2 Φ(x) Korzystając z deﬁnicji błędu aproksymacji ε= n X i=0 (ϕ(xi ) − yi )2 i warunków najlepszej aproksymacji ∂ε =0 ∂A1 ∂ε =0 ∂A2 dostajemy układ równań na współczynniki A1 i A2 postaci D T DA = DT y gdzie:  Φ1 (x0 ) Φ1 (x1 ) D= Φ1 (x2 ) Φ1 (x3 )  Φ2 (x0 ) Φ2 (x1 )  Φ2 (x2 ) Φ2 (x3 ) A= A1 A2   y0 y1   y= y2  . y3 Po wymnożeniu i rozwiązaniu poniższego układu 13 39 0 A1 2 = 5 0 12 A2 otrzymujemy A1 =6 i A2 =10. Wartość funkcji aproksymującej w punkcie √ π π π ϕ( ) = 6Φ1 ( ) + 10Φ2 ( ) = 4 + 5 2 4 4 4 π 4

Czy ten dokument był pomocny?

Aproksymacja - przykładowe zadania z matematyki stosowanej

Kurs: Matematyka stosowana (STC-3-101-s)

24 Dokumenty

Studenci udostępnili 24 dokumentów w tym kursie

Uniwersytet: Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie

Czy ten dokument był pomocny?

Mat. stosowana i met. numeryczne : grudzień 2008 – Aproksymacja 1

Zadanie 1. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych:

i 0 1 2 3

x−π/6 0 π/6π/2

y 1 -8 -3 1

Znajdź równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych kwa-

dratów. Jako funkcje bazowe przyjmij: Θ0= 1, Θ1= sin(x). Znajdź wartość w punkcie

x0=π/4.

Odpowiedź:

Funkcja aproksymująca:

ϕ(x) = a0+a1sin(x).

Błąd:

ǫ=

i=0

[ϕ(xi)−fi]2=

=(a0−1

2a1−1)2+ (a0+ 8)2+ (a0+1

2a1+ 3)2+ (a0+a1−1)2

Z warunków ∂ǫ

∂aj

= 0, j = 0,1dostajemy

8 2

2 3a0

a1=−18

2.

Po rozwiązaniu powyższego układu a0=−5

2,a1= 1.

Funkcja aproksymująca ϕ(x) = −5

2+ sin(x),

ϕ(π/4) = 1

2(−2 + √2) ≈ −1.79289

Odpowiedź:ϕ(x) = −5

2+ sin(x),

ϕ(π/4) = 1

2(−2 + √2) ≈ −1.79289

Zadanie 2. Dana jest funkcja o stabelaryzowanych rzędnych:

x−π/6 0 π/6π/2

y 1 -2 -3 1

a) Znajdź równanie krzywej najlepiej aproksymującej daną funkcję w sensie najmniejszych

kwadratów. Jako funkcje bazowe przyjmij :Φ0= 1, Φ1= sin x. Podaj wartość w punkcie

x0=π/4.

b) Oblicz błąd względny rozwiązania wiedząc, że wynik ścisły wynosi f(x0=π/4) = −11/4.